A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Richiamo alle onde stazionarie in tre dimensioni
se un onda piana si propaga all’interno di una cavita’ a forma di parallelepipedo di lati L1, L2 ed L3 rilettendosi
perfettamente sulla sua superficie, le onde stazionarie che si potranno generare all’interno della cavita’ saranno
caratterizzate da tre numeri interi n1, n2 ed n3
n12 n22 n32
k  k  2  2  2
L1 L2 L3
le condizioni di quantizzazione delle lunghezze d’onda divengono
k
1 n12 n22 n32


 
 2 2 L12 L22 L23
1
con
n1 , n2 , n3  1, 2, 3....
v n12 n22 n32
 
ovvero, prendendo in considerazione le frequenze   
 2 L12 L22 L23
v
v n12  n22  n32

2
L2
in un contenitore cubico di lato L si avrebbe
da cui
n1 , n2 , n3  1, 2, 3....
con
2
4L
2
v
2
 n12  n22  n32
supponendo che nella cavita’ siano presenti onde elettromagnetiche e che nella cavita’ vi sia il vuoto v = c
e la formula precedente diviene
2
4L
2
c2
 n12  n22  n32
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La derivazione quantistica dello spettro del corpo nero
La funzione trovata da Planck descriveva correttamente la distribuzione dei dati sperimentali, ma non risultava
spiegabile con i principi della meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo classici.
Una sua coerente deduzione si deve al lavoro congiunto di Einstein e di Satyendra Nath Bose
Classicamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche in una cavità chiusa siano onde stazionarie con nodi
sulle pareti, di conseguenza possono assumere solo frequenze discrete, individuate dalla terna di valori
(n1, n2, n3) e ad ognuna di esse è associata una certa quantita’ finita di energia.
considerando per semplicita’ una cavità cubica di lato L si ha
n  n  n  4L
2
1
2
2
2
3
2
2
c2
se L è sufficientemente grande, n1, n2 e n3 possono essere pensate come variabili continue nonostante in realta’
siano numeri naturali, immaginando n1, n2 e n3 come coordinate in uno spazio tridimensionale la relazione
2

2
2
2
2
n1  n2  n3  4 L 2 può essere interpretata come l’equazione di una sfera di raggio r  2 L
3
c
c
14  
  2L 
il numero N di tutte le frequenze minori o uguali a  è dato da un ottavo del volume di tale sfera N 
83  c
ma dato che le onde e.m. sono trasversali con due stati ortogonali di polarizzazione questo numero va raddoppiato.
in conclusione:
8  3V
N  3
3 c
dove si e’ sostituito ad L3 il volume della cavità, indicato come V
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Gas di fotoni
secondo l'ipotesi di Einstein si possono interpretare le onde e.m. anche come composte di particelle, i fotoni
i fotoni sono quindi i quanti di energia o semplicemente i “quanti” del campo elettromagnetico.
i fotoni sono particelle identiche, nello specifico bosoni identici, ma sono un caso speciale in quanto privi di
massa e quindi intrinsecamente relativistici. Per i fotoni si ha :
1) E  h
2) il numero d ' onda k e' legato alla frequenza dalla k  2
  /c
3) solo due stati di spin sono possibili (m  1 , ma non zero )
4) il numero di fotoni non e' una quantita' conservata
Quantisticamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche stazionarie in una cavità chiusa siano assimilabili
ad un insieme di fotoni ogni fotone possiede una quantita’ finita, un quanto, di energia ε = h ed è individuato
dalla terna (n1, n2, n3) in altri termini (n1, n2, n3) sono i numeri quantici di ciascun fotone e la cavità sarebbe
riempita da un “ gas di fotoni ”
N
8 3

  3
la densità di fotoni, cioè il numero di fotoni per unità di volume, risulta
V
3 c
il numero n di possibili valori distinti della loro energia h ν per unità di volume per frequenze comprese tra ν e
(ν+dν) può essere ottenuto dal differenziale di questa espressione:
dN
2
d 
 8 3 d
V
c
da notare che ognuna delle n energie può essere posseduta da m fotoni; m è detto numero di occupazione
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Il numero W delle possibili combinazioni di n elementi a gruppi di m risulta
 n  m  1
(n  m  1)!
(n  m  1)!
W 


 m  m !(n  m  1  m)! m !(n  1)!
questo è vero per ognuno degli intervalli di ampiezza hν in cui può essere suddiviso lo spettro delle energie, cioè
per ognuno dei livelli energetici indicando con Ni e mi i parametri relativi ad ognuno di questi livelli si ha che il
numero totale di possibili distribuzioni di fotoni è dato da
W 
i
(ni  mi  1)!
mi !(ni  1)!
se il gas di fotoni è in equilibrio la distribuzione più stabile è quella che massimizza il valore di W e quindi anche
del suo logaritmo calcolando il logaritmo di W e usando le approssimazioni di Stirling, il conto procede nello
stesso identico modo di quanto fatto nel caso delle particelle bosoniche
da notare tuttavia che i fotoni non possono essere assimilati alle particelle puntiformi della meccanica classica in
quanto non è possibile stabilire esattamente la loro posizione, l'unica informazione utilizzabile è che sulla loro
posizione è situata nel volume V della cavità.
Ma c'è un'altra differenza fondamentale rispetto ai gas di particelle classiche: anche se praticamente è impossibile
farlo, concettualmente le particelle classiche si possono contare
i fotoni viceversa sono continuamente emessi ed assorbiti dalle pareti: non si possono contare
nemmeno concettualmente.
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la massimizzazione della probabilita’ statistica per un gas di fotoni deve quindi essere portata avanti rilasciando il vincolo della
conservazione del numero totale di particelle mentre permane il vincolo sulla conservazione dell’energia
indicando con εi l'energia associata ad ogni frequenza, deve essere
m
i i
E
i
con questo solo vincolo, si può calcolare il massimo del logaritmo di W con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
riesce
mi 
ni
e
 i
1
le considerazioni termodinamiche sviluppate da Boltzmann dimostrano che
quindi, ponendo ε = h ν, si ha che il valore del numero di occupazione m per una cavità in equilibrio termico è
ni
mi 
e
h i
kT
1
risultato cui si poteva pervenire direttamente ponendo g = 0 nella formula di Bose-Einstein
ognuno degli m fotoni ha energia h ν, i livelli energetici per unità di volume sono
dunque l'energia per unità di volume, cioè la densità di energia risulta
la stessa densità di energia in funzione si λ risulta
u ( ) d  
8 h
 e
5
c
hc  KT
1
d
relazione identica a quella determinata da Planck