LE DERIVATE
APPROCCIO
INTUITIVO
.
 La
derivata di una funzione è,
insieme all'integrale, uno dei
cardini dell'analisi matematica e
del calcolo infinitesimale
RAPPORTO INCREMENTALE



Sia y = f(x) una funzione reale definita in un intorno di
x0.
Si consideri un incremento Δx= h (positivo o negativo)
di x0.
La funzione passerà allora dal valore f(x0) a quello di
f(x0+h), subendo così un incremento Δy = f(x0+h) - f(x0).
Si definisce rapporto incrementale della funzione f(x) il
rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento
corrispondente della variabile indipendente, cioè:
RAPPORTO INCREMENTALE
y f ( Xo  h)  f ( Xo) f ( Xo  h)  f ( Xo)


x
Xo  h  Xo
h
B
f(xo+h)
f(xo)
A
xo
xo+h

Se, quando si fa a tendere a 0 l’incremento
h, il suddetto rapporto assume un particolare
valore limite, tale limite prende il nome di
derivata di f in Xo.

lim
h0
f ( Xo  h)  f ( Xo)
h
=
f ’(Xo)

Un modo semplice di capire cos'è la derivata
è guardare al suo significato geometrico:
geometricamente la derivata di una funzione
f in un punto x0 è la misura della pendenza
(il coefficiente angolare, cioè la tangente
dell'angolo fra la retta tangente e l'asse
orizzontale) della retta tangente alla curva
rappresentata dal grafico della funzione nel
punto (x0,f(x0)).
RETTA TANGENTE


Fissiamo un punto P su una
curva , poi un altro punto
P' diverso da P e tracciamo la
corda PP‘; ora basta far
scivolare P' sulla curva verso
P e quando P' sara'
coincidente con P avremo la
retta tangente alla curva in P
(sono state tracciate delle semirette
invece che rette per rendere piu'
semplice la figura)

Definizione: si definisce tangente ad una
curva in un punto P la posizione limite della
retta secante, congiungente P con un altro
punto P’ della curva, al tendere del secondo
punto sul primo .
Ora se riprendiamo la definizione di derivata,
vediamo che, quando h tende a zero, il secondo punto
sulla curva si sposta verso il primo punto fino a
coincidere
Inoltre il rapporto incrementale e' uguale al
coefficiente angolare della retta che congiunge i due
punti sulla curva.
Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente
angolare della retta tangente alla curva devono
coincidere cioe':


Definizione: la derivata di una funzione in un
punto e' uguale al coefficiente angolare della
retta tangente alla funzione in quel punto
SIGNIFICATO FISICO


Se f è la funzione che dà lo spazio in
funzione del tempo, derivando si ottiene
la velocità.
Derivando la velocità rispetto al tempo si
ottiene l’accelerazione.



INFATTI ,
Se to è l’istante iniziale e to+h è l’istante
finale
VELOCITA’ MEDIA = Rapporto incrementale
S S (to  h)  S (to)

t
h
VELOCITA’ ISTANTANEA:
lim
t 
 0
S
t
IN PRATICA I SEGUENTI PROBLEMI

DATA UNA CURVA DI EQUAZIONE Y=F(X),
COME SI PUO’ DETERMINARE
L’EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE
IN UN SUO PUNTO?

SE SI CONOSCE LA LEGGE ORARIA DI
UN PUNTO MATERIALE, COME SI PUO’
CALCOLARE LA SUA VELOCITA’
ISTANTANEA?
SARANNO RISOLTI QUANDO
SAPREMO RISPONDERE A QUESTA
DOMANDA:

COME SI PUO’ DETERMINARE LA
DERIVATA DI UNA FUNZIONE ?

Dalla definizione di derivata si ricava
immediatamente che la derivata di una
funzione il cui grafico è una retta è il
coefficiente angolare della retta.
DERIVATA DI f(x) = ax2+bx+c





In figura
La parabola di
equazione
y = 2x2-3x
E la retta
tangente
nell’origine
y=-3x
SI PARTE DAL RAPPORTO
INCREMENTALE
a( xo  h) 2  b( xo  h)  c  axo2  bxo  c

h
axo2  2ahxo  ah 2  bxo  bh  c  axo2  bxo  c

h
2ahxo  ah  bh
h
2

SEMPLIFICANDO h

MA QUANDO h
TENDE A 0

IL VALORE
PRECEDENTE TENDE
A
2axo  ah  b
2axo  b
PERTANTO




IL COEFFICIENTE
ANGOLARE DELLA
RETTA TANGENTE
AD UNA PARABOLA
DI EQUAZIONE
Y = ax2 +bx + c
In un punto di ascissa
xo
E’ UGUALE A
2axo  b


SE UN PUNTO CHE SI MUOVE DI MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO ,
CON LEGGE ORARIA
1 2
S  Vo t  at
2

LA SUA VELOCITA’ ISTANTANEA E’

V =Vo+at
ESERCITAZIONE COL FOGLIO
ELETTRONICO
Con il foglio elettronico è possibile
determinare in modo approssimato i valori
della derivata di una funzione, come rapporti
incrementali corrispondenti a incrementi
<<h>> abbastanza piccoli
Fissato un valore di h, dopo aver tabulato i
valori della funzione, si calcolano i vari
rapporti incrementali con un algoritmo
iterativo

Per esempio , i valori di Δy2/ Δx si calcolano inserendo nella
cella H5 la formula =(C6-C5)/$F$4, che poi deve essere copiata
nelle celle successive
APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA
x
1
2,0000
3,0000
4,0000
5,0000
6,0000
7,0000
8,0000
9,0000
10,0000
11,0000
12,0000
13,0000
FUNZIONI
y1=2x
y2=2x^2
2
2
4
8
6
18
8
32
10
50
12
72
14
98
16
128
18
162
20
200
22
242
24
288
26
338
Punto iniziale
x
Rapporti incrementali
1
1,0000 y1/x
y2/x
2
6
2
10
2
14
2
18
2
22
2
26
2
30
2
34
2
38
2
42
2
46
2
50
Rapporto incrementale
della derivata
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Grafico della funzione y = 2x2 e della
sua derivata

La derivata ha un
andamento rettilineo
y2=2x^2
30
25
20
15
y2=2x^2
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
16
14
12
10
8
Serie1
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
GRAFICO di Y=sen(x) e della sua
derivata




Come si può osservare
la derivata ha
l’andamento di una
cosinusoide
Confronta relazione tra
spazio e velocità nel
moto armonico
S= Rsen(ωt+φ)
V= ωRcos(ωt+φ)
1,5
1
0,5
0
Serie1
1
3
5
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
-0,5
-1
-1,5
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
Serie1
7
9
11
13
15
17
19