Corso di Analisi: Algebra di Base
2^ Lezione
• Equazioni di 1° .
• Equazioni di 2° .
• Equazioni fattoriali .
• Equazioni biquadratiche .
• Equazioni binomie .
• Equazioni fratte .
• Allegato Esercizi .
INDICE
EQUAZIONI ALGEBRICHE
EQUAZIONI DI 1° GRADO
Con il termine di equazione intendiamo una uguaglianza tra due espressioni algebriche,
contenenti una incognita (x). Risolvere tale equazione significa determinare quel particolare
valore da attribuire alla incognita (x) , per il quale risulti verificata l’eguaglianza .
Es.
ax + b = 0
Es. risolvere :
verifica :
ax − b
=
a
a
⇒ ax = −b ⇒
2x + 4 = 0
⇒
2 x = −4
⇒
x=
x=−
−b
a
4
2
⇒
x=−
b
a
⇒ x = −2
2(−2) + 4 = 0 ⇒ − 4 + 4 = 0 ⇒ 0 = 0
Es. risolvere :
− 3x + 9 = 0
Es. risolvere :
2x − 3 +
⇒
2
= 2(3 − x )
3
⇒
Es. risolvere :
9
3
3x = 9
⇒
x=
6 x − 9 + 2 6(3 − x )
=
3
3
⇒
6 x − 9 + 2 = 18 − 6 x
− 3x = −9
⇒ 6 x + 6 x = 18 + 9 − 2 ⇒ 12 x = 25 ⇒ x =
⇒
⇒
⇒
⇒
25
12
− x + 2(x − 2 ) + [3(1 − x ) + 2(− 2 x − 1)] = (3 − x ) − 2
− x + 2 x − 4 + [3 − 3 x − 4 x − 2] = 3 − x − 2
⇒ − 5 x = +4 ⇒ 5 x = −4 ⇒ x = −
4
5
⇒
− x + 2x − 7x + x = 3 − 2 + 4 − 1
x=3
INDICE
EQUAZIONI DI 2° GRADO
ax 2 + bx + c = 0
equazione completa ed ordinata
le soluzioni ( o radici ) dell'equazione si ottengono dall' applicazione diretta della formula :
x 12 =
dove
− b ± b 2 − 4ac
2a
∆ = b 2 − 4ac
detta formula risolutiva .
si chiama discriminante dell’equazione .
Allo stesso modo si può utilizzare quella che si chiama formula ridotta ( notevolmente
vantaggiosa in certi casi )
x 12 =
b
b2
− ±
− ac
2
4
a
INDICE
Caratteristiche principali dell'equazione di 2° grado :
ax 2 + bx + c = 0
1)
∆ ≥0
2 soluzioni x1 ≠ x2 reali e distinte .
2)
∆ =0
2 soluzioni x1 = x2 reali e coincidenti .
( il polinomio è il quadrato di un binomio ).
3)
∆<0
∀/ x ∈ ℜ
( nessuna soluzione in ℜ ) .
Casi particolari dell’equazione di 2° grado :
1) Se
c=0
l’equazione diventa
(ax
ax 2 + bx = 0
2
+ bx + c = 0)
detta anche equaz. SPURIA
applicando la formula risolutiva abbiamo :
− b − b − 2b − b

x1 =
=
=

− b ± b − 4ac − b ± b
−b±b 
2a
2a
a
1
x 2=
=
=
=
2a
2a
2a
x = − b + b = 0
 2
2a
2
2
INDICE
Gli stessi risultati li possiamo ottenere molto più semplicemente usando il raccoglimento a
fattore comune :
ax + bx = 0
2
⇒
x( ax + b) = 0
Es.
3x − 4 x = 0
2) Se
b=0
⇒
2
⇒
x2 = 0


ax + b = 0 ⇒
x1 =
−b
a
 x1 = 0

x ( 3x − 4 ) = 0 ⇒ 
4
 x 2 = 3
ax 2 + c = 0
l’equaz. diventa
detta anche equaz. PURA
applicando nuovamente la formula risolutiva abbiamo :
x 12 = ±
− 4 ac
− 4ac
−c
=±
=±
2
2a
4a
a

−c
 x1 = +

a
⇒ 
x = − − c
 2
a
Equivalentemente potremo risolvere anche così :
ax 2 + c = 0
⇒
x2 =
−c
a
⇒
x =±
−c
a

