Metodi di integrazione
numerica (ODE+PDE)
Jost von Hardenberg – ISAC-CNR
Integrazione numerica di
equazioni differenziali

Cerchiamo una soluzione (un’approssimazione
numerica) per un’equazione differenziale ordinaria p.es

Oppure per equazioni alle derivate parziali, es:

date opportune condizioni iniziali e/o al contorno
Metodi a differenze finite

Sostituiamo al problema continuo una sua
rappresentazione su una griglia discretizzata
(nello spazio e nel tempo):
- Problema ben posto
- Consistenza
Rappresentazione
a differenze finite delle derivate
Ottenibile da:
 Definizione classica derivata prima di una
funzione u(x,y) in un punto:

Espansione in serie di Taylor di u(x,y) attorno ad
un punto
Rappresentazione
a differenze finite delle derivate
Ottenibile da:
 Fit di un polinomio nell’intorno di un punto:
ui
ui+1
ui-1
x-x
x
x+x
Integrazione numerica di eq.
differenziali ordinarie

NB: qualunque ODE di ordine > 1 può essere scritta
come sistema di eq. 1. ordine. Es:

Problema generico:
ODE: Il metodo di Eulero
+ Err.ore
Troncamento
yn+1
f(y)
yn
t
-Metodo accurato al 1. ordine
- Poco stabile
- Metodo esplicito
- Metodo asimmetrico
ODE: Runge-Kutta 2
k2
yn
k1
t
yn+1
y(t)
k2
t+t/2
t+t
- Metodo accurato al 2. ordine
- Buona stabilità
- Metodo esplicito
- più simmetrico di Eulero
ODE: Runge-Kutta 4
k2
yn
k1
k2
k4
y(t)
k3
- Metodo accurato al 4. ordine
- Buona stabilità
- Metodo esplicito
t
t+t/2
t+t
Altri metodi




Leapfrog
…. molti altri metodi espliciti
Predictor-corrector
Metodi impliciti (maggiore stabilità,
non necessariamente accuratezza)
PDE, esempi
Avvezione di uno scalare
FT
CS
Equazione del calore
Non è stabile!
PDE: Condizioni al contorno



Condizioni di Dirichlet eg. u=f su 
Condizioni di von Neumann:
eg: u/n=f oppure u/s=g su 
Condizioni miste e.g: u/n+ku=f
n

s
Analisi di stabilità





D = soluzione discreta (infinita precisione)
N = soluzione numerica (precisione finita)
A = soluzione analitica
Err. di discretizzazione = A - D
Err. arrotondamento = N – D
Come cresce l’errore di arrotondamento ?
Analisi di stabilità di von Neumann



Seguiamo un piccolo errore : y’=y+
nelle equazioni discrete
Eq. lineari (linearizzate) per la crescita dell’errore
Errori rappresentati come modi di Fourier:
Sostituiamo
e cerchiamo
Altri metodi:





Griglie staggered
Metodi spettrali
Metodi impliciti
Volumi finiti …..
Metodi per equazioni ellittiche
(rilassamento, multigriglia ….)