Prof. Lonzi Marco
Dispense per il Corso di
ANALISI MATEMATICA
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
AA. 2015/16
1
SUCCESSIONI
Dicesi Successione a valori reali ogni funzione 0 À  Ä ‘ , avente cioè per dominio l'insieme
 dei numeri naturali Ðo un suo opportuno sottoinsieme comunque infinitoÑ, e codominio, che
indicheremo con 0  o con a8 , contenuto in ‘.
Al posto della notazione 0 8, per indicare l'immagine di 8 si usa solitamente scrivere +8 .
Una Successione, avendo dominio numerabile, può essere scritta per esteso come:
+8  œ +! ß +" ß +# ß ...ß +8 ß ... .
Il termine +8 viene detto termine generale della Successione, mentre la variabile 8 prende anche il nome di indice.
Esempio 1 À Vediamo alcuni esempi di successioni :
+8 œ   "8 À "ß  "ß "ß  "ß .... à
8"
$ % &
+8 œ
À #ß ß ß ß .... à
8
# $ %
" per 8 pari
+8 œ 
À ", ", ", $, ", &, ", (, .... à
8 per 8 dispari
+8 œ 8  "  8 À "ß #  "ß $  #ß %  $ß .... .
CARATTERE DI UNA SUCCESSIONE
Lo studio di una Successione consiste nella determinazione del suo carattere, ovvero nell'analisi del comportamento del termine generale +8 quando 8 diventa illimitatamente grande.
Quindi un numero finito di termini iniziali non avrà rilevanza per la determinazione del carattere. Vedremo che le Successioni, riguardo al loro carattere, si dividono in tre tipi:
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate.
Diamo anzitutto la
Definizione 1 (di Successione limitata) À
Una Successione si dice limitata se il suo codominio è un insieme limitato.
Introducendo in maniera informale il concetto di limite, diremo che il valore ¿ − ‘ è il
limite della Successione +8 , e si dirà anche che la Successione +8 converge ad ¿, se,
all'aumentare dell'indice 8, i corrispondenti +8 assumono valori sempre più prossimi ad ¿.
"
" " "
À "ß ß ß ß ... .
8
# $ %
Si ha che 0  § Ó!ß "Ó , quindi la Successione è limitata; il suo codominio ha un punto di accumulazione, ¿ œ ! , che non appartiene ad 0 , ed all'aumentare di 8 il termine generale
"
+8 œ
diventa sempre più piccolo rimanendo pur sempre positivo. Diremo allora che la
8
"
Successione +8 œ
è convergente a !.
8
Esempio 3 À La Successione +8 œ   "8 è limitata, dato che 0  œ   "ß  " , ma non
è convergente, in quanto all'aumentare di 8 i valori di +8 continuano ad assumere, alternativamente, sia il valore  " che il valore  ".
Esempio 2 À Consideriamo la Successione +8 œ
I concetti sopra esposti vengono rigorosamente formalizzati nella
Definizione 2 Ðdi limite per una Successione convergenteÑ À
2
Si dice che la Successione +8 converge al valore ¿ − ‘ , e si scrive lim +8 œ ¿ , se scelto
un qualunque intorno del punto ¿ di ampiezza &  ! À ½¿ß & , con & piccolo a piacere, tutti
i termini della Successione, tranne al più un numero finito di termini iniziali, appartengono ad
½¿ß & .
8Ä∞
Ovvero, da un certo indice in poi, tutti gli +8 devono essere contenuti in un opportuno
intorno, di ampiezza & piccola quanto si vuole, del punto ¿.
Utilizzando la metrica euclidea introdotta sulla retta reale, possiamo riformulare la precedente
definizione come:
Definizione 3 Ðdi limite per una Successione convergenteÑ À
Si dice che la Successione +8 è convergente al valore ¿ − ‘ se a &  ! si può determinare
un indice 8& tale che, a 8  8& , si abbia +8  ¿  & , ovvero ¿  &  +8  ¿  & .
Ovvero: a &  ! b 8& À 8  8& Ê +8  ¿  & .
Quest'ultima definizione di Successione convergente è la rigorosa espressione matematica del
concetto intuitivo di convergenza, ovvero "gli +8 assumono valori sempre più prossimi ad ¿
Ð +8  ¿  & Ñ quando 8 diventa sempre più grande Ð a 8  8& Ñ".
8"
. All'aumentare di 8, il quoziente dei
8
due numeri 8  " ed 8 assume valori sempre più prossimi ad ", e, a 8 , risulta +8  " .
8"
Scelto un qualunque &  ! , imponiamo che sia +8  " œ 
 "  & , ovvero:
8
"
"
"  &  "   "  & , e cioè  &   & .
8
8
"
La disequazione di sinistra è sempre soddisfatta, mentre quella di destra è vera per 8  ,
&
"
per cui, posto 8& œ    " , ÐÒ...Ó è la parte interaÑ, è verificato che " è il limite della Suc&
cessione in quanto, a 8  8& , si ha che +8 appartiene alla parte destra dell'intorno ½"ß & .
Esempio 4 À Consideriamo la Successione +8 œ
Esempio 5 À Determiniamo il carattere della Successione +8 œ #"$8  " , verificando, mediante la definizione di limite, il risultato.
All'aumentare di 8 l'esponente diventa sempre più grande e negativo, per cui l'esponenziale in
base # tende a zero e quindi +8 tende a ". Verifichiamo che la Successione è convergente a "
imponendo che sia +8  " œ #"$8  "  "  & .
Da questa otteniamo #"$8   & , ovvero #"$8  & , in quanto un'esponenziale è sempre po"  log # &
sitiva, poi "  $8  log # & , e quindi 8 
.
$
"  log # &
Posto 8& œ 
  " , a 8  8& sarà verificata la nostra disequazione e notando
$
che se & Ä ! , 8& Ä  ∞ , è completata la verifica del limite.
"
Esempio 6 À Consideriamo la Successione +8 œ # " 8 . Quando 8 diventa sempre più grande,
il valore dell'esponente tende ad ", per cui la Successione è convergente ed il limite vale #.
"
Verifichiamolo, imponendo # " 8  #  & .
3
Si ha che #" 8  # œ # # 8  "  & per # 8 
&
 " , in quanto il termine dentro il
#
&
"
valore assoluto è sempre positivo, per cui dovrà essere
 log #   " , ovvero
8
#
"
8
, quantità che diventa sempre più grande quando & tende a zero.
&
log #   "
#
Il limite è allora verificato.
"
"
"
Consideriamo poi Successioni con codominio non limitato. Affermare che il codominio 0 
della Successione è non limitato significa che per quanto grande si scelga un numero positivo
&, al di fuori dell'intervallo   &ß & si trovano sempre elementi della Successione +8 .
Se in una Successione divergente i termini negativi sono in numero finito, allora si scriverà
lim +8 œ  ∞ , e si dirà che la Successione +8 diverge positivamente, mentre si scriverà
8Ä∞
lim +8 œ  ∞ se sono in numero finito i termini positivi, e si dirà che la Successione +8
8Ä∞
diverge negativamente.
In forma metrica, avremo le seguenti:
Definizione 4 Ðdi Successione divergente positivamenteÑ À
Si dice che la Successione +8 diverge positivamente Ða  ∞Ñ se per ogni & è possibile determinare un indice 8& tale che, a 8  8& , si abbia +8  & .
Ovvero À a & b 8& À 8  8& Ê +8  & .
Definizione 5 Ðdi Successione divergente negativamenteÑ À
Si dice che la Successione +8 diverge negativamente Ða  ∞Ñ se per ogni & è possibile determinare un indice 8& tale che, a 8  8& , si abbia +8  & .
Ovvero À a & b 8& À 8  8& Ê +8  & .
Quando sia i termini positivi che quelli negativi sono in numero infinito, e tendono, presi in
valore assoluto, a divenire sempre più grandi, si dirà che la Successione diverge oscillando, e
questo caso può essere espresso in forma metrica nel modo seguente:
Definizione 6 Ðdi Successione divergente oscillanteÑ À
Si dice che la Successione +8, in cui sia i termini positivi che quelli negativi sono in numero
infinito, diverge oscillando Ðad ∞Ñ se per ogni &  ! grande a piacere è possibile
determinare un indice 8& tale che, a 8  8& si abbia +8   & .
Ovvero À a &  ! b 8& À 8  8& Ê +8   & .
Esempio 7 À La Successione +8 œ log "  8 è divergente a  ∞.
Infatti, scelto &  ! , si ha che +8  & se log "  8  & , ovvero per 8  /&  " ; posto
8& œ /&  "  " œ /&  , se 8  8& , gli +8 cadono tutti a destra di &, per quanto grande
sia &; il codominio è illimitato superiormente, e scriveremo che lim log "  8 œ  ∞ .
8Ä∞
Esempio 8 À Consideriamo la Successione +8 œ   "8 † log "  8 .
Dato che +8  œ log "  8 , e visto che i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi, la Successione diverge oscillando, e scriveremo lim   "8 † log "  8 œ ∞ .
8Ä∞
Esempio 9 À Determiniamo e verifichiamo il carattere della Successione +8 œ
"  8#
.
#8
4
"  8#
%  8#  $
%  8#
$
$
Si ha che +8 œ
œ
œ