−c
 x1 = +

a
⇒ 
x = − − c
 2
a
NOTA BENE : dal momento che stiamo operando nel campo dei numeri reali le soluzioni
di un’equazione pura sono accettabili se e solo se i valori dei coefficienti a e c sono di
segno discorde.
INDICE
 a>0,c<0
x1 , x 2 ∈ ℜ ⇔ 
 a<0,c>0
Quindi :
Es.
4 x 2 − 16 = 0
⇒
x2 + 8 = 0
x2 =
⇒
16
4
x 2 = −8
⇒
( a >0,
x=±2
⇒
x = ± −8
c<0
)
⇒
∀/x ∈ ℜ
In questo caso si poteva ragionare in modo semplice considerando che un quadrato ( x 2 )
che esprime una quantità positiva non può mai essere uguale ad un numero negativo.
Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal grado massimo di un suo monomio e che il
grado esprime altresì il numero massimo di soluzioni ( radici ) della stessa . Il monomio privo di
fattore letterale ( incognita ) è detto termine noto dell'equazione ; la mancanza di tale termine
qualifica l'equazione come omogenea .
Sintetizzando :
ax n + bx n−1 + cx n −2 + ............ + zx 0 = 0
ax n + cx n −2 + ............ + zx 0 = 0
ax n + bx n−1 + cx n −2 + ............ + vx1 = 0
equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e completa
( presenza del termine noto )
equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e incompleta
( mancanza di un termine )
equazione ordinata omogenea ( potenze decrescenti ) e
incompleta ( mancanza del termine noto )
EQUAZIONI FATTORIALI
Si ottengono applicando le regole della scomposizione alle equazioni di grado superiore al
secondo.
Es.
P n (x ) = 0
⇒
A( x ) ⋅ B( x ) ⋅ C( x )⋅......⋅Z ( x ) = 0
INDICE
Es. risolvere :
x 3 − 3x 2 + x − 3 = 0
Applicando le regole della scomposizione abbiamo :
x 2 ( x − 3) + 1( x − 3) = 0
raccogl. parziale o successivo
( x − 3) ⋅ ( x 2 + 1) = 0
A( x ) ⋅ B( x ) = 0
quindi un’equazione fattoriale altro non è che il prodotto
di due o più fattori ( rappresentati da singoli polinomi ).
E’ del tutto evidente che un prodotto di due o più fattori è nullo se almeno uno dei fattori
lo è. Quindi risolveremo un’equazione fattoriale discutendo l’annullamento di ogni singolo
fattore.
Tale procedimento deriva dalla cosiddetta LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL
PRODOTTO.
A( x ) = 0
B( x ) = 0
Riprendendo l’esempio sopra avremo che :
( x − 3) ⋅ ( x 2 + 1) = 0 ⇒
( x − 3) = 0 ⇒ x = 3
 2
2
( x + 1) = 0 ⇒ x = −1
Altro Es. risolvere :
x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = 0
tramite Ruffini :
( x − 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 1) = 0
∀
/ x ∈ℜ
( nessuna
equaz. di 3° grado
soluzione reale)
INDICE
( x − 1) = 0 ⇒

( x − 1) = 0 ⇒
( x − 1) = 0 ⇒

A( x ) ⋅ B( x ) ⋅ C( x ) = 0
( x − 1)3 = 0
Equivalentemente :
⇒
x=1
x=1
x=1
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ( radice o soluzione tripla)
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Un caso particolare di equazione di grado superiore al 2° è dato da un polinomio
di 4° grado mancante dei termini di grado dispari ; tale tipo di equazione viene chiamata
biquadratica .
Simbolicamente assumerà la forma
ax 4 + bx 2 + c = 0
La risoluzione di tale tipo di equazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :
dopo aver posto x 2 = t andremo a risolvere una semplice equazione di 2° grado ; avremo
dunque alla fine i corrispondenti valori di t che dovranno essere risostituiti nella condizione
posta inizialmente per risolvere l’equazione pura corrispondente .
Es: risolvere :
3x 4 − 2 x 2 − 1 = 0
3x − 2 x − 1 = 0 ⇒
4
2
e di qui si ha :
x =t
2
⇒
1

