- Notch Stress Intensity Factors e SED
- Friction Stir Welding
- Metodi delle distanze critiche
- Metodo del J–integral
- Metodo del gradiente implicito
IL GRADIENTE IMPLICITO
NELLA PREVISIONE DELLA VITA A
FATICA NEI GIUNTI SALDATI
R.Tovo, P.Livieri,
Dipartimento di Ingegneria
Università di
Ferrara
Vicenza
27-28 Marzo 2008
IL PROBLEMA
LA VERIFICA STRUTTURALE

Calcolo: Analisi lineare elastica

Verifica: Tensioni ammissibili
METODO LOACALE CHE PUO’ ESSERE
ACCETTATO SOLO IN PRESENZA DI
GRADIENTI NON ELEVATI
Y
X
a
IL PROBLEMA
IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO
RISPONDE ALL’ESIGENZA DI RIPORTARE LA
VERIFICA STRUTTURALE AL METODO DELLE
TENSIONI AMMISSIBILI ANCHE IN PRESENZA DI
SINGOLARITA’ TENSIONALI
σ
σeff σeff, max
1.5
σ1 σeff, max
σeff, ma
1
0.5
z /D
0
0.0 0.2
 eff   limite
criterio frattura non locale
0.4
0.6
0.8
1.0
CASI AFFRONTATI
ROTTURA STATICA DI TIPO FRAGILE
Tovo R., Livieri P., Benvenuti E. An implicit gradient type of static failure
criterion for mixed-mode loading. International Journal of Fracture (2006)
141:497–511 E
40
6
P
[kN]
35
P
EXPERIMENTAL
eq. (10) w ith Von Mises plane strain
eq. (10) w ith Von Mises plane stress
eq. (10) w ith maximum principal stress
eq. (10) w ith Tresca plane strain
eq. (10) w ith Tresca plane stress
[kN]
PMMA
w
30
P
4
25

20

3
PREVISIONI
Sperimentali
15

GRIM
P
2
W
10

1
5
MODO I+II
MODO I
0
0
30
60
90
120
150

180
[deg]
0
0
30
a
P
60
 [deg]
90
CASI AFFRONTATI
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
Tovo R., Livieri P. An implicit gradient application to fatigue of complex structures.
Engineering Fracture Mechanics, Volume 75, Issue 7, Pages 1804-1814, May 2008
line method [4]
1
 nom,th
 0
n
Kt
3


eff
n
data of Lukas et al. 1989, steel
data of Lukas et al. 1989, copper
implicit gradient approach
n


data of Yu et al. 1991, steel
data of Du-Quesnay 1988, aluminium

data of Du Quesnay 1988, steel
data from Du Quesnay et al. 1988, steel
0.1
0.01
[mm]
[mm]
0.1
data of Lukas et al. 1986, steel
data of Lukas et al. 1989, steel
data of Lukas et al. 1986, copper
1
10
 /a 0
: raggio di raccordo
a0
: distanza critica di El Hallad
0
: limite di fatica del provino liscio
nom,th: limite di fatica del provino intagliato
100
CASI AFFRONTATI
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE BIDIMENSIONALI
Tovo R., Livieri P. An implicit gradient application to fatigue of sharp notches and
weldments. Engineering Fracture Mechanics 74 (2007) pp. 515–526
3000
eff,max
H = 3-100 mm
R 0
[M Pa]
c = 0.2 mm
rotture al piede
1

135°
3.0
t = 3-100 mm
1000
500
L = 6-32 mm
298
Curva di progetto
per particolari tagliati
all'ossitaglio automatico
(Eurocodice 3 )
rotture alla radice
212
t = 6-32 mm

0°
151
140
eff,max
100
10
4
10
5
10
6
10
7
 n,2
cicli a rottura N
h
n,1
n,2


t 2 /2
t 1/2
s
s
n,2
n,1
CASI AFFRONTATI
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE TRIDIMENSIONALI
 eff
 eff
n
R= 0
n
t=7.9 mm [30]
3000
 eff,max
R=-1
(as-welded)
[MPa]
 eff
t=12 mm [29]
1000
R= 0
500
n
298
n
c = 0.2 mm
151
100
10
4
10
5
10
6
cycles to failure N
10
7

