Matematica in rete
Presentazione
Vengono analizzate le attività in rete di probleMATEMATICAmente, a partire da un problema
proposto nell’anno scolastico 2002/2003.
probleMATEMATICAmente è indirizzato a studenti del triennio di Scuola Secondaria Superiore.
Un problema in rete
Proponiamo il problema che ha avuto il maggior numero di risposte, proposto a novembre 2002.
Trovare una dimostrazione del seguente fatto. Nella successione
1, 3, 5, 11, 21, 43, ...
in cui i primi due termini sono 1 e 3 e ciascuno dei successivi è la somma del precedente e
del doppio dell'antiprecedente, la somma di due termini consecutivi qualunque è una
potenza di 2.
Le Risposte
Il problema di novembre ha avuto 10 risposte, tutte sostanzialmente corrette. In tutte veniva
utilizzato, con maggiore o minore coscienza, il principio d’induzione. Riportiamo, alla fine, alcune
delle risposte; la numerazione è del tutto casuale. Sono state messe in rete le risposte migliori dal
punto di vista della forma. Riteniamo che questa scelta abbia un alto valore didattico. Tutti noi
siamo abituati a correggere compiti dove la forma è sciatta, se non del tutto trascurata. Per i nostri
studenti quello che conta è il risultato. Nelle risposte a probleMATEMATICAmente abbiamo
riscontrato una certa cura della forma espressiva ed abbiamo voluto enfatizzare tale aspetto anche
dettando, con il rischio di essere pedanti, alcune regole sui nomi dei file, sui disegni inviati,
ecc…(Leggere come esempio i documenti delle soluzioni pubblicate in rete nel corso dell’anno).
Riflessioni dei coordinatori
In termini numerici, la partecipazione a probleMATEMATICAmente, si conta in unità. Non ci
aspettavamo un così alto numero di risposte a questo problema, e ci è sorto il dubbio che il quesito
fosse troppo semplice. Ci ha confortato la risposta della collega Daniela Valenti, da noi interpellata
in proposito. Riportiamo il messaggio poiché bene evidenzia quali possono essere le ricadute
didattiche di un’attività di problem-solving.
«Caro collega,
non direi proprio che il problema era troppo facile. Come sai meglio di me, la difficoltà per gli
studenti dipende anche da quello che hanno studiato e dagli esercizi che hanno eseguito (in
classe, perché a casa pochissimi lavorano!). Questo problema, dunque, per chi non conosce
definizioni e dimostrazioni induttive è certamente di alto livello; ma anche per chi ha queste
conoscenze e ha svolto qualche esercizio sull'argomento, offre interessanti opportunità. In
particolare, richiede di saper ben gestire sia la definizione che la dimostrazione induttiva,
senza richiedere anche la costruzione di figure geometriche, certamente stimolanti, ma anche
fonte di difficoltà spesso insormontabili per gli studenti che ormai non studiano più geometria
ne' alla media, ne' al biennio (e sono tanti!!).
Infine, la partecipazione alla vostra gara ha fornito una buona motivazione a scrivere il tutto in
una forma ben organizzata, invece di accontentarsi di capire “come va a finire”.
Ancora grazie per questo interessante scambio di esperienze
Daniela Valenti»
Le considerazioni precedenti portano ad un'altra riflessione: quella sulla scelta dei problemi. È
senz’altro la parte più difficile del compito, quella che impegna di più, in particolare su due aspetti:
• L’alternanza dei temi (geometria del piano e dello spazio, trigonometria, teoria dei numeri,
algebra, geometria analitica, algebra,…);
• Il dosaggio della difficoltà. Dobbiamo mantenere una giusta equidistanza tra l’esercizio di
routine e il test da Olimpiade della Matematica. Nello stesso tempo dobbiamo tenere conto del
bagaglio tecnico di uno studente medio di triennio (Ha dimestichezza con la teoria delle
equazioni algebriche? Con la probabilità elementare? ecc…).