2 ± 4 + 12 t1 = −
=
3t − 2t − 1 = 0 ⇒ t =
3
6
t2 = 1
2
1
 2
/ x∈ℜ
 x = − 3 ⇒ ∀

x = −1
 x 2 = 1 ⇒  1

 x 2 = +1
1
2
INDICE
EQUAZIONI BINOMIE
Un tipo di equazione di grado superiore al 2° costituita da un polinomio di soli due termini
( binomio ) definisce quella che si chiama equazione binomia .
La forma sarà del tipo ax n + b = 0
La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazione
fattoriale .
Es: risolvere :
x4 −1 = 0
x4 − 1 = 0 ⇒
(x
Es: risolvere :
x3 − 8 = 0
x3 − 8 = 0 ⇒
(x − 2 )(x 2 + 2 x + 4) = 0
Es: risolvere :
x 6 − 64 = 0
x6 − 26 = 0 ⇒
2
)(
)
− 1 x2 + 1 = 0 ⇒
(x ) − (2 )
2 3
2 3
=0 ⇒
x = ±1
⇒
(x
2
x=2
)(
)
− 4 x 4 + 4 x 2 + 16 = 0 ⇒
x = ±2
Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,
possiamo determinare le radici reali di un’equazione binomia :
a) come un’equazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,
b) come un’equazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice , ( se di indice n-dispari ) .
Sinteticamente :
ax n + b = 0 ⇒
xn = −
b
a
⇒
x=±n −
ax n + b = 0 ⇒
xn = −
b
a
⇒
x=
n
−
b
a
b
a
( n − pari )
( n − dispari )
INDICE
Riesaminando gli esempi precedenti si ha :
Es: risolvere :
x4 −1 = 0
⇒
x4 = 1 ⇒
x = ±4 1 ⇒
Es: risolvere :
x3 − 8 = 0
⇒
x3 = 8 ⇒
x=38
Es: risolvere :
x 6 − 64 = 0
⇒
x 6 = 64 ⇒
x = ± 6 64
Es: risolvere :
x3 + 3 = 0
⇒
x 3 = −3 ⇒
x=3 −3
Es: risolvere :
x8 + 5 = 0
⇒
x 8 = −5 ⇒ ∀
/ x ∈ℜ
⇒
x = ±1
x = 3 23
⇒
⇒
⇒
x = ±6 26
x=2
⇒
x = ±2
x = −3 3
EQUAZIONI FRATTE
Per equazione fratta si intende un’equazione la cui variabile ( incognita x ) compare anche al
denominatore.
A( x )
=0
B( x )
Tale tipo di equazione si risolve considerando l’equazione formata dal solo numeratore, dopo
la discussione del denominatore ( con la conseguente sua esclusione ). Sostanzialmente si
applica
una delle proprietà fondamentali dell'algebra : moltiplicando ambedue i termini di una uguaglianza
per uno stesso numero il risultato non cambia
B( x ) ⋅
A( x)
= 0 ⋅ B( x )
B ( x)
INDICE
Posto quindi
B( x ) ≠ 0
andremo a risolvere
A( x ) = 0
Le soluzioni finali dell’equazione saranno accettabili se e solo se compatibili con la
discussione fatta inizialmente.
Es. risolvere :
x2 − 4x + 1
=0
x −1
posto dunque
( x − 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
risolveremo
 x1 = 2 − 3
x 2 − 4x + 1 = 0 ⇒ 
 x2 = 2 + 3
entrambe accettabili
poiché diverse da 1
x2 − 1
=0
x +1
Es. risolvere :
posto x + 1 ≠ 0 ⇒
avremo
x ≠ −1
x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1
 x = +1
⇒  1
 x 2 = −1
con x2 non accett.
Quindi la sola soluzione dell’equazione data rimane x = 1 .
INDICE
Es.
x 2 − 3x + 2
=0
x +1
posto x + 1 ≠ 0 ⇒
avremo
x ≠ −1
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒
x=
+ 3± 9 −8
2
 x = +2
⇒  1
 x 2 = +1
entrambe soluzioni .
NOTA : Vogliamo ricordare che le soluzioni (o radici ) di un’equazione sono
al massimo pari al grado dell’equazione.
GUIDA
Esercizi della 2°lezione di Algebra di base
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 1°GRADO
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (SPURIE)
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (PURE)
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 2°GRADO
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI FRATTE
INDIETRO
USO DEI PULSANTI
?
RISOLVI
NASCONDI
ESERCIZI
INDICE
Visualizza solo la soluzione dell'esercizio
Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi
Nasconde le soluzioni
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GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni di primo grado :
1.
3x − 5 + 2( − x + 1) = 0
?
3 x − 5 + 2(− x + 1) = 0 ⇒ 3 x − 5 − 2 x + 2 = 0 ⇒ x = 3
2.
3 − 7( − x + 5) = 2 x + 5
?
3 − 7(− x + 5 ) = 2 x + 5 ⇒ 3 + 7 x − 35 = 2 x + 5 ⇒ 7 x − 2 x = 35 − 3 + 5 ⇒ 5 x = 37
⇒
3.
x=
37
5
?
4 x − 5( x − 2)( x + 2) + 2( − x + 1) = −5x 2 + 4 x − 3
(
)
4 x − 5(x − 2 )(x + 2 ) + 2(− x + 1) = −5 x 2 + 4 x − 3 ⇒ 4 x − 5 x 2 − 4 − 2 x + 2 = −5 x 2 + 4 x − 3
⇒ 4 x − 5 x 2 + 20 − 2 x + 2 = −5 x 2 + 4 x − 3 ⇒ 4 x − 2 x − 4 x = −20 − 2 − 3 ⇒ − 2 x = −25
25
⇒ x=
2
4.
24 + x( 2 − 3x ) − 5 − 3x 2 + 2( x − 8) = 2 x + 4 − 9 x 2
?
24 + x(2 − 3x ) − 5 − 3x 2 + 2(x − 8) = 2 x + 4 − 6 x 2
⇒ − 6 x 2 + 6 x 2 + 2 x = −24 + 5 + 16 + 4 ⇒
5.
⇒ 24 + 2 x − 3x 2 − 5 − 3x 2 − 16 = +4 − 6 x 2
1
x=
2
x + 6 + 2( − x − 4 x ) = 7( −3 − 2 x ) − ( −5 + 3x )
x + 6 + 2(− x − 4 x ) = 7(− 3 − 2 x ) − (− 5 + 3 x ) ⇒
⇒
x + 6 − 2 x − 8 x = −21 − 14 x + 5 − 3 x
11
x − 2 x − 8 x + 14 x + 3x = −6 − 21 + 5 ⇒ 8 x = −22 ⇒ x = −
4
?
GUIDA
6.
ESERCIZI
RISOLVI
x−3 
5   −3 x + 2 
 − ( −5 + 3 x )
+ 2 − x +  = 7

