Weekly Summary (6) •  Tensione Superficiale
•  Tensioattivi, Flottazione e capillarità
•  Membrane Elastiche e legge di Laplace
•  Embolia gassosa
•  Meccanismo respirazione
I liquidi all’equilibrio
In un liquido all’equilibrio agiscono solo forze perpendicolari
alle superfici libere (quelle che abbiamo chiamato pressioni). Le
forze tangenziali devono essere nulle, altrimenti avremmo
movimento, ovvero mancanza di equilibrio!!!
Tensione Superficiale
La risultante delle forze di coesione che
agisce su una molecola all’interno del
fluido è nulla per simmetria mentre è
diretta verso il basso quando la molecola
sta all’interfaccia aria/liquido. Da notare
che la forza peso non viene considerata!
La superficie di un liquido, e in generale
tutte le interfacce, hanno un
comportamento anomalo intrinseco, ma
per questo molto interessante!
Nel caso in figura se vogliamo aumentare la superficie dell’interfaccia,
portando delle molecole verso questa, dobbiamo fare lavoro contro le
forze di coesione.
Tensione Superficiale
La superficie si comporta come una membrana elastica tesa, a causa
delle forze di coesione tra molecole vicine: per aumentarne la superficie
dobbiamo vincere le forze elastiche che sono tangenziali alla superficie
e perpendicolari al contorno.
Tensione Superficiale nelle lamine liquide
Si definisce il coefficiente di tensione
superficiale τ come l’intensità della forza
per unita di lunghezza, F/l, che agisce
lungo il bordo della lamina liquida:
F
!=
l
La forza F, detta forza di tensione superficiale,
non dipende dall’estensione della superficie ma
solo dalla lunghezza del contorno.
Se raddoppiamo il contorno raddoppia anche la forza ma rimane
costante il rapporto tra forza e lunghezza del contorno. L’unità di misura
della tensione superficiale è N/m (o dyne/cm nel sistema CGS).
Tensione Superficiale
Il coefficiente di tensione superficiale può anche
essere definito a partire dal lavoro, senza che per
questo cambi la sua unità di misura. Per
aumentare la superficie libera di ΔS bisogna fare
un lavoro contro le forze di tensione
superficiale :
L
!=
!S
Il lavoro fatto dalle forze superficiali per
riportare la superficie al valore iniziale dipende
solo dal valore iniziale e finali della superficie,
L=τ*(Si-Sf), possiamo quindi, in analogia alla
meccanica, definire un’energia potenziale
superficiale come il lavoro fatto contro le forze di
tensione per portare l’area a un valore S:
U = !! S
Tensione Superficiale
L
!=
!S
Questa definizione è alquanto interessante perché
rappresenta una generalizzazione del concetto di
forza. La stessa generalizzazione la troveremo
quando faremo i potenziali termodinamici e le
forze entropiche.
Se analizziamo meglio la tensione superficiale
vediamo come sia una forza tangenziale creata
da forze molecolari, dirette invece
perpendicolarmente alla superficie!!!
Quindi si tratta di una forza effettiva, legata al
concetto di lavoro necessario a modificare la
superficie del liquido.
Tensione Superficiale
Per il momento abbiamo solo
considerato le forze tra molecole
dello stesso tipo, fluido-fluido, ma
per un liquido in un contenitore
esistono anche le forze, dette di
adesione, tra il fluido e il contenitore.
In ogni caso la risultante delle forze
deve essere perpendicolare alla
superficie e diretta verso l’interno del
liquido (condizione di equilibrio
delle superfici), cosi da creare una
forza effettiva di superficie.
Contatti fluido-fluido
Le forze di tensione superficiale all’equilibrio
sono tangenziali alle superfici e quando si
hanno contatti fluido-fluido, come in figura, le
forze sono anche perpendicolari alle linee di
contatto, giacciono tutte sullo stesso piano Per una goccia su una superficie ci sono 3 contatti, FτAB=goccia/liquido,
FτA=goccia/aria, FτB=liquido/aria. Ciò che determina l’equilibrio, se
esiste, è la somma delle tre forze:
F! A + F! B + F! AB = 0
Contatti fluido-fluido
Come si vede dalla figura a lato nel caso
(a) si ha equilibrio delle forze, la forza
risultante sulla linea di contatto è zero e
la goccia persiste sulla superficie.
