F. P.
CANTELLI
(Roma - ItaKa)
SUI C O N F I N I DELLA
PROBABILITÀ
1. - In questa Nota richiamo l'attenzione sul seguente problema posto e
(l):
studiato da P. L. TCHEBYCHEF
Noti i valori degli m
integrali
b
b
j f(x)dx,
b
fxm-lf(x)dx
j xf(x)dx,....,
a
a
a
in cui f(x) si mantiene positiva tra x = a e x = b , determinare i limiti
convenienti, ossia il confine inferiore più grande e il confine superiore
piccolo, di
v
j f(x)dx,
v^b.
più
più
a
Per la risoluzione del problema, il TCHEBYCHEF ha indicato un metodo,
basato sulla teorica dei residui integrali, il quale non è stato appKcato ai casi
concreti anche per le difficoltà di indole pratica che impKca il metodo stesso
quando la teoria vogKa piegarsi aKe appKcazioni.
Soltanto nel caso m = 3 , il TCHEBYCHEF diede le formule risolutive della
questione con riferimento ad un problema di fisica (2).
Il problema posto dal TCHEBYCHEF è andato dimenticato. A questa dimenticanza ha forse pure contribuito la celebre Memoria deKo stesso Autore: Des
valeurs moyennes (3) neKa quale è dimostrato in modo elementare il teorema generaKzzato di J. BERNOULLI facendosi ricorso ad una nota formula di
M. BIENAYMé (4), la quale oggi è a tutti nota sotto il nome di: Teorema di
Bienaymé- Tchebychef.
(1) Oeuvres de P. L. Tchebychef, publiées par les soins de MM. A. MARKOFF et N. SONIN.
Tome I I (St. Petesbourg, 1907), pagine 183, 421, 443, 561, 681.
(2) Oeuvres, Tome I I . Acta mathematica t. IX, XII.
(3) Oeuvres, Tome I, 1907.
(4) Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité
dans
al méthode des moindres carrés. Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2 a Série,
Tome XII, 1867.
48
COMUNICAZIONI
Gli studiosi, fermandosi su questa formula, hanno proceduto a deKe generaKzzazioni utiK ma che non presentano novità di ragionamenti che potessero dirsi
ignoti aKo stesso BIENAYMé, tralasciando di indagare sul problema come fu
posto e studiato dal TCHEBYCHEF.
Quanto sopra ho detto è stato veramente da me rilevato neKa Nota : Intorno
ad un teorema fondamentale della teoria del rischio (*) e neh"altra: Intorno
ad un teorema di calcolo delle probabilità
(2).
In queste Note, proponendomi di far conoscere alcuni lavori di Calcolo deKe
probabiKtà dovuti aKa Scuola russa, diedi, fra altro, delle generalizzazioni del
teorema di BIENAYMé-TCHEBYCHEF e feci deKe considerazioni suKa risoluzione
del problema posto dal TCHEBYCHEF ed enunciato a principio.
Queste due Note, evidentemente, non sono state consultate da alcuni Autori
i quaK, dopo molti anni, sono ricaduti neKe soluzioni da me date sin dal 1910,
senza che d'altra parte avessero esaminata la questione dal punto di vista deKa
ricerca dei limiti più
convenienti.
Pur volendo richiamare l'attenzione su quest'ultima ricerca, sarà utile che
io riassuma, in quanto segue, i risultati ottenuti seguendo un ordine cronologico.
Avverto che tutte le formule che darò in seguito valgono per i casi più generaK che si riferiscono a variabili casuali qualsiasi, continue o discontinue.
2. - P. L. TCHEBYCHEF, neKa sua Nota ricordata Des valeurs
ricava il seguente teorema :
Se f(x) è una funzione positiva;
se
moijennes,
00
(1)
[f(x)dx=l;
—00
se a è un numero
reale qualsiasi,
1 un numero positivo,
ed è
00
(2)
\f{x){x-aydx^^,
—00
allora si ha
a+kife
(3)
l-^jf(x)dx^l.
Il ragionamento che conduce aKa (3) è sempKcissimo e notissimo: DaKa (2)
si ricava successivamente
a—). \/{i2
ff(x)(x—a)2dx+
00
ff(x)(x — a)2dx^ju2
(*) Bollettino dell'Associazione degli Attuari Italiani, Milano, 1910, n. 24.