2
4  8 
x −3 
5
 − 3x + 2 
+ 2 − x +  = 7
 − (− 5 + 3 x ) ⇒
2
4
8 


4 x − 12 − 16 x + 20 − 21x + 14 + 40 − 24 x
=
8
8
46
⇒ 33x = 46 ⇒ x =
33
7.
INDICE
2 − 3x
3
NASCONDI
?
x −3
5
21
7
− 2x + = − x + + 5 − 3x
2
2
8
4
⇒ 4 x + 21x − 16 x + 24 x = +12 − 20 + 14 + 40
 5x + 2   −3x + 2 
=
 − ( +3x − 3)
+
 4   6 
?
2 − 3x  5x + 2   − 3x + 2 
8 − 12 x + 15 x + 6 − 6 x + 4 − 36 x + 36
+
=
=
 − (+ 3 x − 3) ⇒
6
12
3
12
 4  

8 − 12 x + 15 x + 6 − 6 x + 4 − 36 x + 36
⇒ − 12 x + 15 x + 6 x + 36 x = −8 − 6 + 4 + 36
⇒
=
12
12
26
⇒ 45 x = 26 ⇒ x =
45
8.
 x + 3   − 3x + 2   x − 2 
=
− 

+ 2( − x + 2 ) + 
 12   3   4 
?
 x + 3   − 3x + 2   x − 2 
+ 2(− x + 2) + 
=
−
 ⇒
3   4 
 12  
− 24 x + 48 + x + 3 − 12 x + 8 − 3 x + 6
=
12
12
37
⇒ − 24 x + x + 12 x + 3 x = −48 − 3 + 8 + 6 ⇒ − 8 x = −37 ⇒ x =
8
9.
x−3 
5   −3 x − 5 
 − ( −2 + x )
+ 4 − x +  = 2

5
3   15 
x −3
5
3 x − 9 − 60 x + 100 − 6 x − 10 + 30 − 15 x

 − 3x − 5 
+ 4 − x +  = 2
=
 − (− 2 + x ) ⇒
5
3
15
15

 15 
71
3 x − 60 x + 6 x + 15 x = +9 − 10 + 30 − 100 ⇒ − 36 x = 71 ⇒ x = −
36
?
GUIDA
10.
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI

5
 3x + 2 
−3
−2−3 x +  = ( − x + 5) + 2

 3 
2
5

 3x + 2 
− 2 − 3 x +  = (− x + 5) + 2
 −3 ⇒
2
 3 

+ 36 x − 30 − 6 x + 30 + 12 x + 8 − 18
=
6
6
5
⇒ 36 x + 6 x − 12 x = 30 + 30 + 8 − 18 ⇒ 30 x = 50 ⇒ x =
3
NASCONDI
?
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado, mancanti del termine noto (spurie).
11.
x 2 + 3x = 0
 x1 = 0

2
x + 3x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x2 = − a
12.
?
 x1 = 0

5 x − 3 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x 2 = − a
 x1 = 0

⇒ 
3
 x 2 = 5
x 2 − 5x = 0
?
 x1 = 0

x − 5x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x2 = − a
2
14.
x = 0
⇒  1
 x 2 = −3
5 x 2 − 3x = 0
2
13.
?
x = 0
⇒  1
 x2 = 5
?
2 x 2 + 3x = 0
 x1 = 0

2 x + 3 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x 2 = − a
2
15.
x2
x 2 − 12
− 2 = 3x +
3
6
x2
x 2 − 12
− 2 = 3x +
3
6
?
⇒
2 x 2 − 12 18 x + x 2 − 12
=
6
6
 x1 = 0

x − 18 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x 2 = − a
2
16.
 x1 = 0

⇒ 
3
 x2 = − 2
⇒ 2 x 2 − x 2 − 18 x − 12 + 12 = 0
x = 0
⇒  1
x 2 = 18
x2 + 1
x2 − 4
−1 =
+x
3
6
x2 + 1
x2 − 4
−1 =
+x ⇒
3
6
?
2x 2 + 2 − 6 x 2 − 4 + 6 x
=
6
6
⇒ 2 x2 − x 2 − 6x + 2 − 6 + 4 = 0
GUIDA
 x1 = 0

x − 6 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x 2 = − a
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
x = 0
⇒  1
x2 = 6
2
x2 + 2 x2 +1
x+7
−
= 1−
3
4
12
17.
x2 + 2 x 2 + 1
x+7
−
= 1−
3
4
12
⇒
?
4 x 2 + 8 − 3x 2 − 3 12 − x − 7
=
12
12
 x1 = 0

x + x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x2 = − a
2
⇒ 4 x 2 − 3x 2 + x + 8 − 3 − 12 + 7 = 0
x = 0
⇒  1
 x 2 = −1
x( x − 2) x − 4 x − 3 x + 1
+
=
+
4
3
2
6
18.
?
x( x − 2 ) x − 4 x − 3 x + 1
3 x 2 − 6 x + 4 x − 16 6 x − 18 + 2 x + 2
+
=
+
⇒
=
4
3
2
6
12
12
 x1 = 0

3 x − 10 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x2 = − a
2
( x + 3)( x − 2 ) ( x − 1)( x + 1)
19.
4
+
5
=
⇒ 3 x 2 − 10 x = 0
 x1 = 0

