Capitolo 1: Limiti di funzioni
♦ Cenni di topologia
Sia x0 ∈ R e r > 0. Consideriamo
Ir (x0) = {x ∈ R : d(x, x0) < r}
= {x ∈ R : |x − x0| < r}
= {x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r},
l’intorno sferico aperto di centro x0.
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1
Definizione: Sia E ⊆ R.
Diciamo che
1. p ∈ R è interno a E se:
esiste r > 0 tale che Ir (p) ⊆ E.
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2
2. Diciamo che p ∈ R è d’accumulazione per E se
per ogni r > 0 si ha (E \ {p}) ∩ Ir (p) 6= ∅;
3. Diciamo che p ∈ R è punto isolato di E se
esiste r > 0 tale che E ∩ Ir (p) = {p}.
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3
4. p ∈ R è aderente ad E se p è d’accumulazione per
E oppure p è un punto isolato di E.
Un punto di accumulazione può non
appartenere ad E
Invece, per definizione i punti interni o isolati
appartengono sempre ad E.
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4
Esempio: Sia E =] − 1, 1] ∪ {2}.
• Ogni punto p di [−1, 1] è di accumulazione per E:
in ogni intorno di p ci sono punti di E, diversi da p
stesso.
• 2 è un punto isolato di E. Infatti, non è vero che
in ogni suo intorno ci sono punti dell’insieme diversi
3 5
da 2: si prenda, per esempio, come intorno 2 , 2 .
• −1 6∈ E, ma è punto di accumulazione.
• A = [−1, 1] ∪ {2} è l’insieme dei punti aderenti di
E.
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5
Esempio
E=
1
:
n
n ∈ N,
n 6= 0 .
• 0 6∈ E è l’unico punto di accumulazione per E.
• E è costituito solo di punti isolati.
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6
Definizione: Sia E ⊂ R. Chiamiamo:
1. parte interna di E l’insieme
int(E) := {p ∈ E : p è interno ad E} .
2. chiusura di E l’insieme
E := {p ∈ R : p è aderente ad E} .
3. bordo di E l’insieme ∂E := E \ int(E).
Abbiamo chiaramente che
int(E) ⊆ E ⊆ E.
Per esempio:
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7
Definizione (insiemi aperti e chiusi)
Siano E, C ⊆ R.
(a) Diciamo che E è aperto se ogni suo punto è interno
ad E, cioè se E = int(E).
(b) Diciamo che C è chiuso se contiene tutti i suoi
punti aderenti, cioè se C = C.
E è aperto se e solo se il complementare R \ E è chiuso.
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8
♦ Definizioni di limite: I. limx→x0 f (x) = L
Siano:
• A ⊆ R e sia f : A → R
• x0 un punto di accumulazione di A
(cioè, ∀r > 0, Ir (x0) ∩ A \ {x0} =
6 ∅).
• L ∈ R.
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9
Definizione:
Dati: A ⊆ R, f : A → R, x0 un punto di
accumulazione di A, e L ∈ R,
diciamo che la funzione f tende al limite L ∈ R per
x → x0 se
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0 | ≤ δε, (x 6= x0)
⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
L si dice il limite di f per x tendente a x0, e si scrive
lim f (x) = L, oppure
x→x0
f (x) → L per x → x0.
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10
Definizione:
Dati: A ⊆ R, f : A → R, x0 un punto di
accumulazione di A, e L ∈ R,
diciamo che la funzione f tende al limite L ∈ R per
x → x0 se
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0 | ≤ δε, (x 6= x0)
⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
N.B.: non si richiede che |f (x)−L| ≤ ε sia soddisfatta
per x = x0 !!!
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11
La definizione di limx→x0 f (x) = L cioè
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0 | ≤ δε, (x 6= x0)
⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
può essere riformulata in termini di intorni:

per ogni intorno Jε(L) di L








 esiste un intorno Iδε (x0) di x0, tale che


per ogni x 6= x0, x ∈ Iδε (x0) ∩ A,







si ha f (x) ∈ Jε(L).
Cioè
f (Iδε (x0) ∩ A \ {x0}) ⊆ Jε(L).
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12
• Perché si deve richiedere che x0 sia un punto di
accumulazione?
Nella definizione di limx→x0 f (x) = L
∀ε > 0 ∃δε > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0 | ≤ δε, (x 6= x0)
⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
è essenziale “potersi avvicinare indefinitamente” al
punto x0 rimanendo sempre in A.
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13
• Esempio Consideriamo
p
f (x) = x2 (x − 2)
con
dom(f ) = {0} ∪ [2, +∞[.
Si noti che 0 è un punto di isolato per dom(f ).
p
NON ha senso calcolare lim x2(x − 2), poichè non
x→0
ci si può avvicinare a x = 0, rimanendo nel domf .
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14
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p
f (x) = x2(x − 2)
x
−1 1 2 3 4 5 6 7
−1
s
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15
• Poiché N è costituito da soli punti isolati, (quindi
nessun n0 ∈ N è di accumulazione per N), NON HA
SENSO considerare limiti di una “successione al finito”
lim an
n→n0
• Quale è la negazione
limx→x0 f (x) = L??
– Typeset by FoilTEX –
della
definizione
di
16
• Verifichiamo che
sin x
= 1.
x→0
x
Passo 1: osserviamo che
lim
cos x <
sin x
π π
< 1 ∀ x ∈] − , [\{0}
x
2 2
Passo 2: Quindi
sin x
x2
2 x
0 < 1−
< 1 − cos x = 2 sin
<
x
2
2
π π
∀x ∈ − ,
\{0}
2 2
da cui
2
sin
x
x
<
1 −
x 2
π π
∀x ∈ − ,
\{0}
2 2
π π
∀x ∈ − ,
\{0}.