CASI AFFRONTATI
eff
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE TRIDIMENSIONALI
n
R= 0
n
3000
t = 2 mm [27]
t = 6 mm [27]
 eff,max
[MPa]
R=0
t = 8 mm [28]
R = 0.1
1000
 eff
500
n
298
n
c = 0.2 mm
151
100
10
4
10
5
10
6
cycles to failure N
10
7
 eff
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
F
z
f
y
x
F
FONDAMENTI TEORICI
L’IDEA DELLA MEDIA: NEUBER (1936)

 max
 eff

a
 eff
x
b
1

b

b
0
  dx
FONDAMENTI TEORICI
Utilizzando criteri non locali ispirati ai lavori di Kroener, Eringen,
Edelen anni 70’
- Critico ogni punto
- Pesare in funzione della distanza
 eff ( x) 
1
 ( x, y)  ( y) dy

Vr ( x) V
 eff
stress equivalent e non locale

stress non locale
in V
 ( x, y ) funzione peso
Vr ( x)    ( x, y ) dy
V
volume di riferiment o
 ( x , y)
Gauss weight
function
Espandendo in serie la tensione non locale si
perviene all’equazione differenziale
 eff ( x)  c 2  2  eff ( x)   ( x)
in V
c costante legata al materiale
e allo scalare 
Lo scalare  (per un assegnato punto)
  f [ t ]
  x t   xy t   xz t 


 t    yx t   y t   yz t 
  zx t   zy t   z t 


 t    d t    h t  I
Soluzioni analitiche di tipo monodimensionale
c2
d 2  eff
dx
2
  eff   
K0

x
x (0, R)
1500
[MPa]
n x
 eff ( x)   bn cos
R
n
1000
x

500
K0
x
x [mm]
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Soluzione Monodimensionale

bn  4 R n  K0
b0 
R R
0.5
(1 )
k 1
k 0
2k 2
2k2

n
(4k  5) (2 k  2)!
c n  cos( n) sin (n)  n   R (n   cos( n) sin (n))
2
2
2
2
2 K0
2 K0

R
R

 (1)
K 1
k 0
1500
2K 2

(4k  5) (2 k  2)!
600
 max
[MPa]
[MPa]
500
1000
400

300
x

500
K0
x
200
x [mm]
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
100
x [mm]
3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Soluzioni Analitiche di tipo BIDIMENSIONALE
  f [ t ]   1
Cricca
1
eff
eff,max
 eff ( x ) 
Eq. (12)
0.7
3
2
2 2 c
y
0.8

KI
 eff (0) 
x


2 0 
3
2

r K 0   f  d dr
c
3
2   K I
4

3
2
c
0.6
Intaglio a V
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
c
3
 eff ,max  0.44
K N ,1
c1 1
METODI DELLE DISTANZE CRITICHE
P, Q  
Peak stress
eq
P :  eq ( P)  maximum of  eq
  ( P , Q )
Point methods
P
Q


s
P
P,, A
A,, Q
Q


A
A
A
 ss :: PA
PA 
L
L
n
L
P
  ( A , Q )
P, A, Q, Q'  

Q

s
Line methods
A  s : PA  L
1
 (P, Q)  lim
n  n
Area methods
' 
P, Q  
A
Q' s : 0  PQ'  L
n
 ( Q '
k 1
Q'
P
k
, Q)
1 if Q  '

0 if Q  '

n
L
Q

P '

Q

CRITERIO MULTIASSIALE
A. Cristofori, P. Livieri, R. Tovo, An Application of the Implicit Gradient Method to
welded structures under multiaxial fatigue loadings, International Journal of
Fatigue
S  S1
S2
S3
S4
 d  3 S





S5   






3
 x   h 
2

1
 y   z  
2

 xy

 xz


 yz


  von Mises 
 h
 d
d
Crossland invariant criterion
Carichi in fase, R=0
Parametro di multiassialità
k
  
N f   A ,   N A
  d 
Curva di Woehler
Previsione della resistenza a fatica
k
6
5
4
3
2
 
1
0
0,2 
coeff . di sicurezza
0,4
0,6
0,8
1
A,  [MPa]
250
c=0.45 mm
200
150
100
50

0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Parametri di multiassialità

B
z
x
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
F
y
z
x
B
F
1000
1

Root
Poli. (R oot)
0.8
Toe
Poli. (Toe)
0.6
100
0.4 mezzeria
superf icie
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2z/B
10
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
 

 

Max
M ax
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
Basso livello di carico
Alto livello di carico
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2 
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2 
1
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
y
z
x
F
CONCLUSIONI
• Con
il metodo del gradiente implicito è
possibile definire uno scalare equivalente da
utilizzare per la progettazione a fatica
• Il
problema del gradiente di
trasformato nella risoluzione di
differenziale definita sull’intero
senza impostare a priori il punto
tensione viene
una equazione
corpo in esame
di innesco della
frattura
• Il metodo proposto offre il vantaggio di prestarsi
per una soluzione completamente numerica
del calcolo della vita a fatica delle giunzioni saldate
complesse.