L’INTEGRALE DEFINITO
b
a
f x  dx
1
ARGOMENTI
1. Mappa concettuale
2. Le successioni numeriche
3. Il Trapezoide – area del Trapezoide
4. L’integrale definito – def. Di Riemann
5. Funzioni integrabili secondo Riemann
6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
9. Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
10. Volumi di figure di rotazione
11. Integrali impropri o generalizzati
12. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
2
c
CONCETTO
di
LIMITE
»
LA DERIVATA
è il limite
del rapp.increm.
L’INTEGRALE
DEFINITO
è il limite
di una successione
L’INTEGRALE
INDEFINITO
è l’insieme infinito
delle PRIMITIVE
INTEGRALE
DEFINITO
e AREA del
TRAPEZOIDE
TEOREMA
FONDAMENTALE
DEL CALCOLO INTEGRALE
3
LE SUCCESSIONI NUMERICHE
Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N  R
(Dominio N e Codominio R)
Una successione può essere definita:
1. Mediante la formula che definisce il termine
n-esimo: an = 2n2+1  nN
2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e
la legge che lega un termine al precedente:
a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an
(a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13,
a8=21 … successione di Fibonacci).
4
LIMITI DELLE SUCCESSIONI
Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il
dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n  + .
Definizioni:
1.
Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive
lim an  l
n  
se    R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| < 
2.
Successione divergente: diverge positivamente se
diverge negativamente se
 an
con n > n .
lim an  
n  
lim an  
n  
3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè
divergenti.
5
DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI
1.
Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d
Il numero reale d prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
2.
Sn 
n
 ak 
k 1
a1  an
nn  1
n  a1 n 
d
2
2
Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq
Il numero reale q prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
Sn 
n
 ak  a1
k 1
1-qn
1-q
se q  1
S n  n a 1 se q  1
6
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi
sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di
equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
7
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva
assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
n
sn   mi h
i 1
n
Sn   M i h
i 1
8
n
n
sn   mi h
Sn   M i h
i 1
i 1
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n
rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate
minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n.
Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e
convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n  +  e risulta:
n
n
lim  mi h  lim  M i h
n   i 1
n   i 1
Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0,
dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune
per n +  delle somme sn e Sn .
9
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con
la scrittura:
b
a f  x dx
 nlim
s  nlim
S
 n
 n
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale:
a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
10
Se per ogni x  [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile,
allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

 sinx dx  0 ,
mentre
Area  4
,


infatti
Area
 2  sinx dx  4
0
11
Esempi di calcolo dell’integrale definito.
1.
Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito
b
a  px  q  dx
.
La f(x) è continua in [a ; b].
b  a

m k  pxk  1  q  p a  k  1
q
n 

b  a

M k  pxk  q  p a  k
q
n 

ba

 pongo β 

n 

ba
ba
ba
sn  m1
 m2
 ...  m n

n
n
n
  pa  q β   pa  β   q β  ...   pa  n  1 β   q β 
Si avrà quindi :
 npa  p1  2  ...  n  1β  nqβ  n pa  q β  pβ 2 1  2  ...  n  1
essendo
1  2  ...  n  1  nn  1
2
 b  a  nn  1
sn   pa  q b  a   p

2
 n 
(somma di una progressione aritmetica di ragione 1)
2
si ottiene :
 b  a  nn  1
S n   pa  q b  a   p

2
 n 
12
2
e analogamente :
Calcoliamo ora l’integrale definito:
b
  px  q dx
a
 lim s
n
n

lim S n
n 
b
2
2


 b  a  nn  1
 b  a  nn  1 

 px  q dx  lim  pa  q b  a   p
 lim pa  q b  a   p



n 
2 
n 
2 
 n 


n   


a

b
  px  q dx
2

b - a
nn  1
  pa  q b  a   p
lim
2
n
2
n

2

b - a
nn  1
 pa  q b  a   p
lim
2
n
2
n
a
b
  px  q dx
  pa  q b  a   p
b - a 2
2
essendo
nn  1
1 .
n 
n2
lim
a
Si può anche scrivere :
b
  px  q dx