2 2
Passo 3: verifichiamo la definizione di limite:
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♦ Altre definizioni di limite
Dal caso limx→x0 f (x) = L, con x0 , L ∈ R, al caso di
- limite infinito per x → x0
- limite finito per x tendente all’infinito
- limite infinito per x tendente all’infinito
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18
Caso 1 x0 reale e L infinito Diciamo che f tende
a +∞ per x tendente a x0 (e scriviamo lim f (x) =
x→x0
+∞) se
∀N > 0 ∃δN > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0| ≤ δN , (x 6= x0) ⇒ f (x) ≥ N.
lim f (x) = −∞ ⇐⇒
x→x0
∀N > 0 ∃δN > 0 : ∀x ∈ A,
0 < |x − x0| ≤ δN , (x 6= x0) ⇒ f (x) ≤ −N.
– Typeset by FoilTEX –
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Caso 2 x0 infinito e L reale Diciamo che f
tende a L per x tendente a +∞ (e scriviamo
limx→+∞ f (x) = L) se
∀ε > 0 ∃Mε > 0 :
∀x ∈ A,
x ≥ Mε ⇒ |f (x) − L| ≤ ε.
limx→−∞ f (x) = L ⇔
∀ε > 0 ∃Mε > 0 :
∀x ∈ A,
– Typeset by FoilTEX –
x ≤ −Mε
⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
20
Caso 3 x0 infinito e L infinito Diciamo che f
tende a +∞ per x tendente a +∞ (e scriviamo
lim f (x) = +∞) se
x→+∞
∀N > 0
∃MN > 0 : ∀x ∈ A,
x ≥ MN ⇒ f (x) ≥ N.
lim f (x) = −∞ ⇔
x→+∞
∀N > 0
∃MN > 0 : ∀x ∈ A,
– Typeset by FoilTEX –
x ≥ MN ⇒ f (x) ≤ −N .
21
lim f (x) = +∞ ⇔
x→−∞
∀N > 0
∃MN > 0 : ∀x ∈ A,
x ≤ −MN ⇒ f (x) ≥ N.
lim f (x) = −∞ ⇔
x→−∞
∀N > 0
∃MN > 0 : ∀x ∈ A,
– Typeset by FoilTEX –
x ≤ −MN ⇒ f (x) ≤ −N.
22
• Definizione di limite UNIFICATA per tutti i casi
È una nozione che usa gli intorni
Ci serve
• dare la nozione di intorno di +∞ e −∞
• intepretare +∞ e −∞ come punti di accumulazione
per insiemi non limitato superiormente o
inferiormente
nell’ambito della retta reale estesa R.
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• Intorni di +∞ e di −∞
Sia M ∈ R+:
- un intorno di +∞ di estremo inferiore M , è
l’intervallo aperto e superiormente illimitato
IM (+∞) =]M, +∞[= {x ∈ R : x > M } .
- un intorno di −∞ di estremo superiore −M è
l’intervallo aperto e inferiormente illimitato
IM (−∞) =] − ∞, −M [= {x ∈ R : x < −M } .
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24
• +∞ e −∞ come punti di accumulazione
Sia E ⊆ R. Diciamo che
• +∞ è d’accumulazione per E se
per ogni M > 0 si ha E∩]M, +∞[6= ∅;
• −∞ è d’accumulazione per E se
per ogni M > 0 si ha E∩] − ∞, −M [6= ∅.
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25
Esempi
• E = N:
– è costituito solo da punti isolati.
– l’unico punto di accumulazione per N è +∞
• E = Z:
– è costituito solo da punti isolati.
– gli unici punti di accumulazione per Z sono +∞
e −∞
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26
Riformulazione della definizione di limite
1. limx→x0 f (x) = L
2. limx→x0 f (x) = ±∞
3. limx→±∞ f (x) = L
4. limx→±∞ f (x) = ±∞
Definizione Sia f : A ⊆ R → R. Siano
L, x0 ∈ R, con x0 punto di accumulazione per A.
Si ha lim f (x) = L ⇔
x→x0
∀ intorno J di L,
∃ un intorno I di x0 tale che ∀ x0 6= x ∈ I ∩ A,
allora f (x) ∈ J.
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27
• Limiti e successioni
Teorema: Siano A ⊆ R, f : A → R, e x0 un
punto di accumulazione per A. Si ha
lim f (x) = L,
x→x0
se e solo se, per ogni successione
a valori in A \ {x0 } e convergente a x0, risulta
{xn}
lim f (xn) = L.
n→+∞
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28
Dimostrazione: Ci limitiamo al caso L finito.
(I) Dimostriamo che
lim f (x) = L ⇒ f (xn ) → L
x→x0
per ogni {xn } ⊂ A \ {x0 }, con limn→∞ xn = x0 .
1. Da limx→x0 f (x) = L, otteniamo che
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 < |x − x0 | ≤ δ
⇒ |f (x) − L| ≤ ε.
2. D’altra parte, da xn → x0 , otteniamo
∀ε̃ > 0 ∃ν > 0 : ∀n ≥ ν
⇒ 0 < |xn − x0 | ≤ ε̃.
Allora: fisso ε > 0
ho δ > 0. Ora prendo ε̃ uguale a
δ . In corrispondenza a ε̃ = δ , trovo che
∃ν > 0 : ∀n ≥ ν
⇒ 0 < |xn − x0| ≤ δ.
Quindi |f (xn ) − L| ≤ ε.
