A cura di
Maria Angela
Varone
“Da tempo immemorabile l'infinito ha
suscitato le passioni umane più di ogni
altra questione.
E'
difficile
trovare
un'idea
che
abbia
stimolato la mente in modo altrettanto
fruttuoso, tuttavia nessun altro concetto
ha più bisogno di chiarificazione"
(D. Hilbert).
Dato un insieme contenente oggetti di natura
qualsiasi ha senso porsi la domanda “Quanti sono gli
elementi di A?” oppure “A avrà più o meno elementi
di un insieme B?” . Se A e B sono finiti, indichiamo
il numero di elementi dell’insieme con un numero
naturale. Questo procedimento appena descritto non
è altro che il processo del contare.
1
2
3
4
Dati due insiemi A e B, si dice che A è
equipotente a B se è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra gli elementi di
A e quelli di B.
Si dice che un insieme A è finito se è
equipotente ad un insieme
{1,2,3,4,…,n}  N e si scrive
card A=card {1,2,3,4,…,n} =n
Se A è finito e B  A allora
Card B<Card A
Si dice che un insieme A ha la
potenza del numerabile se può
essere messo in corrispondenza
biunivoca con l’insieme N
N :Insieme dei
numeri naturali
A: Insieme dei
quadrati dei
numeri naturali
1
2
1
4
3
4
……….
9
16
……….
SONO EQUIPOTENTI!!!!!!!!
Ma A  N !!!!!
A è un sottoinsieme di N e ha
lo stesso numero di elementi
di N !!!!
……..strano!
“Queste son di quelle difficoltà che
derivano dal discorrere che noi
facciamo intorno agli infiniti,
dandogli quegli attributi che noi
diamo alle cose finite e terminate; il
che penso sia inconveniente, perché
stimo che questi attributi di
maggioranza, minorità o egualità
non convenghino agl’i’nfiniti…”
(Galileo Galilei)
Quanti sono i numeri pari????
2
1
4
6
8
2
3
…
…
4
L’insieme dei numeri
pari ha la potenza
del numerabile
N
Numeri
pari
Quanti sono gli elementi di Q?
Cantor ha dimostrato in maniera ingegnosa
che l’insieme dei razionali è numerabile
Data “la densità” dei razionali può sembrare
impossibile che i due insiemi abbiamo la
“stessa dimensione”, ma Cantor dimostrò che
basta “disporli e contarli” nel modo seguente:
1
4
1
1
1

1
2
1
2
3
5
1
2
1

2
2
2
2 10
2


1
2
11


1
3
6
1
4

1

4

2
3
2
4

2

3
2

4

1

3
9

7
8

L’insieme numerico i cui elementi sono
elencati nella tabella , a causa delle
evidenti ripetizioni (1/1,2/2,…,1/2,
2/4,…) non rappresenta l’insieme Q ,
ma contiene più elementi di Q.
Con il procedimento ideato da Cantor si
dimostra che questo insieme “più
grande” è numerabile, ma è facile
concludere che anche Q è numerabile.
Cantor dimostra anche, con un procedimento
analogo che l’insieme NxN è numerabile.
Basta osservare il modo in cui sono disposte le
coppie ordinate nella seguente tabella e usare per
contare le coppie il metodo a diagonale visto prima
1
4
0,0
1,0
2
3
5
2,0
0,1
6
1,1
2,1
0,2 
1,2 
9
7
8


2,2 



10
11


La parte più “sconvolgente” del lavoro di
Cantor, però è la dimostrazione del fatto che
non è possibile mettere in
corrispondenza biunivoca l’insieme
dei numeri naturali e i punti della
retta, cioè i naturali con i reali.
Cantor inizia la dimostrazione supponendo che può
esistere una corrispondenza fra l’insieme dei reali e
quello dei naturali, ma tale supposizione porta ad una
contraddizione, per cui la supposizione di partenza deve
essere falsa e quindi una tale corrispondenza non può
esistere.
Un modo più semplice per affrontare la dimostrazione è
quello di esaminare solo i reali compresi tra 0 e 1: se
questo insieme di numeri reali ha più elementi
dell’insieme dei naturali, anche l’insieme dei reali
conterrà più elementi dell’insieme dei naturali.
Sia
I  x  R : 0  x  1
Supponiamo per assurdo che gli elementi di I si possano
mettere in corrispondenza biunivoca con i naturali per
cui se indichiamo xi con gli elementi di I si avrà che
x1  0, a11a12 a13 
x 2  0, a 21a 22 a 23 
x 3  0, a 31a 32 a 33 