2

b - a
 pa  q b  a   p
2

 pa  q    pb  q  b - a 
2
a
L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !
13
Osservazione importante:
L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo:
 pa  q    pb  q  b - a  
  px  qdx 
b
2
a
2
 b2



p
 -  p a  qa 

qb
 2

 2





Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo
d’integrazione [a ; b] della funzione
x
F x  p
2
2
 qx
dove
F x 
  px  qdx
Si può scrivere quindi:
b
è una primitiva di
  px  qdx

f  x   px  q
F b  F a  .
a
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale
concetto.
14
2
2.
Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito
La f(x) è continua in [1 ; 2].
2
x
dx .
1
Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti
x0, x1, … , xn-1, xn :
ba 1
 , si avrà :
n
n
1
2
n1
x0  1, x1  1  , x 2  1  , x n1  1 
, xn  2
n
n
n
poichè
1
2
n1
1
2
n1
1
1
1
 2

1 1
  2  2 n  2 n  ...  2 n   1  2 n  2 n  ...  2 n 
n n
 n

n1
sn   2 x i
i 0
1
2
n1
2
n1
1
1
 2  n1

1 1  1 n
2
n
n
n
Sn   2
  2  2  ...  2
 2    2  2  ...  2 n  2 
n n
i 1
 n

n
xi
Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in
progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può
scrivere:
n
 1
1
1   2 n 
2
2 12
2 1


sn 


 2 n 1
1
1
1
n
n
n
1 2n
1 2n
1 2n
1 2n
e analogamen te si ricava
S n  2  2
1
n
1
n
1
1 2n
15
2
1 2
2
1 2
x dx
 nlim
s  lim S n
 n
n
x dx
1


lim   2 n 1
n 

1 2n


1


1


n
  lim   2  2 n
1
 n
n


1 2




  ... De l' Hospital  ...  2log e
2



Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la
differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione
F  x   2 x log2e
dove
F  x    2 x dx
2
Si può scrivere quindi:
2
x dx 
è una primitiva di
f x  2x
F 2   F 1  22 log2 e - 2log2 e  2log2 e .
1
16
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b]
La condizione non è sufficiente.
Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge:
.
0, se x è razionale
f x  
1, se x è irrazionale
Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come
si dimostra facilmente lim sn  lim S n
n
n
Teorema
Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:
• Ogni funzione f : [a, b]  R continua è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b]  R limitata e monotona è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b]  R limitata con un numero finito o numerabile di
punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
17
18
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1.
se a < b si pone:
2.
se a = b
Teoremi:
1.
2.
3.
4.
proprietà additiva
5.
b
6.
 f  x dx
a

b
 f  x  dx
a
19
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c  [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
b
b
m b  a    f  x dx  M b  a 

a
m
a f  x dx
ba
M
b
L’espressione
a f  x dx
ba
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori
intermedi, esiste almeno un punto c  [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
20
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il
valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente
come area al trapezoide.
21
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0  [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
22
La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica
23
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
x
F  x    f t  dt
a
è derivabile  x  [a, b], e si ha:
F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione:
prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
F  x  h  F  x 

h
xh
x
a
a
 f t dt  f t dt
h

 per
la proprietà additiva
x
xh
x
a
x
a
 f t dt   f t dt  f t dt
h

xh

 f t dt
x
h

 per
il teorema della media  f c 
con c   x; x  h.
24
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h  0:
F  x  h  F  x 
 lim f c   f  x 
h
h 0
h 0
lim
per l' ipotesi di continuità della f  x  .
c  x 
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
a
F a    f  x dx  0
per la definizione N 2 .
a
b
Osservazione :
Fb    f  x dx
a
25
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
b
 f  x dx   b   a     x  a
b
a
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
x
φ(x) = F(x) + k  φ(x) =
 f t dt
a
+ k , quindi, poiché
a
 a   k

