La nascita delle strutture algebriche
Simonetta Di Sieno
Padova
13 aprile 2013
meno per meno fa più
costruisco NxN
x → (x,0)
la relazione di equivalenza
(p,m) R (p’,m’)
se
p’+ m = p + m’
se
p - m = p’ – m’.
(12, 10) R (7, 5) R (2,0)
(2,3) R (10,11) R (8,9) R (0,1)
(7,13) R (20,26) R (8,14) R (0,6)
(2,0)
(0,1)
(0,6)
+2
-1
-6
insieme quoziente NxN/R
(p,m) + (p’,m’) = (p+p’, m+m’)
(p,m) × (p’,m’) = (p×p’ + m×m’, p×m’ + m×p’)
(-2) × (-6 ) =
(0,2) × (0,6) = (0×0 + 2×6’, 0×6 + 2×0) =
= (12, 0)
= +12
schieramenti: soltanto?
Esercito in fila
Spazio vettoriale Rn su R: l'insieme delle n-ple
ordinate di elementi di R, con le operazioni di
somma e di prodotto per un elemento di R (uno
scalare) definite componente per componente.
1852 lavora alla tesi di laurea sotto
la supervisione di Gauss
1854 lavora (nello stesso periodo di
Riemann) alla tesi di abilitazione
1854-58 insegna a Gottingen mentre
lavora con Dirichlet
1858 -62 passa al Politecnico di Zurigo
1862-94 insegna a Braunschweig
Richard Dedekind
(1831-1916)
Georg Cantor (1845 – 1918)
… mi sento sperduto
5/1/1874 Cantor a Dedekind Può una superficie (per esempio un quadrato, bordo compreso) essere
messa in corrispondenza con una curva (per esempio un segmento di retta, estremi inclusi) in modo
tale che ad ogni punto della superficie corrisponda un punto della curva e, viceversa, ad ogni punto
della curva ne corrisponda uno della superficie?
25/6/1877 Cantor a Dedekind La maggior parte di coloro ai quali ho sottoposto tale questione si è
molto meravigliata del fatto stesso che io abbia potuto porla, perché sembrava loro evidente che per
la determinazione di un punto in una varietà a k dimensioni occorra sempre usare k coordinate
indipendenti.
Chi però coglieva in profondità il senso della questione era costretto a riconoscere che occorreva
almeno dimostrarla […]
Io facevo parte di coloro che ritenevano verosimile una risposta negativa fino al momento
recentissimo in cui, con una successione molto complessa di pensieri, sono arrivato alla convinzione
che la risposta sia affermativa, senza restrizione alcuna. Poco dopo trovai la dimostrazione che lei ha
oggi sotto gli occhi.
29/6/1877 Cantor a Dedekind La prego di scusare la mia preoccupazione per quest’affare, se faccio
così spesso appello alla sua bontà e condiscendenza. Ciò che le ho comunicato recentemente è così
inatteso per me e così nuovo che non potrei, per dir così, arrivare a una certa tranquillità di spirito
prima di ricevere, molto stimato amico, il suo giudizio sulla sua correttezza. Fin tanto che non mi
avrà approvato, non posso dire lo vedo, ma non ci credo.
2/7/1877 Dedekind a Cantor Ho esaminato ancora una volta la sua dimostrazione e non
vi ho trovato lacune; sono convinto che il suo interessante teorema sia corretto e le faccio le mie
felicitazioni.
1843 si imbatte nella differenza fra
irriducibile e primo
Z(i√5 ) = {a+ib√5, con a, b interi}
6 = 2∙3 = (1+i √5)(1-i √5)
e 2 irriducibile non è primo!
Z(i√D) con D positivo, privo di fattori
quadrati e con almeno due fattori
primi
E. Kummer (1810-1893)
1831 Università di Halle
1855 succede a Dirichlet a Berlino
6 = (√2)2 [(1+i √5)/√2 ] [(1-i √5)/√2 ]
quattro numeri ideali in Z(i√5 )
Anello:
una terna (A,+,×) per la
quale
• (A,+) è un gruppo
commutativo,
• × è un’operazione interna ad A, associativa
• valgono le proprietà
distributive destra e
sinistra del prodotto
rispetto alla somma
Emmy Noether (1882-1934)
Introduzione
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Il contenuto del presente lavoro è costituito dal
trasferimento delle leggi di scomposizione dei numeri
interi razionali, rispettivamente degli ideali in corpi di
numeri algebrici, a ideali in domini di integrità
qualsiasi e agli anelli in generale.
Per la comprensione di questo trasferimento, siano
date dapprima, per i numeri interi razionali, le
espressioni di scomposizione leggermente differenti
dalla formulazione consueta.
Si prendano…
Gruppo: una coppia (A, *) in cui
• A è un insieme
• * è un’operazione interna ad A, associativa, dotata di
unità e, per ogni aϵA, di elemento inverso.
Anello: una terna (A,+,×) per la quale
• (A,+) è un gruppo commutativo,
• × è un’operazione interna ad A, associativa
• valgono le proprietà distributive destra e sinistra del
prodotto rispetto alla somma.
Corpo: un anello (A,+,×) in cui (A\{0},×) è un gruppo
Campo: un corpo (A,+,×) in cui × è un’operazione
commutativa.
Sezioni
ogni punto divide la rettain due parti