Invece nel caso (b) la goccia non può
persistere perché la forza FτB è molto
grande. Cosa vuole dire?
Questo è il caso delle gocce d’olio sulla
superficie d’acqua: siccome la tensione
superficiale aria-acqua è molto intensa,
più della somma vettoriale delle altre
due, la goccia d’olio tende a spandersi
sulla superficie d’acqua sino a
raggiungere spessori molecolari. In
termini di energia la superficie ariaacqua tende al minimo.
F! B > F! A + F! AB
Contatti fluido-vetro
Le forze di coesione/adesione determinano
anche i contatti tra liquidi e solidi, come in
figura.
Nel caso (a) la forza di tensione superficie/
aria prevale, cioè la superficie di contatto
superficie/aria tende a essere minima, il
liquido si espande (si dice che bagna la
superficie).
In (b) la forza di tensione liquido/superficie
prevale, cioè la superficie liquido/superficie
tende a essere minima, diciamo che il liquido
non bagna la superficie e si compatta in una
goccia. τ >> => S<< Flottazione
La tensione superficiale può in alcuni casi
determinare il galleggiamento di corpi
con densità maggiore di quella del
liquido.
Infatti per volumi trascurabili la forza
peso e quella di Archimede sono piccole e
quindi prevale la componente verticale
delle tensioni superficiali.
Questo accade quando il liquido non
bagna il corpo. Questo perché la tensione
superficiale del liquido, essendo elevata,
tende a opporsi alla sua rottura, o al suo
aumento. Per immergere completamente
il corpo la superficie deve aumentare!!!
Applicazioni della Tensione Superficiale
Anche per la tensione superficiale, un
fenomeno prettamente di natura
molecolare, gli effetti sono
macroscopici. Le proprietà detergenti
delle soluzioni dipendono dalla
tensione superficiale. I detersivi e i
saponi vengono aggiunti all’acqua per
diminuire la sua tensione superficiale e
fare si che l’acqua si distribuisca
meglio sulle superfici da lavare.
Come vedremo meglio nella teoria cinetica dei gas, la tensione
superficiale diminuisce all’aumentare della temperatura, in quanto
l’agitazione delle molecole, la temperatura, disturba le forze di coesione
ed adesione. Per questo l’acqua calda lava meglio di quella fredda!!!
Tensioattivi
I tensioattivi sono dei soluti che sciogliendosi in un solvente ne
modificano la tensione superficiale, sia aumentandola che
diminuendola. Di solito la variazione di tensione superficiale dipende
dalla concentrazione della soluzione:
! soluzione ! ! solvente
" C(%)
! soluzione
L’aggiunta di NaCl (sale da cucina) aumenta la tensione superficiale
dell’acqua, cosi come altri soluti minerali.
NaCl 10% ==> τ=77 dyne/cm
NaCl 25% ==> τ=84 dyne/cm
I soluti organici (acido acetico) solitamente abbassano la tensione
superficiale.
Il saccarosio, anche ad elevate concentrazioni, non ha effetti sulla
tensione superficiale. Dipendenza dalle forze molecolari!!!
Tensioattivi
Le sostanze tensioattive sono capaci,
anche a basse concentrazioni, di abbassare
la tensione superficiale dell’acqua.
Queste sostanze si miscelano all’acqua in
maniera non omogenea, addensandosi alla
superficie.
Il loro meccanismo di azione viene
illustrato in figura:
le molecole rosse (tensioattivo) si
sostituiscono gradatamente a quelle
azzurre (solvente) alla superficie. Mentre
le molecole di solvente hanno una forte
coesione tra loro, quelle di tensioattivo
hanno una forza (di adesione) per il
solvente più piccola, che risulta in una
diminuzione della tensione superficiale.