(2) Giornale di matematiche di Battaglini, Vol. XLIX (2° della 3 a serie), Napoli, 1911.
F. P.
Sui confini
CANTELLI:
(
a—kfjw
della probabilità
00
49
\
ff(x)dx + ff(x)dx ] ^ ju2
/
a+AV^i \
PjuJ
l-(f(x)dx\^fr
.-XYjTt
e quindi la (3); il confine superiore 1 è evidente per sé stesso.
Rilevai a suo tempo (*) che la (3) è dovuta a BIENAYMé (2) e che lo stesso
3
TCHEBYCHEF avverte ( ) : « La démonstration simple et rigourense de la loi
de BernoulK que l'on trouve dans ma Note sous le titre « Des valeurs moyennes »
n'est qu'un des résultats que l'on tire aisément de la méthode de M. BIENAYMé ».
Al teorema (3) è quindi appropriato il nome di BIENAYMé-TCHEBYCHEF.
3. - La questione era Kmitata aKa conoscenza deKa (3) quando il prof. PAOLO
in una sua Nota (4) del 1909, dava un'estensione del teorema di
MEDOLAGHI,
BIENAYMé-TCHEBYCHEF.
Il ragionamento che ha condotto il MEDOLAGHI aKa estensione indicata, per
quanto formalmente diverso, equivale precisamente a queKo che serve per stabiKre la (3). Supposto infatti noto, col MEDOLAGHI,
00
jf(x)(x-a)2kdx=fÄ2k
"—co
dove k rappresenta un intero positivo,
a—xY/^2
si ha successivamente
00
ff(x)(x-a)2kdx+ff(x)(a-x)2kdx^/j.2k
--00
«+AV^
(
(
a—XÌp2
00
\
ff(x)dx + ff(x)dx J ^ ju2k
-ao
a+AVS '
a+AVS \
l-jf(x)dx\^tx2k
4
( ) Bollettino delPAssociazione deglia-XfjTs
Attuari IItaliani, Milano, 1910, n. 24.
(2) Considérations
à Vappui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité
dans
la méthode des moindres
carrés. Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2 a Série,
Tome XII, 1867.
(3) Oeuvres, Tome I L Acta mathematica t. IX, X I I , pag. 183.
(4) La teoria del rischio e le sue applicazioni.
Rapporti, memorie e processi verbali del
Sesto Congresso Internazionale degli Attuari. Vienna, 7-13 giugno 1909, voi I.
Atti del Congresso.
4
50
COMUNICAZIONI
e quindi
a+ky^
(4)
l-j^^f/(z)dx^l.
a -Al^
È questa la estensione fatta dal MEDOLAGHI: per k=l si ricade neKa (3).
Questa prima estensione del vecchio teorema di BIENAYMé-TCHEBYCHEF ha
importanza pratica non soltanto perchè numericamente risponde megKo deKa (3),
ma anche perchè, in certe questioni di probabiKtà, che qui non è il caso di
ricordare, la considerazione del confine inferiore deKa probabiKtà stabiKto da
BIENAYMé-TCHEBYCHEF porta a serie divergenti mentre il confine inferiore determinato dal MEDOLAGHI conduce a serie convergenti, rispondenti aKo scopo (*).
4. - NeKa mia Nota (2) del 1910 ho fatto osservare che il teorema enunciato
dal MEDOLAGHI era suscettibile di una ulteriore estensione. Indicando infatti n
un positivo qualsiasi, e supposto noto
00
/ f(x) \x — a
\ndx=fjin,
—00
l'identico ragionamento che serve a stabiKre la (3) e la (4) conduce a scrivere
(5)
l--^^ff(x)dx^l
^o
a-XÌJ2
che per n=2Jc coincide con la (4).
La (5) può ovviamente porsi sotto forme diverse.
Quando si ponga, ad es.,
n
lfjü2 = tfjün,
t>0,
essa può scriversi
(6)
l-±^jf(x)dx^l.
La (6) si trova pubbKcata in un altro mio lavoro (3) del 1916.