b

 b    f t dt  k

a
 f t dt  0
, si ha:
a

b
 f t dt   b   a 
.
a
Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori
assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore
a dell’integrale stesso.
26
Esempi :
1.
 e dx  e 
2
2
1
1
3
1 
xdx   x 2   4  1 
2
 2 1 2
1

x 1
0
x
2.
 e 1
0
π4
π
2
ln2
tgxdx   lncosx 0π 4   lncos  lncos0   ln
 ln1 
4
2
2
0
3.

4.
 3x
2
2



 2x  5 dx  x 3  x 2  5x 1  8  4  10  1  1  5  9
2
1
1
5.
 arctgx dx 
... (per parti) ...
0

4
6.
x
2


1
1

2 
 xarctgx  2 ln 1  x  
0
  x
0
 3x dx  ... x  3x  0 per x  0  x  3 ...
2
1
2
3
 
3

 3x dx   x  3x dx 
1
0

π ln2

4 2
0
2
 x
4
2

 3x dx 
3
4
3 
3  1
3 
49
1
 1
  x 3  x 2    x 3  x 2    x 3  x 2  
2  1  3
2 0 3
2 3 6
3
27
x
7.
Data la funzione

F(x)  sin 2 (t)dt ,
0
determina, servendoti del teorema di Torricelli  Barrow, gli intervalli in cui essa volge la concavità verso l' alto .
Risposta : F(x) è derivabile ,
quindi la condizione necessaria e sufficient e per la concavità verso l' alto è che F ' ' (x)  0.
F ' (x)  sin 2 (x), F ' ' (x)  2sinxcosx ;

 k
2
e per tali valori di x , la concavità della F(x) è verso l' alto .
F ' ' (x)  0 ; 2sinxcosx  0 ; sin2x  0 per k  x 
x
8. Determina l' equazione della retta tangente al grafico della funzione
F(x) 
1 t
t
4
dt nel punto di ascissa x  1.
1
1
Risposta : poichè
F(1) 
1 t
t
4
0
e F ' (x) 
1
 y - F(1)  m(x - 1)

m  F ' (1)
 y-0 
1
x  1;
2
x
, si ha :
1 x4
y
1
1
x .
2
2
28
Grafico della funzione integrale F(x)
Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x),
basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio:
x
x
1
1
1 
F( x )  t 2 dt   t 3   x 3  .
3
 3 1 3
1

Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue.
Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b],
x
la sua funzione integrale F  x    f t  dt è derivabile  x  [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 .
a
Osserviamo, quindi che:
a.
se f(x) > 0  F(x) è crescente, se f(x) < 0  F(x) è decrescente;
b.
se f(x) = 0  esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x);
c.
se f(x) è dispari  F(x) è pari;
d.
se f(x) è pari e a = 0  F(x) è dispari.
Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.
29
30
31
x
Esempio: studia la funzione

2
F( x )  e  t dt
con x  R .
( in questo caso non è facile trovare la primitiva! )
0
Poiché
f ( x)  e x
2
si ha che:
dominio F(x): tutto R;
F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!);
F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine;
per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha:
a. F’(x) = f(x) > 0  x R  F(x) è sempre crescente in R;
b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;
d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.
2
F' ' (x)  2xe x ;
F' ' ( x )  0
x 0 ,
quindi concavità verso l’alto per x < 0, verso il basso per
x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ).
Tenuto presente che
per
2
lim F( x )  lim e x  0 , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al
x  
x  
tendere di x a ±  , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti
orizzontali, uno per x  +  e uno per x  -  .
Da quanto detto, il grafico sarà:
32
Si dimostra che lim F(x)  
x  
π
π
, cioè gli asintoti orizzontal i hanno equazione y  
.
2
2
Con metodi particolari, che vanno oltre il programma di V liceo scient., si determina il valore

dell' integrale di Gauss :