Tensioattivi
Esiste un equilibrio dinamico tra la
propensione delle molecole di tensioattivo
ad occupare la superficie e l’agitazione
termica che tende a rendere omogenea la
soluzione, cioè portare le molecole di
tensioattivo a distribuirsi omogeneamente
in soluzione.
Se aggiungiamo una sostanza solida
polverizzata all’acqua, l’alta tensione
superficiale tende a mantenerla in
superficie, flottazione. Se aggiungiamo un
tensioattivo la polvere si scioglie
nell’acqua.
Tensioattivi
Questo è il metodo per individuare la
presenza di acidi biliari nelle urine. L’urina
normale ha una tensione superficiale
sufficiente a mantenere in superficie dei
granelli di zolfo.
La presenza di acidi biliari nell’urina
abbassa la tensione superficiale dell’urina
e i granelli di zolfo precipitano sul fondo
del recipiente.
Le sostanze tensioattive vengono anche
usate come disinfettanti. Tendono infatti a
concentrarsi nello strato di interfaccia che
si crea attorno ai batteri quando sono
bagnati dalla soluzione.
Capillarità: forze molecolari
Il valore relativo delle forze di coesione e
adesione per le molecole di un liquido in
un contenitore concorrono, insieme alla
forza peso, a determinare il tipo di
interfaccia liquido/solido. Da notare che
la forza peso è la più piccola delle tre!!!
(a) Se le forze di adesione f2 sono
maggiori di quelle di coesione f1 allora il
liquido bagna le pareti del contenitore.
(b) Viceversa se sono quelle di coesione
f1 a prevalere allora il liquido NON
bagna le pareti.
La risultante R all’equilibrio deve essere
sempre perpendicolare alla superficie.
Capillarità: forze di tensione
Questo fenomeno dà luogo alla capillarità,
cioè quando immergiamo un vaso piccolo
(capillare) all’interno di un liquido si può
avere l’innalzamento o l’abbassamento del
liquido nel vaso, rispetto alla superficie libera
del liquido.
Capillarità
È l’equilibrio tra forza peso del liquido e
tensione superficiale che determina
l’altezza di equilibrio h. Per un vaso
cilindrico (sezione circolare) abbiamo
Fτ=l*τ:
F! = FP
2" r! cos# = dg" V = dg" r 2 h
2! cos# = dgrh
Per angoli <90o si ha l’innalzamento
(h>0), caso acqua-vetro.
Per angoli >90o si ha l’abbassamento
(h<0), caso mercurio-vetro.
Pensare al movimento della linfa negli alberi o
al potere assorbente di alcuni materiali, cotone.
Tensione elastica membrana
La legge di Hooke ci dice che la deformazione di un corpo
elastico, sotto l’azione di una forza esterna, è proporzionale alla
forza stessa: f=-kx
Ciò vuol dire che ogni corpo si oppone alla deformazione con una
forza di reazione uguale e contraria. La forza di reazione si
chiama forza elastica.
Se consideriamo una membrana elastica, quando viene tesa
esistono delle forze interne, dirette tangenzialmente alla
superficie, che si oppongono.
Queste forze interne si rendono “visibili” quando pratichiamo un
taglio alla membrana tesa: sono capaci di dilatare il taglio stesso.
Tensione superficiale membrana
In analogia a quanto fatto per la tensioni superficiale dei liquidi,
possiamo definire una tensione superficiale, o tensione elastica
della membrana, come il lavoro infinitesimo per variazione di
superficie:
dL
! (S) =
dS
Contrariamente alla tensione superficiale dei liquidi qui la
tensione elastica DIPENDE dal valore della superficie stessa della
membrana, τ=τ(S)
Legge di Laplace
La legge di Laplace esprime una
condizione di equilibrio tra la tensione
superficiale e la differenza di pressione
tra esterno e interno di una bolla ad
esempio.
Per semplicità si può considerare un palloncino sferico come in figura.
Dato un punto P le forze di tensione elastica avranno una componente
diretta verso il centro della sfera, essendo la componente orizzontale
nulla. A questa forza deve fare equilibrio un’altra forza, ovvero la
differenza tra la pressione interna e quella esterna.