⇒ 
10
 x2 = 3
( x + 1)( x − 17 )
( x + 3)( x − 2) (x − 1)(x + 1) (x + 1)( x − 17 )
?
10
5(x + 3)(x − 2 ) 4(x − 1)(x + 1) 2(x + 1)( x − 17 )
+
=
4
5
10
20
20
20
2
2
2
5 x − 2 x + 3 x − 6 4 x − 1 2 x − 17 x + x − 17
⇒
+
=
⇒ 5 x 2 + x − 6 + 4 x 2 − 4 = 2 x 2 − 16 x − 17
20
20
20
2
2
2
⇒ 5 x + 5 x − 30 + 4 x − 4 − 2 x + 32 x + 34 = 0 ⇒ 7 x 2 + 37 x = 0
+
(
=
) (
⇒
) (
 x1 = 0

7 x + 37 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x 2 = − a
2
)
(
 x1 = 0

⇒ 
37
 x2 = − 7
)
(
)
GUIDA
20.
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
( x − 1) 2 3 + x x 2 − 2 1
−
=
+ ( 3x + 1)
2
6
4
2
( x − 1)2
?
3 + x x2 − 2 1
6(x − 1)2 − 6 − 2 x 3 x 2 − 6 + 6(3x + 1)
=
+ (3 x + 1) ⇒
=
2
6
4
2
12
12
2
2
2
2
⇒ 6 x − 12 x + 6 − 6 − 2 x = 3x − 6 + 18 x + 6 ⇒ 6 x − 3x − 12 x − 2 x − 18 x = 0
−
 x1 = 0

3 x − 32 x = 0 ⇒ ricordando che 
b
 x2 = − a
2
NASCONDI
 x1 = 0

⇒ 
32
 x2 = 3
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado (pure) :
21.
x2 − 9 = 0

c
x 2 − 9 = 0 ⇒ ricordando che x 1 = ± −
a
 2
x 1 = ±3
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
2
22.
4 x 2 − 49 = 0

c
4 x 2 − 49 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
7
x1 = ±
2
2
23.
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
−36 + 4 x 2 = 0

c
− 36 + 4 x 2 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
x 1 = ±3
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
2
24.
?
8 x 2 − 64 = 0

c
8 x 2 − 64 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
x 1 = ±2 2
2
25.
− x 2 + 16 = 0

c
− x 2 + 16 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
x 1 = ±4
2
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
NASCONDI
GUIDA
26.
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
−49 x 2 − 16 = 0
?
29.
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
?
121x 2 + 9 = 0

c
121x 2 + 9 = 0 ⇒ ricordando che x 1 = ± −
a
 2
∀/ x ∈ ℜ
30.
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
48 x 2 − 4 = 0

c
48 x 2 − 4 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
1
x1 = ±
2
2 3
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
−x2 + 1 = 0

c
48 x 2 − 4 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
x 1 = ±1
2
RISOLVI
?

c
− 49 x 2 − 16 = 0 ⇒ ricordando che  x 1 = ± −
a
 2
∀/ x ∈ ℜ
28.
ESERCIZI
25x 2 − 9 = 0

c
25 x 2 − 9 = 0 ⇒ ricordando che x 1 = ± −
a
 2
3
x1 = ±
2
5
27.
INDICE
?
a > 0 , c < 0
se 
a < 0 , c > 0
NASCONDI
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado ( complete )
31.
?
x 2 − 5x + 6 = 0
x2 − 5x + 6 = 0 ⇒
32.
poichè ∆ = 1 > 0 si
?
poichè
?
?
poichè ∆ = 1 > 0 si ha : x 1 =
2
−5 ± 1
−2
x = 2
=  1
 x2 = 3
?
poichè ∆ = −3 < 0 si ha :
∀
/ x∈ℜ
?
poichè ∆ = 25 > 0 si ha : x 1 =
2
1 ± 25
2
x = 3
=  1
 x 2 = −2
x 2 − 8x + 9 = 0
x 2 − 8x + 9 = 0 ⇒
38.
 x = −3
=  1
 x 2 = −7
x2 − x − 6 = 0
x2 − x − 6 = 0 ⇒
37.
∆
= 4 > 0 si ha : x 1 = −5 ± 4
2
4
x 2 + 5x + 7 = 0
x 2 + 5x + 7 = 0 ⇒
36.
poichè
− x 2 + 5x − 6 = 0
− x 2 + 5x − 6 = 0 ⇒
35.
 x = −2
=  1
 x 2 = −6
∆
= 4 > 0 si ha : x 1 = −4 ± 4
2
4
x 2 + 10 x + 21 = 0
x 2 + 10 x + 21 = 0 ⇒
34.
2
x = 3
=  1
 x2 = 2
5± 1
2
x 2 + 8 x + 12 = 0
x 2 + 8 x + 12 = 0 ⇒
33.
ha : x 1 =
?
poichè
∆
= 7 > 0 si ha : x 1 = 4 ± 7
2
4
 x1 = 4 + 7
= 
 x 2 = 4 − 7
x −1 3
− x = x2 −1
3
2
x −1 3
− x = x2 −1 ⇒
3
2
?
2x − 2 − 9 x 6x 2 − 6
=
6
6
⇒ 6x 2 + 7 x − 4 = 0
GUIDA
6x 2 + 7 x − 4 = 0 ⇒
39.
poichè ∆ = 145 > 0 si ha : x 1 =
2
− 7 ± 145
12
ESERCIZI
RISOLVI
4x 2 + 4x + 5 = 0 ⇒
?
⇒
2x − 1 − 6x − 4 4x 2
=
4
4
poichè
⇒ 4x 2 + 4x + 5 = 0
∆
= −16 < 0 si ha :
4
∀/ x ∈ ℜ
5 − 3x 2
2 − 3x
−x=
6
4
5 − 3x2
2 − 3x
−x=
6
4
6 x 2 + 3x − 4 = 0 ⇒
NASCONDI