œ#8
.
#8
#8
#8
#8
#8
Quando 8 diventa sempre più grande, #  8 diventa sempre più grande e negativo, mentre
$
"  8#
è sempre più prossimo a zero. Quindi lim
œ  ∞ . Verifichiamolo.
8Ä∞ #  8
#8
"  8#
Scelto un valore &, imponiamo che sia:
 & , che per la precedente scomposizione
#8
$
$
equivale a: #  8 
 & , ovvero: 8  # 
  &.
#8
#8
$
$
Essendo 8  # 
8# Ð
 ! Ñ, basterà prendere 8  #  & , affinchè sia
#8
#8
"  8#
verificata la
 & , ovvero il limite trovato.
#8
Vale infine la seguente:
Definizione 7 Ðdi Successione indeterminataÑ À
Una Successione che non sia ne divergente ne convergente si dice indeterminata.
1
Esempio 10 À La Successione +8 œ sen 8  ci fornisce un esempio di Successione inde#
terminata. Infatti, se 8 è pari, si ha +8 œ ! ; se 8 è dispari e tale che 8 œ % 5  " , con
5 −  , allora +8 œ  " , mentre per gli altri valori dispari di 8 abbiamo +8 œ  " .
Le varie definizioni di Successione convergente e divergente possono essere unificate consi~
derando, nella cosiddetta retta reale compattificata ‘ œ ‘ ∪   ∞à  ∞ ,  ∞ e  ∞
come punti di accumulazione, rispettivamente a destra e a sinistra della retta reale, di ogni
insieme illimitato.
Definiamo allora intorno di  ∞ l'intervallo Ó&,  ∞Ò , ed analogamente intorno di  ∞ l'intervallo Ó  ∞ß &Ò , con & numero scelto a piacere.
Con questa estensione sia le Successioni convergenti che le Successioni divergenti positivamente o negativamente si diranno regolari ed avremo la:
Definizione 8 Ðdi limite generale per una SuccessioneÑ À Si dice che la Successione +8
converge al limite ¿ Ðfinito o infinitoÑ se per ogni intorno di ¿ esiste un indice 8 tale che,
a 8  8 , +8 appartiene a detto intorno.
Non sono regolari le Successioni indeterminate e quelle che divergono oscillando. Principalmente per queste due categorie di Successioni, per motivi che vedremo in seguito, nasce l'esigenza di una nuova definizione che colmi, per così dire, la lacuna della non esistenza del limite.
MASSIMO E MINIMO LIMITE
Considerata una Successione di termine generale +8 , introduciamo anzitutto il concetto di
maggiorante e/o minorante definitivo mediante le
Definizione 9 Ðdi maggiorante e/o minorante di una SuccessioneÑ À
Un numero M è detto maggiorante ÐminoranteÑ di una Successione +8 se, a 8 , risulta
+8 Ÿ M Ð +8 M Ñ.
Definizione 10 Ðdi maggiorante e/o minorante definitivoÑ À
Un numero M è detto maggiorante ÐminoranteÑ definitivo per la Successione +8 se esiste un
indice 8! tale che +8 Ÿ M , a 8  8! Ð +8 M , a 8  8! Ñ.
5
Mentre i maggioranti ed i minoranti sono tutti quei valori rispettivamente maggiori e minori
di ogni elemento della Successione, maggioranti e minoranti definitivi sono quei valori che,
da un certo indice 8! in poi, sono, rispettivamente, maggiori e minori dei soli elementi della
Successione corrispondenti ad indici 8 8! .
Abbiamo allora la
Definizione 11 À Ðdi massimo e/o minimo limite di una SuccessioneÑ:
Si dice massimo limite di una Successione +8 , e si indica con Max lim +8 , l'estremo inferiore
8Ä∞
dell'insieme dei maggioranti definitivi.
Si dice minimo limite di una Successione +8 , e si indica con Min lim +8 , l'estremo superiore
8Ä∞
dell'insieme dei minoranti definitivi.
Se una Successione +8 è illimitata superiormente, si porrà Max lim +8 œ  ∞ , mentre per
8Ä∞
una Successione illimitata inferiormente porremo Min lim +8 œ  ∞ .
8Ä∞
Si può dimostrare che valgono i seguenti:
Teorema 1 À Se la Successione +8 è limitata superiormente, allora:
Max lim +8 œ inf sup +5  ;
8Ä∞
8 − 5 8
se la Successione +8 è limitata inferiormente, allora:
Min lim +8 œ sup inf +5  .
8Ä∞
8 − 5 8
Teorema 2 À Il valore ¿" − ‘ è il massimo limite della Successione +8 se e solo se:
1Ñ a &  ! esiste un indice 8& tale che a 8  8& si abbia: +8  ¿"  & , e
2Ñ a &  ! esistono infiniti 8 per cui: ¿"  &  +8 .
Il valore ¿# − ‘ è il minimo limite della Successione +8 se e solo se:
1Ñ a &  ! esiste un indice 8& tale che a 8  8& si abbia: ¿#  &  +8 , e
2Ñ a &  ! esistono infiniti 8 per cui: +8  ¿#  & .
Si noti come non si richieda che le condizioni 2Ñ siano soddisfatte a 8  8& , ma solo per
infiniti valori dell'indice.
La caratteristica saliente del massimo e del minimo limite è quella di esistere per qualunque
Successione, ed i concetti di massimo e minimo limite sono utili principalmente per le Successioni non regolari, in quanto vale il
Teorema 3 À Si ha che lim +8 œ ¿ se e solo se Max lim +8 œ Min lim +8 œ ¿ .
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
Esempio 11 À Determiniamo il carattere della Successione +8 œ 8 sen# 8 .
All'aumentare di 8 abbiamo il prodotto tra due quantità positive di cui la prima diventa sempre più grande, mentre la seconda assume periodicamente valori compresi tra ! e ".
Verifichiamo che Max lim 8 sen# 8 œ  ∞ e che Min lim 8 sen# 8 œ ! .
8Ä∞
8Ä∞
La prima affermazione si verifica dimostrando che la Successione è illimitata superiormente.
"  )5  1
$  )5  1
"
Infatti, se
8
, con 5 −  , si ha che sen# 8  , per cui sarà:
%
%
#
8
#
8 sen 8   & per 8  # & , con & grande a piacere.
#
6
Per verificare la seconda, notiamo che 8 sen# 8 ! , a 8 , e che 8 sen# 8  & implica
&
sen# 8  , ed esistono infiniti valori per cui questa è soddisfatta, come si può vedere da un
8
&
confronto grafico tra
e sen# 8 .
8
TEOREMI SUI LIMITI
Enunciamo ora vari Teoremi utili a stabilire la convergenza di una Successione o le proprietà
di una Successione convergente.
Teorema 4 À Ogni Successione convergente è limitata.
Dimostrazione À Se lim +8 œ ¿ − ‘ , allora a &  ! b 8& À 8  8& Ê +8  ¿  & .
Consideriamo la seguente somma W œ +!   +"   ...  +8&   ¿  & . Qualunque sia
8 −  avremo che +8   W . Infatti, se 8 Ÿ 8& , +8  è un addendo di W , e quindi ne è
minore, se invece 8  8& , da +8  ¿  & segue +8  ¿  & Ÿ ¿  & , da cui la tesi.ñ
8Ä∞
Teorema 5 Ðdi unicità del limiteÑ À Il limite di una Successione, se esiste, è unico.
Dimostrazione À Supponendo per assurdo che sia lim +8 œ ¿" e lim +8 œ ¿# , con
¿"  ¿# 
¿" Á ¿# , scegliamo & 
. Gli intorni ½¿" ß & e ½¿# ß & , avendo un'ampiezza
#
minore della distanza dei loro centri, non hanno punti in comune. Se fossero veri ambedue i
limiti, per la definizione di limite, da un certo 8" & in poi tutti gli +8 dovrebbero appartenere
a ½¿" ß & e da un certo 8# & in poi, analogamente, a ½¿# ß & .
Preso il più grande dei due indici, 8& œ max 8" &ß 8# & , a 8  8& si dovrebbe avere
che +8 − ½¿" ß & e che +8 − ½¿# ß & e questo è assurdo, da cui la tesi.
Supponendo poi sempre per assurdo che sia lim +8 œ ¿ e lim +8 œ  ∞ , dovrebbe
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
risultare, per il primo limite, +8  ¿  &" e per il secondo +8  &# , palesemente assurda se
&#  ¿  &" . Dimostrazione analoga nell'ipotesi di lim +8 œ  ∞ ñ
8Ä∞
Teorema 6 Ðdella permanenza del segnoÑ À Se lim +8 œ ¿ , con ¿  ! , allora esiste un in8Ä∞
dice 8 tale che, a 8  8 , risulta +8  ! .
Ovvero, se la Successione converge ad un valore positivo, da un certo indice 8 in poi i suoi
elementi hanno tutti lo stesso segno del limite, ovvero sono positivi.
¿
Dimostrazione À Scelto & œ , per la definizione di limite esiste 8 œ 8& tale che,
#
¿
a 8  8& , si ha +8  ¿  & , da cui +8  ¿  & œ  ! , cioè la tesi.ñ
#
Il Terema della permanenza del segno permette quindi di dedurre, dal segno del limite, il
segno degli elementi della Successione. Vediamo in quale forma possa valere l'implicazione
inversa, ovvero dedurre dal segno degli elementi della Successione il segno del limite. Vale il
seguente:
Teorema 7 À Sia data una Successione +8 e sia, a 8  8! , +8  ! . Allora, se lim +8
8Ä∞
esiste, si ha che lim +8 ! .
8Ä∞
7
¿ 
, per la defini8Ä∞
#
zione di limite, dovrebbe esistere 8& tale che, a 8  8& , si abbia +8  ¿  & , che però
¿
equivale a ¿  &  +8  ¿  & œ  ! , assurda in quanto +8  ! .ñ
#
Si può quindi concludere, ad esempio, che una Successione a termini positivi non può avere
un limite negativo.
Dimostrazione À Per assurdo, sia
lim +8 œ ¿ , con ¿  ! . Scelto & œ
Teorema 8 Ðdel confrontoÑ À Siano +8 , ,8 e -8 tre Successioni tali che, almeno da un certo indice 8! in poi, risulti +8 Ÿ ,8 Ÿ -8 .
Allora, se lim +8 œ ¿ œ lim -8 , sarà anche lim ,8 œ ¿ .
8Ä∞
Inoltre, se
8Ä∞
lim ,8 œ  ∞ allora
8Ä∞
8Ä∞
lim -8 œ  ∞ mentre se
8Ä∞
lim ,8 œ  ∞ allora
8Ä∞
lim +8 œ  ∞ .
Dimostrazione À Scelto &  ! , da un certo indice 8& in poi tutti gli +8 ed i -8
apparterranno ad uno stesso intorno ½¿ß & e, dato che +8 Ÿ ,8 Ÿ -8 , a questo intorno non
potranno che appartenere anche tutti i ,8 , da cui la prima tesi.
Nelle altre due ipotesi abbiamo che la Successione ,8 è illimitata, nel primo caso superiormente e nel secondo inferiormente, per cui si ha, rispettivamente, che -8 è superiormente illimitata o che +8 è inferiormente illimitata, da cui la tesi.ñ
8Ä∞
OPERAZIONI SULLE SUCCESSIONI
Date due Successioni di termini generali +8 e ,8 , si definiscono la somma, la differenza, la
combinazione lineare, il prodotto, il reciproco, il quoziente ed il valore assoluto delle Successioni +8 e ,8 come nuove Successioni aventi per termine generale, rispettivamente, la somma,
la differenza, la combinazione lineare, il prodotto, il reciproco, il quoziente ed il valore assoluto dei termini generali +8 e ,8 .
Vediamo ora un Teorema d'importanza fondamentale, in quanto ci esprime la relazione che
intercorre tra il carattere di queste nuove Successioni e quello delle Successioni +8 e ,8 .
Teorema 9 À Siano date due Successioni convergenti +8 e ,8 , tali che lim +8 œ ¿" e
8Ä∞
lim ,8 œ ¿# . Allora si ha che:
1Ñ lim +8  ,8  œ ¿"  ¿# ; lim +8  ,8  œ ¿"  ¿# ;
8Ä∞
2Ñ se 5" ß 5# − ‘ , allora lim 5" † +8  5# † ,8  œ 5" † ¿"  5# † ¿# ;
8Ä∞
8Ä∞
3Ñ lim +8 † ,8  œ ¿" † ¿# ;
8Ä∞
8Ä∞
"
"
œ
;
8Ä∞ +8
¿"
+8
¿"
5Ñ se ¿# Á ! , allora lim
œ
;
8Ä∞ ,8
¿#
6Ñ lim +8  œ ¿"  .
4Ñ se ¿" Á ! , allora lim
8Ä∞
Dimostrazione À Vediamo le dimostrazioni relative alla somma e alla differenza.
Scelto &  ! , dato che lim +8 œ ¿" e lim ,8 œ ¿# , esisteranno due indici, 8" e 8# per i
quali si ha: a 8  8" : +8  ¿"   & e a 8  8# : ,8  ¿#   & . Preso
8 œ max 8" ß 8#  , a 8  8 sarà +8  ,8  ¿"  ¿#  Ÿ +8  ¿"   ,8  ¿#   # & , ovvero la tesi per la somma, e sarà anche:
+8  ,8  ¿"  ¿#  œ +8  ¿"   ,8  ¿#  Ÿ +8  ¿"   ,8  ¿#   # & , e quindi
la tesi per la differenza.
8Ä∞
8Ä∞
8
Nel caso del prodotto, dato che la Successione +8 è convergente, per il Teorema 4 essa è limitata, quindi, a 8, +8   M ; scelto &  ! , determiniamo 8 come nel caso della somma;
a 8  8 avremo che :
+8 ,8  ¿" ¿#  œ +8 ,8  +8 ¿#  +8 ¿#  ¿" ¿#  Ÿ
Ÿ +8 ,8  +8 ¿#   +8 ¿#  ¿" ¿#  œ +8  † ,8  ¿#   ¿#  † +8  ¿"   M &  ¿#  & ,
ovvero +8 ,8  ¿" ¿#   & M  ¿#  , da cui la tesi.
Consideriamo ora il punto 4Ñ, cioè il limite del reciproco. Dato che lim +8 œ ¿" , con
8Ä∞
¿" Á ! , per il Teorema della permanenza del segno si può determinare un indice 8 tale che, a
seconda del segno di ¿" , a 8  8 si abbia +8  ! oppure +8  ! , ma in ogni caso certamente +8   ! , per cui si potrà determinare un valore $  ! tale che +8   $  ! . Avremo
quindi che:
"
"
¿"  +8
"
"
"
"
†
&
† , ovvero la tesi per il reciproco.
 