3. Ho quindi verificato che
∀ ε > 0 : ∃ν > 0 : ∀n ≥ ν
⇒ |f (xn ) − L| ≤ ε,
quindi limn→+∞ f (xn ) = L.
– Typeset by FoilTEX –
29
(II) Dimostriamo che
lim f (xn ) = L
n→+∞
per ogni successione {xn } ⊂ A \ {x0 }, converg. a x0
⇒ lim f (x) = L.
x→x0
1. Per assurdo non sia limx→x0 f (x) = L, allora
∃ε > 0
∀δ > 0
∃ x ∈ A : 0 < |x − x0| ≤ δ
⇒ |f (x) − L| > ε.
2. Preso δ =
1
n
con n ∈ N \ {0}, si trova
xn ∈ A \ {x0 } con |xn − x0 | ≤
1
e |f (xn ) − L| > ε.
n
3. La successione {xn } converge a x0 , ma non si ha
limn→+∞ f (xn ) = L. Assurdo.
– Typeset by FoilTEX –
30
Applicazione: per dimostrare che
∄ lim f (x)
x→x0
è sufficiente determinare {xn} e {yn} tali che
xn → x0,
yn → x0
lim f (xn) = L
n→+∞
– Typeset by FoilTEX –
per n → ∞, e
lim f (yn) = L′,
n→+∞
L 6= L′.
31
Per esempio:
1
f (x) = sin
,
x
dom(f ) = R \ {0}.
Si ha
1
∄ lim sin
,
x→0
x
Infatti, consideriamo
xn =
2
, lim xn → 0,
(4n + 1)π n→∞
yn =
1
, lim yn → 0.
nπ n→∞
Si ha
π
= 1,
f (xn) = sin (4n + 1)
2
f (yn) = sin(nπ) = 0
quindi limn→∞ f (xn) = 1 6= limn→∞ f (yn) = 0.
– Typeset by FoilTEX –
32
♦ Risultati teorici sui limiti
Si possono dimostrare sia partendo dalla definizione,
sia usando il teorema sul legame fra limiti e limiti di
successioni.
Teorema del confronto
Siano A ⊆ R, f, g : A → R, e x0 ∈ R un
punto di accumulazione di A. Supponiamo che
1. ∃ limx→x0 f (x), limx→x0 g(x)
2. Si abbia
f (x) ≤ g(x)
∀ x ∈ A.
Allora
lim f (x) ≤ lim g(x).
x→x0
– Typeset by FoilTEX –
x→x0
33
Teorema di permanenza del segno
Se limx→xo f (x) = L > 0, allora
esiste U intorno di x0 tale che
f (x) > 0 ∀x ∈ U \ {x0 } ∩ dom f.
– Typeset by FoilTEX –
34
Teorema dei due carabinieri
Siano A ⊆ R, f, g, h : A → R, e x0 ∈ R un
punto di accumulazione di A. Supponiamo che
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x)
∀ x ∈ A.
Se limx→x0 h(x) = limx→x0 g(x) = L, allora
∃ lim f (x),
x→x0
– Typeset by FoilTEX –
lim f (x) = L.
x→x0
35
Teorema di linearità
limx→xo (f (x) + g(x)) = limx→xo f (x) + limx→xo g(x),
limx→xo λf (x) = λ limx→xo f (x),
limx→xo f (x)g(x) = limx→xo f (x) limx→xo g(x),
f (x) limx→xo f (x)
lim
=
,
x→xo g(x)
limx→xo g(x)
se
• esistono i limiti al secondo membro
• non si incappa nelle forme indeterminate
∞ − ∞, 0∞,
– Typeset by FoilTEX –
∞ 0
,
∞ 0
36
Teorema di unicità
Sia x0 di accumulazione per domf . Se
f (x) → L e f (x) → L′ per x → x0,
allora L = L′.
Dimostrazione: consideriamo solo il caso x0 , L, L′ ∈
R. Per assurdo supponiamo L 6= L′, e sia
|L − L′|
(quindi ε > 0.)
ε=
2
Si ha
1. ∃ δ > 0: ∀ x0 6= x ∈ domf con |x − x0| ≤ δ ⇒
|f (x) − L| ≤ ε.
2. ∃ δ ′ > 0: ∀ x0 6= x ∈ domf con |x − x0| ≤ δ ′ ⇒
|f (x) − L′| ≤ ε.
– Typeset by FoilTEX –
37
3. Quindi ∀ x 6= x0 con |x0 − x| ≤ min{δ, δ ′} si ha
|L − L′| ≤ |L − f (x)| + |f (x) − L′ | ≤ 2ε< |L − L′|.
Assurdo!!
– Typeset by FoilTEX –
38
Definizione: Siano E ⊆ R e f : E → R. Diciamo che
f è limitata in E se
∃M > 0 :
– Typeset by FoilTEX –
|f (x)| ≤ M
∀ x ∈ E.
39
Teorema di limitatezza locale Supponiamo che
∃ lim f (x) = L ∈ R.
x→x0
Allora esiste un intorno U di x0 tale che f è limitata
in U ∩ dom f .
– Typeset by FoilTEX –
40
♦ Limite destro e sinistro
• Motivazioni per l’introduzione dei limiti unilateri
– Typeset by FoilTEX –
41
Definizione (limite destro) Sia f : A → R e x0 ∈ R.
Si supponga che
x0 sia di accumulazione per l’insieme A∩]x0, +∞[.
Se esiste il limite per x → x0 della restrizione di f a
A∩]x0, +∞[, allora tale valore è detto limite destro di
f in x0, denotato
lim f (x).
x→x+
0
Definizione con i quantificatori:
lim f (x) = L ⇔
x→x+
0
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈ ]x0, x0 + δ[∩domf ⇒ |f (x) − L| ≤ ε.
