Sussidi didattici per il corso di
COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
STRUTTURE IN
CEMENTO ARMATO - V
AGGIORNAMENTO 22/09/2012
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DOMINIO DI RESISTENZA
Prendiamo in considerazione la trave rettangolare 30x50 progettata nell’esempio 4:
Con riferimento al diagramma delle deformazioni della trave, le lettere maiuscole indicano le diverse
possibili posizioni dell’asse neutro in corrispondenza delle quali si hanno le diverse modalità di
rottura della sezione. Queste posizioni fondamentali individuano una serie di campi.
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Esercizio
Calcolare lo sforzo normale ultimo Nrd e il momento ultimo Mrd della sezione, quando l’asse neutro si trova nella
posizione C.
La figura seguente riporta il diagramma delle deformazioni quando la rottura si ha in corrispondenza del punto C e
il corrispondente diagramma delle tensioni, adottando il modello semplificato rettangolare equivalente.
Dalla similitudine dei triangoli:
଴.଴଴ଷହ
௫
଴.଴ଵ
= ସ଺ି௫
si ricava: x=11.92 cm
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Caratteristiche dei materiali:
o Calcestruzzo C25/30
Resistenza media a trazione:
fck
25
= 0.85
= 14.11 MPa
1.50
1.50
2
fctm = 0.30 ⋅ 3 f ck
= 0.30 ⋅ 3 252 = 2.55 MPa
Deformazione ultima:
εcu = 0.0035
Resistenza di progetto a compressione:
fcd = 0.85
o Acciaio B450C
Tensione di progetto allo snervamento:
Deformazione allo snervamento:
Deformazione ultima:
f yk
450
=
= 391.3 MPa
1.15 1.15
f
391.3
ε yd = yd =
= 0.0019
Es 206000
ε su = 0.01
f yd =
Dalla tabella dei tondini:
As =3Φ
Φ14 + 4Φ
Φ16 =12.66 cm2
A’s = 3Φ
Φ14 =4.62 cm2
Risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo:
ܰܿ = ݂௖ௗ 0.8‫ = ݔ‬−1.41
݇ܰ
∙ 9.54 ܿ݉ = −13.45 ݇ܰ
ܿ݉ଶ
4
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Risultante degli sforzi nell’armatura tesa:
ܰ‫݂ = ݏ‬௬ௗ ‫ܣ‬௦ = 39.13
݇ܰ
∙ 12.66 ܿ݉ଶ = 495.4 ݇ܰ
ଶ
ܿ݉
Sempre per similitudine, calcoliamo la deformazione dell’acciaio compresso:
ି଴.଴଴ଷହ
ଶସ.଻଻
ఌ′௦
= ଶ଴.଻଻
si ricava: ε’s= - 0.0029 > εyd pertanto ߪ௦′ = ݂௖ௗ
Risultante degli sforzi nell’armatura compressa:
ܰ ′ ‫݂ = ݏ‬௖ௗ ‫ܣ‬′ ௦ = −39.13
݇ܰ
∙ 4.62 ܿ݉ଶ = −180.78 ݇ܰ
ଶ
ܿ݉
Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale:
ܰ‫ ݏܰ = ݀ݎ‬+ ܰܿ + ܰ ′ ‫ = ݏ‬495.4 − 13.45 − 180.78 ≈ ૜૙૚ ࢑ࡺ
Dall’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse baricentrico del calcestruzzo si ricava:
ℎ
ℎ
ℎ
‫ ݏܰ = ݀ݎܯ‬൬ − ܿ൰ + ܰ ′ ‫ ݏ‬൬ − ܿ൰ + ܰܿ ൬ − 0.4‫ݔ‬൰ =
2
2
2
495.4 ∙ 21 + 180.78 ∙ 21 + 13.45 ∙ 20.23 = 14470.98 ݇ܰܿ݉ ≈ ૚૝૞ ࢑ࡺ࢓
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Se risolviamo l’esercizio precedente per ogni posizione notevole dell’asse neutro, il luogo dei
punti di coordinate (Nrd, Mrd) formerà, sul piano N-M, una curva chiusa che prende il nome di
dominio di resistenza della sezione.
La verifica a pressoflessione risulta graficamente soddisfatta se il punto di coordinate (Nsd,Msd) è
interno al dominio di resistenza. L’esempio mostra come la determinazione della frontiera del
dominio di resistenza di una sezione presso/tenso-inflessa sia un’operazione iterativa abbastanza
laboriosa ma che può facilmente essere implementata in un foglio di calcolo automatico oppure in
uno specifico software, come ad esempio “VcaSlu” scaricabile gratuitamente dal sito:
http://dicata.ing.unibs.it/gelfi/software/programmi_studenti.html
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VERIFICA MEDIANTE DIAGRAMMI DI INTERAZIONE
Per la verifica rapida di sezioni rettangolari si può fare ricorso a domini di rottura precalcolati,
vincolati all’assunzione di alcuni condizioni di partenza, raggruppati in diagrammi di interazione.
Quelli proposti dai Prontuari sono del tipo “adimensionale” cioè costruiti sulla base di parametri che
ne rendono i risultati estensibili alla generalità delle sezioni rettangolari. Sulle ascisse si riportano gli
“sforzi normali adimensionali”:
nୖୢ =
Nୖୢ
ሺb ∙ h ∙ fୡୢ ሻ
Sulle ordinate i “momenti flettenti adimensionali”:
mୖୢ =
Mୖୢ
ሺb ∙ hଶ ∙ fୡୢ ሻ
Tutte le curve presenti nel diagramma vengono ricavate, fissando il rapporto tra le armature
δ = Aୱ /A′ୱ , il rapporto γ = c/H, e facendo variare il:
rapporto meccanico dell’armatura
Aୱ,୲୭୲ f୷ୢ
ω=
ሺb ∙ ݀ ሻ fୡୢ
Noti, Nsd, Msd, As, A’s e le caratteristiche geometriche si calcolano le grandezze adimensionali. Si
riporta sul diagramma il punto di coordinate (nsd, msd) e si verifica che esso sia interno al dominio
corrispondente al rapporto meccanico di armatura della sezione.