œ
&
+8
¿"
¿" † +8
¿"  +8 
¿"  $
Per quanto riguarda il punto 5Ñ, ovvero il limite del quoziente, basta considerare il rapporto
tra +8 e ,8 come il prodotto tra +8 ed il reciproco di ,8 , e quindi, da 3Ñ e 4Ñ, segue la tesi.
Infine, per il punto 6Ñ, avremo +8   ¿"  Ÿ +8  ¿"   & , cioè la tesi, ed è bene far
notare come non sussista il viceversa, ovvero se lim +8  œ ¿ può accadere che lim +8
8Ä∞
8Ä∞
valga ¿ oppure  ¿ oppure non esista.ñ
Questo Teorema sancisce, sotto condizioni molto generali, la scambiabilità della operazione
di passaggio al limite con le quattro operazioni dell'aritmetica e con il valore assoluto.
Si possono sintetizzare i risultati trovati dicendo che il limite di una somma è dato dalla somma dei limiti, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, ecc á .
Senza darne dimostrazione, enunciamo anche il
Teorema 10 À Date due Successioni +8 e ,8 convergenti, con +8  !, a 8 , e sia
lim +8 œ ¿" Á ! e lim ,8 œ ¿# ; allora si ha che lim +8,8 œ ¿"¿# .
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
FORME INDETERMINATE
I precedenti Teoremi non valgono quando il risultato si presenta in una delle cosiddette
"forme indeterminate", che di seguito elenchiamo:
∞ ! ∞ !
∞∞;!†∞;
; ; " ; ! ; ∞! .
∞ !
Si può avere il primo caso quando si considera la differenza di due Successioni ambedue divergenti positivamente oppure la somma di una Successione divergente positivamente con
una divergente negativamente; il secondo caso si può incontrare nel prodotto tra una
Successione convergente a zero e una Successione divergente; similmente per il terzo e quarto
caso, che provengono dal quoziente di due Successioni, mentre gli ultimi tre casi si possono
incontrare per Successioni costruite come quella del Teorema 10.
Quando il risultato del limite si presenta sotto forma indeterminata, questo non è mai un risultato definitivo, che dovrà invece essere ottenuto mediante opportune semplificazioni o trasformazioni, oppure usando Teoremi che vedremo nel seguito.
Esempio 12 À Determiniamo il carattere della Successione +8 œ 8  "  8 .
Passando al limite, abbiamo la forma indeterminata  ∞  ∞ . Ma si ha anche:
8  "  8 † 8  "  8
lim 8  "  8 œ lim
œ
8Ä∞
8Ä∞
8  "  8
9
8"8
"
œ lim
œ !.
8Ä∞ 8  "  8
8Ä∞ 8  "  8
La Successione data è quindi convergente ed il suo limite vale !.
œ lim
Vediamo invece alcuni casi che non conducono a forme indeterminate.
Anzitutto lim +8 „ ,8 quando una delle due Successioni è divergente e l'altra tende ad un
8Ä∞
limite finito oppure è indeterminata, ma sempre comunque limitata.
Esempio 13 À Determiniamo il carattere della Successione +8 œ 8  sen 8 .
Posto ,8 œ 8 e -8 œ sen 8 , si ha che la Successione ,8 è divergente positivamente, mentre
la -8 è indeterminata. Infatti, per la -8 si può dire solo che  " Ÿ sen 8 Ÿ " , cioè che la Successione è limitata. Avremo allora che +8 è divergente positivamente. Infatti
8  sen 8 8  " , per cui, scelto & grande a piacere, basta prendere 8  &  " perchè sia
verificata la definizione di limite per una Successione divergente positivamente.
Non è indeterminato il lim +8 † ,8 quando una delle due Successioni converge a zero e l'al8Ä∞
tra, qualunque sia il suo carattere, è limitata, per cui anche il prodotto converge a zero.
+8
Non è indeterminato il lim
quando +8 Ä ! e ,8 Ä ∞ Ðe quindi il quoziente tende a
8Ä∞ ,8
zeroÑ, oppure quando +8 Ä ∞ e ,8 Ä ! Ðe la frazione tende all'infinito, del quale resta poi
da stabilire il segnoÑ.
sen 8
. Il numeratore è limi8
tato, mentre il denominatore aumenta illimitatamente, per cui sarà lim +8 œ ! . Infatti si ha:
Esempio 14 À Determiniamo il carattere della Successione +8 œ
8Ä∞
sen 8
"
"

 Ÿ  & e quindi basta prendere 8     " , perchè sia soddisfatta la definizione
8
8
&
di limite per una Successione convergente a zero.
Non è poi indeterminato il lim +8,8 , quando +8 Ä  ∞ e ,8 Ä  ∞ , nel qual caso si ha
8Ä∞
che lim +8,8 œ ! , oppure quando +8 Ä ! e ,8 Ä ∞ , per cui si ha che +8,8 tende a zero se
8Ä∞
,8 Ä  ∞ , mentre +8,8 tende a  ∞ quando ,8 Ä  ∞ .
SUCCESSIONI MONOTONE
Diamo ora la seguente
Definizione 12 À Ðdi Successione monotònaÑ: Una Successione +8 si dice monotòna se, da un
certo indice 8! in poi, a 8" ß 8# : 8!  8"  8# , si ha che:
+8" Ÿ +8# ,
ÐSuccessione monotòna crescenteÑ, oppure
+8"  +8# ,
ÐSuccessione monotòna strettamente crescenteÑ, oppure
+8" +8# ,
ÐSuccessione monotòna decrescenteÑ, oppure
+8"  +8# ,
ÐSuccessione monotòna strettamente decrescenteÑ.
Per le Successioni monotòne vale il seguente
Teorema 11 À Ogni Successione monotòna è regolare, ed inoltre si ha:
lim +8 œ Sup 0  se +8 è crescente,
lim +8 œ Inf 0  se +8 è decrescente.
8Ä∞
8Ä∞
10
Dimostrazione À Proviamo solo la prima parte della tesi, potendosi con procedura analoga dimostrare l'altra. Distinguiamo due casi : +8 non limitata e +8 limitata.
Sia +8 crescente e non limitata. Allora, a &  ! esiste almeno un indice 8& tale che
+8&   & ; preso 8  8& , essendo la Successione crescente, sarà anche:
+8  +8&   & , a 8  8& , e quindi avremo che lim +8 œ  ∞ œ Sup 0  .
Sia poi +8 crescente e limitata; ovviamente, a 8 , +8 Ÿ Sup 0  .
Per la definizione di Estremo superiore, a &  ! si può determinare almeno un indice 8&
tale che Sup 0   &  +8&  Sup 0  .
a 8  8&  8! si ha, dato che la Successione +8 è crescente: +8  +8& , e da
+8  Sup 0  segue Sup 0   &  +8  Sup 0  e quindi 8  8& implica
che +8  Sup 0   & per ogni indice 8  8& , ovvero che lim +8 œ SupÖ0 × .
8Ä∞
8Ä∞
Procedendo in modo analogo si dimostra la seconda parte della tesi.ñ
"
Esempio 15 À Utilizziamo questo Teorema per studiare la Successione +8 œ "   .
8
Verifichiamo anzitutto che essa è crescente, ovvero facciamo vedere che:
8"
8 8"
" 8
8" 8
8
"
+ 8 œ "   œ 

†
œ
"

œ +8" .





8
8
8"
8
8"
Questa disequazione è soddisfatta quando:
8
8
8#  "
8"
"
"
, ovvero se "  #   "  .

 
#
8
8
8
8
Ma questa è sempre vera, come si vede subito sostituendo, nella disuguaglianza di Bernoulli
"
"  2 8  "  8 2 , ad 2 il valore  # .
8
" 8
Usando varie procedure, si può poi dimostrare che, a 8 , risulta # Ÿ "    $ .
8
Quindi la Successione è monotòna crescente e limitata, per cui, per il Teorema precedente,
ammette limite finito.
Il valore di questo limite è un numero irrazionale, molto importante nell'Analisi matematica,
che viene denotato con la lettera "/", si chiama numero di Nepero e vale circa
/µ
œ #.(")#)")#)%&... .
8
Esempio 16 À Determinare il carattere della Successione +8 œ 8 log 8  log 8  " .
Se passiamo al limite, il termine dentro parentesi presenta una forma indeterminata del tipo
 ∞  ∞ . Ma si ha anche:
8
8
8
lim 8 log 8  log 8  " œ lim 8 † log 
œ
lim
log
 8Ä∞ 
 œ
8Ä∞
8Ä∞
8"
8"
"
"
œ lim log
œ  ".
8 œ log
8Ä∞
/
"
"  
8
La Successione è quindi convergente al limite  ".
SUCCESSIONI DI CAUCHY
Vediamo ora l'importante
Definizione 13 Ðdi Successione di CauchyÑ À
11
La Successione +8 si dice Successione di Cauchy se a &  ! si può determinare un indice
8& tale che, per ogni coppia di indici 8" e 8# : 8"  8& , 8#  8& , si ha
+8"  +8#   & .
Oppure, equivalentemente:
Una Successione +8 si dice di Cauchy se a &  ! si può determinare un indice 8& tale che,
per ogni 8  8& e qualunque sia : −  , si ha +8:  +8   & .
Si può dimostrare che vale il seguente:
Teorema 12 À In ‘, una Successione +8 è convergente se e solo se è di Cauchy.
Questo Teorema equivale ad affermare che condizione necessaria e sufficiente affinchè una
Successione sia convergente è che a &  ! esista un indice 8&, tale che, per ogni coppia di
indici 8" e 8# , 8"  8& , 8#  8& , si abbia +8"  +8#   & .
E' bene notare come nella condizione di Cauchy non compaia il valore del limite della Successione.
TEOREMI DI CESARO
Daremo ora una rassegna di Teoremi, particolarmente utili per la determinazione del carattere
di una Successione, ed in particolar modo per la risoluzione delle forme indeterminate.
Vale anzitutto il seguente:
Teorema 13 À Siano date due Successioni a termini positivi +8 e ,8 ; se +8 è convergente e se,
,8"
+8"
almeno da un certo indice 8! in poi, risulta
Ÿ
, allora anche ,8 è convergente.
,8
+8
,8"
+8"
Dimostrazione À Essendo le Successioni a termini positivi, dalla
Ÿ
otteniamo
,8
+8
,8"
,8
,8
Ÿ
, cioè la Successione di termine generale
è monotòna decrescente, inoltre è a
+8"
+8
+8
termini positivi, quindi è inferiormente limitata dallo !, ed allora, per il Teorema 11, ha limite
,8
finito. Poichè lim ,8 œ lim +8 †
, per il Teorema sul limite del prodotto segue la tesi.ñ
8Ä∞
8Ä∞
+8
Teorema 14 Ðdi CesàroÑ À Siano +8 e ,8 due Successioni, e sia ,8 monotòna divergente Ðposi+8"  +8
tivamente o negativamenteÑ. Se esiste, finito o infinito, lim
, allora esiste anche
8Ä∞ ,8"  ,8
+8
+8
+8"  +8
lim
ed è uguale, ovvero lim
œ lim
.
8Ä∞ ,8
8Ä∞ ,8
8Ä∞ ,8"  ,8
Dimostrazione À Prendiamo il caso di ,8 Successione monotòna divergente positivamente e
+8"  +8
sia lim
œ 5 − R . Per la definizione di limite, avremo che a &  ! esiste 8&
8Ä∞ ,8"  ,8
+8"  +8
+8"  +8
tale che, a 8  8& si ha 
 5   & , ovvero 5  & 
 5  & , ed
,8"  ,8
,8"  ,8
essendo ,8 per ipotesi crescente, sarà ,8"  ,8  ! , e quindi avremo:
5  & † ,8"  ,8   +8"  +8  5  & † ,8"  ,8  .
Se scegliamo un qualunque indice 8  8& , e prendiamo 8  8 , sostituendo nell'ultima disequazione, al posto di 8, di volta in volta, 8  " , 8  # , ecc... fino ad 8, avremo:
5  & † ,8"  ,8   +8"  +8  5  & † ,8"  ,8  ,
5  & † ,8  ,8"   +8  +8"  5  & † ,8  ,8"  ,
5  & † ,8"  ,8#   +8"  +8#  5  & † ,8"  ,8#  ,
...............................................................................................................
5  & † ,8"  ,8   +8"  +8  5  & † ,8"  ,8  ,
12
dalle quali, sommando termine a termine, si ha:
5  & † ,8"  ,8   +8"  +8  5  & † ,8"  ,8  ,
e dividendo per ,8"  ! , otteniamo :
,8
+8
+8"
,8
+8
5  & † " 