– Typeset by FoilTEX –
42
Definizione (limite sinistro) Sia f : A → R e x0 ∈ R.
Si supponga che
x0 sia di accumulazione per l’insieme A∩] − ∞, x0[.
Il limite sinistro di f in x0 (limx→x− f (x).)è il limite
0
per x → x0 della restrizione di f a A∩] − ∞, x0 [.
Definizione con i quantificatori:
– Typeset by FoilTEX –
43
Esempio: la funzione parte intera f : R → R
data per ogni x ∈ R da
f (x) = [x]
y
2
1
r
r
r
−2 −1
r
−1
r
b
−2
b
b
b
b
1 2 3x
Notare che
∀m ∈ Z
∄ lim [x]
x→m
ma si ha
lim [x] = m − 1
x→m−
– Typeset by FoilTEX –
e
lim [x] = m.
x→m+
44
Legame fra la nozione di limite e limiti destro e
sinistro
Proposizione: Si ha
(I)
(II)
∃ lim f (x) = L
x→x0
lim f (x) = L
x→x+
0
– Typeset by FoilTEX –
m
e
lim f (x) = L.
x→x−
0
45
In particolare, se
• almeno uno fra limx→x+ f (x) o limx→x− f (x) non
0
0
esiste, o
• limx→x+ f (x) o limx→x− f (x) esistono, ma sono
0
0
diversi
allora il limite limx→x0 f (x) NON esiste.
– Typeset by FoilTEX –
46
♦ Funzioni monotone Definizione: Una funzione f :
dom f → R si dice
(i) monotona crescente se
∀ x, y ∈ dom f :
x≤y
⇒
f (x) ≤ f (y);
x≤y
⇒
f (x) ≥ f (y);
(ii) monotona decrescente se
∀ x, y ∈ dom f :
(ii) strettamente crescente o strettamente decrescente se le
disuguaglianze sopra sono strette.
– Typeset by FoilTEX –
47
• Teorema (limiti di funzioni monotone)
Sia f dom f → R una funzione crescente e sia x0
punto di accumulazione per dom f . Allora
∃ lim f (x),
x→x+
0
∃ lim f (x)
x→x−
0
e si ha
lim f (x) = sup{f (x) : x ∈ dom f,
x < x0}
lim f (x) = inf{f (x) : x ∈ dom f,
x > x0}.
x→x−
0
x→x+
0
• Vale un risultato analogo per funzioni decrescenti.
– Typeset by FoilTEX –
48
Applicazione:
monotone
– Typeset by FoilTEX –
calcolo
di
limiti
di
funzioni
49
♦ Funzioni continue
Siano
f : dom f → R e x0 ∈ dom f.
Diciamo che f è CONTINUA in x0 ∈ dom f se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀ x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩dom f
⇒
|f (x) − f (x0)| ≤ ε.
• Significato “geometrico”: a “piccole” variazioni
di x, “vicino” a x0, corrispondono “piccole” variazioni
del valore f (x) (che rimane “vicino” a f (x0).)
• N.B La definizione ha senso solo se x0 ∈ dom f !!!
• La continuità dipende da f (x0)
– Typeset by FoilTEX –
50
• Riformulazione della continuità in termini di
intorni Siano
f : dom f → R e x0 ∈ dom f.
Diciamo che f è continua in x0, se
per ogni intorno J di f (x0)
esiste un intorno U di x0 tale che
per ogni x ∈ U ∩ dom f
si ha f (x) ∈ J
Diciamo che f : dom f → R è CONTINUA su dom f ,
se f è continua in ogni punto di dom f .
– Typeset by FoilTEX –
51
Esempio:
1
f : x 7→ è continua su dom f = R \ {0}
x
y
x
– Typeset by FoilTEX –
52
Esempio:
1
f : x 7→ sin
è continua su dom f = R \ {0}
x
y
1
π
−2π− 3 π −π −−1
2
2
– Typeset by FoilTEX –
π
2
π
3
2π
2πx
53
Osservazione: dati
f : dom f → R e x0 ∈ dom f,
se x0 è un punto isolato per dom f , allora f
è continua in x0.
– Typeset by FoilTEX –
54
Caratterizzazione della continuità tramite il limite
dati
f : dom f → R e x0 ∈ dom f,
supponiamo che x0 sia un punto di accumulazione
per dom f . Allora
f è continua in x0
– Typeset by FoilTEX –
⇔
lim f (x) = f (x0).
x→x0
55
Continuità delle funzioni elementari
Sia r ∈ R: ∀ x0 ∈ Df
Sia a > 0: ∀ x0 ∈ R
r
r
lim x = x0 ,
x→x0
lim ax = ax0 ,
x→x0
Sia a > 0, a 6= 1: ∀ x0 ∈ (0, +∞)
∀ x0 ∈ R
∀ x0 ∈ R \
lim sin(x) = sin(x0 ) e
x→x0
π
+ kπ : k ∈ Z
2
– Typeset by FoilTEX –
lim loga (x) = loga(x0 ) ,
x→x0
lim cos(x) = cos(x0 ) ,
x→x0
lim tan(x) = tan(x0 ) ,
x→x0
56
∀ x0 ∈ (−1, 1)
lim arcsin(x) = arcsin(x0 )
x→x0
e
lim arccos(x) = arccos(x0 ) ,
x→x0
lim arcsin(x) = arcsin(−1),
x→−1+
lim arccos(x) = arccos(−1),
x→−1+
lim arcsin(x) = arcsin(1),
x→1−
lim arccos(x) = arccos(1).
x→1−
∀ x0 ∈ R
– Typeset by FoilTEX –
lim arctan(x) = arctan(x0 ) .
x→x0
57
Risultati teorici: I teoremi enunciati per i limiti di
funzioni si estendono alla continuità di funzioni. In
particolare:
Continuità e operazioni algebriche su funzioni
Siano f, g : A → R, e x0 ∈ A . Allora,
1. le funzioni
f + g, f − g, f · g
sono continue in x0.
