Numeri e insiemi:
dalla storia alla scuola di oggi
José Ferreirós
Roma, 30 marzo 2009
«Il buon Dio creò i numeri
naturali; il resto è opera
dell’uomo»
«Nessun concetto matematico è
privo di ambiguità».
«Un’indagine fondamentale del
concetto di numero risulterà
sempre un po’ filosofica. Questo
compito è comune alla
matematica e alla filosofia».
Numeri e insiemi
Da un punto di vista logico e fondazionale, i
numeri possono essere definiti come insiemi.
Lavori di Dedekind, Peano, Hilbert, Zermelo,
ecc.
Vantaggi: sistematicità, generalità (trattamento
uniforme dai naturali ai reali e complessi) e
rigore assiomatico.
Svantaggi: poco intuitivo, unidirezionale e
unimodale.
Cantor, Frege, Russell: numeri come cardinali:
concetti oppure oggetti legati a una classe di
insiemi tra cui si può stabilire una biiezione.
Assiomi di Peano, elementari, con l’assioma
chiave de induzione.
Approccio di Dedekind: fondazione basata sui
concetti di insieme e di applicazione o funzione
(dall’assioma dell’infinito;teoria delle catene).
Esistono fondamentazioni insiemistiche senza
assioma dell’infinito: Zermelo, Tarski, Quine e
altri
Tuttavia, l’idea matematica de insieme non
coincide con la nozione logica di classe
(associata a un concetto) …
… né con la nozione intuitiva di collezione!
Conseguenze pedagogiche
La domanda è: questo significa che i maestri
devono studiare la teoria degli insiemi?
Questo è stato l’aspetto più noto e criticato del
movimento della “matematica moderna” o
“insiemistica” negli anni Sessanta.
Dobbiamo continuare con la New Math o
rompere con essa?
Richard Dedekind (1831-1916)
«I numeri sono creazioni libere della
mente umana».
«Fra tutte le risorse su cui può contare la
mente umana per rendere più facile la sua
vita, vale a dire, il lavoro nel quale
consiste il pensiero, nessuno è altrettanto
fecondo e altrettanto inscindibile dalla
sua intima natura quanto la nozione di
numero … poiché ogni uomo che pensa,
anche se non se rende conto chiaramente,
è un uomo numerico [ZahlenMensch,“uomo di numeri”], un
aritmetico »
Un po’ di storia
Nel Convegno della Association for Symbolic
Logic del 1948, N. Bourbaki affermava:
«come tutti sappiamo, tutte le teorie
matematiche possono essere considerate come
estensioni della teoria generale degli insiemi»
Poco dopo, queste idee furono applicate
all’educazione, nel tentativo di modernizzarla. È
famosa l’esclamazione di J. Dieudonné nel 1959:
«Abbasso Euclide!»
L’origine nell’Ottocento: aritmetizzazione,
rigore, teoria degli insiemi e logicismo.
Dedekind [1888] indicò che tutta la matematica
pura (aritmetica, algebra, analisi) può ridursi a
teoria degli insiemi e delle applicazioni o
funzioni.
Fu mostrato in dettaglio come procedere per i
casi cruciali di N (i naturali) e R (i reali).
Insieme Ded-infinito con applicazione successore s.
Teoria delle catene. Condizione di catena (N = so{1})
che garantisce il principio di induzione.
Peano e la sua scuola adoperarono inoltre il
linguaggio della logica (Formulario mathematico,
1895–1908).
Cantor, i paradossi, Russell, l’assiomatica di
Zermelo, il famoso programma di Hilbert…
Hilbert nel 1925:
«Vogliamo indagare accuratamente, ogniqualvolta
vi sia la benché minima prospettiva di successo, le
costruzioni concettuali e le forme di inferenza feconde,
e coltivarle, consolidarle e renderle suscettibili di
applicazione. Dal paradiso che Cantor creò per noi,
nessuno ci potrà espellere».
Interpretazioni
«Ciò che rende possibile la Logica è l’esistenza nelle
nostre menti di concetti generali: la nostra capacità di
concepire una classe e designare i suoi membri
individuali mediante un nome comune. La teoria de la
Logica è, quindi, intimamente legata a quella del
linguaggio. Un tentativo soddisfacente di esprimere
proposizioni logiche attraverso simboli, le cui leggi di
combinazione fossero fondate sulle leggi dei processi
mentali che esse rappresentano, sarebbe, in tale
misura, un passo avanti verso un linguaggio filosofico»
(G. Boole 1847)
Ma … l’idea matematica de insieme non coincide con la
nozione logica di classe (associata a un concetto)!