 5  & † " 
,


,8"
,8"
,8"
,8"
,8"
nella quale, passando al limite per 8 Ä  ∞ , dato che lim ,8" œ  ∞ , e dato che +8 e
8Ä∞
,8 sono costanti, otteniamo:
+8"
+8"
+8
5&
 5  & , che equivale a lim
œ lim
œ 5 , ovvero la tesi.
8Ä∞ ,8"
8Ä∞ ,8
,8"
+8"  +8
Vediamo ora il caso lim
œ  ∞ . Scelto &  ! , per la definizione di limite
8Ä∞ ,8"  ,8
+8"  +8
esisterà un indice 8& tale che per ogni 8  8& si ha 
  &.
,8"  ,8
+8"  +8
Dato che lim ,8 œ  ∞ e lim
œ  ∞ , sarà anche +8"  +8  ! , per cui
8Ä∞
8Ä∞ ,8"  ,8
+8"  +8
la precedente disequazione si riduce a
 & . Procedendo come prima, scelto un
,8"  ,8
qualunque indice 8  8& , preso 8  8 , e dato che ,8"  ,8  ! , si ha:
+8"  +8  & † ,8"  ,8  ,
+8  +8"  & † ,8  ,8"  ,
+8"  +8#  & † ,8"  ,8#  ,
.........................................................
+8"  +8  & † ,8"  ,8  ,
dalle quali, sommando termine a termine, abbiamo :
+8"  +8  & † ,8"  ,8  , e dividendo per ,8"  ! otteniamo:
+8"
+8
,8

 & † " 
 , da cui, passando al limite, e dato che À
,8"
,8"
,8"
+8"
+8"
+8
lim ,8" œ  ∞ , si ha
 & , ovvero lim
œ lim
œ  ∞ .ñ
8Ä∞
8Ä∞ ,8"
8Ä∞ ,8
,8"
log 8
Esempio 17 À Determinare il carattere della Successione +8 œ
.
8
log 8
∞
Se calcoliamo lim
, questo si presenta nella forma indeterminata
.
8Ä∞ 8
∞
Le Successioni +8 œ log 8 e ,8 œ 8 soddisfano le ipotesi del Teorema 14, per cui è:
log 8  "  log 8
8"
8"
lim
œ lim log 
œ log lim 

 œ log " œ !
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
 8  "  8
8
8
log 8
log 8  "  log 8
log 8
per cui lim
œ lim
œ ! e quindi la Successione +8 œ
è
8Ä∞ 8
8Ä∞
 8  "  8
8
convergente a !.
58
Esempio 18 À Determinare il carattere della Successione +8 œ
, con 5 − ‘ , 5  " .
8
∞
Dato che anche questo limite si presenta nella forma indeterminata
, come nel caso
∞
precedente applichiamo il Teorema 14 ed avremo:
5 8"  5 8
lim
œ lim 5 8 † 5  " œ  ∞ , in quanto 5  " , per cui À
8Ä∞ 8  "  8
8Ä∞
58
lim
œ  ∞.
8Ä∞ 8
13
Teorema 15 À Ðdi CesàroÑ: Date due Successioni +8 e ,8 , con lim +8 œ lim ,8 œ ! , sia
8Ä∞
8Ä∞
+8"  +8
inoltre ,8 monotòna Ðcrescente o decrescenteÑ. Se esiste, finito o infinito, lim
,
8Ä∞ ,8"  ,8
+8
+8
+8"  +8
allora esiste anche lim
ed è uguale, ovvero lim
œ lim
.
8Ä∞ ,8
8Ä∞ ,8
8Ä∞ ,8"  ,8
La Dimostrazione di questo secondo Teorema di Cesàro si ottiene in modo analogo a quella
del primo Teorema, distinguendo i casi, per il quoziente delle differenze, di un limite finito e
di uno infinito.
E' comunque bene far notare come i Teoremi 14 e 15 non siano invertibili, ovvero, se esiste
+8
+8"  +8
lim
non è detto che esista il lim
.
8Ä∞ ,8
8Ä∞ ,8"  ,8
Dai Teoremi di Cesàro si ricavano poi i seguenti:
Teorema 16 À Data la Successione -8 , esista, finito o infinito lim -8 ; allora è anche:
8Ä∞
-"  -#  ...  -8
lim
œ lim -8 .
8Ä∞
8Ä∞
8
Ovvero, la media aritmetica dei termini di una Successione tende allo stesso limite della
Successione.
Dimostrazione À Poniamo +8 œ -"  -#  ...  -8 e ,8 œ 8 . Applicando il Teorema 14 si
+8"  +8
+8
ha: lim
e quindi la tesi.ñ
œ lim s8" œ lim
8Ä∞ ,8"  ,8
8Ä∞
8Ä∞ ,8
"
"
"
Esempio 19 À Determiniamo il Carattere della Successione -8 œ 
 ...  # .
8 #8
8
"
"
"   ... 
#
8 , posto + œ " , utilizzando il Teorema 16 avremo:
Essendo -8 œ
8
8
8
"
lim -8 œ lim +8 œ lim
œ ! , e quindi la Successione data converge a !.
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞ 8
Teorema 17 À Sia -8 una Successione a termini positivi, ed esista, finito o infinito, lim -8 ;
8
allora è anche lim 
-" † -# † ... † -8 œ lim -8 .
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
Ovvero, la media geometrica dei termini di una Successione tende allo stesso limite della
Successione.
Dimostrazione À Poniamo ora +8 œ log -"  log -#  ...  log -8 e ,8 œ 8 . Applicando il
+8
Teorema 14 al quoziente
, avremo:
,8
+8"  +8
+8
lim
œ lim log s8" œ log lim s8" œ lim
œ
8Ä∞ ,8"  ,8
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞ ,8
log -"  log -#  ...  log -8
8
œ lim
œ lim log 
-" † -# † ... † -8  œ
8Ä∞
8Ä∞
8
8
œ log lim 
-" † -# † ... † -8 , da cui la tesi.ñ
8Ä∞
+8"
Teorema 18 À Data la Successione a termini positivi +8 , esista, finito o infinito, lim
;
8Ä∞ +8
+8"
8
8
allora esiste lim 
+8 e risulta lim 
+8 œ lim
.
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞ +8
+#
+$
+8
Dimostrazione À Poniamo ," œ +" , ,# œ
, ,$ œ
,..., ,8 œ
.
+"
+#
+8"
8
8
Avremo allora 
," † ,# † ,$ † ... † ,8 œ 
+8 da cui, per il Teorema 17, sarà anche:
14
+8
8
8
œ lim ,8 œ lim 
," † ,# † ,$ † ... † ,8 œ lim 
+8 .ñ
8Ä∞ +8"
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
lim
8
Esempio 20 À Determinare il carattere della Successione +8 œ 
8.
8"
8
Applicando il Teorema 18, abbiamo lim
œ " , per cui sarà anche lim 
8 œ ".
8Ä∞ 8
8Ä∞
8
Esempio 21 À Determinare il carattere della Successione +8 œ 
8 x.
 8  " x
Per il Teorema 18, avremo lim
œ lim 8  " œ  ∞ , per cui sarà anche
8Ä∞
8Ä∞
8x
8

lim
8x œ  ∞.
8
Esempio 22 À Determinare il carattere della Successione +8 œ 
5, 5 − ‘, 5  !.
5
8
œ " , da cui lim 
5 œ " . Si noti poi
Usiamo il Teorema 18. Avremo, calcolando lim
8Ä∞ 5
8Ä∞
come, per raggiungere il risultato, non serva distinguere i casi !  5  " e "  5 . Se il radicando è costante, quindi, all'aumentare dell'ordine della radice il risultato tende sempre ad ".
8Ä∞
Teorema 19 À Sia data la Successione a termini positivi +8 , e sia
+8"
œ 5 , con
8Ä∞ +8
lim
! Ÿ 5  " ; allora è anche lim +8 œ ! .
8
Dimostrazione À Per il Teorema 18 sarà anche lim 
+8 œ 5 , e quindi, in base alla defini-
8Ä∞
zione di limite, scelto & À !  5  &  " , avremo che, da un certo indice 8& in poi, sarà:
8
!
+8  & , ovvero +8  &8 , ma essendo &  " , sarà lim &8 œ ! , e per il Teorema del
8Ä∞
8Ä∞
confronto, segue la tesi.ñ
58
Esempio 23 À Determinare il carattere della Successione +8 œ
, 5 − ‘, 5  ".
8x
8"
+8"
5
8x
5
Usando il Teorema 19, avremo lim
œ lim
† 8 œ lim
œ !.
8Ä∞ +8
8Ä∞ 8  " x 5
8Ä∞ 8  "
58
Essendo questo risultato minore di ", si ha che lim
œ !.
8Ä∞ 8 x
Esempio 24 À Determinare il carattere della Successione +8 œ
8x
.
88
+8"
8  " x 88
œ lim
†
œ
Usiamo ancora il Teorema 19, e quindi calcoliamo lim
8Ä∞ +8
8Ä∞ 8  "8" 8 x
8
8  " † 8 x † 88
8
"
"
œ lim
œ lim 
lim
 ".
 œ 8Ä∞
8 œ
8
8Ä∞ 8  " † 8  " † 8 x
8Ä∞ 8  "
/
"
" 

8
8x
Essendo il valore di questo limite minore di ", avremo allora che lim 8 œ ! .
8Ä∞ 8
Ovviamente, vista la dimostrazione del Teorema 19, varrà anche il
Teorema 20 À Sia data la Successione a termini positivi +8 , e sia
! Ÿ 5  " ; allora è anche lim +8 œ ! .
8Ä∞
8
lim 
+8 œ 5 , con
8Ä∞
15
Nell'esempio che segue si ordinano le Successioni elementari divergenti in base alla loro
maggiore o minore rapidità nel tendere a  ∞ .
Esempio 25 À Date le Successioni divergenti À
"Ñ +8 œ 8 , 2Ñ +8 œ log 8 , 3Ñ +8 œ 88 , 4Ñ +8 œ 8 x ,
5Ñ +8 œ 8α Ð !  α  " Ñ, 6Ñ +8 œ 8" Ð "  " Ñ, 7Ñ +8 œ 5 8 Ð 5  " Ñ,
ordiniamole secondo la loro rapidità nel tendere a  ∞ .
Per ottenere questa classificazione, sapendo che sono tutte divergenti, ci baseremo sul risulta+8
to del lim
. E precisamente:
8Ä∞ ,8
+8
se lim
œ 5 − ‘, 5 Á ! , le due Successioni divergono con la stessa rapidità;
8Ä∞ ,8
+8
se lim
œ ! , la Successione a denominatore diverge con rapidità maggiore;
8Ä∞ ,8
+8
œ  ∞ , la Successione a numeratore diverge con rapidità maggiore;
se lim
8Ä∞ ,8
+8
se lim
non esiste, le due Successioni non sono confrontabili.
8Ä∞ ,8
8"
Confrontiamo 6Ñ e 5Ñ. Avremo che lim α œ lim 8"α œ  ∞ , in quanto "  α  ! ,
8Ä∞ 8
8Ä∞
quindi 6Ñ diverge più rapidamente di 5Ñ ed allo stesso modo si vede che 6Ñ diverge più rapidamente di 1Ñ, mentre 1Ñ diverge più rapidamente di 5Ñ.
L'Esempio 17 ci dice che 1Ñ diverge più rapidamente di 2Ñ;
l'Esempio 18 ci mostra come 7Ñ diverga più rapidamente di 1Ñ;
l'Esempio 23 ci mostra come 7Ñ diverga meno rapidamente di 4Ñ;
l'Esempio 24 ci mostra come 3Ñ diverga più rapidamente di 4Ñ.
Rimangono da confrontare 5Ñ con 2Ñ e 6Ñ con 7Ñ. Vediamo il confronto tra 5Ñ e 2Ñ.
8α
/ α691 8
8α
5:
Si ha
œ
, e posto : œ log 8 ed /α œ 5 , avremo
.
log 8
log 8
log 8
:"
5:
Ma
Ä  ∞ se : Ä  ∞ , e per il Teorema del confronto si ha che 5Ñ diverge più
:"
rapidamente di 2Ñ.
Per il confronto tra 6Ñ e 7Ñ usiamo il Teorema 20.
"
8
"