2. Se
∃ I intorno di x0 tale che g(x) 6= 0 ∀ x ∈ I,
allora
– Typeset by FoilTEX –
f
è continua in x0.
g
58
•, Conseguenza:
- i polinomi sono funzioni continue in ogni x0 ∈ R;
- le funzioni razionali sono continue in ogni punto
del loro dominio.
– Typeset by FoilTEX –
59
• La continuità è una proprietà stabile per
composizione di funzioni
Teorema Siano A, B ⊆ R, f : A → B, g : B → R e
x0 ∈ A.
Se f è continua in x0 e g è continua in f (x0) ∈ B
allora g ◦ f è continua in x0.
• Conseguenza: le funzioni
sin f (x), cos f (x), |f (x)|, af (x), loga f (x)(f (x) > 0), · · ·
sono anch’esse continue in A.
– Typeset by FoilTEX –
60
• Composizione e limiti di funzioni
Teorema: Siano A, B ⊆ R, f : A → B, g : B → R e
x0, y0, L ∈ R, tali che si abbia
lim f (x) = y0,
x→x0
lim g(y) = L.
y→y0
Se è verificata (almeno) una delle due condizioni
seguenti:
(i) ∀x ∈ A \ {x0} si ha f (x) 6= y0;
(ii) y0 ∈ B e g è continua in y0,
allora
lim g(f (x)) = L.
x→x0
– Typeset by FoilTEX –
61
Esempio: Calcolare
lim e
1−x2
x
x→+∞
.
Osserviamo che
lim e
1−x2
x
x→+∞
= lim g (f (x))
x→x0
2
y
e
g(y)
=
e
. Possiamo
con x0 = +∞, f (x) = 1−x
x
applicare il teorema sulla composizione di limiti, in
quanto
1 − x2
lim
= −∞ := y0 (f (x) 6= y0) e
x→+∞
x
lim g(y) = lim ey = 0 := L.
y→y0
Allora
lim e
x→+∞
– Typeset by FoilTEX –
1−x2
x
y→−∞
= L = 0.
62
Esempio: dimostriamo che
1
lim (1 + x) x = e.
x→0+
Infatti,
1. effettuiamo una sostituzione, ponendo x = y1 ;
1 y
2. calcoliamo lim
1+
= e (limite notevole).
y→+∞
y
Giustifichiamo questo procedimento usando il teorema sulla
composizione, infatti
1
lim (1 + x) x = lim g (f (x))
x→0+
x→x0
con x0 = 0+, f (x) = y = x1 . Osserviamo che
1
= +∞ := y0,
+
x
x→0
1 y
lim g(y) = lim
1+
= e := L.
y→y0
y→+∞
y
lim f (x) = lim
x→x0
quindi
1
lim (1 + x) x = lim g (f (x)) = L = e.
x→0+
– Typeset by FoilTEX –
x→x0
63
Cratterizzazione
successioni
della
continuità
tramite
le
Teorema: Sia f : dom(f ) → R. Allora f è continua
in x0 ⇔
∀{xn} ⊂ domf
con xn → x0
si ha
lim f (xn) = f (x0).
n→∞
Conseguenza: questo risultato si usa per dimostrare
che una funzione f NON è continua in x0: è sufficiente
trovare una successione
{xn} ⊂ dom f con xn → x0 e tale che
lim f (xn) 6= f (x0).
n→∞
– Typeset by FoilTEX –
64
♦ Punti di discontinuità
Classifichiamo i punti di discontinuità di una funzione
f in queste 4 categorie:
• punti di discontinuità eliminabile;
• punti di infinito;
• punti di discontinuità di tipo salto;
• punti di discontinuità di seconda specie.
– Typeset by FoilTEX –
65
1
Se lim f (x) = L∈ R con L 6= f (x0), allora si dice
x→x0
che la funzione f presenta una DISCONTINUITÀ
ELIMINABILE in x0.
y
f (x0) r
2
b
1 L
−1
– Typeset by FoilTEX –
x0
y = f (x)
x
66
N.B.:
se f ha in x0 un
discontinuità eliminabile, la funzione
(
f (x)
h(x) =
L
punto
di
se x ∈ domf , x 6= x0
se x = x0.
è continua in x0.
y
2
1 L
−1
y = h(x)
r
x0
x
Quindi è possibile “eliminare” la discontinuità della
funzione f .
– Typeset by FoilTEX –
67
Esempio: la funzione f : R → R
f (x) =
(
0 se x 6= 0
1 se x = 0
ha in x0 = 0 una discontinuità eliminabile.
Infatti,
lim f (x) = 0 6= f (0) = 1.
x→0
Si può ridefinire f in 0, ottenendo la
h(x) = 0 ∀x ∈ R
che è continua.
– Typeset by FoilTEX –
68
2
Se lim f (x) = ∞, oppure se esistono i limiti destro
x→x0
e sinistro e (almeno) uno di questi è infinito (∞),
allora si dice che x0 è PUNTO DI INFINITO.
Ad esempio:
y
y
x0
– Typeset by FoilTEX –
x
q
x0
x
69
3
Se i limiti destro e sinistro esistono in R ma sono
differenti si dice che x0 è PUNTO DI SALTO.
