IL GRADIENTE IMPLICITO
NELLA PREVISIONE DELLA
VITA A FATICA
R.Tovo, P.Livieri,
Dipartimento di Ingegneria
Università di
Ferrara
Reggio Emilia
16-17 Aprile 2009
IL PROBLEMA
VERIFICA A FATICA IN AMBITO MECCANICO

Modello: Sfruttare le potenzialità offerte dai
programmi
di
rappresentazione
grafica
tridimensionale per ottenere una soluzione
numerica (CAD 3D)

Geometrie: Rivolto ai Componenti Meccanici

Calcolo: Analisi lineare elastica


Verifica: ottenere un indice di pericolosità
direttamente dal software (senza rielaborazione
dell’effetto gradiente)
Teoria: inquadramento analitico
IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO
Gradiente implicito
6
P
EXPERIMENTAL
eq. (10) w ith Von Mises plane strain
eq. (10) w ith Von Mises plane stress
eq. (10) w ith maximum principal stress
eq. (10) w ith Tresca plane strain
eq. (10) w ith Tresca plane stress
[kN]
4

3

P
2
W

1
0
MODO I+II
0
30
a
line method [4]
1
Kt
P
60
 nom,th90
 [deg]
 0
3


data of Lukas et al. 1989, steel
data of Lukas et al. 1989, copper
implicit gradient approach


data of Yu et al. 1991, steel
data of Du-Quesnay 1988, aluminium

data of Du Quesnay 1988, steel
data from Du Quesnay et al. 1988, steel
0.1
0.01
0.1
data of Lukas et al. 1986, steel
data of Lukas et al. 1989, steel
data of Lukas et al. 1986, copper
1
10
eff ( x )  c 2  2 eff ( x )  ( x )
 eff ( x) 
1
 ( x, y)  ( y) dy
Vr ( x) V
in V
 /a 0
100
HOT SPOT
h
n,1


t 2 /2
t 1/2
s
ROMA
n,2
s
PARIGI
LONDRA
La particolarità
IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO
RISPONDE ALL’ESIGENZA DI RIPORTARE LA
VERIFICA STRUTTURALE AL METODO DELLE
TENSIONI AMMISSIBILI ANCHE IN PRESENZA DI
SINGOLARITA’ TENSIONALI
σ
σeff σeff, max
1.5
σ1 σeff, max
σeff, max
1
0.5
z /D
0
0.0 0.2
 eff   limite
criterio frattura non locale
0.4
0.6
0.8
1.0
FONDAMENTI TEORICI
Utilizzando criteri non locali ispirati ai lavori di Kroener, Eringen,
Edelen anni 70’ e Bažant 1987;
- Critico ogni punto
- Pesare in funzione della distanza
 eff ( x) 
1
 ( x, y)  ( y) dy

Vr ( x) V
 eff
stress equivalent e non locale

stress non locale
in V
 ( x, y ) funzione peso
Vr ( x)    ( x, y ) dy
V
volume di riferiment o
 ( x , y)
Gauss weight
function
Espandendo in serie lo stress non locale si perviene
all’equazione differenziale di Helmholtz
eff  c  eff  
2
2
in
V
c parametro legato al materiale
e allo stress non locale 
VANTAGGI COMPUTAZIONALI
Lo stress non locale  (per un assegnato punto)
  1
  f [ t ]
  x t   xy t   xz t 


 t    yx t   y t   yz t 
  zx t   zy t   z t 


 t    d t    h t  I
Soluzione Monodimensionale
n x
 eff ( x)   bn cos
R
n
bn  4 R n  K0
2k  2 n 2k 2
R   R (1 )
(4k  5) (2 k  2)!
k 0
c 2 n 2  2 cos( n) sin (n)  n   R 2 (n   cos( n) sin( n))

k 1
0.5

2 K0
2 K0
b0 

R
R
 (1)
K 1
k 0
1500
2K 2

(4k  5) (2 k  2)!
600
 max
[MPa]
[MPa]
500
1000
400

300
x

500
K0
x
200
x [mm]
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
100
x [mm]
3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
METODI DELLE DISTANZE CRITICHE
P, Q  
Peak stress
eq
P :  eq ( P)  maximum of  eq
  ( P , Q )
P
Q

s
P
P,, A
A,, Q
Q


Point methods

A
A  s : PA  L
n
L
P
  ( A , Q )
P, A, Q, Q'  