8
"
8"
8 8
Calcoliamo lim  8 œ lim
œ  " , in quanto 5  " per cui lim 8 œ ! ,
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞ 5
5
5
5
quindi la 6Ñ diverge più lentamente della 7Ñ.
Scrivendo da sinistra a destra, nell'ordine dalla meno alla più rapida, avremo:
log 8 ¥ 8α Ð!  α  "Ñ ¥ 8 ¥ 8" Ð"  " Ñ ¥ 5 8 ¥ 8 x ¥ 88 .
SUCCESSIONI DEFINITE PER RICORRENZA
Non tutte le Successioni vengono espresse nella forma esplicita 8 Ä +8 ; esiste anche un
altro modo, quello delle cosiddette Successioni definite per ricorrenza.
Assegnare una Successione definendola per ricorrenza significa assegnare il primo termine
della Successione, +! , ed una relazione analitica che leghi il termine generale +8 con uno o
più dei termini precedenti.
Sono, ad esempio, Successioni definite per ricorrenza, le seguenti:

"
+! œ #
+! œ
1Ñ 
oppure 2) 
.
#
+8 œ "  log +8"
 +8 œ sen +8"
16
Utilizzeremo questi due esempi per illustrare sommariamente la procedura da seguire nella ricerca del carattere, e quindi del limite, di una Successione definita per ricorrenza.
Partiamo anzitutto dall'ipotesi che il limite della Successione, finito o infinito, esista, ed indichiamolo con ¿.
Dato che, ovviamente, lim +8 œ lim +8" œ ... œ lim +85 , a 5 −  , passando al limi8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
te per 8 Ä  ∞ nella relazione analitica tra i termini generali, si ottiene una equazione nell'incognita ¿, di cui vanno ricercate sia le soluzioni reali che le eventuali soluzioni "infinite".
Prendiamo ad esempio la 1Ñ; passando al limite in ambedue i membri della seconda equazione, otteniamo ¿ œ lim +8 œ lim "  log +8"  œ "  log ¿ .
8Ä∞
8Ä∞
L'equazione ¿ œ "  log ¿ ha soluzione ¿ œ " , e, come caso limite, vale per ¿ œ  ∞ .
Si tratta ora di vedere se uno dei due casi può essere quello giusto.
Vediamo, per induzione, che la "Ñ è una Successione i cui termini sono tutti maggiori di "; infatti: +! œ #  " , e supposto +8"  " , avremo che +8 œ "  log +8"  " in quanto
log +8"  ! . Sempre per induzione, vediamo che la Successione è monotòna decrescente.
Infatti si ha +! œ #  "  log # œ +" , e supposto poi +8"  +8 , vediamo che da questo
segue +8  +8" .
Infatti abbiamo +8 œ "  log +8"  "  log +8 œ +8" .
Essendo monotòna decrescente, con i termini tutti maggiori di ", essa ammette limite finito, e
questo non può che essere, tra le due possibili soluzioni, il valore ".
Passando all'esempio #Ñ e operando, come prima, il passaggio al limite, avremo l'equazione
¿ œ sen ¿ . L'unica possibile soluzione è ¿ œ ! .
"
Analizzando i termini della Successione, vediamo che essi sono tutti positivi. Infatti +! œ ,
#
e se !  +8  " , allora segue che anche +8" œ sen +8  ! .
"
"
Per induzione, poi, vediamo che la Successione è decrescente. Infatti  sen , e supposto
#
#
+8"  +8 , da questo segue +8" œ sen +8  sen +8" œ +8 e quindi la Successione è decrescente, ed essendo i termini tutti positivi, il suo limite non può essere che !.
SERIE NUMERICHE
Data una Successione di termine generale +8 , 8 Ä +8 , introduciamo tra i suoi elementi, in
modo puramente formale, il simbolo di somma. L'espressione:
 +8 œ +!  +"  +#  ...  +8  ...
∞
8œ!
è detta Serie numerica di termine generale +8 .
E' bene ribadire il carattere puramente formale dell'espressione introdotta, in quanto l'operazione di somma non è definita se il numero degli addendi è infinito. Come per le Successioni,
anche per le Serie definiremo il cosiddetto carattere, per la determinazione del quale sarà
rilevante il comportamento del termine generale +8 al tendere di 8 all'infinito, mentre avrà
solo relativa importanza un qualunque numero finito di termini iniziali.
Per questo, quando sarà sufficiente, indicheremo una Serie semplicemente con  +8 .
∞
SOMME RIDOTTE - CARATTERE DI UNA SERIE
17
Data la Serie +8 , costruiamo da essa una Successione, =8 , detta Successione delle
∞
8œ!
ÐSommeÑ Ridotte, definita per ricorrenza nel modo seguente: 
=! œ + !
.
=8 œ =8"  +8
Avremo quindi, per esteso:
=! œ + ! ;
= " œ + !  + " œ =!  + " ;
= # œ + !  + "  + # œ ="  +# ;
........................................................
=8 œ +!  +"  +#  ...  +8 œ =8"  +8 .
Definiamo carattere della Serie  +8 il carattere della Successione =8 , e quindi:
Definizione 14 (di Serie convergente) À
∞
La Serie  +8 si dice convergente quando lim =8 esiste ed è finito;
∞
8Ä∞
Definizione 15 (di Serie divergente positivamente o negativamente) À
La Serie  +8 si dice divergente positivamente se lim =8 œ  ∞ , si dice divergente ne∞
8Ä∞
gativamente se lim =8 œ  ∞ ;
8Ä∞
Definizione 16 (di Serie indeterminata) À
La Serie  +8 si dice indeterminata quando lim =8 non esiste.
∞
8Ä∞
Definiamo quindi il carattere di una Serie mediante la somma di un numero finito di termini
iniziali, da +! fino ad +8 , cioè la Ridotta 8-esima, e valutando poi il comportamento di questa
somma all'aumentare del numero degli addendi.
Quando la Successione delle Ridotte è convergente, ovvero lim =8 œ S , il valore S verrà
8Ä∞
detto Somma della Serie, e scriveremo, solo formalmente:  +8 œ S .
∞
Vale anzitutto il seguente:
Teorema 21 À Una Serie i cui termini, almeno da un certo indice in poi, siano tutti positivi Ðo
tutti negativiÑ, non può essere indeterminata.
Dimostrazione: In questo caso infatti la Successione =8  delle somme ridotte è monotòna
Ðcrescente se i termini della Serie sono positivi, decrescente se negativiÑ, e una Successione
monotòna non può essere indeterminata.ñ
Passiamo quindi ad enunciare le seguenti:
Definizione 17 di convergenza per una Serie À
Si dice che la Serie  +8 è convergente ed ha per somma S se:
a &  ! b 8& À 8  8& Ê =8  S  & .
Definizione 18 di divergenza positiva per una Serie À
∞
Si dice che la Serie  +8 è divergente positivamente se a & b 8& À 8  8& Ê =8  & .
Definizione 19 di divergenza negativa per una Serie À
∞
18
Si dice che la Serie  +8 è divergente negativamente se a & b 8& À 8  8& Ê =8  & .
∞
Data una Serie  +8 che risulti convergente, sarà:
lim =8 œ lim =8: œ S e quindi lim (=8:  =8 ) œ S  S œ ! ,
∞
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
dalla quale, applicando la definizione di limite, otteniamo che:
a &  ! b 8& À 8  8& Ê =8:  =8   & , ovvero
=8:  =8  œ +!  +"  ...  +8  +8"  ...  +8:  +!  +"  ...  +8  œ
œ +8"  +8#  ...  +8:   & .
Poniamo +8"  +8#  ...  +8: œ R8ß: , quantità che viene detta Resto di ordine 8ß : della
Serie e rappresenta la somma dei primi : termini della Serie dopo l'8-esimo.
La convergenza può essere quindi così espressa:
una Serie è convergente quando il Resto di ordine 8ß :, con : −  qualunque, è una quantità
che, almeno da un certo indice 8& in poi, può essere resa piccola a piacere.
Dovendo questa condizione valere qualunque sia :, si ha, nel caso : œ " À
a &  ! b 8& À 8  8& Ê R8ß"  œ +8"   & , e questo implica che lim +8 œ ! .
8Ä∞
Vale quindi il seguente:
Teorema 22 À Se una Serie è convergente, il suo termine generale +8 è infinitesimo.
Quindi la condizione lim +8 œ ! è necessaria per la convergenza di una Serie, senza essere
8Ä∞
però, come subito vediamo, sufficiente.
Esempio 26 À Consideriamo la seguente Serie, detta Serie armonica: 
∞
"
.
8
8œ"
Si ha che lim +8 œ ! , ovvero è verificata la condizione necessaria per la convergenza.
8Ä∞
Per far vedere che questa non è però una Serie convergente, consideriamo un caso particolare,
ovvero il Resto di ordine 8,8. Avremo:
"
"
"
R8ß8  œ 

 ... 
.
8" 8#
88
Se maggioriamo ogni denominatore con la quantità 8  8 , avendo aumentato i denominatori
otteniamo frazioni inferiori, e questa nuova somma sarà minore del Resto R8ß8 ; le frazioni
sono ora tutte uguali ed otteniamo:
"
"
"
"
"
"
"
R8ß8  œ 