− 7 + 145
 x1 =
12
= 
 x = − 7 − 145
 2
12
2x − 1 3x + 2
−
= x2
4
2
2 x − 1 3x + 2
−
= x2
4
2
40.
INDICE
?
⇒
10 − 6 x 2 − 12 x 6 − 9 x
=
12
12
⇒ 6 x 2 + 3x − 4 = 0
poichè ∆ = 105 > 0 si ha : x 1 =
2
− 3 ± 105
12

− 3 + 105
 x1 =
12
= 
 x = − 3 − 105
 2
12
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo :
?
x 3 − 2x + 1 = 0
41.
Applicando Ruffini si ha :
+1
x=+1
+1
(x − 1)(x 2 + x − 1) = 0
0
-2
+1
+1
+1
-1
+1
-1
0
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui :
x = 1


x − 1 = 0
⇒
 2
 2
x + x −1 = 0
x + x − 1 = 0 ⇒ ∆ = 5 > 0 ⇒


x1
2

−1 + 5
x1 =

−1± 5 
2
=
=
2
x = − 1 − 5
 2
2
 −1 ± 5 

e quindi riassumendo le soluzioni sono : 1 ;

2


42.
?
3x 3 − 4 x 2 + 1 = 0
Applicando Ruffini si ha :
+3
x=+1
+3
( x − 1)(3x 2 − x − 1) = 0
-4
0
+1
+3
-1
-1
-1
-1
0
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
da cui :
x = 1


x − 1 = 0
⇒  2
 2
3 x − x − 1 = 0
3x − x − 1 = 0 ⇒ ∆ = 13 > 0 ⇒


x1
2

1 + 13
x1 =

1 ± 13 
6
=
=
6
 x = 1 − 13
 2
6
 1 ± 13 

e quindi riassumendo le soluzioni sono : 1 ;

6


43.
x 4 − 2x 2 + 1 = 0
?
Applicando Ruffini si ha :
+1
x=+1
0
+1
+1 +1
(x − 1)(x 3 + x 2 − x − 1) = 0
⇒
(x − 1)[x 2 (x + 1) − ( x + 1)] = 0
⇒
-2
0
+1
+1 -1
-1
-1
e quindi riassumendo le soluzioni sono : (− 1 ; + 1)
x 1 = ±1
2
0
(x − 1)(x + 1)(x 2 − 1) = 0
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
x = 1
x − 1 = 0


da cui :  x + 1 = 0 ⇒  x = −1
x 2 − 1 = 0
x 2 −1 = 0 ⇒ ∆ = 4 > 0 ⇒


-1
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Avremmo potuto anche risolvere l'equazione come biquadratica :
x 4 − 2x 2 + 1 = 0
posto x 2 = t ⇒ t 2 − 2t + 1 = 0
e risostituendo : x 2 = 1 ⇒
poichè ∆ = 0 ⇒ t 1 = 1
2
x = ±1
Sarebbe stato più semplice se da subito avessimo notato che :
x − 2x + 1 = 0 ⇒
4
44.
2
(x
2
)
2
−1 = 0 ⇒
(
 x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1
x −1 x −1 = 0 ⇒  2
 x − 1 = 0 ⇒ x = ±1
2
)(
2
)
?
x 3 − 2 x − 21 = 0
Applicando Ruffini si ha :
+1
x=+3
+1
(x − 3)(x 2 + 3x + 7 ) = 0
0
-2
- 21
+3
+ 9 + 21
+3
+7
0
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
x − 3 = 0
x = 3
da cui :  2
⇒  2
 x + 3x + 7 = 0
 x + 3 x + 7 = 0 ⇒ ∆ = −19 < 0 ⇒ ∀/ x ∈ ℜ
e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( 3 )
GUIDA
45.
− 3 x 3 − 2 x 2 − 16 = 0
x= -2
-3
RISOLVI
NASCONDI
?
-2
0
- 16
+6
-8
+ 16
+4
-8
0
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
 x = −2
x + 2 = 0