Cos’è probleMATEMATICAmente
È un’attività dell’IRRE-ER che si svolge in rete, destinata agli studenti del triennio delle superiori.
Ogni mese viene proposto un problema di matematica, si raccolgono le eventuali soluzioni e si
pubblicano le migliori, con opportuni commenti. Nessun problema proposto è definitivamente
archiviato ma continua ad essere in gioco per approfondimenti, variazioni, divagazioni sul tema.
L’esperienza ha concluso il suo 4° anno. Era stata proposta all’IRRE da Paolo Dall'Aglio e Daniele
Gouthier, ricercatori della SISSA (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) di Trieste, e
l’IRRE aveva accettato con entusiasmo di ospitare e supportare l’iniziativa. I due colleghi hanno
dovuto lasciare nell’estate 2002 per sopravvenuti ulteriori impegni e l’IRRE ha chiesto la
collaborazione di due docenti, Enrico Pontorno del liceo classico di Oderzo (TV) e Luigi Tomasi
del liceo scientifico di Adria (RO), che hanno accettato di coordinare l’attività.
Si è cercato, di mese in mese, di variare i temi proposti, spaziando dalla geometria all’algebra, dalla
trigonometria alla geometria analitica, evitando il calcolo infinitesimale che avrebbe limitato la
partecipazione agli studenti dell’ultimo anno. Nello stesso tempo si è cercato di mantenersi entro le
guide degli argomenti più scolastici, in modo di favorire la partecipazione di un ampio spettro di
studenti. In linea con la filosofia didattica perseguita dall’IRRE-ER ormai da un decennio, si
incoraggia, negli studenti e nei colleghi che li seguono, l’uso dei software per la matematica
(sistemi di calcolo simbolico quali DERIVE, MAPLE, MATHEMATICA, MuPAD, e software di
geometria dinamica come CABRI, SKETCHPAD, CINDERELLA).
Il coinvolgimento dei Docenti
Si è detto che l’attività è rivolta a tutti gli studenti del triennio delle medie superiori, che
partecipano sia singolarmente che a gruppi. Non è richiesta esplicitamente una partecipazione dei
docenti; tuttavia si è visto, dalle mail arrivate, che i colleghi accettano di buon grado di fungere da
coordinatori locali, sollecitati dagli studenti che intendono partecipare. Si approfitta così
dell’occasione per inserire nel proprio percorso didattico il problema, sia come occasione di
approfondimento di temi già affrontati sia, semplicemente, come momento ludico. Un esempio del
primo caso è nel messaggio seguente inviatoci dalla collega Valenti ([email protected])
«Cari amici,
il problema di novembre è arrivato al momento giusto: nella classe 5°D del Liceo scientifico
Morgagni di Roma, dove insegno matematica e informatica (PNI), avevo iniziato un lavoro su
dimostrazioni e definizioni induttive (o ricorsive). Questa mattina ho assegnato in classe il
problema di novembre, al quale 17 alunni hanno lavorato, suddivisi in gruppi, per un'ora.
Mando come file attached la soluzione di Filippo Cavallari e Alessandro Coglitore, che hanno
concluso il lavoro per primi. Per il resto della classe ci vuole un po' di tempo in più, soprattutto
per formalizzare adeguatamente la dimostrazione, che hanno però abbozzato quasi tutti.
Grazie per l’idea. Cordialmente
Daniela Valenti, Liceo scientifico 'G.B. Morgagni', V. Fonteiana 125 - 00152 ROMA»
Alcuni, inoltre, hanno, per così dire, istituzionalizzato l’attività come laboratorio mensile di
matematica. Il messaggio che segue ne è un esempio:
«Siamo un gruppo di alunni della III A Programmatori dell’ITCG “Ruffini” di Imperia.