 ... 
 ... 
œ ,

œ8†
8"
8#
88
88
88
#8
#
"
e quindi esiste un Resto, R8ß8 , che a 8 è più grande di , e non può allora essere reso picco#
lo a piacere. Essendo poi i termini della Serie armonica tutti positivi, essa non può essere indeterminata e non potendo, per quanto visto sopra, convergere, essa è divergente.
Esempio 27 À Determinare il carattere della Serie  " 
"
 .
8
8œ"
8
"
"
Calcolando il limite del termine generale avremo: lim "   œ Á ! . Non essendo
8Ä∞
8
/
soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza la Serie, che non può essere indeterminata in quanto a termini tutti positivi, è divergente.
∞
8
19
Applicando invece alla Successione =8  la condizione necessaria e sufficiente di Cauchy
ÐTeorema 12Ñ per la convergenza di una Successione, avremo il seguente:
Teorema 23 À Ðdi Cauchy per la convergenza di una SerieÑ: Condizione necessaria e suffi-
ciente affinchè la Serie  +8 sia convergente è che a &  ! si possa determinare un indice
8& tale che per ogni coppia di indici 8" e 8# , 8"  8& , 8#  8& , si abbia:
=8"  =8#   & .
Supposto 8#  8" , ponendo 8# œ 8"  : , si ha =8" p  =8"   & , a 8"  8& e a : −  .
Da quest'ultima disequazione, sostituendo alle Ridotte =8" p ed =8" il loro valore, otteniamo:
=8" :  =8"  œ +!  +"  ...  +8"  +8" "  ...  +8" :  +!  +"  ...  +8"  œ
œ +8" "  +8" #  ...  +8" :   & .
Ma +8" "  +8" #  ...  +8" : œ R8" ß: , Resto di ordine 8" ß : della Serie che rappresenta la
somma dei primi : termini della Serie dopo l'8" -esimo.
La condizione di convergenza di Cauchy può essere quindi espressa dicendo che una Serie è
convergente quando il Resto di ordine 8ß :, con : qualunque, è una quantità che, almeno da
un certo indice 8& in poi, può essere resa piccola a piacere.
∞
OPERAZIONI SULLE SERIE
Date due Serie numeriche,  +8 e  ,8 , e scelte due costanti αß " − ‘ , definiamo la
∞
∞
combinazione lineare delle due Serie come la Serie  α +8  " ,8  .
∞
Se le due Serie  +8 e  ,8 sono convergenti, ed hanno per Somma rispettivamente S"
ed S# , applicando alle loro Ridotte i Teoremi sulle Successioni, avremo che anche la Serie
∞
∞
 α +8  " ,8  risulta convergente e la sua Somma vale: α S"  " S# .
La combinazione lineare di due Serie convergenti dà quindi luogo ad una Serie convergente
ed avente per somma la combinazione lineare delle somme.
In particolare, la Somma e la differenza di due Serie convergenti sono anch'esse Serie convergenti. Se invece una Serie converge e l'altra diverge, la somma e la differenza risultano Serie
divergenti.
∞
SERIE GEOMETRICHE
Dato ; − ‘ , si dice Serie geometrica di ragione ; una Serie del tipo  ; 8 , cioè una Serie i
∞
8œ!
cui termini formino una Progressione geometrica.
Per una Serie geometrica avremo:
=8 œ "  ;  ; #  ...  ; 8 da cui, moltiplicando ambedue i membri per ; :
; † =8 œ ;  ; #  ...  ; 8" e sottraendo dalla seconda uguaglianza la prima:
;  " † =8 œ ; 8"  " ovvero:
; 8"  "
=8 œ
.
;"
Se calcoliamo lim =8 , avremo i seguenti casi:
8Ä∞
-se ;   " , cioè se  "  ;  " , allora lim ; 8" œ ! , e quindi lim =8 œ
8Ä∞
"
rie geometrica è convergente e la sua Somma vale
;
";
8Ä∞
"
; la Se";
20
-se ;  " , allora lim ; 8" œ  ∞ e la Serie geometrica diverge positivamente;
-se ;   " ,
8Ä∞
lim ; 8"
8Ä∞
œ ∞ , tenendo però presente che ; 8" assume valori positivi quan-
do 8 è dispari e valori negativi quando 8 è pari; la Successione delle Ridotte assume allora
valori in quantità sempre piu grandi, ma con segno alternativamente positivo e negativo; si
dice in questo caso che la Serie geometrica diverge oscillando (alcuni la classificano come indeterminata);
-se ; œ  " , sarà  ; 8 œ  "8 œ "  "  ...  "  ... , per cui =8 œ 8  " , e la Serie
∞
∞
8œ!
8œ!
geometrica risulta divergente;
-se ; œ  " , infine, otteniamo la Serie    "8 œ "  "  "  "  ... , per la quale:
∞
8œ!
" per 8 pari
=8 œ 
; tale Serie geometrica è quindi indeterminata.
! per 8 dispari
Esempio 28 À Vediamo il carattere della Serie  +8 œ $ 
∞
8œ!
$ $ $
$
  
 ... .
# % ) "'
Mettendo in evidenza la costante moltiplicativa $ otteniamo:
8
∞
∞
" " "
"
"
 +8 œ $  "    
 ...  œ $ †     ,
# % ) "'
#
8œ!
8œ!
"
ovvero una Serie geometrica di ragione  , e quindi convergente.
#
"
La sua Somma sarà allora data da S œ $ †
œ #.
"
" 
#
Esempio 29 À Studiamo la Serie  +8 œ
∞
) $ %
)
"'
$#
  


 ... .
& % * #( )" #%$
%
Isolando i primi due termini e mettendo in evidenza nei rimanenti , si avrà:
*
∞
) $ %
# %
)
"'
) $ % ∞
# 8
 +8 œ   † "   

 ... œ   †    ,
& % *
$ * #( )"
& % * 8œ!
$
#
%
ovvero una Serie geometrica di ragione  , moltiplicata per
e con l'aggiunta di due ter$
*
#
mini iniziali. Essendo     " , la Serie sarà convergente con Somma:
$
) $ %
"
'(
Sœ   †
œ
.
#
& % *
'!
" 
$
SERIE A SEGNI ALTERNI
Si dice a segni alterni una Serie i cui termini, almeno da un certo indice in poi, assumono segno alternativamente positivo e negativo.
Scriveremo una Serie a segni alterni nella forma   "8 † +8  .
∞
8œ!
Per lo studio del carattere delle Serie a segni alterni vale il seguente:
21
Teorema 24 ÐCriterio di Leibnitz) À Sia data una Serie a segni alterni   "8 † +8  ;
∞
se lim +8 œ ! e se la Successione +8 , almeno da un certo indice 8! in poi, è monotòna de8œ!
8Ä∞
crescente, allora la Serie è convergente.
Inoltre, le ridotte di indice pari forniscono un valore approssimato per eccesso della Somma
della Serie, mentre le ridotte di indice dispari ne danno uno approssimato per difetto; infine,
l'errore che si commette calcolando, invece della Somma S della Serie, la Ridotta =8 , è minore
del primo termine non utilizzato, ovvero: S  =8  Ÿ +8"  .
Dimostrazione: Sapendo che +8  è monotòna decrescente, avremo che:
aÑ =#8# œ =#8  +#8"   +#8#  Ÿ =#8 ;
bÑ =#8" œ =#8"  +#8   +#8"  =#8" ;
cÑ =#8" œ =#8  +#8"  Ÿ =#8 .
Quindi, in base alle disequazioni aÑ e bÑ, abbiamo che la Successione delle Ridotte di indice
pari è decrescente e quella delle dispari è crescente.
Inoltre, per la cÑ, è facile vedere che:
=#8" Ÿ =#8 Ÿ ... Ÿ =# œ +!   +"   +#  , e che
=#8 =#8" ... =" œ +!   +"  ,
ovvero la Successione delle Ridotte di indice pari è limitata inferiormente, mentre quella delle
dispari è limitata superiormente.
Allora esistono finiti lim =#8" œ 5" e lim =#8 œ 5# , con 5# Ÿ =#8 e 5" =#8" , a 8 .
Inoltre 5#  5" œ lim =#8  =#8"  œ lim +#8"  œ ! , e quindi esiste finito S, valore
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
comune del limite delle Ridotte di indice pari e di quelle di indice dispari, nonchè Somma della Serie a segni alterni.
Essendo 5# Ÿ =#8 e 5" =#8" , con 5# œ 5" œ S , sarà anche: =#8" Ÿ S Ÿ =#8 da cui:
=#8  S Ÿ =#8  =#8" œ +#8"  e S  =#8" Ÿ =#8#  =#8" œ +#8#  e quindi, qualunque sia 8, pari o dispari, si ha: S  =8  Ÿ +8"  .ñ
  " 8
" "
"
"
œ""  

 ... , ovve8
x
#
'
#%
"#!
8œ!
ro una Serie a segni alterni. Verifichiamo che essa converge con il Criterio di Leibnitz.
"
"
"
Infatti lim +8  œ lim
œ ! , ed inoltre +8"  œ

œ  +8  , a 8  " .
8Ä∞
8Ä∞ 8 x
 8  " x
8x
Quindi sono soddisfatte le due condizioni del Criterio di Leibnitz, e la Serie è convergente.
"
Calcoliamo allora, a meno di
, la Somma della Serie.
"!!!
Esaminando i primi termini della Serie si ha:
"
"
"
"
"
"
+(  œ
œ

e  +'  œ
œ

, e quindi per avere un valore ap(x
&!%!
"!!!
'x
(#!
"!!!
"
prossimato della Somma S a meno di
basterà calcolare la ridotta =' , ossia:
"!!!
" "
"
"
"
=' œ "  "   


œ !,$') circa.
# ' #% "#! (#!
"
"
"
Quindi S  !,$') 
, ovvero: !,$') 
 S  !,$') 
.
"!!!
"!!!
"!!!
Esempio 30 À Consideriamo la Serie 
∞
SERIE TELESCOPICHE
22
Limitando la nostra trattazione al caso più semplice Ðsi veda al proposito l'Esempio n. 31Ñ di-
remo una Serie  +8 Telescopica se ogni suo termine +8 può essere espresso come differenza di due termini di una stessa Successione ,8 , calcolati per due diversi valori dell'indice,
ovvero se:
∞
 +8 œ  ,8  ,85  , con 5 −  .
∞
∞
8œ!
8œ!
Per le Serie Telescopiche avremo:
=8 œ +!  +"  +#  ...  +8 œ
œ ,!  ,5   ,"  ,5"   ...  ,5  ,55   ...  ,85  ,8   ,85"  ,8"   ...
 ,8  ,85  ,
per cui, eliminando i termini uguali e di segno opposto, si ottiene:
=8 œ ,!  ,"  ,#  ...  ,5"  ,8"  ,8#  ...  ,85 .
Passando al limite per 8 Ä  ∞ , se esiste ed è finito:
lim ,8 œ lim ,8" œ ... œ lim ,85 œ U , avremo anche:
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
lim =8 œ ,!  ,"  ,#  ...  ,5"  5 U , somma di costanti e quindi valore finito.
8Ä∞
Affinchè la Serie Telescopica  +8 sia convergente occorre quindi che sia convergente la
∞
Successione di termine generale ,8 , ed allora la Somma della Serie  +8 è data dalla differenza tra i primi 5 termini della Successione ,8 e 5 volte il valore del limite della ,8 stessa.
∞
Esempio 31 À Determiniamo il carattere della Serie 
∞
8œ"
"
.
8  8  "
"
"
"
"
Abbiamo +8 œ
œ 
œ ,8  ,8" , una volta posto ,8 œ .
8  8  "
8 8"
8
La Serie è quindi Telescopica, e possiamo scrivere:
"
" "
" "
"
"
"
"
=8 œ "            ...  
  

#
# $
$ %
8" 8
8 8"
da cui otteniamo:
"
=8 œ " 
.
8"
"
Passando al limite si ha lim =8 œ lim " 
œ " , quindi la Serie è convergente con
8Ä∞
8Ä∞
8"
Somma ".
8
∞
#
"
Esempio 32 À Determinare il carattere della Serie À    
.
$
8  8  "
8œ"
La Serie data può essere espressa come differenza di due Serie, ovvero:
8
8
∞
∞
∞
#
"
#
"
   


œ

.