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ESEMPIO N°9
Verificare a pressoflessione il pilastro in c.a. dell’esempio 1, di sezione rettangolare 30x50, realizzato con
calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C, soggetto alle seguenti sollecitazioni:
Sforzo normale di compressione dovuto ai carichi permanenti: NG1=200 kN
Sforzo normale di compressione dovuto ai carichi variabili: NQ=350 kN
Momento flettente rispetto a x dovuto ai carichi permanenti: MG1=25 kN
Momento flettente rispetto a x dovuto ai carichi variabili: MQ=50 kN
Il pilastro è armato con 6Φ16 disposti come indicato in figura.
Area cls: Ac = 30 ⋅ 50 = 1500 cm 2
2
Area armatura: As = 6 Φ 16 = 12 . 06 cm
(vedi tabella)
Resistenze di progetto:
f ck
25
= 0 .85
= 14 .11 MPa = 1 .41 kN / cm 2
1 .50
1 .50
f yk
450
=
=
= 391 . 3 MPa = 39 . 1 kN / cm 2
1 . 15 1 . 15
f cd = 0 .85
f yd
Sforzo normale di progetto:
N Sd = 1 . 3 N G1 + 1 . 5 N Q = 1 . 3 ⋅ 200 + 1 . 5 ⋅ 350 = 785 kN
Momento flettente di progetto:
M Sd = 1 . 3 M G1 + 1 . 5 M Q = 1 . 3 ⋅ 25 + 1 . 5 ⋅ 50 = 107 . 5 kNm
Calcoliamo gli sforzi adimensionali:
୒
౎ౚ
nୖୢ = ሺୠ∙୦∙୤
ౙౚ
଻଼ହ
୑
= ሺହ଴∙ଷ଴∙ଵ.ସଵሻ = 0.37
ሻ
mୖୢ = ሺୠ∙୦మ౎ౚ
8
∙୤ౙౚ
ଵ଴଻ହ଴
= ሺହ଴∙ଷ଴మ
ሻ
∙ଵ.ସଵሻ
= 0.17
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Calcoliamo il rapporto meccanico di armatura:
ω=
Aୱ,୲୭୲ f୷ୢ
12.06 39.1
=
= 0.22
ሺb ∙ ݀ሻ fୡୢ ሺ50 ∙ 30ሻ 1.41
Poiché, nel nostro caso c/H=4/30=0.13 e As=A’s, scegliamo i diagrammi di interazione predisposti per c/H=0.15 e
armatura simmetrica.
La verifica è soddisfatta perché il punto risulta interno al dominio corrispondente al rapporto di armatura calcolato.
La rottura avviene nel campo 3, pertanto è PERFETTA. La sezione rientra nella categoria delle sezioni ad armatura
normale.
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APPENDICE:
DIAGRAMMI DI INTERAZIONE PER SEZIONI
RETTANGOLARI
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
=1
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
=1
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
=1
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
=1
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
= 0.5
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
= 0.5
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
= 0.5
‫ݏܣ‬
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‫ܣ‬′‫ݏ‬
= 0.5
‫ݏܣ‬
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Tabella tondini da Cemento Armato
Diametro
mm
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
25
26
28
30
32
0,28
0,50
0,79
1,13
1,54
2,01
2,54
3,14
3,80
4,52
4,91
5,31
6,16
7,07
8,04
0,57
1,01
1,57
2,26
3,08
4,02
5,09
6,28
7,60
9,05
9,82
10,62
12,32
14,14
16,08
0,85
1,51
2,36
3,39
4,62
6,03
7,63
9,42
11,40
13,57
14,73
15,93
18,47
21,21
21,13
1,13
2,01
3,14
4,52
6,16
8,04
10,18
12,57
15,21
18,10
19,63
21,24
24,63
28,27
32,17
Numero barre
5
6
7
sezione [cm²]
1,41
2,51
3,93
5,65
7,70
10,05
12,72
15,71
19,01
22,62
24,54
26,55
30,79
35,34
40,21
19
1,70
3,02
4,71
6,79
9,24
12,06
15,27
18,85
22,81
27,14
29,45
31,86
36,95
42,41
48,25
1,98
3,52
5,50
7,92
10,78
14,07
17,81
21,99
26,61
31,67
34,36
37,17
43,10
49,48
56,30
8
9
10
12
2,26
4,02
6,28
9,05
12,32
16,08
20,36
25,13
30,41
36,19
39,27
42,47
49,26
56,55
64,34
2,54
4,52
7,07
10,18
13,85
18,10
22,90
28,27
34,21
40,72
44,18
47,78
55,42
63,62
72,38
2,83
5,03
7,85
11,31
15,39
20,11
25,45
31,42
38,01
45,24
49,09
53,09
61,58
70,69
80,42
3,39
6,03
9,42
13,57
18,47
24,13
30,54
37,70
45,62
54,29
58,90
63,71
73,89
84,82
96,51
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Fonti
•
•
•
D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)
Norme tecniche per le Costruzioni”
Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –
Suppl. Ord.)
“Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
S.Catasta – Materiale didattico
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