Abbiamo deciso, dopo il lavoro fatto in classe relativo al problema di ottobre, di partecipare a
Problematematicamente, dedicando ogni mese due ore pomeridiane in un laboratorio di
matematica.»
I giovani di Imperia, che sono seguiti dalla collega Silvia Porretti ([email protected]), in effetti
non hanno mancato nessuno degli appuntamenti mensili, da ottobre 2002 a maggio 2003.
Una collega ci ha scritto sottoponendoci il problema della misura dell’intervento del docente nella
risoluzione del problema. Abbiamo lasciato al buon senso del docente decidere quanto aiuto
dovesse essere fornito ai partecipanti, poiché dipendeva anche dal contesto didattico nel quale si
inseriva l’attività. In ogni caso è evidente che un aiuto eccessivo vanificherebbe l’obiettivo di
probleMATEMATICAmente, che è quello, ambizioso, di far sì che i nostri studenti imparino un
po’ più di matematica in un contesto meno ufficiale di quello cui sono tenuti.
Modalità di partecipazione
Da ottobre a maggio, di solito entro la prima settimana del mese, si propone un problema di
matematica mediante una messaggio alla lista di discussione Cabrinews. Occorre quindi che lo
studente o la scuola siano iscritti alla lista, cosa per altro di semplice attuazione (vedi istruzioni
all’indirizzo http://kidslink.scuole.bo.it/fardiconto/cabrinews/). I solutori hanno due settimane di
tempo per inviare la soluzione, di solito scritta in WORD e con eventuali allegati, sempre via e-mail
). Trascorsa ancora una settimana, durante la
all’indirizzo di posta ([email protected]
quale i coordinatori correggono i lavori e predispongono la risposta con le soluzioni, viene
pubblicata sul sito http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/probmat/index. un documento contenente i
commenti al problema e i link alle risposte corrette inviate dagli studenti (che di solito trasformiamo
in formato PDF).
Conclusioni
Da Catania a Merano, abbiamo avuto una partecipazione senza limiti geografici e proveniente da
ogni ordine di scuola superiore. Abbiamo avuto la collaborazione fattiva e l’incoraggiamento dei
colleghi i cui studenti hanno partecipato. Ma in termini numerici la partecipazione è scarsa, troppi
colleghi non vengono raggiunti (…non si lasciano raggiungere?) dal messaggio di questa attività
nonostante lo sforzo fatto dall’IRRE E-R nel pubblicizzarla. Forse viene considerata un’attività per
pochi? E se, ogni tanto, pensassimo a quei pochi?
Appendice: I problemi dell’anno 2002/2003
Spunti di riflessione
Alcune domande
• Analizzate l’adeguatezza del problema in riferimento ai vostri studenti. (a tutti? solo ad una
parte? a quale classe? In quale contesto?)
• La partecipazione ad attività che si svolgono in rete richiede agli studenti un’attenta cura della
forma. In particolare la descrizione del procedimento svolto per ottenere la soluzione ad un
problema aperto in modo che risulti comprensibile e non ambigua per chi leggerà non è
un’attività abituale per gli studenti. Ritenete che questo aspetto costituisca un valore aggiunto
ai fini dell’apprendimento e quali sono le attività che un insegnante può proporre a questo
scopo?
• L’utilizzo di software per la matematica richiede ai docenti un lavoro di revisione nella
didattica della matematica, ma consente di motivare maggiormente gli studenti e di fare
matematica anziché acquisire solo competenze. In che misura vi trovate d’accordo con questa
affermazione e quali sono i supporti necessari agli insegnanti?