Legge di Laplace
Per trovare la condizione di equilibrio si
fa ricorso al principio dei lavori virtuali.
Poiché all’equilibrio la risultante delle
forze deve essere nulla, per un piccolo
spostamento il lavoro deve essere
anch’esso nullo. Calcoliamo il lavoro per
una variazione infinitesima della
superficie della sfera, portando il raggio
da r a r+Δr. Prima vediamo come cambia
la superficie per un aumento del raggio:
2
2
2
4! (r + !r) " 4! r = 8! r!r + 4!!r # 8! r!r
Il termine con Δr2 viene trascurato perché sempre più piccolo di quello
con Δr (ricordarsi che Δr è molto più piccolo di 1)
Legge di Laplace
Il lavoro fatto dalle forze di tensione
risulta essere:
L! = !!S = ! 8" r!r
e va considerato con il segno meno
perché la forza è diretta verso il centro
della sfera!
Se vogliamo aumentare il raggio, la differenza di
pressione Δp=Pint-Pext compirà un lavoro:
LP = F ! "r = "pS"r = "p"r4! r
2
Legge di Laplace
Il lavoro totale deve essere:
LP ! L! = 0
! 8" r!r = !p!r4" r
2!
!p =
da cui risulta:
r
2
Questa formula vale per un sistema sferico:
maggiore il raggio della sfera minore la
differenza di pressione tra interno ed esterno. I palloncini scoppiano quando la differenza di
pressione eccede il valore della tensione
superficiale, ovvero il regime elastico cessa di
valere (in analogia ai fili, si spezzano quando
la forza esterna eccede la tensione interna).
Legge di Laplace
Per le membrane elastiche poiché la tensione
superficiale τ dipende dal valore della
superficie, qui il raggio della sfera, la formula
di Laplace vale solo in maniera implicita: 2! (r)
!p =
r
Legge di Laplace: casi limite
Se abbiamo un ellissoide la formula di
Laplace si scrive rispetto ai due raggi di
curvatura principali:
"1 1%
!p = ! $ + '
# R1 R2 &
Legge di Laplace: casi limite
Invece se abbiamo un cilindro,
poiché uno dei raggi di curvatura
vale infinito allora ricaviamo:
$1 1' !
lim
!p =
!& + )=
R2 " # % R1 R2 ( R1
!
!p =
R
Questa formula viene usata per studiare l’equilibrio dei vasi sanguigni!
Salita della linfa negli alberi
Quanto può risalire l’acqua (tensione superficiale 72 dyne/cm)
lungo un capillare di raggio 10-3 cm?
2! cos" = dgrh
Se consideriamo anche la condizione più favorevole, θ=0, otteniamo
h=150 cm. Negli alberi più alti il meccanismo dell’osmosi permette la
risalita della linfa sino a 30-40 metri. E oltre cosa succede?
Si fa ricorso al concetto di pressione negativa. La colonna di linfa nei
capillari non viene mai spezzata. Se l’acqua nelle foglie evapora,
dovrebbe lasciare spazio libero, ma per le forze di coesione altra linfa
viene attratta verso l’alto.
Respirazione polmonare
Lo stesso concetto di pressione negativa viene utilizzato per la
respirazione polmonare: quando la cassa toracica si espande i
polmoni seguono questa espansione e all’interno si crea una
depressione che genera un afflusso di aria, inspirazione.
L’espirazione invece è creata dalla contrazione della cassa
toracica che crea una leggera sovrapressione interna che fa
defluire l’aria all’esterno.
L’embolia gassosa
L’embolia è l’ostruzione di un vaso, arteria o vena, causata da un
corpo estraneo, detto embolo. Nel caso particolare dell’embolia
gassosa il corpo estraneo è una bolla di aria (o di gas).
E’ una patologia tipica dei subacquei, ma non esclusivamente.
Quando un subacqueo riemerge dopo un’immersione con le
bombole, durante la risalita la pressione (ricordare Stevino)
diminuisce, provocando la dilatazione di piccole bolle di gas.