(*) CANTELLI. Sulla probabilità
come limite della frequenza. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V, voi. XXVI, 1° semestre 1917, pp. 39-45.
CANTELLI. SU due applicazioni di un teorema di Boole alla statistica matematica. Stessi
Rendiconti, pp. 295-302.
CANTELLI. Sulla oscillazione delle frequenze intorno alla probabilità. « Metron » Rivista
internazionale di Statistica, Voi. I l i , n. 2. Ferrara, 1923.
(2) Bollettino dell'Associazione degli Attuari Italiani, Milano, 1910, n. 24.
(3) Sulla legge dei grandi numeri. Memorie della Reale Accademia dei Lincei, Voi. XI,
Serie V, fase. 7, Roma, 1916.
F. P. CANTELLI: Sui confini della probabilità
51
Ancora, la (5), quando si ponga,
r
XfjÜ2==tfjÜr
si trasforma neh" altra :
r
(7)
t-J^^ffWdc^t.
È ovvio pertanto che le (5), (6) e (7) sono equivalenti.
Il ragionamento che ha condotto aKe (3), (4) e (5) è, come si è visto, identico. Non può quindi considerarsi come concettualmente nuova ogni estensione
del genere. Così ad es. la seguente altra che si trova pure neKa mia nota (4)
del 1910.
Sia G(x—a) una funzione positiva di x — a; sia e un positivo assegnato e G(e)
non sia nuKa; di più risulti G(x — a) non decrescente a destra di x=a + s.
AppKcando il preciso ragionamento che ha condotto aKe (3), (4) e (5), si
ricava successivamente :
OO
00
f f(x)G(x-a)dx^
f
a-f-e
f(x)G(x-a)dx
—00
00
00
G(e)ff(x)dx « (f(x) G(x - a)dx
—00
a-j-E
00
ff(x)G(x— a)dx
jf(x)d:x^=^-
G(s)
a+£
e quindi
°°
jf(x)G(x — a)dx
a+E
(8)
ff(x)dx > 1 - ~°°
g(g)
.
—00
Si noti che nel caso che la G(x—a) sia funzione pari di x—a, si ricava pure
immediatamente
+00
jf{x)G(x-a)dx
?+E
(9)
œ
ff(x)dx^l-~
G{e)
.
a—e
È facile vedere come daKa (9) si deducano, in particolare, tutte le formule
precedenti.
(4) Bollettino dell'Associazione degli Attuari Italiani, Milano, 1910, n. 24, pp. 9-10.
52
COMUNICAZIONI
5. - Da quanto sopra ho detto si rileva che non h a n n o costituito novità le formule date da A L F . G U L D B E R G (*) e da CONSTANT L U R Q U I N ( 2 ) che si identificano
coKa (5). E nemmeno h a costituito novità u n a formula pubbKcata recentemente
da E U G E N SLUTSKY ( 3 ) sotto la forma (9), che io ho indicata da molto tempo.
Quanto ho detto ora è ben lungi dal voler significare u n reclamo di priorità.
Le formule tutte sopra indicate si deducono da u n ragionamento dovuto a
B I E N A Y M é , come ho sopra spiegato, e pertanto non impKcano alcuna novità concettuale. P e r alcuni teoremi, poi, da me studiati è stato sufficiente l'uso deKa
formula del M E D O L A G H I O di qualche altra notoria perchè ben messa in vista ( 4 ).
Quel che m'interessa è di far rilevare che diversi Autori, fermandosi aKe
considerazioni che conducono al teorema di B I E N A Y M é - T C H E B Y C H E F (3), sono
stati sviati, a mio parere, daK' indagare suKa risoluzione pratica
del problema
posto dal T C H E B Y C H E F ed enunciato in questa Nota. I n conclusione i Kmiti deKe
probabiKtà come sopra sono stati indicati non sono i più convenienti
in dipendenza degK elementi che si suppongono noti.
Mi propongo di iKustrare la questione nel modo più sempKce, neKa speranza
che le considerazioni del grande matematico russo possano essere megKo studiate
ed approfondite per la loro pratica appKcazione.
I n quanto segue mi riferirò ancora a lavori miei del 1910 e del 1 9 1 1 .