Proposte di attività
• Utilizzare Internet nel processo di insegnamento/apprendimento della matematica può essere
una perdita di tempo o un’opportunità sia per gli alunni che hanno problemi sia per quelli che
hanno maggiore interesse per la disciplina, favorendo anche l’individualizzazione. Provate ad
individuare elementi e indicazioni per garantire l’efficacia didattica nell’utilizzo di Internet
nelle vostre classi
• La partecipazione ad attività in rete comporta cambiamenti non solo nel modo di apprendere
degli studenti, ma anche nel ruolo degli insegnanti. Provate ad individuare alcuni
comportamenti dell’insegnante che possano favorire l’ apprendimento degli studenti in attività
in rete, evitando rischi di dispersione.
• Dopo avere visitato il sito provate ad ipotizzare la partecipazione delle vostre classi
descrivendo le modalità ritenute più adeguate e gli obiettivi che intendereste perseguire.
Bibliografia e sitologia
Sitologia
Per chi volesse reperire problemi di matematica, più o meno ricreativa, non c’è che l’imbarazzo
della scelta. Basta un motore di ricerca (ad es. www.google.it) e alcune parole chiave.
Una sitologia ragionata si trova nel sito della regione Emilia-Romagna:
http://www.scuolaer.it/page.asp?IDCategoria=116&IDSezione=0&ID=11008
La più vasta collezione di problemi (in inglese) si trova all’indirizzo
http://problems.math.umr.edu/index.htm. Si tratta di un complesso data-base in cui i problemi sono
classificati per provenienza, argomento, autore, ecc…
Altro ricchissimo sito è “KöMaL”, rivista telematica di matematica, fisica e informatica, supportata
dal Ministero dell’Educazione ungherese (ma anche in lingua inglese). Vi si trovano problemi di
matematica, fisica e informatica, a vari livelli di difficoltà:
http://komal.elte.hu/verseny/verseny.e.shtml
Un buon sito è il francese http://www.prepas.org/ups/maths/#exercices, dove si trovano link a vari
altri siti di interesse matematico.
Qualcosa si muove anche in Italia. Vedere ad esempio il sito
http://www2.polito.it/iniziati/polymath/index800.htm.
Bibliografia
Quasi tutta la letteratura esistente è in inglese. Si consigliano i volumi (parole chiave: problemsolving o recreational mathematics) della Dover Publications Inc. acquistabili tramite Internet
all’indirizzo: http://store.doverpublications.com/by-subject-science-and-mathematics.html.
Anche la rubrica probleMATEMATICAmente riporta una bibliografia consigliata.
Contatti
Enrico Pontorno - ISISS Antonio Scarpa di Oderzo (TV) - [email protected]
Risposta n. 1
Soluzione pervenuta dal liceo scientifico “G.Galilei” di Catania, classe 5ª:
La successione 1, 3, 5, 11, 21, 43, ... è definita per ricorsione nel seguente modo:
α0 = 1 ; α1 = 3

(1)
αν = αν−1 + 2αν− 2
Nella (1) sommiamo membro a membro αν−1 , ottenendo così la somma di due termini consecutivi
della successione:
αν−1 + αν = 2(αν− 2 + αν−1 ) .
(2)
Dunque la somma di due termini consecutivi è uguale al doppio della somma dei loro rispettivi
precedenti. Anche αν− 2 + αν−1 è la somma di due termini consecutivi, per cui possiamo applicare
la (2) ricorsivamente ottenendo (se κ ∈ N e 1 ≤ κ ≤ ν) :
αν−1 + αν = 2(αν− 2 + αν−1 ) = 2 ⋅ 2(αν−3 + αν− 2 ) = ... = 2 κ−1 (αν− κ + αν− κ+1 ) = ... = 2 ν−1 (α0 + α1 ) = 2 ν−1 ⋅ 4 = 2 ν+1
Resta così dimostrato che la somma di due termini consecutivi αν−1 e αν è una potenza di 2 ed è
uguale a 2 ν+1 .
Risposta n. 2
Soluzione pervenuta dal liceo scientifico “Boggio Lera” di Catania, classe 4ª PNI:
Ipotesi : an+1 = 2an-1 + an,
Tesi : an + an-1 = 2n
Per dimostrare tale tesi dividiamo il procedimento induttivo in due parti.