0
2
e  x dx 

.
2
33
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
34
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b]  R una funzione continua, sia φ : [α, β]  [a, b] una funzione continua e derivabile
con continuità.
Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d]  [a, b], esistono due
valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal
caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
35
Esempio
4
Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito
 xdx .
1
Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia
x = φ(t), cioè x = t2 e
t x.
Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t:
[1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) .
Effettuando la sostituzione x  t2, ( dx = d(t2)  dx = 2tdt ), si ha:
4

1
2
2


1
1
2

2

xdx  2 t 3dt  2 t 3dt  2 t 3dt  2 t 3dt 
1
1
15
2
36
4
2
1
1
3
xdx

2
x

 dx
37
4
2
1
-1
3
xdx

2
x

 dx
38
4
-2
1
1
3
xdx

2
x

 dx
39
4
-2
1
-1
3
xdx

2
x

 dx
40
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
1
(a)
 f x  dx  2
2
e
(b)
0
 f x  dx  5 .
0
Di ciascuno dei seguenti integrali:
1
x
1. f   dx ;
2
0

2
x
2. f   dx ;
2
0

4
x
3. f   dx ;
2
2

1
4.
 f 2x  dx ,
0
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è
questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0  t = 0;
x = 1  t = 1/2;
x = 2  t =1, quindi
41
12
1
x
1. f  dx  2 f t dt  ?
2
0
0


le condizioni non sono sufficienti per calcolarne il valore !
2
1
x
2. f  dx  2 f t dt  4
2
0
0


per l' integrale (a).
2
2
0

x
3. f  dx  2 f t dt  2  f t dt  f t dt   2- 2 - 5  -14
2
 1
2
1
0

per la proprietà additiva e per gli integrali (a) e (b).
4




1
4.
 f 2x dx

poniamo 2x  t, cioè x  t/2, dx  dt/2,
0
con estremi d' integrazio ne
x  0  t  0, x  1  t  2 )
2

1
5
f t dt  20
2

per l' integrale (b).
42
CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI
Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che
g(x)  f(x) x [a ; b], si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x;y)
del piano così definito: T = {(x ; y) | a  x  b e g(x)  y  f(x)}.
b
Area: l’area del dominio T è data da:
Area (T) 
b
infatti si ha : Area(T)  Area(ABKH) - Area(DCKH) 
a f (x)  g(x) dx ,
b
b
a f(x) dx  a g(x) dx  a f(x)  g(x)  dx
La formula per l’area vale comunque siano disposti i
grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x)  f(x).
43
Esempi
1.
Area del segmento parabolico e teorema di Archimede.
Data la funzione f(x) = kx2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura:
a
a
2
4
1 
Area(AA' VA)  Area(rettangolo AA' H' H)  2 kx dx  2a  ka  2k  x 3   2ka 3  ka 3  ka 3 .
3
3
3 0
0

Osserva che
2
2
4 3
ka
Area(segm. parab. AA' VA) 3
2

 , quindi :
3
Area(rettangolo AA' H' H)
3
2ka
Teorema di Archimede.
L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3
dell’area del rettangolo AA’H’H.
44
Osservazione sul teorema di Archimede.
Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della
parabola.
In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento
parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza
AH tra la retta t e la retta AA’.
Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T,
limitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta
t : y = -2x + 4 .
Determino l' equazione della tangente t :
f ' ( x )  2 x  2
 2x - 2  -2 , x  0 ,
 '
f ( x )  2
cioè il punto di tang. è O(0;0), quindi t : y  - 2x .
4
Poichè AA '  4 5 e AH 
, allora
5
2
2 4
32
Area(segme nto par.)   AH  AA '  
4 5 
.
3
3 5
3
 (2x  4)  (x
2
Oppure : Area 
2