Se la risalita è molto veloce (più di 10 metri al minuto) le bolle di
gas in espansione non riescono a raggiungere i polmoni e
rimangono intrappolate all’interno dei vasi.
Di solito è l’azoto che crea problemi, perché? Ricordarsi che
l’azoto è un gas neutro per l’uomo e si trova a una percentuale alta
rispetto ai gas attivi (ossigeno e anidride carbonica).
L’embolia gassosa
L’ostruzione dei vasi da parte dell’embolo non è semplicemente
dovuto all’espansione delle bolle di gas, questo è vero solo nei casi
più gravi, quando il subacqueo compie una “risalita a pallone”. Molto spesso l’embolia viene dopo risalite “regolari” e dopo
diverse ore dall’immersione.
Invece il meccanismo di ostruzione è molto più sottile e viene
spiegato dall’applicazione della legge di Laplace e dal principio di
Bernoulli. Bernoulli
Dobbiamo capire perché una bolla d’aria all’interno del vaso non
circola con il sangue ma rimane ferma.
La bolla all’interno del vaso ha due menischi,
se p1 e p2 sono le pressione all’esterno dei
menischi, caratterizzati da un angolo θ1 e θ2, a
pressioni uguali devono corrispondere
menischi uguali:
Δp=p-p1=p-p2=2τ/R
Però sappiamo che per avere movimento del
sangue, vedere Bernoulli e Poiseuille, a causa
dell’attrito dobbiamo avere una differenza di
pressione all’interno dei vasi, cioè per un
flusso da sx verso dx deve essere p1>p2.
Tensione Superficiale
In questo caso la differenza di pressione Δp
sarà diversa per i due menischi.
Poiché p1>p2 ed essendo la pressione interna
uguale e maggiore, Δp1 < Δp2, ovvero il
raggio di curvatura R della superficie 1 e’
maggiore di quello della superficie 2 per la
legge di Laplace Δp=2τ/R, ovvero θ1>θ2.
Quindi, come si può vedere dalla figura, il
menisco di sinistra tende ad appiattirsi, raggio
di curvatura maggiore, mentre quello di destra
tende a gonfiarsi, raggio di curvatura minore.
Tensione Superficiale
Calcoliamo per questa nuova geometria la
nuova differenza di pressione p1-p2, cosi come
viene modificata dalla tensione superficiale.
La forza di tensione superficiale è tangenziale alla superficie della
bolla. Consideriamo la sua componente lungo la direzione del flusso,
è questa forza che provoca una pressione addizionale!!! Pressione da tensione
La forza di tensione, per definizione, è il
prodotto tra la tensione superficiale e il
contorno, qui il perimetro del vaso
(ATTENZIONE, r=raggio del vaso):
p1! =
F1! ! cos#1 ! 2" r 2! cos#1
=
=
2
2
"r
"r
r
Questa pressione va a sommarsi alla pressione p1:
2! cos"1
p1 ' = p1 + p1! = p1 +
r
Analogamente nel punto 2 avremo:
p2 ' = p2 + p2 ! = p2 +
2! cos" 2
r
Pressione La nuova differenza di pressione sarà:
2! cos"1
2! cos" 2
!p' = p1 '" p2 ' = p1 + p1! " p2 " p2 ! = p1 +
" p2 "
=
r
r
2!
= p1 " p2 " ( cos" 2 " cos"1 ) = !p " !p!
r
Poiché quando p1>p2 abbiamo θ2<θ1, avremo
cosθ2>cosθ1, ovvero la pressione Δpτ è positiva.
Questo comporta che la nuova differenza di
pressione tra il punto 1 e 2, Δp’, deve diminuire
ovvero che la forza che mette in moto il fluido
diminuisce di Δpτ.
Qualche numero
Occorre stimare la variazione di pressione Δpτ e vedere quanto vale
rispetto alla pressione originaria Δp. Solo quando Δp > Δpτ avremo un
flusso!!!
2!
!p' = !p " !p! = !p " ( cos! 2 " cos!1 )
r
Assumiamo che il sangue abbia la stessa
tensione superficiale dell’acqua (72.5 dyne/cm) e
che nella peggiore delle ipotesi i due angoli dei
menischi siano il primo 90° e il secondo 0o.