6. - H o detto che P . L. T C H E B Y C H E F diede la risoluzione pratica del problema, posto a principio di questa Nota, nel caso di m=3,
con riferimento ad
u n a questione di fisica.
Per le appKcazioni al Calcolo deKe probabiKtà potei pervenire ( 5 ) al seguente
teorema, più generale di queKo cui strettamente corrispondono le formule risolutive date daK'Autore russo.
Se X è una variabile
casuale, suscettibile
di assumere valori
compresi
tra m ed n, il cui valore medio è a e la cui deviazione
media è fjl2, cioè
n
(10)
n
xf(x)dx=a,
j (x —
m
allora
m
per la probabilità
v
P=
.
a)2f(x)dx=ju2,
I f(x)dx,
m
v^n,
(A) Cfr. Comptes Rendus, Anno 1922, t. 175, pag. 418 e pag. 1382; «Metron» Rivista
Internazionale di Statistica, Voi. Ili, n. 1., Ferrara, 1923.
(2) Cfr. Comptes Rendus, Anno 1922, t. 175, pag. 681; Anno 1924, t. 178, pag. 306.
(3) lieber stochastische Asymptoten und Grenzwerte. « Metron », Rivista Internazionale
di Statistica, Voi. V, n. 3, Padova, 1925, pag. 41.
(4) Cfr. ad es. : Sulla legge dei grandi numeri. Memorie della Reale Accademia dei
Lincei, Voi. XI, Serie V, fase. 7, Roma, 1916.
(5) Giornale di matematiche di Battaglini, Vol. XLIX (2° della 3a serie), Napoli, 1911.
F. P.
che si verifichino
CANTELLI:
le
Sui confini
53
ineguaglianze,
(11)
m<X<v,
si hanno i seguenti
limiti
(12)
V
della probabilità
che sono i più
O^P^—pi
convenienti:
-,
P2 -tip — a)2
'
se
(i3)
•<«-;£-.;
(14)
(
X
"ra)\^p^i
?*2 + (V — «) 2
'
se
(15)
(16)
* '
v>a+
* m•
a—
(n—a)(v — a) + u2 ^ p ^(n — a)(a-\-n — m — v) — fi2
(n — m)(v — m) """" """
(n — m)(n — v)
se
(17)
v
'
a- n—a
-£*- <v<a+
-~^~.
a—m
DeKe relazioni precedenti diedi pure una dimostrazione elementare.
7. - Per n tendente a + o o , per m tendente a — oo, e per v=a + kfjì2
con k>0, si ricava agevolmente dal precedente teorema:
Se X è una variabile casuale il cui valore medio è a e la cui deviazione media è f]ì2, si hanno, per la probabilità
P che si verifichino le
ineguaglianze
(18)
-oo <X<a + kfiI2,
le
limitazioni:
(19)
1 - ^ ^ P ^ l ,
e per la probabilità
P 4 che sia :
(20)
-oo<X<a~XÌJ2
le limitazioni
(21)
O ^ P , * ^ .
Il confine inferiore deKa probabiKtà P, cioè 1 — .2
-I
A
è evidentemente più
-f- 1
elevato del confine 1—p che si può ricavare dal ragionamento di
BIENAYMé-
TCHEBYCHEF.
NeKa teoria del rischio, che riguarda la matematica attuariale, dove interessa
specialmente di conoscere un confine inferiore deKa probabilità che la perdita di
un Istituto assicuratore, dovuta agK scarti accidentaK deKa mortaKtà, non superi
il multiplo secondo X deKa deviazione media deKe perdite, ]fju2, il confine infec e non
m
, „, che
riore 1 —-,9j2XT>
^ n o n mi
* risulta
™ulta ssia
* a stato ancora da altri indicato, è da preA2 + 1
1
ferirsi aK'' a l t r o 1— -r-9.
54
COMUNICAZIONI
8. - Dal teorema del n. 6, per mezzo di sempKci trasformazioni, si ricavano
altri risultati che possono essere utilmente confrontati con i corrispondenti ottenuti
appKcando il criterio di BIENAYMé-TCHEBYCHEF.