Q

s
Line methods
A  s : PA  L
1
 (P, Q)  lim
n  n
Area methods
' 
P, Q  
A
Q' s : 0  PQ'  L
n
 ( Q '
k 1
Q'
P
k
, Q)
1 if Q  '

0 if Q  '

n
L
Q

P '

Q

CASI AFFRONTATI
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE TRIDIMENSIONALI
 eff
 eff
 eff
n
 eff
n
R= 0
R= 0
n
n
 eff
 eff
n
n
n
n
CURVA DI RIFERIMENTO
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE TRIDIMENSIONALI
3000
eff,max
H = 3-100 mm
R 0
[M Pa]
c = 0.2 mm
rotture al piede
1

135°
3.0
t = 3-100 mm
1000
500
L = 6-32 mm
298
Curva di progetto
per particolari tagliati
all'ossitaglio automatico
(Eurocodice 3 )
rotture alla radice
212

0°
151
140
100
10
4
10
5
10
cicli a rottura N
6
10
7
t = 6-32 mm
CASI AFFRONTATI
ROTTURA A FATICA DI GIUNZIONI SALDATE TRIDIMENSIONALI
 eff
TRAZIONE
 eff
3000
t = 2 mm [27]
t = 6 mm [27]
 eff,max
[MPa]
R=0
n
t = 8 mm [28]
R= 0
R = 0.1
1000
n
n
R= 0
n
500
298
c = 0.2 mm
151
100
10
4
10
5
10
6
10
7

eff eff
cycles to failure N
n
DATI: Gurney TR., 1997
Dati: Susmel L, Tovo R., 2006
n
n
n
 eff
CRITERIO MULTIASSIALE
A. Cristofori, P. Livieri, R. Tovo, An Application of the Implicit Gradient Method to
welded structures under multiaxial fatigue loadings, International Journal of
Fatigue, 2009
S  S1
S2
S3
S4
 d  3 S





S5   






3
 x   h 
2

1
 y   z  
2

 xy

 xz


 yz


  von Mises 
 h
 d
d
Crossland invariant criterion
Carichi in fase, R=0
Parametro di multiassialità
k
  
N f   A ,   N A
  d 
Curva di Woehler
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
y
TRAZIONE, FLESSIONE
z
e TAGLIO
x
F
Dati: Fricke W, Doerk O., 2006
RISULTATI SPERIMENTALI
previsione della resistenza a fatica con
soluzione completamente numerica
FLESSIONE, TORSIONE e TAGLIO
F
y
z
x
 VM [MPa]
1000
Dati: Kyuba H, Dong P., 2005
100
N [cycles ]
Applicazione agli organi di trasmissione
ROTTURA A FATICA DI UN PERNO DI ESTREMITÀ
LA STESSA METODOLOGIA USATA PER LE
SINGOLARITA’ DEI GIUNTI SALDATI SI PUO’
APPLICARE AD EFFETTI DI INTAGLIO NEGLI ORGANI
DI TRASMISSIONE
PROVE SPERIMENTALI
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
Applicazione agli organi di trasmissione
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
materiale a basso-resistenziale
Applicazione agli organi di trasmissione
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
materiale a basso-resistenziale
Applicazione agli organi di trasmissione
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
materiale alto-resistenziale
Applicazione agli organi di trasmissione
ROTTURA A FATICA DI PROVINI INTAGLIATI
materiale alto-resistenziale
CONCLUSIONI
• Il metodo del gradiente implicito offre il
vantaggio di prestarsi per una soluzione
completamente numerica del calcolo della
vita a fatica di giunzioni saldate e in generale
di componenti meccanici senza dover
rinunciare ad un formulazione matematica del
problema dell’effetto gradiente