Ad esempio:
y
3
b
2
b
1
r
r
1
2
b
– Typeset by FoilTEX –
r
3 x

2

se 0 < x ≤ 1
x
f (x) = 4 − x se 1 < x < 2


x − 1 se 2 ≤ x ≤ 3
70
Nell’esempio visto la funzione f è monotona a tratti, cioè
L’esempio tipico di funzioni che hanno salti è dato proprio dalle
funzioni
f : [a, b] → R, monotone nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].
Infatti, per ogni x0 ∈ (a, b), esistono finiti i limiti
lim f (x),
x→x+
0
lim f (x).
x→x−
0
Si osservi che:
• una funzione monotona su [a, b] può avere al massimo una
infinità numerabile di punti di discontinuità.
• Se una funzione monotona, definita in un intervallo, assume
tutti i valori compresi fra l’inf e in sup, allora è continua.
– Typeset by FoilTEX –
71
4
Se (almeno) uno dei due limiti destro o sinistro
non esiste, allora si dice che x0 presenta una
DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE .
Ad esempio:
y
f (x) =
1
−2π− 3 π −π
2
– Typeset by FoilTEX –
π
−−1
2
q
π
2
π
3
2π
(
sin x1
0
2πx
72
Teorema di permanenza del segno Sia f :
dom(f ) → R, tale che
• f è continua in x0
• f (x0) > 0.
Allora, allora esiste un intorno U di x0 tale che
f (x) > 0 per ogni x ∈ U ∩ domf .
Analogamente, se f (x0) > L, allora esiste un intorno
U di x0 tale che
f (x) > L
per ogni x ∈ U ∩ domf .
NOTA BENE: diversamente dal teorema della
permanenza del segno per i limiti, vale
f (x) > 0 per ogni x ∈ U , e non solo in U \ {x0}!!!!
Infatti, la nozione di continuità in x0 impone un
vincolo su f in x0
– Typeset by FoilTEX –
73
♦ Proprietà delle funzioni continue Daremo risultati
teorici sotto ipotesi di:
1. continuità di f
2. “topologiche” su dom(f ): richiederemo che
dom(f ) = I,
I intervallo generico (anche semiretta aperta o
chiusa
anche intervallo aperto
anche intervallo semiaperto
anche intervallo chiuso)
3. in casi specifici, richiederemo
I = [a, b] intervallo chiuso e limitato.
– Typeset by FoilTEX –
74
Teorema di Bolzano o “degli zeri”
Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] tale
che
f (a)f (b) < 0.
Allora esiste almeno un punto
c ∈]a, b[ tale che f (c) = 0.
y
f (a)
a
c b
x
f (b)
Chiamiamo il punto c “zero” della funzione f .
– Typeset by FoilTEX –
75
Osservazione: Il teorema assicura che f ammette
almeno uno zero c, non ci dice nulla sull’unicità di c.
In generale, c non è unico!
a
– Typeset by FoilTEX –
c1
y f (a)
1
c2
c3
−1
f (b)
b
x
76
Definizione
Chiamiamo
1. estremo superiore di f , l’estremo superiore dell’insieme
immagine di f , ossia
sup f = sup im(f ) = sup{f (x) :
x ∈ dom f }.
(si scrive anche supI f );
2. massimo di f , il massimo di im(f )
max f = max im(f ) = max{f (x) :
x ∈ dom f }.
(si scrive anche maxI f );
3. Un punto x0 in cui f (x0 ) = max f si dice punto di massimo
per f e quindi vale
f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈ dom f.
Attenzione!!!!! non confondere
- punto di massimo per f
- massimo di f (si dice anche valore di massimo di f )
– Typeset by FoilTEX –
77
Analogamente, chiamiamo
1. estremo inferiore di f ,
immagine di f , ossia
l’estremo inferiore dell’insieme
inf f = inf im(f ) = inf{f (x) :
x ∈ dom f }.
(si scrive anche inf I f );
2. minimo di f (o valore di minimo di f ), il minimo dell’insieme
immagine di f , ossia
min f = min im(f ) = min{f (x) :
x ∈ dom f }.
(si scrive anche minI f );
3. Un punto x0 in cui f (x0 ) = min f si dice punto di minimo
per f e quindi vale
f (x0 ) ≤ f (x)
– Typeset by FoilTEX –
∀x ∈ dom f.
78
Conseguenza del teorema degli zeri
Proposizione Sia f : I → R una funzione continua in
I. Allora,
f assume tutti i valori compresi tra inf f e sup f .
I
– Typeset by FoilTEX –
I
79
Corollario: il teorema dei valori intermedi Sia I
intervallo e f : I → R continua in I. Allora im(f )
è un intervallo.
– Typeset by FoilTEX –
80
Esempi:
y
y
f (I)
y
f (I)
I
f (I)
x
x
I
– Typeset by FoilTEX –
I
x
81
Teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] → R continua
su [a, b] intervallo chiuso e limitato. Allora f ammette
almeno un punto di massimo e almeno un punto di
minimo in [a, b], cioè
∃ xm, xM ∈ [a, b] : ∀ x ∈ [a, b] f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM ).
– Typeset by FoilTEX –
82
Dimostrazione: dimostreremo che
∃ xM ∈ [a, b] punto di massimo per f .
Passo 1: Costruiamo una successione massimizzante per f su
[a, b], cioè tale che
f (xn ) → sup f.
[a,b]
• Se
sup f < +∞ , la costruzione di {xn } fa uso
[a,b]
della caratterizzazione del sup di un insieme A nel caso
sup A < +∞
S = sup A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ y ∈ A S ≥ y > S − ε.
Quindi
S = sup f ⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ [a, b]
S ≥ f (x) > S − ε.
