Testi classici:
Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri.
Giuseppe Peano, Arithmetices principia.
Enrico Giusti
IL GIARDINO DI ARCHIMEDE
Un museo per la matematica
Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera
dell’uomo
L. Kronecker
I numeri si possono con diritto considerare come una
libera creazione dello spirito umano
R. Dedekind
Un po’ di storia
1666-1683 : Newton e Leibniz inventano il
calcolo infinitesimale.
Un po’ di storia
1700-1800: La discussione sugli infinitesimi.
Un po’ di storia
1700-1800: La metafisica del calcolo.
Un po’ di storia
1817: Bernard Bolzano
Dimostrazione puramente analitica del
teorema che tra due valori che danno
risultati di segno opposto c’è almeno una
radice reale dell’equazione.
Un po’ di storia
1821: Cauchy, Cours d’analyse.
Un po’ di storia
1821: Cauchy, Cours d’analyse.
Affinché la serie u1 + u2 + u3 + … sia convergente è in primo luogo
necessario he il termine generale un decresca indefinitamente
all’aumentare di n; ma questa condizione non è sufficiente, e occorre
ancora che al crescere di n le somme
un + un+1
un + un+1 + un+2 ecc.
prese in numero arbitrario, finiscano per diventare costantemente minori
di ogni valore assegnabile.
Reciprocamente, quando questa condizione è soddisfatta, la convergenza
della serie è assicurata.
Un po’ di storia
1872
Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen
Charles Méray, Nouveau précis d’analyse infinitésimale
Georg Cantor, Über die Ausdehnung eines Satze aus der
Theorie der trigonometrischen Reihen
Un po’ di storia
Ogni teorema di algebra e di analisi superiore, per
quanto remoto, si può enunciare come un teorema
sui numeri naturali.
P. G. L. Dirichlet
Un po’ di storia
Euclide, Elementi, Libro VII
Definizione 1: Unità è ciò secondo cui di ogni
cosa che esiste si dice uno.
Definizione 2: Il numero è una
moltitudine composta di unità.
Un po’ di storia
Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique
Benché questa proposizione abbia un numero infinito di casi, ne darò una
dimostrazione molto breve, supponendo due lemmi.
Il primo, che è evidente di per sé, è che questo rapporto è vero nella
seconda base.
Il secondo, che se questo rapporto è vero in una base qualsiasi, si ritroverà
necessariamente nella base che segue.
Da dove si vede che esso sussiste necessariamente in tutte le basi; infatti si
trova nella seconda base per il primo lemma, dunque per il secondo si ritrova
nella terza base, dunque nella quarta, e così via all'infinito.
Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri.
Non si deve nella scienza prestar fede senza
dimostrazione a ciò che è dimostrabile. Per quanto
queste richiesta apparisca chiara, mi sembra che essa
non sia soddisfatta, anche se si tien conto dei lavori più
recenti.
… io intendo già di considerare il concetto di
numero come del tutto indipendente … e di
riconoscere piuttosto in questo concetto una
emanazione diretta delle pure leggi del
pensiero.
Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri.
Alla domanda espressa nel titolo di questo scritto io
rispondo: i numeri sono libere creazioni dello spirito
umano.
Se si segue attentamente quello che noi
facciamo nel computo di un insieme di oggetti, si
è condotti a considerare la capacità dello spirito
di riferire oggetti a oggetti, … senza la quale è
affatto impossibile ogni pensiero. Sopra questo
fondamento, del resto assolutamente necessario,
deve essere costruita, a mio parere, tutta la
scienza dei numeri.
Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri.
I punti fondamentali sono: la netta distinzione del finito
dall’infinito, la nozione del numero di oggetti, la
dimostrazione della validità logica del metodo
d’induzione completa, ovvero dell’argomentazione
ricorrente da n a n+1, e anche la dimostrazione che la
definizione induttiva (ovvero per ricorrenza) è
completa e scevra da ogni contraddizione.
Insiemi e applicazioni
In seguito intenderò per oggetto ogni oggetto del nostro
pensiero. Ogni oggetto è completamente determinato
da tutto quello che di esso può essere detto e pensato.
Avviene assai spesso che diversi oggetti a, b, c,
… considerati per qualche ragione sotto un
medesimo punto di vista, vengano idealmente
messi insieme; allora si dice che essi formano
un insiemeS.
Una sorta di dizionario
Sistema
Insieme
S è un intero di A
S contiene A
Sistema composto
Unione
Interferenza
Intersezione
Rappresentazione
Applicazione
Rappresentazione simile
Applicazione iniettiva
Insiemi e applicazioni
Un insieme A si dice parte di un insieme S,
quando ogni elemento di A è anche un
elemento di S. Siccome si presenterà assai
spesso l’occasione di parlare di queste
relazione, … vogliamo per brevità esprimerla
col simbolo A  S.
Un insieme A si dice parte propria di S,
quando A è una parte di S ma è diverso da S.
Insiemi e applicazioni
Per una rappresentazione φ di un insieme S s’intende
una legge, la quale faccia corrispondere ad ogni dato
elemento s di S un oggetto determinato. Questo oggetto
si dice l’immagine di s e si designa con φ(s).
Una rappresentazione φ di un insieme S si
dice iniettiva, quando a elementi distinti a, b
del sistema S corrispondono sempre immagini
distinte φ(a), φ(b).
Gli insiemi R, S si dicono simili, se esiste una
rappresentazione iniettiva φ di S per la quale
si abbia φ(S)=R.