Nella prima parte dimostriamo il teorema per un caso particolare:
1 + 3 = 22 , 3 + 5 = 23
a1 + a2 = 22, a2 + a3 = 23
……….
Come si vede dagli esempi, la somma di due numeri consecutivi è una potenza del 2 avente per
esponente un numero uguale al pedice del secondo addendo.
Nella seconda parte, supponendo che il teorema sia valido per n, lo dimostriamo per il suo
successivo n +1:
Hp : an + an-1 = 2n
an+1 = 2an-1 + an
n+1
Ts : an+1 + an = 2
Dimostrazione:
an+1 + an = 2an-1 + an + an = 2an-1 + 2an = 2an + 2(2n – an) = 2an + 2n+1 – 2an = 2n+1
(C.V.D.)
Risposta n. 3
Soluzione degli studenti F. Cavallari e A. Coglitore del liceo scientifico “Morgagni” di Roma,
classe 5ª PNI:
 F1 = 1

 F2 = 3
F
 n +1 = Fn + 2Fn −1
•
•
Definizione ricorsiva della successione:
Dimostrazione della proprietà assegnata
La proposizione da dimostrare è
n≥2
P(n) ≡ «Fn + Fn–1 = 2n »
Si dimostra la validità della base:
P(2) ≡ «3 + 1 = 22 » vera
Si dimostra la validità del passo induttivo:
– si assume vera l'ipotesi induttiva
P(k) ≡ «Fk + Fk–1 = 2k »
– si dimostra la validità di
P(k+1) ≡ «Fk+1 + Fk = 2k+1 »
Considero il primo membro della P(k+1) ed esprimo Fk+1 tramite la definizione ricorsiva.
Fk+1 + Fk = Fk + 2Fk–1+ Fk = 2 Fk + 2 Fk–1 = 2(Fk + Fk–1 )
Per l'ipotesi induttiva ho che
Fk + Fk–1 = 2k
Perciò ottengo
2(Fk + Fk–1 ) = 2⋅ 2k= 2k+1
In conclusione, P(k) implica P(k+1) e questo conclude la dimostrazione ricorsiva.
Risposta n. 4
Soluzione proposta da due studenti della classe IV B dell’IPSAA “C. Parisani Strampelli” di Rieti.
Dimostriamo che la tesi è valida per i primi numeri:
1+3 = 4 = 22 ; 3+5 = 8 = 23 ; 5+11 = 16 = 24 .
Applichiamo il principio di Induzione per dimostrare la validità del Teorema.
Verifichiamo che, se x, y, z sono tre numeri consecutivi della successione, e se x+y = 2n , deve
risultare
y+z = 2n+1 .
Nella successione 1, 3, 5, ………, x, y, z, …………………. ,
z = 2x+y
per come è definita la successione;
n
x+y = 2
per l’ipotesi che abbiamo assunto;
segue che:
y+z = y+2x+y
y+z = 2x+2y
y+z = 2(x+y)
y+z = 2*2n
y+z = 2n+1
C.V.D.
Risposta n. 5
Soluzione pervenuta da uno studente di 4° anno di un ITIS di Fidenza (PR)
Per prima cosa tramutiamo in lettere il testo del problema, indicando con a un numero della
successione (es. 5) e con n la sua posizione nella successione (es. n5 = 3) :
an = an-1 + 2an-2
Quindi svolgiamo i seguenti passaggi matematici:
Sommiamo ad entrambi i membri il termine a n-1: an + a n-1 = an-1 + 2 an-2 +a n-1
Raggruppiamo i termini del 2° membro: an + an-1= 2 (an-1 + an-2)
Come si può notare da quest’ultima equazione, la somma di due termini successivi ( an + an-1 ) è il
doppio della somma tra il termine inferiore e quello ancora precedente ( an-1 + an-2 ).
