Numero di fotoni
Si consideri una lampada a vapori di sodio che irraggia
uniformemente in tutte le direzioni con una potenza di un Watt
radiazione elettromagnetica di lunghezza d’onda l = 0.589 mm
1)
quanti fotoni emette al secondo
2)
quanti fotoni emessi dalla lampada giungono su di una superficie di
1 cm2 posta ad 1 m di distanza dalla lampada ? E quanti a 100 m ?
3)
la sensibilita’ dell’occhio umano a tale lunghezza d’onda e’ di circa
100 fotoni al secondo, cioe’ bisogna che mediamente entrino nella
pupilla 100 fotoni al secondo affinche’ si possa avere percezione
visiva della luce. A che potenza corrisponde ?
4)
sapendo che il raggio massimo della pupilla e’ di circa 3 mm,
calcolare la massima distanza a cui e’ visibile la lampada. Si
commenti il risultato
l’energia del fotone e’ data dalla formula : E  h 
hc  6.63 1034  3 108  1.989 10 25 Jm
E
hc
l

1.989 1025
l
hc
l
Joule
se la lunghezza d’onda dei fotoni emessi e ’ l = 0.589 10-6 m, l’energia
dei singoli fotoni emessi dalla lampada, che si assume sia
monocromatica, sara’ :
1.989 10 25
19
E


3
.
377

10
J
6
l 0.589 10
hc
dato che 1 eV = 1.6 10-19 Joule  1 Joule = 0.625 1019 eV
E
hc
l
 3.377 1019 J  2.111 eV
1
Watt  Joule sec
l’energia totale emessa dalla
poiche’
sorgente in un secondo sara’ : Etot = 1Watt x sec = 1 Joule
segue che la quantita’ di fotoni emessi dalla sorgente ogni secondo
sara’:
Etot
1
18
n fotoni 


2.961

10
E fotone 3.377 1019
1 Watt  1/ 3.377 1019  2.961 1018 fotoni s 1
in conclusione :
la sorgente emette 2.96 1018 fotoni al secondo
l’angolo solido sotteso da una calotta sferica appartenente ad una
sfera di raggio R si misura come rapporto dell’area, dS, della
calotta sferica sul quadrato del raggio R, ossia :
d 
dS
R2
la superficie di cui si parla nel testo e’ posta ad una distanza R dalla
sorgente ed e’ probabilmente una superficie piana, non una calotta
sferica,
dovremmo quindi proiettare la superficie piana S sulla sfera di
raggio R centrata sulla sorgente e calcolare l’angolo solido come
rapporto della superficie S’ sottesa da S sulla superficie della sfera
e il quadrato del raggio R.
pero’ si tratta di una superficie molto piccola posta a grande
distanza dalla sorgente. Dunque si puo’ fare l’approssimazione
della superficie piana ad una calotta sferica , ossia dS = dS’
dS 10 4
d  2 
 104 steradianti
R
1
se la sorgente emette uniformemente in tutte le direzioni, ossia se
la sorgente e’ isotropa, la quantita’ di fotoni emessi sara’ distribuita
in modo uniforme su tutto l’angolo solido
la quantita’ di fotoni che raggiungera’ una determinata superficie
sferica sara’ proporzionale al rapporto tra l’angolo solido sotteso
dalla superficie della calotta sferica e l’angolo solido totale,
d  104

 7.958  106
tot
4
quindi sara’:
(in percentuale:
104
4
100 %  7.958  104 %)
sulla superficie di un cm2 posta ad un metro di distanza incideranno :
# fotoni in d  
7.958  10
6
dS
(# totale di fotoni emessi )
2
4 R
 2.961  1018  2.356 1013 fotoni s 1
un calcolo analogo fatto considerando la superficie di un cm2 posta a
cento metri di distanza fornisce :
dS 10 4
d  2  4  108 steradiant i
R
10
d  108

 7.958 10 10
tot
4
108
(in percentuale:
100 %  7.958 10 8%)
4
in conclusione :
7.958  10
10
 2.961  1018  2.356 109 fotoni s 1
quindi sulla superficie di un cm2 giungono 2.356 1013 fotoni al secondo,
se la superficie e’ posta ad 1 metro di distanza dalla sorgente
e 2.356 109 fotoni se la superficie e’ posta ad 100 metri di distanza
dalla sorgente.
3) Risposta alla terza domanda:
se 1Watt  2.961 1018 fotoni s 1
100 fotoni al secondo corrisponderanno a
100/2.961 1018 = 3.377 10-17 Watt
4) Risposta alla quarta domanda:
dS
(# fotoni in d) 
(# totale di fotoni emessi )
2
4R
da cui
R
# totale di fotoni emessi dS

# fotoni in d
4
imponendo la condizione che :
# fotoni in d  100
dS   r 2 pupilla    (3 10-3 ) 2  2.827 105 m2
si ottiene R = 2.581 105 m = 258.1 Km
Commento :
si tratta di distanze enormi !!!
e’ chiaro che questo sarebbe possibile solo nel vuoto. Nella
realta’ si ha l’assorbimento da parte dell’atmosfera terrestre
Per migliorare ci sono due modi possibili:
1)
aumentare la superficie dS, ossia aumentare il diametro del
rivelatore  telescopi
2)
aumentare la sensibilita’ del rivelatore al limite massimo di poter
rivelare un solo fotone alla volta  fotomoltiplicatori