Dedekind, prologo a Cosa sono … i numeri:
Chiunque possegga il così detto buon senso può
comprendere questo scritto; esso non richiede affatto
particolari cognizioni matematiche o filosofiche. Ma so
benissimo che più di un lettore avrà difficoltà a
riconoscere nelle figure indistinte che gli propongo quei
numeri che lo hanno accompagnato per tutta la vita
come amici fedeli e familiari; egli sarà spaventato dalla
lunga serie di inferenze semplici corrispondente alla
natura graduale della nostra comprensione, dalla lucida
dissezione dei ragionamenti sui quali poggiano le leggi
dei numeri…
Dedekind, Che cosa sono e a che cosa
servono i numeri
e mal sopporterà di dover seguire delle dimostrazioni di
verità che alla sua presunta intuizione interna appaiono
certe ed evidenti. Invece, proprio nella possibilità di
ricondurre quelle verità ad altre più semplici,
indipendentemente dalla lunghezza e dalla apparente
artificiosità della serie di inferenze, io vedo una
dimostrazione convincente del fatto che il possesso o la
persuasione delle verità in questione non sono mai stati
dati immediatamente tramite l’intuizione interna, ma
sono acquisiti sempre attraverso una ripetizione più o
meno completa delle singole inferenze.
Io paragonerei questa attività del pensiero, difficile a
seguirsi per la rapidità con cui si svolge, con quella di
un buon lettore mentre legge: anche questa lettura
consiste sempre in una ripetizione più o meno
completa dei singoli passi che il principiante compie
sillabando a fatica. Però al lettore esperto basta una
parte molto piccola di questi passi, e di conseguenza
uno sforzo intellettuale minimo, per poter riconoscere
correttamente una parola, sia pure con una probabilità
molto alta;
è noto infatti che anche al correttore più esperto capita
a volte di lasciarsi sfuggire un errore di stampa, cioè di
leggere erroneamente, il che sarebbe impossibile se
fosse ripetuta integralmente tutta la catena di processi
mentali corrispondenti alla sillabazione.
Così, a partire dalla nascita, sempre più siamo indotti a
mettere costantemente in rapporto oggetti con oggetti,
cioè a esercitare quella facoltà dello spirito su cui si
basa anche la creazione dei numeri.
Grazie a questo esercizio così precoce e costante,
sebbene involontario, e alla relativa formazione di
giudizi e di serie di inferenze, noi acquisiamo una ricca
messe di verità propriamente aritmetiche alle quali i
nostri primi maestri fanno in seguito appello come a
qualcosa di semplice, evidente e dato nell’intuizione
interna, e così avviene che alcuni concetti in realtà
molto complessi (per esempio quello di quantità
numerica di oggetti) vengono a torto ritenuti semplici.
In questo senso, che ben si esprime nella parafrasi di
un celebre aforisma ’αει ό άθρωπoς άριθμητίζει …
Jean Piaget e Nicolas Bourbaki:
logica, insiemi e strutture della matematica
moderna come “svelamento” di principi basilari
che “sono stati sempre lì”
Piaget cerca embrioni delle strutture nel mondo
psichico e biologico.
L’“insiemistica” o new math cercava di allacciarsi
direttamente a quelle strutture logiche che “sono
già lì”, nella mente del bambino.
Riconsideriamo quanto detto…
1.
2.
3.
4.
5.
Questioni di rigore e di sistematizzazione
condussero alla teoria degli insiemi.
Questa teoria basta per fondare tutta la
matematica, unificandola.
Filosofi e matematici interpretano che l’idea di
insieme sia basilare per la mente umana, che
sia primitiva.
Si progetta un nuovo programma di studio
basato direttamente sulla teoria degli insiemi.
La sua realizzazione riscuote scarso successo.
Riflettiamo …
Persino nell’insegnamento universitario rivolto a
futuri matematici e filosofi esperimentiamo che
la TI non è facile.
Un universitario impiega parecchi mesi per
cogliere le differenze fra gli insiemi e le
“collezioni” intuitive.
Vi sono problemi basilari molto complessi nella
TI (ad esempio, l’ipotesi di Cantor); vi sono
persino dei matematici che la rifiutano
radicalmente.
Il concetto di insieme è avanzato e sofisticato,
non né elementare né innato. (Ad esempio, esso
è equivalente a quello di funzione).
L’interpretazione che l’idea di insieme sia
primitiva e basilare per la mente umana (Boole,
Dedekind, Hilbert) non è ammissibile.
Il logicismo è stato abbandonato. Oggi la TI è
considerata matematica, non parte della logica.
La TI non è necessaria per studiare a fondo a
fondo i numeri e le operazioni, le frazioni, le
proporzioni…
Quindi, i maestri non hanno bisogni di studiare
la TI, né pare opportuno farlo.
Studiare invece i numeri da molti punti di vista
(approccio multidirezionale e multimodale),
coltivare l’intuizione visiva, la comprensione
concettuale e il rigore.
Alcuni temi rilevanti
Aritmetica:
I numeri interi e i numeri razionali:
numeri naturali (ordinali e cardinali), principio de
induzione,
congruenze, teorema fondamentale dell’aritmetica.
proprietà, connessione con la geometria,
rapporti fra quantità (proporzioni).
Geometria elementare:
trasformazioni, coordinate, aree.
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