Soltanto per sempKcità prendo come punto di partenza un caso particolare
del teorema del n. 6. Questo, per m=0, n-^oo, si riduce al seguente:
Se X è una variabile casuale positiva, il cui valore medio è a e la cui
deviazione media è Ìju2, allora per la probabilità P che sia
(22)
0<X<v
si hanno i seguenti
più
convenienti:
(23)
l '
Umiti che in relazione
agli elementi
assegnati
sono i
O^P^—-£—-2
i"2 + 0> — «)2
OC/
(24)
V
v<a;
+ <*» — «) ä
ft!
'
se
(26)
v>a+^;
(27)
V ^ ^
se
(28)
1
a<v<a+^.
9. - AppKchiamo il teorema precedente aKa variabile casuale positiva
\X-ß\n
(29)
in cui: ß è un numero reale qualunque; n un positivo qualsiasi.
Essendo M il simbolo di valore medio, si può scrivere rispettivamente per
il valore medio e per il quadrato deKa deviazione media deKa variabüe (29),
(30)
Ml\X-ß\n-jun]2=ju2n-tf,-
M\X-ß\-=Mn,
Posto ancora
(31)
V=^JLtn,
si deduce facilmente dal teorema del paragrafo precedente:
Se di una variabile casuale X si conoscono i valori
(32)
M\ X-ß
|"=/^,
M\
X-ß\2n=fÄ2n,
essendo n un positivo qualsiasi, e ß un numero reale qualunque,
per la probabilità P che si verifichi F ineguaglianza
(33)
\X-ß\<liJn
allora
F. P.
si hanno i seguenti
i più convenienti:
: Sui confini
della probabilità
che, in relazione
^2n
agli elementi
CANTELLI
limiti
(34)
O^P^
55
assegnati,
sono
^
Pf+X2n_2Xn
f*n
se
(35)
(36)
A<1;
1
^
^:P^:l
f*>n
se
n
(37)
x>]/*?;
(38)
1 - ^ P ^ l
se
n
(39)
l < i < f e
È noto che il rapporto fi2nllAi n o n è mai inferiore aK' unità.
È utile paragonare la (7) del n. 4, dedotta dal ragionamento di
TCHEBYCHEF, e le (36), (38) dedotte in questo paragrafo.
BIENAYMé-
10. - NeKa (7) n, t ed r rappresentano positivi qualsiasi, a indica un numero
reale qualunque. Cambiando n in 2n, r in n, t in X, a in ß, si perviene al
seguente risultato:
Per la probabiKtà P che sia
(40)
\X-ß\<XfJTn
valgono generalmente le Kmitazioni
(41)
i _ JÎSîL^p^l.
Per le (36), (38) risultano invece, come più convenienti, le Kmitazioni:
fan
(42)
1
.
&
^ P ^ l
f^!ÌJrX2n_2Xn
fhi
quando sia
(43)
le Kmitazioni
(44)
n
*>!/*?;
1-i.^P^l
56
COMUNICAZIONI
quando sia
n
(45)
U2n
K k
" Vói
Per un confronto che farò in seguito conviene mettere in riKevo i risultati
ora enunciati nel caso particolare n=2, cioè nel caso in cui si suppongano noti
i momenti fi2 e jué. Si deduce da (41) che per la probabiKtà P che sia
(46)
\X-ß\<Xi]72
valgono generalmente le Kmitazioni
(47)
I _ ^ P « I .
DaKe (42), (44) risultano invece come più convenienti le Kmitazioni
(48)
1
^
^P^l
t*2
quando
quando sia
sia
(49)
(49)
le Kmitazioni
(50)
quando
quaiiuu sia
bia.
(51)
r—
A > pt*2
2;
^r P ^ l
1-i^
j—
K A < pt*>22*t
f V>2
11. - Per la ricerca di confini inferiori deKa probabiKtà studiata, che
siano più elevati di quelK cui conduce ü sempKce ragionamento di BIENAYMél
TCHEBYCHEF, ho indicato ( ) a suo tempo un mio procedimento che conduce a
risultati soddisfacenti.
Esso sostanzialmente è basato sopra una generaKzzazione deKe (8), (9).