145barie
!p! =
r(cm)
Qualche numero
145barie
!p! =
r(cm)
Se abbiamo un capillare con r= 20 μm la
pressione di tensione vale 50 mmHg.
Se invece abbiamo un vaso di dimensioni
maggiori, r= 0.01 cm, la pressione di
tensione vale 10 mmHg
In entrambi i casi sono
differenze di pressione non
trascurabili, più importanti
per i capillari ma
probabilmente meno
pericolose per i danni che
può provocare.
Alveoli polmonari
Gli alveoli polmonari si possono descrivere come piccole sfere cave,
unite fra loro, costituite da due strati: quello interno è assimilabile a
una bolla liquida (condizione generata dal vapor saturo) alla quale
aderisce uno strato esterno di materiale elastico.
Se esistesse solo lo strato interno liquido, il sistema degli alveoli
sarebbe in equilibrio instabile.
Una piccola perturbazione porterebbe alla distruzione di tutti gli
alveoli. Vediamo perché.
Laplace
Date due bolle ottenute dalla stessa soluzione ed identiche come
dimensioni, per la legge di Laplace la differenza tra pressione interna
ed esterna deve essere uguale. Poiché la pressione esterna è costante, la
pressione interna deve essere uguale. Detta Δp la differenza di
pressione tra p1 e p2 abbiamo Δp=0.
2!
!p =
R
Se le bolle sono uguali
Δp=p1-p2=0
Pext
P1
P2
Non equilibrio
Se il raggio della bolla 1 diminuisce, per la legge di Laplace la
differenza tra pressione interna ed esterna aumenta. Al contrario se la
bolla 2 aumenta di dimensioni, la sua pressione interna diminuisce.
Poiché la pressione esterna deve rimanere costante, deve aumentare
la pressione interna nella bolla 1 e diminuire nella bolla 2.
2!
!p =
R
Se le dimensioni
cambiano come in figura
si ha: p1’>p1 e p2’<p2
Pext
P2
P1
Δp’>0
Collasso
Siccome i fluidi vanno da pressioni maggiori a pressioni minori, si
ha uno spostamento di fluido dalla bolla 1 alla bolla 2, cioè la bolla 1
collassa a spese della bolla 2: le bolle grandi si “mangiano” quelle
piccole, abbiamo una situazione di non equilibrio!!!
Pext
P2
P1
Δp’>0
Strato elastico
La presenza negli alveoli dello strato esterno elastico permette di
fermare l’espansione delle bolle grosse consentendo una situazione
di equilibrio stabile
Pext
P2
P1
Δp’>0
Alveolo
L’alveolo, visto come una bolla che cresce all’estremità di una
cannuccia, parte con un raggio di curvatura infinita, che decresce
sino ad arrivare al raggio della cannuccia, dopodiché il raggio
aumenta di nuovo.
Per la legge di Laplace la differenza tra pressione
interna ed esterna aumenta sino alla fase III
quando, raggiunto il raggio minimo, inizia a
decrescere, mentre il volume aumenta.
Alveolo
Lo strato elastico esterno controlla l’alveolo a
volumi maggiori. L’insieme dei due strati si
comporta come nella figura sottostante. L’alveolo
cresce sino alla pressione critica alla quale si ha lo
“scoppio” della bolla e lo strato elastico media le
dimensioni (passaggio da A a B). In espirazione la
pressione interna diminuisce sino a collassare da C
a D. Questo meccanismo si chiama isteresi.
Isteresi
Si è in presenza di isteresi quando una proprietà (qui il volume)
dipende non da un valore della pressione ma dall’andamento della
pressione, se ascendente o discendente.
L’isteresi nella respirazione è spiegata con l’effetto di un tensioattivo
che agisce diversamente sugli alveoli piccoli e grandi. Quando
l’alveolo è sgonfio l’alta concentrazione di tensioattivo favorisce la
sua espansione (bassa tensione), mentre quando è gonfio la bassa
concentrazione di tensioattivo aumenta la tensione favorendone la
sua chiusura.