⇒  2
da cui : 
2
− 3 x + 4 x − 8 = 0
3 x − 4 x + 8 = 0 ⇒
e quindi riassumendo le soluzioni sono : (− 2
46.
ESERCIZI
Applicando Ruffini si ha :
-3
(x + 2 )(− 3x 2 + 4 x − 8 ) = 0
INDICE
∆
= −20 < 0 ⇒ ∀
/ x∈ℜ
4
)
?
x 4 − 3x 2 + 2 = 0
posto x 2 = t ⇒ t 2 − 3t + 2 = 0
poichè ∆ = 1 > 0 ⇒ t 1 =
2
3 ± 1 t1 = 2
=
2
t 2 = 1
 x 2 = 2
x = ± 2
e risostituendo :  2
⇒ 
 x = 1
 x = ±1
47.
x3 − 2x 4 = 0
x3 − 2 x 4 = 0 ⇒
?
 x 3 = 0 ⇒ x = 0 (sol. tripla)

x 3 (1 − 2 x ) = 0 ⇒ 
1
1 − 2 x = 0 ⇒ x =

2
GUIDA
48.
INDICE
ESERCIZI
x3 + 8 = 0
RISOLVI
NASCONDI
?
x3 + 8 = 0 ⇒ x 3 + 23 = 0 ⇒
 x = −2

⇒  2
 x − 2 x + 4 = 0 ⇒
(x + 2)(x 2 − 2 x + 4) = 0
x + 2 = 0
⇒  2
x − 2 x + 4 = 0
∆
= −3 < 0 ⇒ ∀/ x ∈ ℜ
4
molto più semplicemente :
x3 + 8 = 0 ⇒
49.
x 3 = −8 ⇒ x = 3 − 8 ⇒ x = 3 − 2 3
⇒
x = −2
?
x 4 − 16 = 0
x 4 − 16 = 0 ⇒
(x )
2 2
− 42 = 0 ⇒
(x
2
x 2 − 4 = 0
− 4 x2 + 4 = 0 ⇒  2
x + 4 = 0
)(
)
 x 1 = ±2
⇒  2
 x 2 + 4 = 0 ⇒ ∆ = −4 < 0 ⇒ ∀/ x ∈ ℜ
molto più semplicemente :
x 4 − 16 = 0 ⇒
50.
x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 ⇒ x = ± 4 2 4
x5 + 1 = 0
x5 + 1 = 0 ⇒
⇒
x = ±2
?
x 5 = −1 ⇒
x = 5 −1 ⇒
x = −1
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni fratte :
x 2 − 3x x − 2
−
=0
2x
x −1
51.
x2 − 3x x − 2
−
=0 ⇒
2x
x −1
x3 − 6x 2 + 7 x
=0 ⇒
2 x (x − 1)
?
(x
2
)
− 3 x (x − 1) − 2 x (x − 2 )
=0 ⇒
2 x(x − 1)
x3 − x 2 − 3x2 + 3x − 2x 2 + 4x
=0
2 x(x − 1)
2 x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
posto 2 x(x − 1) ≠ 0 
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
si ha : x 3 − 6 x 2 + 7 x = 0
 x = 0
x − 6x + 7x = 0 ⇒ x x − 6x + 7 = 0  2
 x − 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 2 = 3 ± 2
3
(
2
2
)
e quindi le soluzioni sono:  x 1 = 3 ± 2 
 2

52.
3x + 1
4
=
2
x − x x −1
3x + 1
4
=
⇒
2
x − x x −1
1− x
=0 ⇒
x( x − 1)
?
3x + 1
4
=
=0 ⇒
x( x − 1) x − 1
3x +1
4x
3x +1 − 4x
=
⇒
=0
x( x − 1) x( x − 1)
x( x − 1)
x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
posto x( x − 1) ≠ 0 
x −1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
e quindi le soluzioni sono: (∀/ x ∈ ℜ)
si ha : 1 − x = 0 ⇒ x = 1
GUIDA
53.
7 x2 − 6x + 4
=0 ⇒
2x
3x −
NASCONDI
− 4x + 4 + 8x2 x 2 + 2x
=
2x
2x
{2 x ≠ 0
8x 2 − x 2 − 4x − 2x + 4
⇒
=0
2x
⇒ x≠0
si ha : 7 x 2 − 6 x + 4 = 0
poichè ∆ = −19 < 0 ⇒ ∀
/ x∈ℜ
3x − 1 3 − x
=
−x + 1
2
3x −1 3 − x
=
⇒
− x +1
2
7 x2 − 4x + 1
=0 ⇒
2(1 − x)
?
6 x(1 − x ) − 2(3 x − 1) (3 − x )(1 − x )
6x − 6x 2 − 6x + 2 3 − 4x + x 2
=
⇒
=
2(1 − x )
2(1 − x )
2(1 − x )
2(1 − x)
posto 1 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 si ha : 7 x 2 − 4 x + 1 = 0
⇒ 7x 2 − 4x + 1 = 0 e
55.
RISOLVI
?
posto 2 x ≠ 0
⇒ 7x 2 − 6x + 4 = 0 e
3x −
ESERCIZI
−2 x + 2
x+2
+ 4x =
x
2
− 2x + 2
x+2
+ 4x =
⇒
x
2
54.
INDICE
poichè
∆
= −3 < 0 ⇒ ∀
/ x ∈ℜ
4
x
x −1 5
−
=
2x − 4 x + 1 2
x
x −1 5
−
=
2x − 4 x + 1 2
⇒
?
x( x + 1) − 2( x − 2)( x − 1) 5( x − 2)( x + 1)
=
2( x − 2 )( x + 1)
2( x − 2 )( x + 1)
⇒
x 2 + x − 2(x 2 − 3 x + 2 ) 5(x 2 − x − 2)
=
⇒
2( x − 2 )( x + 1)
2( x − 2 )( x + 1)
⇒
x≠2 ,
− 6 x 2 + 12 x + 6
=0 ⇒
2( x − 2)( x + 1)
x ≠ −1 si ha : − 6 x 2 + 12 x + 6 = 0 e
e quindi le soluzioni sono:  x 1 = 1 ± 2 
 2