In relazione ad un insieme di valori di un parametro r, rappresenti
(52)
G(X-ß,
r)
una famigKa di variabiK casuaK positive, taK che le funzioni
(53)
G(x-ß, r)
soddisfino aKe condizioni di non essere nulle nel punto x—ß=e,s>0,
essere decrescenti a destra del punto x—ß=e.
(*) Bollettino delP Associazione degli Attuari Italiani, Milano, 1910, n. 24.
e di non
F. P.
CANTELLI:
Sui confini
della probabilità
57
Per ognuno dei valori di r considerati può scriversi dunque, in base aKa (8),
00
ff(x)G(x-ß,r)dx
ß+e
(54)
jf{x)d.x^l
—
—oo
G(B,r)
Se ri è un valore del parametro r per cui la frazione che figura nel secondo
membro di (54) assume il valore più piccolo, resterà determinata una variabile
casuale
(55)
G(X-ß, n ) ,
appartenente aKa famigKa (52), per cui il confine inferiore del primo membro
di (54) risulta il più elevato.
Se per il valore ri di r, la (53) rappresenta inoltre una funzione pari di x—ß,
aKora, per quanto si è detto a proposito deKa (9), il secondo membro di (54),
per r=ri} sarà pure il confine inferiore più conveniente, tra quelli studiati, di
ß+e
jf(x)dx.
(56)
ß~s
Mi Kmito ad accennare ad una elementare appKcazione.
12. - Considero la famigKa di variabiK casuaK positive
(57)
G(X-ß,
r)=[(X-ßY+rf.
In conseguenza sarà da considerare la funzione
(58)
e, posto
(59)
G(x-ß,r)
= [(x-ß)2
+ rf
e=lffl2,
si avrà pure da considerare l'espressione
(60)
G(e,r) = [X2jLi2 + r]2.
Si può rilevare:
a) che la (58) è una funzione pari di x—ß;
b) che affinchè la (60) non sia nuKa bisogna che sia
r + -k2ju2
(61)
e) che la funzione (58) è crescente a destra di
(62)
quando sia
(63)
x-ß=e=kij2
r>-l2fi2
58
COMUNICAZIONI
d) che la frazione che figura nel secondo membro di (54), che nel caso
esaminato è
M[(X- ßf + rf
f*4 + 2r^2 + r2
1
2
'
l^fH + r? tt f*2 + rf '
diventa minima e minore deh'unità nel punto
(65)
v
ri
=
*£!*£*.
^fi2
'
— fi2
Affinchè dunque possa scriversi
e considerare il secondo membro di questa ineguagKanza come il più conveniente,
tra quelli che la presente ricerca offre, bisognerà, in base aKe (61), (63), che sia
r,>-X2fi2.
(67)
Sostituendo la (65) in (66), e studiando la condizione (67), si perviene facümente al seguente risultato:
Essendo ß un numero reale qualsiasi, e supposti noti i valori
(68)
M(X-ß)2=p2,
M(X-ßY=fi„
aKora per la probabilità P che sia
(69)
\X-ß\<XiJ2
vale la Kmitazione
(70)
P ^ l -
^
DZ+V—U*
V2
se
(71)
X>1.
Questo risultato va paragonato coKe (48), (49), (50), (51).
Si osservi che quando neKa (64) si facesse r=0, sarebbero pur rispettate
le condizioni (61) e (63), poiché X è supposto positivo; è appKcabile a questo
caso particolare la formula del n. 11, cioè
ß+e
jf(x)G(x-ß,0)dx
ff(x)dx^l-^^
ß-e
e risulta, per la probabiKtà P che si verifichi la (69), la Kmitazione
F. P.
CANTELLI:
Sui confini
della probabilità
59
ma questa non è la più conveniente tra queKe che possono trarsi daKa famigKa
di variabiK casuaK considerate in questo paragrafo: la più conveniente è la (70).
Tralascio daK'indicare altre utiK appKcazioni e una evidente generaKzzazione
del procedimento esposto.
13. - Le sommarie considerazioni che precedono hanno lo scopo, come ho detto,
di richiamare l'attenzione suKa pratica determinazione dei confini più convenienti
deKe probabiKtà subordinatamente a speciaK assegnate condizioni.