[a,b]
Allora per ogni n ≥ 1, scegliamo ε = n1 , e quindi troviamo
xn ∈ [a, b] tale che
sup f ≥ f (xn ) > sup f −
[a,b]
– Typeset by FoilTEX –
[a,b]
1
n
∀ n ≥ 1.
83
Allora la successione {xn }
⊂
[a, b] è tale
che
limn→∞ f (xn )
=
sup[a,b] f
(grazie
al
teorema dei carabinieri.)
• Se
sup f = +∞ , usiamo che im(f ) è superiormente
[a,b]
illimitato, cioè
∀ M > 0 ∃ x ∈ [a, b], : f (x) > M.
Quindi scegliendo M = n, costruiamo una successione
{xn } ⊂ [a, b] tale che f (xn ) ≥ n per ogni n ∈ N.
Quindi limn→∞ f (xn ) = sup[a,b] f = +∞.
Passo 2: {xn } ⊂ [a, b] è limitata, quindi per il teorema di
Bolzano Weiestrass
∃ una sottosuccessione {xnk }k∈N , ∃ x ∈ R : lim xnk = x.
k→∞
Notare che
a ≤ xnk ≤ b ⇒ a ≤ x ≤ b.
Passo 3: Usiamo che f è continua: dalla caratterizzazione della
continuità tramite successioni segue che
lim f (xnk ) = f (x).
k→∞
– Typeset by FoilTEX –
84
Ma limk→∞ f (xnk ) = limn→∞ f (xn ) = sup[a,b] f. Allora
f (x) = sup f ⇒ x è punto di massimo per f .
[a,b]
– Typeset by FoilTEX –
85
Tutte le ipotesi del teorema sono fondamentali:
se una di esse non è soddisfatta, la tesi è falsa.
1. Siano
I = [0, 1[,
f (x) = 2x + 1.
f è continua su I, I è limitato ma non è chiuso.
y
f (x) = 2x + 1
1
x
Notare che
– f ammette invece minimo su I: è x = 0,
minI f = 1,
– f non ammette massimo: si ha supI f = 3, che
non viene assunto in alcun punto di I.
– Typeset by FoilTEX –
86
2. Siano
I = R,
f (x) = arctan(x).
I è illimitato, f non ha né punti di massimo, né
punti di minimo su I.
– Typeset by FoilTEX –
87
3. Siano I = [−1, 1] e f : [−1, 1] → R data da
f (x) =
(
x2
2
per x ∈ [−1, 1] \ {0},
se x = 0.
y
2
s
s
1
s
c
−2 −1
1
x
f non ha minimo, e inf f = 0. max f = 2 e 0
è l’unico punto di massimo.
Notare che I = [−1, 1] è chiuso e limitato, ma f
non è continua.
– Typeset by FoilTEX –
88
Corollario al teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] →
R continua in [a, b]. Allora f è limitata.
– Typeset by FoilTEX –
89
♦ Funzioni continue invertibili
Sia
f : A → R continua in A e iniettiva.
Allora f è invertibile, con funzione inversa
f −1 : im(f ) → R.
• f −1 è continua in im(f )?
– Typeset by FoilTEX –
90
Esempio: sia A = [0, 1] ∪ (2, 3] (unione di due
intervalli) e sia f : A → R data da
f (x) =
x
se x ∈ [0, 1]
x − 1 se x ∈ (2, 3].
Allora f è continua in A e la sua inversa
f −1 : [0, 2] → R,
f −1(x) =
x
se x ∈ [0, 1]
x + 1 se x ∈ (1, 2].
è però una funzione discontinua in x = 1.
Notiamo che A non è un intervallo, ma è l’unione di
due intervalli.
Se invece A = I è un intervallo, la situazione cambia.
– Typeset by FoilTEX –
91
Risultato I: caratterizzazione
continue invertibili
delle
funzioni
Sia I un intervallo e sia f : I → R una funzione
continua su I. Allora
f è invertibile ⇐⇒ f è strettamente monotona.
L’ipotesi I intervallo è essenziale, infatti f : [0, 1] ∪
(2, 3] → R definita da
f (x) =
1 − x se x ∈ [0, 1]
x
se x ∈ (2, 3].
è continua, invertibile ma non è monotona.
– Typeset by FoilTEX –
92
Se f è strettamente monotona, allora la funzione
inversa f −1 : J → R è ancora monotona, con una
monotonia dello stesso tipo di f .
Essa è anche continua?
Teorema: Siano
• I intervallo
• f : I → R continua su I
• f : I → R invertibile
Allora f −1 : J → R è continua.
– Typeset by FoilTEX –
93
♦ Funzioni Lipschitziane
Diciamo che f : dom(f ) → R è Lipschitziana se esiste
una costante L > 0 tale che
∀ x, y ∈ domf,
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|.
(1.1)
Chiamiamo costante di Lipschitz della funzione f la minima fra
le costanti L per le quali vale la (1.2)
Esempio prototipo: la funzione f (x) = |x| è
Lipschitziana di costante L = 1. Infatti
||x| − |y|| ≤ |x − y|
– Typeset by FoilTEX –
∀ x, y ∈ R.
94
Proprietà delle funzioni Lipschitziane
Supponiamo che f : dom(f ) → R verifichi
∃ L > 0 : ∀ x, y ∈ domf,
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|.
(1.2)
Allora
1. f ha crescita sublineare, cioè :
∃ A > 0, B ≥ 0 : ∀ x ∈ domf,
|f (x)| ≤ A|x|+B.
(1.3)
Infatti, scriviamo (1.2) per x ∈ domf arbitrario, e
per y = x0, per un certo fissato x0 ∈ domf : allora
|f (x)| ≤ |f (x0)| + |f (x) − f (x0)|
≤ |f (x0)| + L|x − x0| ≤ |f (x0)| + L|x| + L|x0|.