Finito e infinito
Definizione. Un insieme S si dice infinito se esso è
simile ad una sua parte propria. Nel caso
contrario S si dice un insieme finito.
Finito e infinito
Teorema. Esistono insiemi infiniti.
Dimostrazione. L’insieme S di tutte le cose che possono essere
oggetto del mio pensiero è infinito. Invero, se s è un elemento di
S, allora il pensiero s’ che s può essere oggetto del mio pensiero è
esso stesso un elemento di S. Se si considera s’ come immagine f (s)
dell’elemento s, allora la rappresentazione f di S così definita
godrà della proprietà che la sua immagine S’ è una parte di
S, e sarà precisamente una parte propria di S, perché vi sono
elementi di S (p. es. il mio proprio io) che sono distinti
da ogni simile pensiero s’, e che perciò non sono contenuti in S’.
Catene
Definizione.
[Un insieme] K si dice una catena se φ(K) K.
Notiamo espressamente che questa proprietà di essere catena
appartiene alla parte K dell’insieme S non già intrinsecamente,
ma soltanto in relazione con la data rappresentazione φ; rispetto
ad un’altra rappresentazione dell’insieme S sopra sé stesso, K può
ben cessare di essere catena.
Catene
Definizione.
Sia A una parte di S. Indicheremo con A0 l’intersezione di tutte
quelle catene (come S, p. es.) di cui A è una parte. …
Chiameremo A0 la catena dell’insieme A o brevemente la catena
di A.
I numeri
Definizione.
Un insieme N si dice semplicemente infinito se
esiste una rappresentazione iniettiva φ di N
sopra sé stesso tale che N risulti la catena di un
elemento non contenuto in φ(N).
A questo elemento daremo il nome di elemento
fondamentale e lo indicheremo con il simbolo 1.
I numeri
Un insieme N semplicemente infinito è
caratterizzato dall’esistenza di un elemento 1 e
di una rappresentazione φ di N soddisfacenti
alle condizioni seguenti :
α. φ(N) N.
β. N = 10.
γ. L’elemento 1 non è contenuto in φ(N).
δ. La rappresentazione φ è iniettiva.
I numeri
Se nello studio di un insieme N semplicemente
infinito … si fa completa astrazione dalla natura
particolare dei suoi elementi, continuando però
a pensarli come distinti e non confondibili tra
loro, e si considerano soltanto le relazioni
reciproche che la rappresentazione φ stabilisce
tra essi, allora questi elementi si chiamano
numeri naturali o numeri ordinali o anche
semplicemente numeri, e l’elemento
fondamentale 1 si chiama il numero
fondamentale della serie numerica N.
I numeri
Data questa astrazione da ogni altro contenuto
degli elementi, i numeri si possono con diritto
considerare come una libera creazione dello
spirito umano. Le relazioni, oppure le leggi, che
si deducono unicamente dalle condizioni α, β, γ,
δ, e che perciò sono le stesse in tutti i sistemi
ordinati e semplicemente infiniti, qualunque
siano i nomi attribuiti ai singoli elementi,
costituiscono l’oggetto immediato della scienza
dei numeri, ovvero dell’aritmetica.
Arithmetices principia
Arithmetices principia
Nelle dimostrazioni aritmetiche mi sono
avvalso del libro H. Grassmann, Lehrbuch
der Arithmetik, Berlin 1861.
Mi è stato ancora più utile lo scritto recente R.
Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen,
Braunschweig 1888, in cui si esaminano acutamente
delle questioni appartenenti ai fondamenti dei
numeri.
Arithmetices principia
Arithmetices principia
Assiomi
1. 1  N
Un insieme N semplicemente infinito è caratterizzato
dall’esistenza di un elemento 1 e di una rappresentazione φ di
N soddisfacenti alle condizioni seguenti :
α. φ(N) N.
β. N = 10.
γ. L’elemento 1 non è contenuto in φ(N).
δ. La rappresentazione φ è iniettiva.
2. a  N  s(a)  N
3. a, b  N  s(a) = s(b)  a=b
4. a  N  s(a)  1
5. K
(1 )K(x) 
 (x
N
K  s(x)  K)  K =NN
K, (1 N,
K
K
Arithmetices principia
Definizione della somma a+b
a+1 = s(a)
a + (b+1) = (a+b) + 1
Arithmetices principia
Teorema : (a+b)+c = a+(b+c)
1. (a+b)+1=a+(b+1): il teorema vale per c=1
2. Supponiamo che valga per c.
(a+b)+(c+1) = [(a+b)+c]+1 = [a+(b+c)]+1
= a+[(b+c)+1] = a+[b+(c+1)]
e dunque il teorema vale per c+1.
Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera
dell’uomo
L. Kronecker
I numeri si possono con diritto considerare come
una libera creazione dello spirito umano. Essi
servono come mezzo per distinguere più
facilmente e più nettamente le cose.
R. Dedekind
Unità è ciò secondo cui di ogni cosa che
esiste si dice uno.
Euclide
Venti[quattro] anni dopo (1911)
Quando circa otto anni fa mi è stato chiesto di
sostituire alla seconda edizione del mio scritto una
terza edizione, esitavo ad acconsentire, perché nel
frattempo erano sorti e s’eran fatti valere dubbi sul
rigore di alcuni punti fondamentali della mia
concezione. Riconosco anche oggi che questi dubbi
hanno il loro valore e che sono in parte giustificati.