 
$
8  8  "
$
8 8  " 
8œ"
8œ"
8œ"
Essendo queste due Serie convergenti, sarà convergente anche la Serie data e la sua Somma
sarà uguale alla differenza delle Somme delle due Serie.
#
La prima è una Serie geometrica di ragione , nella quale, però, l'indice parte da " e non da
$
"
zero; la sua Somma sarà quindi data da S" œ
 " œ #.
#
"
$
23
L'altra Serie è convergente ed ha per Somma S# œ " Ðvedi Esempio precedenteÑ .
Sarà quindi S œ S"  S# œ " .
∞
8#  "
Esempio 33 À Consideriamo la Serie  log 
 . Abbiamo che:
8#
8œ#
8#  "
log 
 œ log 8  "  log 8  "  # log 8 , per cui la Ridotta =8 sarà data da:
8#
=8 œ log $  log "  # log #  log %  log #  # log $  log &  log $  # log % 
 log '  log %  # log &  log (  log &  # log '  log )  log '  # log (  ...
...  log 8  "  log 8  $  # log 8  # 
 log 8   log 8  #  # log 8  "   log 8  "  log 8  "  # log 8
dalla quale, dato che ogni termine appare tre volte, due con segno positivo ed una, moltiplicato per #, con segno negativo, abbiamo che:
8"
=8 œ  log #  log 8  "  log 8 œ  log #  log
.
8
"
Passando al limite otteniamo che la Serie data è convergente con somma uguale a log .
#
Vediamo alcuni criteri utili per determinare la convergenza di Serie che non appartengono alle categorie precedenti.
SERIE A TERMINI POSITIVI-CONVERGENZA ASSOLUTA
Appartengono a questa categoria le Serie numeriche i cui termini, almeno da un certo indice
in poi, hanno tutti segno positivo. Se i termini sono tutti di segno negativo, si può mettere in
evidenza la costante moltiplicativa  ", riportando così lo studio di tali Serie a quello delle
Serie a termini tutti positivi. Diamo anzitutto la seguente
Definizione 20 di Convergenza assoluta À
La Serie  +8 è detta essere assolutamente convergente se è convergente la Serie  +8  ,
ovvero la Serie avente per termine generale il valore assoluto del termine generale della
∞
∞
 +8 .
∞
Per distinguerla da questa nuova definizione, la precedente definizione di convergenza verrà
detta semplice o condizionata.
Ovviamente, per le Serie a termini tutti dello stesso segno Ðpositivo o negativoÑ le due definizioni coincidono, così come è facile vedere che se una Serie geometrica converge semplicemente, allora essa converge anche assolutamente e viceversa.
Vale il seguente
Teorema 25 À Se una Serie  +8 converge assolutamente, allora essa converge anche semplicemente, mentre non è vero il viceversa, ovvero una Serie può essere convergente semplicemente senza esserlo assolutamente.
∞
Dimostrazione: Sia  +8 convergente assolutamente, ovvero sia convergente  +8  .
∞
∞
Consideriamo R8ß: , Resto di ordine 8ß : della Serie  +8 . Avremo, per la disuguaglianza
triangolare:
R8ß:  œ +8"  +8#  ...  +8:  Ÿ +8"   +8#   ...  +8:   & ,
∞
24
in quanto l'ultima quantità non è altro se non il Resto di ordine 8ß : della Serie  +8  , che è
∞
convergente dato che, per ipotesi,  +8 è convergente assolutamente. Questo secondo Resto può essere reso piccolo a piacere, ed allora può essere reso piccolo a piacere il Resto della
∞
 +8 , che è quindi convergente.ñ
∞
Per vedere come non valga il viceversa basta considerare la Serie    "8 †
∞
"
, che risulta
8
8œ"
essere convergente in base al criterio di Leibnitz, ma non assolutamente convergente, in
quanto la Serie formata con i valori assoluti dei suoi termini è la Serie armonica, che diverge
positivamente.
CRITERI DI CONVERGENZA ASSOLUTA
Questi criteri permettono di stabilire se una data Serie sia o no convergente assolutamente, e
si comprende, in base a precedenti osservazioni, come mai vengano anche chiamati criteri di
convergenza per le Serie a termini positivi. Vale anzitutto il seguente:
Teorema 26 Criterio del Confronto À Siano  +8 e  ,8 due Serie a termini positivi e
sia, da un certo indice 8! in poi, +8 ,8 , a 8  8! . Si suole dire, in questo caso, che la
∞
∞
Serie  +8 è una maggiorante della  ,8 , e che  ,8 è una minorante della  +8 .
∞
∞
∞
∞
Allora, se  +8 converge, converge pure  ,8 , mentre se  ,8 diverge, diverge anche
∞
∞
∞
 +8 . Nulla si può invece concludere quando  +8 diverge oppure quando  ,8 converge.
∞
∞
∞
Dimostrazione: Siano =8 œ  +5 e 58 œ  ,5 le Somme ridotte delle Serie  +8
8
8
∞
5œ8! "
5œ8! "
e  ,8 , private dei termini iniziali da ! a 8! . Essendo +8 ! e ,8 ! , le due Successioni
∞
=8 e 58 sono monotòne crescenti, ed inoltre sarà =8 58 . Se  +8 converge, =8 è limitata
∞
superiormente, per cui è limitata superiormente 58 , e quindi  ,8 converge. Se  ,8 diverge, allora 58 è illimitata superiormente, quindi è illimitata superiormente =8 , per cui
∞
∞
 +8 diverge.ñ
∞
Si può esprimere il Criterio del confronto dicendo che la divergenza della minorante implica
la divergenza della maggiorante, mentre la convergenza della maggiorante implica la convergenza della minorante.
Esempio 34 À Determiniamo il carattere della Serie 
∞
8#  "
.
8
$
8œ!
Come si può facilmente verificare, a 8 & si ha che 8#  "  #8 , per cui otteniamo:
25
8#  "
#8
#
#
 8 œ   , termine generale di una Serie geometrica di ragione , quindi con8
$
$
$
$
vergente, ed allora è convergente, per il Criterio del confronto, anche la minorante, e cioè la
Serie data.
∞
$8#

Esempio 35 À Determiniamo il carattere della Serie
.
8# † %8"
8œ"
8
Mettendo in evidenza, scriviamo la Serie data come: % † $ † 
∞
#
8œ"
$8
.
8# † %8
$8
"
$
$
Essendo # 8 œ # †      , la Serie data è minorante di una Serie geometrica
8 †%
8
%
%
$
convergente in quanto di ragione , e quindi è convergente.
%
∞
"
Esempio 36 À Determiniamo il carattere della Serie 
.
$8

&
8œ!
"
"
" "
Si ha che:

œ † , e questo è il termine generale della Serie armonica molti$8  &
$8
$ 8
"
plicato per ; essendo la nostra Serie una maggiorante della Serie armonica, essa è allora,
$
per il Criterio del confronto, divergente.
8
8
Teorema 27 Criterio del Confronto Asintotico À Siano  +8 e  ,8 due Serie con, almeno da un certo indice 8! in poi, +8 ! e ,8  ! . Allora:
∞
∞
+8
-se lim
esiste finito e diverso da zero,  +8 e  ,8 hanno lo stesso carattere,
8Ä∞ ,8
ovvero convergono entrambe o divergono entrambe;
∞
∞
∞
+8



-se lim
œ ! , quando
+8 diverge, allora diverge anche
,8 , e se
,8
8Ä∞ ,8
∞
∞
converge, converge anche  +8 ;
∞
∞
∞
∞
+8
œ  ∞ , quando  +8 converge, converge pure  ,8 , e se  ,8 diverge,
8Ä∞ ,8
-se lim
diverge pure  +8 .
∞
+8
œ _ , finito e diverso da zero.
8Ä∞ ,8
Dalla definizione di limite, fissato &  ! , esiste 8& tale che a 8  8& risulta:
+8
+8
 _  & , ovvero: _  & 
 _  & . Preso 8&  8! , essendo ,8  ! , avremo

,8
,8
anche: ,8 _  &  +8  ,8 _  & .
Dimostrazione: Vediamo anzitutto il caso in cui lim
Per la ,8 _  &  +8
si ha che  +8 è maggiorante di  ,8 _  & ovvero di
∞
∞
_  & †  ,8 ; per il Criterio del confronto, se  +8 converge, converge  ,8 _  &
∞
∞
∞
e quindi converge anche  ,8 , mentre se  ,8 diverge, diverge pure  ,8 _  & e
∞
quindi diverge  +8 .
∞
∞
∞
26
Per la +8  ,8 _  & si ha che  +8 è minorante di  ,8 _  & ovvero di
∞
∞
_  & †  ,8 ; allora, se  +8 diverge, diverge  ,8 _  & e quindi diverge  ,8 ;
∞
∞
∞
∞
se  ,8 converge, converge  ,8 _  & e quindi converge  +8 .
Le due Serie quindi hanno sempre lo stesso carattere.
+8
œ !.
Vediamo il caso in cui lim
8Ä∞ ,8
∞
∞
∞
+8
Per la definizione di limite, scelto &  ! esiste 8& tale che a 8  8& si ha:    & ,
,8
+8
ovvero
 & , e quindi: !  +8  & ,8 .
,8
Da queste disequazioni si può solo dedurre che  +8 è minorante di  & ,8 .
∞
∞
Per il Criterio del confronto, ragionando come nel caso precedente, se  +8 diverge, allora
∞
diverge  & ,8 e quindi diverge  ,8 , mentre se  ,8 converge, allora converge anche
∞
∞
∞
 & ,8 e quindi converge  +8 .
+8
Quando poi lim
œ  ∞ , scelto M  ! , esiste 8M tale che a 8  8M si ha
8Ä∞ ,8
+8
 M , da cui +8  M ,8 , e da questa possiamo dedurre che la convergenza della Serie
,8
∞
∞
 +8 implica la convergenza della  ,8 , mentre la divergenza della Serie  ,8 implica
∞
∞
∞
la divergenza di  +8 .ñ
∞
Esempio 37 À Determiniamo il carattere della Serie 
∞
%8  "
.
 &8  (
8œ!
Il termine generale è un quoziente di polinomi, la cui differenza dei gradi è pari a  ".
Mediante il Criterio del confronto asintotico valutiamo il termine generale della Serie data
"
rapportandolo con 8" œ , termine generale della Serie armonica.
8
%8  "
#
%8#  8
Si avrà: lim 8  &8  ( œ lim #
œ % , valore finito e diverso da zero. La
"
8Ä∞
8Ä∞ 8  &8  (
8
∞
%8  "
Serie data e la Serie armonica hanno quindi lo stesso carattere, per cui  #
è di8  &8  (
8œ!
vergente.
8#
Teorema 28 Criterio del Rapporto À Data la Serie  +8 , sia +8  ! , a 8  8! .
 se ! Ÿ 5  "
: la Serie è convergente
+8"
Se esiste lim
œ 5 , allora:  se "  5 Ÿ  ∞ : la Serie è divergente
.
8Ä∞ +8
 se 5 œ "
: il Criterio non fornisce risposta
+8"
Dimostrazione: Se lim
œ 5 , a &  ! si può determinare un indice 8&  8! tale
8Ä∞ +8
∞
27
che a 8 8& risulta 
+8"
+8"
 5   & , ovvero 5  & 
 5  &.
+8
+8
Da questa otteniamo: +8 5  &  +8"  +8 5  & .
Esaminiamo il caso 5  " , e scegliamo & in modo che sia $ œ 5  &  " . Avremo:
+8&"  $ † a8& ;
+8&#  $ +8&"  $ # +8& ,
ed iterando questa procedura otteniamo, a 8  8& :
+8  $ +8"  $ # +8#  ...  $ 88& +8& ,
∞
∞
+8& ∞
ovvero la Serie  +8 è una minorante della  $ 88& +8& œ 8& †  $ 8 , che è conver$
gente in quanto Serie geometrica di ragione $  " ; dal Criterio del confronto segue la tesi.
Con analoga procedura si dimostra che se 5 œ ! la Serie è convergente.
Sia poi 5  " . Analogamente con la disequazione di sinistra, preso & in modo che sia
∞
+8& ∞ 8

$ œ 5  &  " , otterremo che la Serie
+8 è maggiorante della Serie 8& †  $ , che è
$
divergente in quanto Serie geometrica di ragione $  " , per cui anche  +8 è divergente.
Con analoga procedura si dimostra che per 5 œ  ∞ la Serie è divergente.ñ
∞
Si possono trovare infine sia Serie convergenti che Serie divergenti per le quali, applicando il
Criterio del rapporto, otteniamo un limite 5 œ " . Ecco il motivo per cui, in questo caso, il
Criterio non fornisce risposta.
Esempio 38 À Studiamo, con il criterio del Rapporto, la Serie 
∞
8x
.
88
8œ"
+8"
8  " x 88
8  " † 8 x † 88
Si ha: lim 
œ lim
†
œ
lim
œ

8
8Ä∞
8Ä∞ 8  "8" 8 x
8Ä∞ 8  " † 8  " † 8 x
+8
8
8
"
"
= lim 
œ lim
 ",

8 œ
8Ä∞ 8  "
8Ä∞
/
"
"  
8
e quindi la Serie converge.
Si può enunciare il Criterio del rapporto anche in quest'altra forma:
∞
+8"

