CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA TANGENTE?
Una retta si dice tangente
ad una circonferenza se
tocca la circonferenza in uno
e in un solo punto
CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA
TANGENTE?
Questa definizione però
non va bene per una
parabola; infatti le due
rette in figura toccano
la parabola in uno e in
un solo punto, ma solo
una di esse è una
tangente in senso
proprio
CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA
TANGENTE?
P
Q
D’altra parte la retta in
figura è una vera e
propria tangente alla
curva data in P, anche
se tocca la curva in un
altro punto Q
CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA
TANGENTE?
P
Q
Una retta secante in
due punti molto vicini
tra di loro si avvicina
molto alla nostra idea
di tangente
CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA
TANGENTE?
P=Q
Potremmo definire la
tangente come una
secante in due punti
coincidenti
CONCETTO DI DERIVATA
COS’E’ UNA
TANGENTE?
P
Q’’
Q’
Q
Ancor meglio,
possiamo definire la
tangente in P, t, come il
caso limite della
secante PQ quando
l’altro punto di
incontro, Q, Q’, Q’’
tende a P
CONCETTO DI DERIVATA
PROBLEMA:
t
P
f(Xo)
Y=f(X)
Xo
Data la curva di
equazione y=f(x)
ed un suo punto
P(Xo,f(Xo))
trovare
l’equazione della
retta t tangente
alla curva nel
punto dato
CONCETTO DI DERIVATA
Equazione del
fascio di rette
passanti per un
punto dato:
t
P
Yo
y  f ( xo )  m  ( x  xo )
Y=f(X)
Xo
Il problema si
riduce a
trovare il
valore di m
CONCETTO DI DERIVATA
s
P
f(Xo)
Q
f(Xo+h)
h
Xo
Xo+h
Sia Q un punto
vicino a P di
ascissa Xo+h e di
ordinata f(Xo+h),
dove h è un
numero che
rappresenta la
distanza tra le
ascisse dei due
punti
CONCETTO DI DERIVATA
Il coefficiente angolare della secante può
essere calcolato facilmente con la nota
formula di geometria analitica:
m AB
yB  y A

xB  x A
CONCETTO DI DERIVATA
f ( xo  h)  f ( xo )
mPQ 
h
s
P
f(Xo)
Q
f(Xo+h)
h
Xo
Xo+h
Ovvero, nel
nostro caso:
CONCETTO DI DERIVATA
s
P
f(Xo)
Q
f(Xo+h)
h
Xo
Xo+h
Adesso per
ottenere la
tangente basta
far coincidere Q
con P, il che si
può ottenere
facendo tendere
h a zero
CONCETTO DI DERIVATA
Il coefficiente angolare della secante diventa, al
tendere a zero di h, il coefficiente angolare della
tangente, e il problema è risolto.
f ( xo  h)  f ( xo )
mt  Lim
h 0
h
CONCETTO DI DERIVATA
Sia f:D→R una funzione reale di variabile reale e sia
Xo un punto interno di D:
Se:
f ( xo  h)  f ( xo )
Lim
h 0
h
esiste ed è finito, allora la funzione f si dice
DERIVABILE IN Xo, e il valore del limite si dice
DERIVATA DELLA FUNZIONE f IN Xo
CONCETTO DI DERIVATA
Il rapporto:
f ( xo  h)  f ( xo )
h
si dice RAPPORTO INCREMENTALE della funzione f
nel punto Xo con incremento h.
Possiamo anche dire che la derivata di una funzione in
un punto è il limite del rapporto incrementale quando
l’incremento tende a zero.
CONCETTO DI DERIVATA
Se il limite:
• non esite
• oppure non è finito
La funzione si dice NON DERIVABILE in Xo
CONCETTO DI DERIVATA
Simboli che rappresentano la derivata:
df
( xo )
dx
Df ( xo )

f ( xo )
f ' ( xo )