Data una carica puntiforme Q
Come posso descrivere in modo sintetico il possibile effetto che Q
esercita su una qualsiasi carica posta nello spazio circostante?
Uso la carica q0
+
-
+
+
+
Estendendo il procedimento a tutti i punti dello spazio è possibile associare ad ogni
punto (x,y,z) il vettore forza elettrostatica, che la carica q0 (per convenzione positiva)
sente (a causa di Q) in quella determinata posizione (matematicamente abbiamo
quindi che F(Q,q0) è rappresentabile mediante un campo vettoriale).
L’inviluppo di tutti i vettori visualizza delle linee (dette linee di forza o di
campo). Il vettore tangente alle linee di campo nel punto P rappresenta la
direzione ed il verso della forza generata dalla carica Q sentita dalla carica
positiva q0. La densità delle linee da una stima dell’intensità. Dove cioè le linee
sono più dense la forza è più intensa
Campo Elettrico cap. 23.1-23.4 + 23.8 HRW
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+
?
Se conosciamo l’andamento delle linee di campo possiamo ricavare la
direzione ed il verso della forza agente su una determinata carica in un
qualsiasi punto dello spazio. Non è quindi più importante conoscere la
distribuzione delle cariche che generano il campo, ma solo il loro effetto.
Campo Elettrico cap. 23.1-23.4 + 23.8 HRW
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+
Campo Elettrico cap. 23.1-23.4 + 23.8 HRW
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Concetto di campo elettrico
Il campo elettrico E che esiste in un punto P(x,y,z) è la forza elettrostatica F che si
esercita su una carica prova q0 collocata in quel punto, divisa per il valore della carica
prova stessa q0.
E=
F
q0
[E ] = [N ] = [kg2][m]
[C ] [s ] [C ]
Il campo elettrico è una grandezza vettoriale e la sua direzione orientata è uguale alla
direzione orientata della forza F che si esercita su una carica di prova positiva.
Per una carica puntiforme Q
F
1 Q∧
E= =
r
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q0 4πε 0 r
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Note importanti:
• Le linee di campo elettrico non si originano nè terminano nello spazio tra le
cariche ma solo su una carica elettrica che si dice sorgente del campo.
• Le linee di campo elettrico si originano dalla carica positive e sono dirette
verso la carica negativa.
• La configurazione delle linee di campo elettrico da anche una stima
sull’intensità del campo elettrico. Tanto maggiore è il numero di linee di
campo tanto maggiore è l’intensità del campo stesso.
• Le linee di campo elettrico non sono ovviamente sempre rettilinee
• Concettualmente il campo elettrico nel punto generico P(x,y,z) indica la
forza che una ipotetica carica elettrica positiva unitaria posta in P(x,y,z)
sentirebbe.
• Per avere un campo elettrico è necessaria una distribuzione di carica
sorgente ma non è necessaria una carica prova (come invece per la forza)
in altre parole il campo elettrico è sempre presente laddove sono presenti
della cariche, ma si manifesta solo in presenza di cariche prova.
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Il procedimento ovviamente può essere applicato sostituendo alla carica Q positiva
una carica Q negativa o una distribuzione di più cariche puntiformi o continue.
Carica puntiforme negativa
Due cariche puntiforme positive
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Dipolo Elettrico
La configurazione di cariche molto semplice e molto importante dopo
quella di una carica puntiforme, è il dipolo elettrico.
Si dice dipolo elettrico un sistema costituito da due cariche (una positiva
ed una negativa posta ad una distanza d tra loro
Campo di dipolo elettrico
d
E=
F
q0
Ex =
Ey =
Ez =
Campo Elettrico cap. 23.1-23.4 + 23.8 HRW
Fx
1 1
≈
f1 (θ , φ )
q0 2πε 0 r 3
Fy
q0
≈
1
1
f (θ , φ )
3 2
2πε 0 r
Fz
1 1
≈
f 3 (θ , φ )
q0 2πε 0 r 3
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Note importanti
In elettrostatica si ipotizza SEMPRE che le cariche elettriche,
comunque siano distribuite, siano sempre FERME.
Il mattone di partenza di tutta la trattazione è la forza di Coulomb. Dalla
relazione che da’ la forza con cui si attraggono e respingono due cariche
puntiformi è possibile ricavare la forza che subisce una distribuzione di
carica qualsiasi in presenza di una seconda distribuzione di carica qualsiasi
(Questa ‘forza’ può dipendere dalla distanza in modo molto diverso da
quella di Coulomb).
Analizzare il problema nei termini di campo elettrico risulta essere più
semplice in quanto non bisogna più preoccuparsi della carica sonda ma è
concettualmente assolutamente identico ad una analisi in termini di forza.
Poiché è più facile conoscere l’andamento del campo elettrico che la
distribuzione di cariche più in generale si dice che:
Data una certa distribuzione di cariche che genera un campo elettrico
E=E(x,y,z) la forza elettrica che una carica q posta nel P(x0,y0,z0) subisce è
pari al prodotto del valore del campo elettrico nel punto P per il valore della
carica q.