poichè
posto
( x − 2 )( x + 1) ≠ 0
∆
= 2 > 0 ⇒ x1 = 1± 2
2
4
GUIDA
56.
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
3 − x 5x + 2 3
+
=
x
x2
2
3 − x 5x + 2 3
+
=
x
2
x2
5 x 2 − 16 x − 4
=0 ⇒
2x 2
?
2 x(3 − x) + 2(5 x + 2) 3 x 2
= 2
2x 2
2x
⇒
posto 2 x 2 ≠ 0 ⇒
si ha : 5x 2 − 16 x − 4 = 0
⇒
⇒ 5x 2 − 16 x − 4 = 0 e
NASCONDI
poichè
x≠0
∆
= 84 > 0 ⇒
4
x1
6 x − 2 x 2 + 10 x + 4 3x 2
= 2
2x2
2x

8 + 2 21
x1 =

8 ± 2 21

5
=
= 
5
 x = 8 − 2 21
 2
5
2

8 ± 2 21 
e quindi le soluzioni sono:  x 1 =

5
 2

57.
x+3 1
−
=2
x − 3 2x
x +3 1
−
=2 ⇒
x − 3 2x
?
2 x( x + 3) − ( x − 3) 4 x( x − 3)
=
2 x ( x − 3)
2 x( x − 3)
2 x 2 − 17 x − 3
=0 ⇒
2 x( x − 3)
posto 2 x( x − 3) ≠ 0 ⇒
⇒ 2 x 2 − 17 x − 3 = 0 e
⇒
x≠0 ,
poichè ∆ = 313 > 0 ⇒ x 1

17 ± 313 
e quindi le soluzioni sono:  x 1 =

4
 2

2 x 2 + 6 x − x + 3 4 x 2 − 12 x
=
2 x ( x − 3)
2 x ( x − 3)
2
x ≠ 3 si ha : 2 x 2 − 17 x − 3 = 0

17 + 313
x1 =

17 ± 313

4
=
= 
4
 x = 17 − 313
 2
4
GUIDA
58.
4( 4 − x ) 2
3( x − 3)(4 − x ) − 12( x − 3)
=
4(4 − x)( x − 3)
4( 4 − x )( x − 3)
⇒
posto
⇒ 7 x 2 − 41x + 64 = 0 e
(4 − x )( x − 3) ≠ 0
⇒
x≠4 ,
⇒
NASCONDI
− 3x2 + 9x
4(16 − 8x + x 2 )
=
4( 4 − x )( x − 3) 4(4 − x )( x − 3)
x ≠ 3 si ha : 7 x 2 − 41x + 64 = 0
poichè ∆ = −111 < 0 ⇒ ∀
/ x∈ℜ
2−x
4−x
−
=1
x + 2x + 1 x + 1
?
2
2 − x − ( 4 − x )( x + 1) ( x + 1)
=
( x + 1) 2
( x + 1) 2
2− x
4−x
−
=1 ⇒
2
x + 2x + 1 x + 1
3x 2 − 6 x − 3
=0 ⇒
( x + 1) 2
RISOLVI
?
7 x 2 − 41x + 64
=0 ⇒
4(4 − x )( x − 3)
⇒
ESERCIZI
4− x 3
3
= −
x−3 4 4−x
4− x 3
3
= −
x−3 4 4−x
59.
INDICE
2
posto
( x + 1)2
≠0 ⇒
⇒
2 − x + 4 x 2 − 3x − 4 x 2 + 2 x + 1
=
( x + 1)2
( x + 1) 2
x ≠ −1 si ha : 3x 2 − 6 x − 3 = 0
∆
= 2 > 0 ⇒ x1 = 1 ± 2
2
4
e quindi le soluzioni sono:  x 1 = 1 ± 2 
 2

x 2 − 2x − 1 = 0 e
poichè
x+9
4x
−2=
x+3
2−x
60.
x +9
4x
−2 =
x+3
2−x
⇒
3x 2 + 17 x − 6
=0 ⇒
(2 − x )( x + 3)
?
(2 − x )( x + 9) − 2(2 − x )( x + 3) = 4 x( x + 3)
(2 − x )( x + 3)
(2 − x )( x + 3)
posto
⇒ 3x + 17 x − 6 = 0 e
2
(2 − x )( x + 3) ≠ 0
⇒ x≠2 ,
poichè ∆ = 361 > 0 ⇒ x 1
1


e quindi le soluzioni sono:  x1 =
, x 2 = −6 
3


2
⇒
x 2 − 5x + 6
4 x 2 + 12 x
=
(2 − x )( x + 3) (2 − x )( x + 3)
x ≠ −3 si ha : 3x 2 + 17 x − 6 = 0
1

− 17 ± 361
 x1 =
=
= 
3
6
 x 2 = −6