La retta
Definizioni
Rette particolari
Rappresentazione grafica
Rette parallele e perpendicolari
Retta per un punto e per due punti
Distanza di un punto da una retta
Intersezione tra due rette
Esercizi
Materia: Matematica
Autore: Mario De Leo
Definizioni
Una funzione espressa da una equazione di primo grado nelle
due incognite x e y ha come rappresentazione grafica
(diagramma) sempre una retta.
Tale equazione può essere data in due forme:
- implicita: ax + by + c = 0
dove a , b , c sono i coefficienti, di volta in volta diversi, che
variando individuano le infinite rette del piano;
esplicita: y = mx + q
a
c
m
=
−
;
q
=
−
dove:
b
b
m è detto coefficiente angolare della retta (ne dà la pendenza)
ed è ottenuto dal rapporto ∆ y (variazione della y fratto
∆x
variazione della x);
q è il punto di intersezione con l’asse y.
ESEMPIO:
Data la retta di equazione
3x − 2 y − 4 = 0
con opportuni passaggi
− 2 y = −3x + 4 → 2 y = 3 x − 4
2
3
4
→ y = x−
2
2
2
la sua forma esplicita sarà:
y=+
in cui
m=+
3
2
x−2
3
; q = −2
2
Se il coefficiente angolare è positivo la retta è crescente (aumentando
il valore della x, aumenta anche quello della y), se è negativo la retta è
decrescente (aumentando la x diminuisce la y).
Rette particolari
c = 0 (y = mx) la retta passa per l’origine (manca il termine noto);
b) se a = 0 (y = k) la retta è parallela all’asse x (manca il termine con la x);
c) se b = 0 (x = k) la retta è parallela all’asse y (manca il termine con la y);
a) se
d) bisettrice del 1° e del 3° quadrante;
e) bisettrice del 2° e del 4° quadrante.
Rappresentazione grafica
Per rappresentare una retta basta
individuare due punti (per due punti
passa una ed una sola retta); se
l’equazione è in forma esplicita uno
dei due punti è sempre (0 ; q).
ESEMPIO:
Data la retta di equazione
3x − y + 2 = 0
conviene portarla nella forma
esplicita y = 3 x + 2
e poi assegnare due valori arbitrari
alla x (ad esempio -1 e 1) per
ottenere i corrispondenti valori della
y.
Esempio: y = 3x+2
X
y
-1
-1
f (-1) = 3(-1)+2 = -3 +2 = -1
+1
+5
f (+1) = 3(+1)+2 = +3 +2 = +5
Rette parallele e perpendicolari
Due rette di coefficienti angolari m1 e m2 sono:
•
parallele se m1 = m2 (coefficienti angolari uguali);
2 1
2
a

y = − x+
; y = − x − 3 ; 2x + 3y −1 = 0  ricordiamo che m = − 
3 2
3
b

•
1
perpendicolari se m1 ⋅ m2 = −1 oppure m1 = −
(coefficienti
m2
angolari uno l’antireciproco dell’altro).
2 1
y = − x+
3 2
x − 2y + 5 = 0
⊥
⊥
3
y = + x −3
2
2x + y − 7 = 0
Retta passante per un punto (fascio proprio)
Per un punto passano infinite rette (ognuna delle quali avrà coefficiente
angolare diverso). L’equazione di tutte le rette passanti per un punto P ( x0 ; y0 )
sarà: y − y 0 = m ⋅ (x − x0 ) ; conoscendo il coefficiente angolare, si può ricavare
l’equazione di una determinata retta.
ESEMPIO: Sono dati il punto P (− 2 ; + 3) e il coefficiente angolare m = +2
avremo y − 3 = 2 ⋅ (x + 2) → y − 3 = 2 x + 4 → y = 2 x + 7
Retta passante per due punti
Per determinare l’equazione della retta passante per i generici punti A ( x1 ; y1 )
e B ( x2 ; y2 ) si utilizza la formula: y − y1 = x − x1 , escludendo il caso x1 = x2
y 2 − y1 x2 − x1
(retta parallela all’asse y), e il caso y1 = y 2 (retta parallela all’asse x).
ESEMPIO: Dati i punti A (1; 2 ) e B (3 ; − 1) sostituendo nella formula si
ottiene y − 2 = x − 1 → y − 2 = x − 1 → 2 ( y − 2) = −3 (x − 1) →
−1− 2 3 −1
−3
2
2 y − 4 = −3x + 3 → 3x + 2 y − 7 = 0
Distanza di un punto da una retta
Per calcolare la distanza di un punto P ( x0 ; y0 ) da una retta
ax + by + c = 0
si utilizza la formula:
d=
a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c
a +b
2
.
2
Nel caso in cui l’equazione della retta sia nella forma
esplicita si può utilizzare la formula: d
=
y 0 − mx0 − q
1+ m
.
2
ESEMPIO: Dati il punto P (+ 3 ; − 1) e la retta di equazione
3 x + 4 y − 1 = 0 sostituendo nella formula otterremo:
d=
3 ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) −1
3 +4
2
2
=
9 − 4 −1
4
=
9 +16 5
Intersezione tra due rette
Date due generiche rette y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2 , la loro intersezione
(il punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formato
dalle equazioni delle due rette.
Se il sistema ammette una soluzione (determinato) le rette sono incidenti:
m1 ≠ m2 ∧ q1 ≠ q2
(se
q1 = q2 è quello il punto d ' int ersezione)
Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le rette sono parallele:
m1 = m 2 ∧ q1 ≠ q 2
Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato) le rette sono
coincidenti:
m1 = m2 ∧ q1 = q2
ESEMPIO: Date le rette di equazioni 2 x − y + 1 = 0 e
risolviamo il sistema
2 x − y + 1 = 0
usando il

x
+
y
−
7
=
0

− 2 y + 14 − y + 1 = 0
→

*

x+ y−7 = 0
2(− y + 7 ) − y + 1 = 0
metodo di sostituzio ne 
e risolvendo
x
=
−
y
+
7

− 2 y − y = −14 − 1
− 3 y = −15
y = 5
→
→



*
*
 x = −5 + 7 = 2
P (+ 2 ; + 5) è il punto d’intersezione.
Esercizi
1)
Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioni
2)
Trova l’equazione della retta passante per il punto
y = 3x − 1 e x + 2 y − 5 = 0
e parallela alla retta di equazione
2x − y + 1 = 0
P (− 2 ; 3)
(
)
[ y = 2 x + 7]
Trova l’equazione della retta passante per il punto P 2 ;−3
e perpendicolare alla retta di equazione 2 x + 4 y − 3 = 0
[2 x − y − 7 = 0]
4)
Trova l’equazione della retta passante per il punti
[2 x + 3 y − 7 = 0]
5)
Calcola la distanza del punto
3)
A (− 1; 3) , B (2 ;1)
2x − y + 6 = 0
P (3; 4 ) dalla retta di equazione
6)
Calcola in cm l’area del triangolo di vertici
7)
Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette
A (− 4; − 2) , B (− 3 ; − 1) , C (− 1; 3)
2x + 4 y − 3 = 0 e
.
2x − y + 2 = 0

8 
d
=


5

[Area = 1cm]
 1

−
;
+
1
 2