F = qE
Da notare che con questa nuova definizione di forza non entrano più in
gioco le distribuzioni di cariche. Tutto dipende dal punto P (x0,y0,z0). Ciò
che c’é attorno non è importante.
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Il campo elettrico nei conduttori
I conduttori sono dei materiali con la particolarità di permettere alle cariche
di muoversi liberamente al loro interno.
Consideriamo una sfera piena di
materiale conduttore (rame, alluminio,
ferro, oro, ….) con al suo interno una
data quantità di carica Q (p.es. Negativa)
La forza di repulsione elettrostatica farà
allontanare il più possibile le cariche
(che in un conduttore possono muoversi
al suo interno).
Il luogo dei punti dove le cariche
massimizzano la loro distanza reciproca
è la superficie esterna.
All’equilibrio, in condizioni elettrostatiche (cioè con tutte le cariche ferme), la carica
in eccesso, di qualunque polarità sia, risiede sulla superficie esterna del conduttore,
qualsiasi sia la forma del conduttore.
Ovviamente la densità di carica può essere differente in punti diversi della superficie
del conduttore. In particolare la densità di carica si concentrerà soprattutto sulle punte.
Nel caso in cui ci fosse un conduttore cavo (di qualsiasi forma interna ed esterna) con
al suo interno una carica Q (positiva) allora sulla superficie interna del conduttore si
verrà ad accumulare una carica -Q mentre sulla superficie esterna ci sarà una carica +Q
(ovviamente la carica totale del conduttore deve essere zero).
Un osservatore esterno vede solo la carica Q
(positiva) sulla superficie esterna del conduttore.
Non è possibile in alcun modo conoscere cosa ci
sia all’interno del conduttore. Bisogna ‘romperlo’.
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Nota Importante
•All’equilibrio, in condizioni elettrostatiche (cioè con tutte le cariche ferme), la carica
in eccesso di qualunque polarità sia risiede sulla superficie esterna del
conduttore.
• All’interno del conduttore, di conseguenza, il valore del campo elettrico è nullo.
Infatti se fosse non nullo indurrebbe un movimento nelle cariche.
• Poiché all’interno di un conduttore il campo è nullo le linee di campo non possono
entrare in un conduttore ma si fermano sulla sua superficie.
• Una qualsiasi carica posta in una cavità all’interno di un conduttore non sentirà in
alcun modo un campo elettrico generato da delle cariche esterne
• Il campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore in equilibrio è
sempre perpendicolare al conduttore stesso. Se cosi’ non fosse allora la componente
non perpendicolare indurrebbe un moto nelle cariche presenti sulla
superficie.
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Campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica
In generale il calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione di
cariche qualsiasi è un problema estremamente difficile da risolvere a meno
che il sistema abbia delle speciali simmetrie. In generale lo si risolve con
metodi numerici con una integrazione sul volume.
r
P(x0,y0,z0)
Per calcolare il campo elettrico generato da una qualsiasi distribuzione
continua di carica in un punto P(x0,y0,z0) si divide la distribuzione in
volumi infinitesimi, ciascuno con una densità di carica ρ(x,y,z) e si integra
su tutto il volume.
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Condensatore a piatti piani paralleli
In moltissime applicazioni (p.es. in uno oscilloscopio o in uno schermo
televisivo) è importante avere un campo elettrico costante nello spazio o, in
altre parole, una regione dello spazio dove è possibile confinare un campo
elettrico costante in direzione, verso e modulo.
Un sistema formato da due piatti piani paralleli su cui è presente una carica
Q identica ma opposta in modulo in prima approssimazione produce nella
regione centrale un campo elettrico costante.
+Q
-Q
Se la superficie dei piani è pari ad
A e se su ciascun piano è presente
una carica Q, il campo elettrico
all’interno di un condensatore a
piatti piani paralleli è pari a:
1 Q
E=
ε0 A
Alle estremità del condensatore a piatti piani paralleli si ha un “effetto di
bordo” per cui il campo elettrico non è più costante.
In prima approssimazione se le armature sono di dimensioni molto
superiori rispetto alla loro distanza è possibile vedere il condensatore
come un oggetto con un campo elettrico costante in direzione verso e
modulo al suo interno ed un campo elettrico nullo al suo esterno.
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Un esempio: la stampante a getto di inchiostro: problema svolto 23.4
E=costante (placche di deflessione) e la posizione della goccia è determinata
dalla carica (vedi problema svolto 23.4).
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Obiettivi generali degli esercizi (aula/tutor.):
Saper calcolare il campo elettrico dovuto ad una carica
e comprendere e saper utilizzare il principio di
sovrapposi-zione;
Saper calcolare accelerazione, velocità e posizione (in
funzione del tempo) per una carica in un campo elettrico
assegnato.
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