 2 x ) dx 
-2
2
2
1 
8
8 32

(4  x )dx  4 x  x 3   8   8   .
3  2
3
3 3

2

2
45
2.
Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y2 = 4x e x2 = 4y.
Le equazioni esplicite degli archi di parabola sono :
: y  2 x
x2
e : y 
, quindi
4
4
4 3 x3 

x2 
16
Area (T )  2 x  dx   x 2   
.
4
3
12
3





0
0
4

3.
Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione di equazione:
a
A (T )  4
b
a
x 2 y2

1 .
a 2 b2
a 2  x 2 dx 
0
x
(x  a  sent ; t  arcsen ; dx  a  costdt)
a
a
x x


 2ab arcsen  2  a 2  x 2   ab .
a a

0
46
VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE
Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico ,
continua nell’intervallo [a; b] e non negativa,
e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b].
Se facciamo ruotare il trapezoide attorno
all’asse x di un giro completo, ossia di 360°,
otteniamo la figura di rotazione (solido di
rotazione) F.
Calcoliamo il volume di tale figura.
Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli
n
Sn   Mi h
i1
n
s n   mi h
i1
che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto. Da una rotazione completa dei plurirettangoli
attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di
rotazione F.
47
Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per
altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume:
n
Vn    Mi2h
i1
n
vn    mi2h .
i1
48
Si può dimostrare che quando n  +  le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il
volume della figura di rotazione F :
n
n
b
i1
a
VF  lim   M i2 h  lim   mi2 h   f 2 (x)dx .
i1
n  
n  
Esempi
1. Volume del cono, data la funzione y = mx:
b

(mx ) dx  m  x   m 2 b 3
0
3 0 3
( raggio di base  mb, altezza  b, ... ed ecco la formula nota )
V
2.

b
2
2 1
3
Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione
a) attorno all’asse x :
b2 2
y  2 (a  x 2 ) ,
a
2
b2 a 2
b2
2
V  2π 2 (a  x )dx  2π 2
a 0
a

x 2 y2

1
a 2 b2
a
1 3
b2 2 3
4
 2
2
a x  3 x   2π a 2  3 a  3 πab .

0
49
b) attorno all’asse y :
x2 
a2 2
(b  y 2 ) ,
2
b
V  2π
a2 b 2
a2
2
(b

y
)dy

2π
b2 0
b2

b
1 3
a2 2 3
4
 2
b
y

y

2π
 b  πa 2 b .


2
3 0
3
b 3
In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume :
3.
V
4 3
a .
3
Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x2 + 6x
e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r.
Operiamo la traslazi one del riferimento che porta O(0 ; 0) in O n (0 ; 5) :
x  x n
, qundi

y

y

5

n
le equazioni della parabola P e della retta r nel nuovo riferimento diventano :
P : y  -x 2  6x  5
r: y  0
50
Punti d' intersezione retta - parabola
nel nuovo riferimento : A(1;0) , B(5;0) .
Calcolo del volume :
  x  6x  5 dx 
 π  x  36x  25  12x  10x
Vπ
5
5
2
2
1
4
2
3
1
2

 60x dx 
5
46
512
1

 π  x 5  3x 4  x 3  30x 2  25x 
π .
3
15
5
1
4.
Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dal grafico di y = lnx ,
determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) all’asse x , b) all’asse y .
e
a ) V  V(cilindro C' B' BC) - V(AB' B)  e -  ln 2 xdx  e - e - 2  2 . (*)

1
 ln xdx  xln x  2 ln xdx  xln x  2x ln x  x   c ,
e
e


ln
xdx

x
ln
x

2
x
ln
x

2
x
 e - 2e  2e - 2  e - 2 .