dove
0  a ij  9
Costruiamo a questo punto un numero y così fatto:
bk  9 se a kk  1
y  0, b1b2 b3  con 
bk  1 se a kk  1
sicuramente
yI
e inoltre
y  xi
i  N
perché ha almeno una cifra diversa da ogni xi
Quindi è assurdo aver supposto che
tutti i reali compresi tra zero e uno
possono essere messi in corrispondenza
con i naturali.
La cardinalità di I si chiama potenza del
continuo.
Per cui se un insieme ha la potenza del
continuo presenta un livello di infinito
diverso rispetto a quello di un insieme
che ha la potenza del numerabile, è come
se fosse un livello ‘infinito più elevato’.
E’ facile dimostrare che ogni intervallo aperto a,bR
ha la potenza del continuo.
La figura mostra come ad ogni punto dell’intervallo 0,1
si può far corrispondere un punto dell’intervallo a,b (la
corrispondenza è biunivoca)
P
0
a
A
A’
1
A
A’
b
Con un’altra figura possiamo vedere come si può
realizzare la corrispondenza biunivoca tra i punti
di un intervallo ]a,b[ R e la retta reale
P

a
ab
2

b
Q
Proiettando da P i punti dell’intervallo verticale  a , a  b 
2 

otteniamo i reali non negativi,
a  b

mentre proiettando da Q i punti di  2 ; b 


si ottengono i reali negativi.
La rivoluzione di Cantor sta nell’aver rilevato che anche
nel caso di insiemi infiniti ha senso parlare del numero
di elementi ( proprio come nel caso di insiemi finiti) e
che esistono almeno due tipi di infinito. Il primo tipo,
l’infinità dei numeri naturali, viene detta 0(potenza
del numerabile) , il secondo tipo di infinità è quello
rappresentato da tutti i punti di un segmento e la sua
cardinalità è indicata con 1(potenza del continuo). Ha
la cardinalità del continuo l’insieme dei reali e Cantor
dimostrò anche che ha la cardinalità del continuo
l’insieme dei punti di un qualsiasi rettangolo nel piano e
anche ogni cubo dello spazio.
Il successivo passo di Cantor fu quello di considerare
l’insieme dei possibili sottoinsiemi di un insieme: l’insieme
potenza.
Ricordiamo con un esempio il concetto di insieme potenza nel
caso finito .Dato
A  a, b, c   A  a
, b
, c
, a, b
, a, c
, b, ca, b, c, 
Ricordiamo che se Card A= n
allora Card p(A)=2n
infatti nel nostro caso
Card A= 3
implica Card p(A)=23=8
Cantor riuscì a dimostrare che se A è infinito non è
mai equipotente ad A .
In particolare se l’insieme in questione è l’insieme
dei numeri naturali Cantor dimostrò che ha la
potenza del continuo.
A questo punto Cantor si chiese :esiste un insieme
infinito la cui cardinalità sia compresa tra quella
del numerabile e quella del continuo?
Tentò per anni di dare una risposta cercando un
insieme che avesse tale caratteristica, ma invano.
Concluse , anzi suppose che un insieme con tale
caratteristica non esiste.
Questo problema lasciato aperto da Cantor è noto
come
l’ipotesi del continuo.
“La mia teoria si regge salda come una
roccia; ogni freccia diretta contro di essa
ritornerà rapidamente a chi l’ha
lanciata . Come lo so? Perché l’ho
studiata sotto tutti gli aspetti per molti
anni, perché ho esaminato tutte le
obiezioni che siano mai state mosse
contro i numeri infiniti e soprattutto
perché l’ho seguita fino alle sue radici,
per così dire, fino alla prima causa
infallibile di tutto il creato”.
(G.Cantor)