"Se almeno da un certo indice 8! in poi si ha che
 5  " , allora la Serie
+8 è
+8
convergente".
Teorema 29 Criterio della Radice À Data la Serie  +8 , sia +8 !, a 8  8! .
 se ! Ÿ 5  "
: la Serie è convergente
8
Se esiste lim +8 œ 5 , allora:  se "  5 Ÿ  ∞ : la Serie è divergente
.
8Ä∞
 se 5 œ "
: il Criterio non fornisce risposta
Dimostrazione: Scelto &  ! , per la definizione di limite, a 8  8& sarà:
8

+8  5   & , da cui: 5  &8  +8  5  &8 .
∞
28
Nel caso 5  " , scelto & in modo che sia $ œ 5  &  " , otteniamo dalla disequazione di
destra: +8  $ 8 , termine generale di una Serie geometrica di ragione $  " , quindi conver-
gente, e per il Criterio del confronto anche  +8 è convergente.
Con analoga procedura si dimostra che se 5 œ ! la Serie è convergente.
Se 5  " , scelto & in modo che sia $ œ 5  &  " , avremo, usando la disequazione di sinistra, +8  $ 8 , termine generale di una Serie geometrica divergente in quanto con ragione
∞
$  " , ed allora  +8 risulta, per il Criterio del confronto, divergente.
Con analoga procedura si dimostra che per 5 œ  ∞ la Serie è divergente.ñ
∞
Esempio 39 À Vediamo per quali valori di 5 risulta convergente la Serie  $8" 
∞
8œ!
5"
 .
5#
8
∞
5"
5"

Dato che  $8" 
œ
$
†

$ 
 , la Serie si può considerare una Serie
5#
5#
8œ!
8œ!
5"
5"
geometrica di ragione $ 
 , che sarà convergente se  "  $ 
  ".
5#
5#
"
&
Questo è vero per  5  , e per questi valori di 5 la Somma della Serie è la funzione:
#
%
"
$ 5  #
S5  œ $ †
œ
.
5"
"  #5
"  $

5#
∞
$8  "
Esempio 40 À Determinare per quali valori di 5 converge la Serie 
8 .

5

"

8œ!
Applichiamo il Criterio del rapporto al termine generale della Serie preso in valore assoluto,
$8  %
5  "8
$8  %
"
"
ed avremo: lim 
†
œ lim
†
œ
;

8"
8Ä∞ 5  "
8Ä∞ $8  " 5  "
$8  "
5  "
"
quindi la Serie è convergente per
 " , ovvero per 5  ! e per 5  # .
5  "
8
∞
8
Per 5 œ ! abbiamo   "8 † $8  " , Serie che diverge oscillando, mentre per 5 œ #
∞
8œ!
si ha  $8  " , Serie divergente.
∞
8œ!
Anche il Criterio della radice può essere riformulato dicendo che:
"Se, almeno da un certo indice 8! in poi, si ha che +8  5  " , allora  +8 è convergente".
∞
8
+8"
, allora esiste ed ha lo stesso valore an8Ä∞ +8
8
lim 
+8 , mentre non è vero il viceversa. Il Criterio della radice è quindi di portata
Per il Teorema 18, sappiamo che se esiste lim
che il
8Ä∞
più generale di quello del rapporto.
Utilizzando, invece del limite, il massimo limite, avremo :
29
Teorema 30 ÐCriterio del Rapporto 2^ formaÑ À Data la Serie  +8 , sia, a 8  8! , +8  ! ,
+8"
e sia Max lim
œ 5 . Allora si ha che:
8Ä∞
+8
se 5  " la Serie è convergente;
se 5 " il Criterio non fornisce risposta.
∞
Ed avremo anche il:
Teorema 31 ÐCriterio della Radice 2^ formaÑ À Data la Serie  +8 , sia, a 8  8! , +8 ! ,
8
e sia Max lim 
+8 œ 5 . Allora si ha che:
∞
8Ä∞
se 5  " la Serie è convergente;
se 5  " la Serie è divergente;
se 5 œ " il Criterio non fornisce risposta.
"
$ #
" $
$ %
Esempio 41 À Determiniamo il carattere della Serie À "            ...
#
%
#
%
Il termine generale di questa Serie è dato da:


$ #5

 +#5 œ  
8 pari, 8 œ #5
%
+8 œ 
.

" #5"

 +#5" œ  
8 dispari, 8 œ #5  "

#
#8
#8"
$
"
I termini sono tutti positivi ed inoltre lim +8 œ lim   œ lim  
œ !.
8Ä∞
8Ä∞ %
8Ä∞ #
Applicando il Criterio del rapporto, avremo che:
se l'indice è pari #8:
#8"
"
#8
 
+#8"
"
" %
#
œ lim   †  †  œ ! ,
lim 
lim
 œ 8Ä∞
#8
8Ä∞ +#8
8Ä∞ #
# $
$
 
%
mentre se l'indice è dispari #8  ":
#8#
$
#8"
 
+#8#
$
$
%
œ ∞
lim 
lim
lim   †  † #
 œ 8Ä∞
#8" œ 8Ä∞
8Ä∞ +#8"
%
%
"
 
#
+8"
e quindi non esiste lim 
 . Se usiamo invece il Criterio della Radice, avremo:
8Ä∞ +8

 $ 8 pari
8
lim 
+8  œ  %
.
8Ä∞
 " 8 dispari
 #
8
Non esiste quindi neppure lim 
+8  .
8Ä∞
30
+8"
+8"
œ  ∞ , quindi nessuna risposta,
, avremo che Max lim
8Ä∞
8Ä∞
+8
+8
$
8
mentre si ha che Max lim 
+8 œ , e quindi la Serie è convergente.
8Ä∞
%
Si può comunque dimostrare la convergenza della Serie anche mediante il Criterio del con% 8
fronto, osservando che +8    , sia per 8 pari che per 8 dispari.
&
Se calcoliamo Max lim
Vediamo infine altri due criteri per la convergenza delle Serie a termini positivi, che ci
limitiamo ad enunciare senza darne dimostrazione:
Teorema 32 (Criterio di Cauchy o della Successione decrescenteÑ À Sia +8 una Successione a
termini positivi monotòna decrescente. Allora le due Serie:
+8 e  #8 † +#8 œ +"  # +#  % +%  ) +)  ...
∞
∞
8œ!
8œ!
hanno lo stesso carattere, ovvero convergono entrambe o divergono entrambe.
Esempio 42 À Determiniamo, al variare di α, il carattere delle Serie: 
∞
"
.
α
8
8œ"
Osserviamo anzitutto che deve essere α  ! , affinchè sia soddisfatta la condizione necessaria
per la convergenza À lim +8 œ ! ,.
8Ä∞
Applichiamo il Criterio di Cauchy, potendosi facilmente verificare che i termini +8 œ
"
so8α
no positivi e formano una Successione monotòna decrescente.
Avranno quindi lo stesso carattere le due Serie:
∞
∞
∞
∞
"
"
8
 α e  #8 † 8 α œ  #88α œ  #"α  .


8
#
8œ"
8œ"
8œ"
8œ"
Quest'ultima è una Serie geometrica di ragione #"α , valore minore di " se "  α  ! , ovvero per α  " .
∞
"

Quindi la Serie
, detta armonica generalizzata, converge se α  " , e diverge se
8α
8œ"
α Ÿ ".
Vediamo infine un ultimo criterio, molto importante non solamente per il suo uso pratico ma
soprattutto per il legame che stabilisce tra le Serie numeriche e gli integrali generalizzati di I^
specie, ovvero tra "somme infinite nel discreto" e "somme infinite nel continuo".
Teorema 33 Criterio del confronto con l'Integrale À Sia C œ +B una funzione reale positiva e decrescente, definita a B 8! −  . Sia +8 œ +8 la Successione ottenuta mediante
la restrizione di +B ai soli valori naturali. Allora la Serie  +8 e l'integrale generalizzato
∞
di prima specie 
∞
8!
+B dB hanno lo steeso carattere, ovvero convergono entrambi o diver-
gono entrambi positivamente.
Dimostrazione: Dalla decrescenza della funzione C œ +B segue anzitutto la decrescenza
della Successione +8 . Inoltre da 8 Ÿ B Ÿ 8  " segue +8" Ÿ +B Ÿ +8 .
A questo punto basta osservare, per la proprietà di isotonia dell'integrale, che:
31
 +8" Ÿ 
∞
8œ8!
∞
8!
+B dB Ÿ  +8 .
∞
8œ8!
Il primo ed il terzo termine sono due Serie numeriche, ma sono anche due integrali generalizzati di I^ specie, aventi per funzioni integrande due funzioni a scala, a valori rispettivamente
+8" e +8 . Applicando il Criterio del confronto segue la tesi.ñ
E' bene comunque notare come non ci sia, in caso di convergenza, uguaglianza tra il valore
dell'integrale e la Somma della Serie. Detta S la somma della Serie, vale comunque la seguente disequazione: S  +8! Ÿ 
∞
8!
+B dB Ÿ S .
Esempio 43 À Determiniamo, usando il Criterio del Confronto con l'integrale, al variare di α,
∞
"
il carattere delle Serie  α , dette Serie armoniche generalizzate.
8
8œ"
Osserviamo anzitutto che deve essere α  ! , affinchè sia lim +8 œ ! , condizione necessa8Ä∞
ria per la convergenza, così come sono soddisfatte le ipotesi, essendo le funzioni C œ
"
Bα
continue, positive e decrescenti a B ! .
Preso 8! œ " , avremo:
7
∞
7
"
"
B"α
"
dB œ lim 
dB œ lim 
œ
† lim 7"α  " .


α
α
7Ä∞
7Ä∞
7Ä∞
B
B
"

α
"

α
"
"
"
!
se "  α  ! Ê α  "
Ora lim 7"α œ 
, per cui l'integrale e quindi la Serie
 ∞ se "  α  ! Ê α  "
7Ä∞
convergono se α  " , mentre l'integrale e la Serie divergono se α  " .
Se α œ " abbiamo la Serie armonica, che sappiamo essere divergente.
∞
"
Quindi la Serie  α , armonica generalizzata, converge se α  " e diverge se α Ÿ " .
8
8œ"
32
RIORDINAMENTO DEI TERMINI DI UNA SERIE
Non valgono, in generale, per le Serie le proprietà associativa e commutativa che invece valgono per la somma di un numero finito di addendi.
Esempio 44 À Data la Serie    "8 † 8  " œ "  #  $  %  &  '  ... , associan∞
8œ!
do i suoi termini in due modi diversi, avremo:
"  #  $  %  &  '  ... œ  "  "  "  "  ... , Serie divergente negativamenteà
"  #  $  %  &  '  (  ... œ "  "  "  ... , Serie divergente positivamente,
ovvero due conclusioni inconciliabili tra loro.
L'errore consiste nell'aver applicato alla Serie la proprietà associativa, che per le Serie, in generale, invece non vale. Se poi calcoliamo le Ridotte di questa Serie, avremo:
=! œ " , =" œ  " , =# œ # , =$ œ  # , =% œ $ , =& œ  $ , ...
ovvero le Ridotte diventano in quantità sempre più grandi ma con segno alterno, e quindi la
Serie diverge oscillando.
Diremo che la Serie  ,8 è un riordinamento della Serie  +8 se esiste un'applicazione
biunivoca < À  Ä  tale che ,8 œ +<8 .
Vale il seguente:
∞
∞
Teorema 34 À Ðdi Riemann-DiniÑ: Se la Serie  +8 è assolutamente convergente, con somma S, qualunque suo riordinamento genera una Serie convergente con la stessa somma S. Se
invece una Serie è convergente semplicemente ma non assolutamente, si possono riordinare i
suoi termini in modo da costruire Serie che convergano ad una diversa somma, che siano divergenti od anche indeterminate.
∞