(*) calcoliamo per parti :
2
1
2
2
2
quindi
2
1
51
b)
y  lnx  x  e ,
y
quindi
1



1

V   e dy   e 2 y   e 2  1 .
0
2
0 2
1 2y

52
INTEGRALI IMPROPRI o GENERALIZZATI
La definizione di integrale definito secondo Riemann, si basa sulla condizione necessaria che la funzione
integranda sia limitata nell’intervallo d’integrazione limitato e chiuso, tuttavia, mediante un’operazione al
limite, è possibile estendere tale definizione anche
1. a funzioni illimitate su intervallo limitato
2. a funzioni limitate su intervalli illimitati.
(vedi figure sotto)
1.
Integrali di funzioni illimitate su intervallo limitato
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo I = [a ; b[ , illimitata solo per x = b, cioè in b ammetta un
punto di discontinuità di seconda specie (asintoto verticale), allora, con queste ipotesi, esiste l’integrale
c
c  a; b
 f x dx ,
a
b
e per definizione poniamo:
a f x  dx
c
 lim f x  dx .
c b
a
Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; b[ .
53
Definizione analoga si ha per una funzione f(x) illimitata in a, nell’intervallo I = ]a;b]:
b
a f x  dx
b
 lim f x  dx .
ca
c
Se la f(x) è illimitata in un punto d interno ad [a;b], si pone per definizione:
b
a f x  dx
c

lim
c  d
b
f x  dx.
a f x  dx  c lim
d 
c

c
1
Esempio :
1
c
1
1
1
1
 1
 1
dx  ( f(x) illimitata per x  0 ! )  limdx  lim
dx  lim-    lim   
2
2
2
c 0
c0
c  0  x  1 c  0  x  c
x
x
x
1
1
c


1
 1 

 lim-   1  lim  1           ,
c
c0  c
 c0 
quindi la funzione

1
non è integrabil e in [-1;1] .
x2
Osserva che se non si avesse l’avvertenza di isolare il punto x = 0, in cui la funzione è illimitata, e si applicasse
pedissequamente la formula d’integrazione, si troverebbe:
1
1
1
 1
dx     2 ,
2
x
 x  1
1

risultato assurdo, se non altro per il segno, essendo, come è noto, positivo l’integrale di una funzione positiva.
54
2.
Integrali di funzioni limitate su intervalli illimitati
La funzione f(x) sia definita l’intervallo [a ; +[ e sia continua e limitata nell’intervallo [a;b] , b  a .
b
 b  a;
 f x dx ,
Con queste ipotesi, esiste l’integrale
a

a f x  dx
e per definizione poniamo:
b
 lim
b  
a f x  dx .
Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; + [ .
Definizione analoga si ha per una funzione f(x) limitata nell’intervallo ]-  ; b]:
b
- f x  dx

b

lim
a 
a f x  dx .
Se la f(x) è limitata nell’intervallo ]- ; + [, si pone per definizione:

- f x  dx

b

lim
 f x  dx .
a 
b a

Esempio :
ex
dx  ( e x  t ; e x dx  dt ; se x    allora t    ; se x    allora t  0  )
2x
1 e


b

lim
a 0
b
1
a 1  t
2
dt 
lim arctg(t)a
b
a 0
b

arctg (  )  arctg (0  ) 

.
2
55
Funzione illimitata su intervallo limitato
1

0
1
1 x2
c
dx  lim
c 1

0
1
dx  lim arcsinx 0 
c
1 x2
 lim arcsin(c)  arcsin(0) 
c 1
c 1
π
.
2
=========================================================================================================================================================
Funzione limitata su intervallo illimitato


1
b
1
1
dx  lim
dx 
2
b   x 2
x
1

b
 1
 1 
 lim    lim    1  1 .
b    x 
b    b

1
56
APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA
1.
Moto rettilineo Sia s = s(t) la funzione continua e derivabile due volte, che esprime lo spazio in
funzione del tempo percorso da un punto P che si muove su di una retta r.
t2
Poichè v(t)  s (t) , e a(t)  v (t)  s (t) , allora
'
'
''
t vt  dt
 s t 2   s  t 1  ,
1
t2
t a t  dt
 v t 2   v t 1  .
1
Esempio Determinar e l' equazione oraria , cioè s  s(t) , del moto di un punto P , che si muove su una
retta r con accelerazione che segue la legge a(t)  e -t e con condizioni iniziali :
v(0)  5 m/s e s(0)  3 m .
t

v(t) - v(0)  e   d   e  t  1 , ma essendo v(0)  5 , si ha :
v(t)   e  t  6 .
0
  e
t
s(t) - s(0) 