Allora (1.3) vale con A = L e B = |f (x0)| + L|x0|.
– Typeset by FoilTEX –
95
2. f : dom(f ) → R è continua in dom(f ), cioè
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀ x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩dom f
⇒
|f (x) − f (x0)| ≤ ε.
Infatti,
– Typeset by FoilTEX –
96
3. Si ha
∃L > 0 : ∀ x, y ∈ domf, x 6= y,
Questa è una
Lipschitzianità.
condizione
|f (x) − f (y)|
≤ L.
|x − y|
equivalente
alla
√
Per esempio, f (x) = x non è Lipschitziana
sull’intervallo (0, 1). Infatti, scelto y = 0 e x > 0 si
ha
√
1
| x|
=√ ,
|x|
x
che tende a +∞ per x → 0+.
– Typeset by FoilTEX –
97
♦ Infinitesimi
Siano f : dom(f ) → R e x∗ ∈ R
Definizione:
punto di accumulazione per dom(f ). Se
lim f (x) = 0,
x→x∗
si dice che f è infinitesima per x → x∗.
Notazione: si scrive
f (x) = o(1)
per x → x∗.
Esempi:
sin(x) = o(1)
per x → 0,
ex = o(1) per x → −∞,
x
1
= o(1) per x → +∞,
2
ln(1 + x) = o(1)
per x → 0,
arctan(x2 + 4 − 4x) = o(1)
per x → 2
......
– Typeset by FoilTEX –
98
• Confronto fra infinitesimi
Siano x∗ ∈ R e f, g : I → R (con I intorno di x∗,
eventualmente privato di x∗),
- f e g infinitesime per x → x∗
- con g(x) 6= 0 ∀ x ∈ I \ {x∗}
Diciamo che f è un infinitesimo di ordine superiore a
g (o f è trascurabile rispetto a g) per x → x∗, se
lim∗
x→x
f (x)
= 0;
g(x)
e scriviamo
f (x) = o(g(x))
Esempi:
x4 = o(x2 )
x3 = o(x2 )
– Typeset by FoilTEX –
per x → x∗.
per x → 0,
per x → 0,
99
Inoltre,
∀ α > 0 ∀ ε > 0 xα = o(eεx) per x → +∞
∀α > 0 ∀ε > 0
– Typeset by FoilTEX –
eεx = o(|x|−α ) per x → −∞
100
∀ α > 0 ∀ ε > 0 (ln(x))α = o(xε) per x → +∞
∀α > 0 ∀ε > 0
– Typeset by FoilTEX –
| ln(x)|α = o(x−ε) per x → 0+
101
Algebra degli “o piccolo” Regole di calcolo degli “o
piccolo”.
• ko(f ) = o(f ) per x → x∗
• o(f ) + o(f ) = o(f ) per x → x∗
• o(o(f )) = o(f ) per x → x∗
• o(f + o(f )) = o(f ) per x → x∗
• f · o(g) = o(f g) per x → x∗
• o(f ) · o(g) = o(f g) per x → x∗
• f = o(g) ⇒
o(f )
f
=o
per x → x∗.
g
g
“Interpretazione dell’algebra degli “o piccolo”.
Bisogna leggere queste identitità come delle
implicazioni da sinistra a destra.
– Typeset by FoilTEX –
102
Per esempio
o(f ) + o(f ) = o(f ) per x → x∗
significa “se sommo due funzioni trascurabili rispetto
a f , ottengo una funzione trascurabile rispetto a f ”,
per esempio
x4 + x3 = o(x2 ) + o(x2 ) = o(x2 )
per x → 0.
N.B.: non vale la proprietà transitiva dell’uguaglianza:
f = o(g) & h = o(g) per x → x∗ NON IMPLICA f = h
Per esempio:
x5 = o(x3 ) e x7 = o(x3) per x → 0, ma x5 6= x7!!
– Typeset by FoilTEX –
103
Più in generale: per x∗ = 0, e per ogni α, β > 0
• ko(xα) = o(xα)
per x → 0
• o(xα) + o(xα ) = o(xα )
per x → 0
• o(xα) + o(xα+β ) = o(xα)
• o(o(xα)) = o(xα)
per x → 0
• o(xα + o(xα )) = o(xα )
• xα · o(xβ ) = o(xα+β )
per x → 0
per x → 0
• o(xα) · o(xβ ) = o(xα+β )
o(xα+β )
α
•
=
o(x
)
β
x
– Typeset by FoilTEX –
per x → 0
per x → 0
per x → 0.
104
Definizione: Siano x∗ ∈ R e f, g : I → R (con I
intorno di x∗, eventualmente privato di x∗),
- f e g infinitesime per x → x∗
- con g(x) 6= 0 ∀ x ∈ I \ {x∗}
Diciamo che che f è un infinitesimo dello stesso ordine
di g per x → x∗, se
f (x)
lim
= l ∈ R \ {0}.
x→x∗ g(x)
e scriviamo f ∼ g per x → x∗.
Esempi:
sin(x) ∼ x per x → 0
ex − 1 ∼ x per x → 0
ln(1 + x) ∼ x per x → 0
arctan(x) ∼ x per x → 0
1 − cos(x) ∼ x2 per x → 0
– Typeset by FoilTEX –
105
• Attenzione:
f1 ∼ g1 e f2 ∼ g2 per x → x∗
NON IMPLICA
(f1 + f2) ∼ (g1 + g2) per x → x∗
Per esempio,
f ∼ f,
−f ∼ f
ma non è vero che (f − f ) ∼ 2f .
– Typeset by FoilTEX –
106