Sussidi didattici per il corso di
COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
STRUTTURE IN
CEMENTO ARMATO - IIII
AGGIORNAMENTO 29/04/2012
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FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Progetto allo SLU
Progettare la sezione in c.a. consiste, nel fissare:
•
•
•
•
•
generalmente la larghezza “b” della sezione;
le caratteristiche dei materiali;
il valore del copriferro “c”;
la modalità di rottura della sezione;
la percentuale “u” di armatura compressa (caso di sezione ad armatura doppia);
e nel ricavare analiticamente:
• l’altezza utile “d” della sezione (da cui segue h= d+c);
• l’armatura tesa As (da cui segue A’s=u As nel caso di sezione ad armatura doppia);
Per ottenere sezioni duttili, le progetteremo sempre assumendo k=x/d=0.259 (diagramma
bilanciato).
k=0.259
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Sezione rettangolare ad armatura semplice
Partiamo dall’ipotesi che sia nota la larghezza “b” della sezione. Assegniamo
Assegn
alla sezione il
diagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259
k=x/d=0.259, cioè facciamo in modo che la rottura avvenga al
limite fra i campi 2b e 3.
Dall’equilibrio alla rotazione attorno all’armatura si ricava:
M Sd = NC ( d − 0.4x) = 0.8 ⋅ x⋅ fcd ⋅ b⋅ ( d − 0.4x)
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imponendo x=0.259d si ricava:
M Sd = 0.1857 ⋅ fcd ⋅ b⋅ d 2
ricaviamo l’altezza utile d:
d=
M Sd
0.1857 ⋅ fcd ⋅ b
(1)
ponendo:
r=
1
0.1857 ⋅ fcd
la relazione diventa:
M Sd
b (2)
d=r
Dall’equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante degli sforzi di compressione si ricava:
M Sd = NS ( d − 0.4x) = As ⋅ f yd ⋅ ( d − 0.4x) = As ⋅ f yd ⋅ ( d − 0.4 ⋅ 0.259d) = As ⋅ f yd ⋅ 0.9 ⋅ d
da cui si ricava:
As =
M Sd
0.9 ⋅ f yd ⋅ d (3)
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ESEMPIO N°3
Progettare la sezione rettangolare di una trave in c.a., di larghezza b=30 cm, da realizzare con calcestruzzo di
classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C. Il momento flettente di progetto è pari a 160 kNm.
Caratteristiche dei materiali:
o Calcestruzzo C25/30
fck
25
= 0.85
= 14.11 MPa
1.50
1.50
Resistenza di progetto a compressione:
fcd = 0.85
Resistenza media a trazione:
2
fctm = 0.30 ⋅ 3 f ck
= 0.30 ⋅ 3 252 = 2.55 MPa
εcu = 0.0035
Deformazione ultima:
o Acciaio B450C
f yk
450
=
= 391.3 MPa
1.15 1.15
f
391.3
= yd =
= 0.0019
Es 206000
Tensione di progetto allo snervamento:
f yd =
Deformazione allo snervamento:
ε yd
Deformazione ultima:
ε su = 0.01
Applichiamo direttamente la relazione (1) per trovare l’altezza utile d:
d=
16000
= 45.11cm
0.1857 ⋅1.411⋅ 30
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adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto h=50 cm.