 6 d  e  t  6t  1 , ma essendo s(0)  3 , si ha :
s(t)  e  t  6t  2 .
0
2. Lavoro di una forza di intensità non costante




Data una forza costante F e lo spostament o AB del suo punto d' applicazio ne, allora L  F AB ,

cioè

L  F  AB  cos  ; in particolare , nel caso in cui F e AB abbiano la stessa direzione
e lo stesso verso ,   0 e L  F  AB .
57

Se la forza F ha intensità non costante e supponendo ,
per semplicità di trattazi one , che sia   0 , allora
b
a
L  F( x )dx ,

con x ascissa del punto d' applicazio ne della forza F

e spostament o AB di estremi A(a;0) , B(b;0).
Esempio (a) Determinare il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale F (f. peso) per spostare una
massa m da A a B, come in figura.
FG
Mm
,   180 , cos   -1 , quindi
2
r
rB
L AB
r
1
 1 B
  GMm 2 dr   GMm   
r
 r  rA
r

A
1 1
  GMm   
 rA rB 
( osserva che L AB  0).
58
Esempio (b) Determinare il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F per spostare una carica q da A a
B, come in figura.
Fk
Qq
2
,   180 , cos   -1 , se attrattiva ,
r
  0  , cos   1 , se repulsiva , quindi
rB
L AB
r
1
 1 B
 kQq 2 dr  kQq   
r
 r  rA
r

A
1 1
 kQq   
 rA rB 
( L AB  0 se F è attratt.).
Esempio (c) Un punto materiale si muove lungo l’asse x ed è soggetto ad una forza elastica di richiamo
F, costantemente diretta verso l’origine O delle ascisse e di intensità proporzionale alla distanza da O del
punto stesso, con costante di proporzionalità (cost. elastica) k.
Calcolare il lavoro fatto dalla forza F, quando il punto materiale si sposta dalla posizione di ascissa x1 a
quella di ascissa x2.
x
F  kx , L x1x 2

1
  k x 22  x12
2

2
x
1  2
  k x dx   k  x 2  
2 x
x

1
1
( L x1x 2  0 se x 2  x1 ) .
59
3. Valore efficace di una corrente alternata sinusoidale
L’energia elettrica istantanea dissipata per effetto Joule è
l' energia dissipata in un periodo T 
T
LT 
Ri 02
 sin ωtdt
2
2π
ω
è
T
T

Ri 02
0
1  cos 2t
1
1
1


dt  Ri 02  t 
sin 2t   Ri 02 T .
2
2
2
 2ω
0
0

Ri 02
LT
P
, P
, quindi si definisce
T
2
4.
P(t) = R(i0sent)2 , quindi
i eff 
i0
2
e si scrive
2
P  Ri eff.
.
Quantità di carica
L’intensità di corrente elettrica istantanea i(t) in un conduttore è data da i(t) = q’(t) , pertanto la
carica elettrica q che passa nell’intervallo [t1;t2] attraverso la sezione di un conduttore percorso da
corrente di intensità i(t) è:
t2
q  it dt

t1
Esempio Un conduttore è attraversato da una corrente di intensità i(t) = i0 sen t, con i0 =10 A
e  = 2 rad/s. Calcolare la quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore tra l’istante
t1=0 e t2=0,5 s.
0,5
q  10 sen2tdt  5 cos2t0  5 cos1  1   50,5403023 1  2,2985 Coulomb .

0,5
0
60