Es. n = 5
⇒
21 + 11 = 2 ( 11+5 )
Perciò, partendo dai due numeri dati: 1 e 3, se ne fa la somma: 4 e cioè 22, proseguendo, la somma
dei due termini successivi 3 e 5 sarà il doppio, cioè 2*4 ovvero 23 e così via.
Infatti
1+3=4
3 + 5 = 4*2 = 8
5 + 11 = 8*2 = 16
11 + 21 = 16*2 = 32
21 + 43 = 32*2 = 64
43 + …
E’ perciò dimostrato che la somma di due termini consecutivi qualunque è una potenza di 2.
Appendice: i problemi - Archivio 2002-2003
Ottobre 2002
Il grande Archimede trattò la figura sottostante nel suo 'Libro dei Lemmi',
chiamandola arbélos (coltello del calzolaio).
Tracciata la semicirconferenza di diametro BB', si prenda sullo stesso diametro
un punto E, e si traccino, internamente alla prima, le semicirconferenze di diametri
B'E ( 1) e EB ( 2). Si traccino ancora le tangenti comuni a 1 e 2 e si considerino
i punti E, F, I, H.
Rispondere, motivando, alle seguenti domande:
•
•
Di che natura è il quadrilatero EFIH?
Qual è la posizione del punto E che rende massima l'area della regione
delimitata dalle tre semicirconferenze?
Novembre 2002
Trovare una dimostrazione del seguente fatto. Nella successione
1, 3, 5, 11, 21, 43, ...
in cui i primi due termini sono 1 e 3 e ciascuno dei successivi è la somma del
precedente e del doppio dell'antiprecedente, la somma di due termini consecutivi
qualunque è una potenza di 2.
Dicembre 2002
È 'intuitivo' che se un rettangolo è inscritto in un'ellisse, i lati debbano essere
paralleli agli assi dell'ellisse.
1. Dare una dimostrazione che avvalori l'intuizione.
2. Determinare poi il rettangolo di area massima inscritto nell'ellisse di
equazione (x/a)^2+(y/b)^2=1.
N.B.: Essendo questa rubrica rivolta agli studenti del triennio in genere, si presume che, nel risolvere i
problemi, l'uso del calcolo infinitesimale sia solitamente da escludersi.
Gennaio 2003
Dimostrare che il grafico della funzione a^x, con a>1, ha al più due punti di
intersezione con il grafico della sua funzione inversa e determinare la condizione
perché i due grafici non si intersechino.
(Suggerimento: si esamini inizialmente l'equazione: a^x = x ).
Febbraio 2003
Si deve costruire un ponte, perpendicolare alle rive di un fiume, per congiungere
due paesi, A e B, posti da parti opposte del fiume e a distanze diseguali dalle rive
che si suppongono rettilinee nel tratto considerato.
1. Dove deve essere costruito il ponte affinché il percorso da A a B sia minimo?
2. Dove deve essere costruito il ponte affinché A e B siano alla stessa distanza
dall'ingresso del ponte rispettivamente a loro più prossimo?
Giustificare le risposte.
Marzo 2003
Una mongolfiera è osservata in volo simultaneamente da tre stazioni radar situate ai
vertici di un triangolo equilatero di lato a .
Le distanze del pallone dalle tre stazioni, prese in ordine intorno al triangolo, sono
date da R1 , R2 , R3 .
Determina l’altezza del pallone dal piano del triangolo.
Aprile 2003
Dati i punti A, B e I, costruire il triangolo che ha vertici A, B e incentro I. Dire
1. quando il problema è possibile;
2. quante soluzioni ammette.
Maggio 2003
1. Dimostrare che presi comunque tre vertici di un cubo, il triangolo da essi
individuato è rettangolo oppure equilatero.
2. Calcolare la probabilità che tre distinti vertici del cubo, scelti a caso,
individuino un triangolo rettangolo.