cm
Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
As =
16000
= 9.88cm2
0.9 ⋅ 39.13⋅ 46
Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5Φ (=10.05 cm2)
Controlli di normativa:
0.255
30 ⋅ 46 = 2.03 cm2 < As = 10.0
05cm2
45
= 0.04 ⋅ 30 ⋅ 50 = 60 cm2 > As = 10.05cm2 ok
1. Armatura long. minima: As,min = 0.26
2. Armatura long. massima: As,m
max
6
ok
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Sezione rettangolare ad armatura doppia
L’altezza utile “d” si ricava dalla seguente relazione, simile alla (2):
M Sd
b (4)
d=r'
in cui il coefficiente r’ viene scelto dalla tabella sotto riportata (valida per calcestruzzo C25/30), in
funzione della percentuale “u” di armatura compressa e del tipo di trave (emergente o a spessore):
Coefficienti r’ per C25/30
r’
u
0
0.25
0.50
TRAVE EMERGENTE
c/d=0.1
TRAVE A SPESSORE
c/d=0.2
1.97
1.71
1.39
1.89
1.81
n.b. per l’uso dei coefficienti riportati in tabella esprimere le distanze in cm
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ESEMPIO N°4
Con riferimento alla trave emergente dell’esempio precedente, progettare la sezione ad armatura doppia.
Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r’ si
ricava, per trave emergente, r’=1.71.
Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
d = 1.71⋅
16000
= 39.5cm
30
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=43.50 cm. Assumiamo pertanto h=45 cm.
Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
16000
= 11.08cm2
0.9 ⋅ 39.13⋅ 41
Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 6Φ16 (=12.06 cm2)
As =
Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa vale: A’s=u·As=0.25·12.06 = 3.015 cm2 corrispondenti a
2Φ14 (=3.08 cm2)
Controlli di normativa:
0.255
30 ⋅ 41 = 1.82 cm2 < As = 12.06 cm2 ok
45
= 0.04 ⋅ 30 ⋅ 45 = 54 cm2 > As = 12.06 cm2 ok
1. Armatura long. minima: As,min = 0.26
2. Armatura long. massima: As,max
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ESEMPIO N°5
Con riferimento alla carpenteria sotto riportata, progettare la trave 2-5 su cui grava il solaio di copertura
praticabile di un info-point turistico. Assumere sul solaio un sovraccarico accidentale pari a 3.5 kN/mq.
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Caratteristiche dei materiali:
o Calcestruzzo C25/30
fck
25
= 0.85
= 14.11 MPa
1.50
1.50
Resistenza di progetto a compressione:
fcd = 0.85
Resistenza media a trazione:
2
fctm = 0.30 ⋅ 3 f ck
= 0.30 ⋅ 3 252 = 2.55 MPa
Deformazione ultima:
εcu = 0.0035
o Acciaio B450C
f yk
450
=
= 391.3 MPa
1.15 1.15
f
391.3
= yd =
= 0.0019
Es 206000
Tensione di progetto allo snervamento:
f yd =
Deformazione allo snervamento:
ε yd
Deformazione ultima:
ε su = 0.01
Predimensionamento solaio:
La luce del solaio (l=5.00 m) si incrementa del 5% per tenere conto del vincolo di semincastro, pertanto la
luce di calcolo è l’=1.05 l = 1.05 x 5.00 = 5.25 m. Lo spessore del solaio viene fissato maggiore di 1/30
della luce pertanto s,min=525/30=17.5 cm. Si adotterà un solaio in laterocemento a travetti prefabbricati
dello spessore totale di 20 cm (16+4). Si riporta di seguito la scheda riepilogativa di analisi dei carichi.
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Solaio in c.a e laterizi a travetti prefabbricati (16+4)
4.10 kN/m2
Pignatte con travetti prefabbricati posti
•
a i=50 cm (peso=0.075 kN/m2/cm)
16 x 0.075
1.20 kN/m2
Soletta collaborante non armata (4
•
cm)
0.96 kN/m2
1.00 x 1.00 x 0.04 x 24
Intonaco soffitto in gesso (1.5 cm)
•
0.18 kN/m2
1.00 x 1.00 x 0.015 x 12.00
Massetto di pendenza in cls alleggerito
•
0.65 kN/m2
(5 cm)
1.00 x 1.00 x 0.05 x 13.00
0.30 kN/m2
Impermeabilizzazione
•
0.42 kN/m2
Massetto in malta di cemento (2 cm)
•
1.00 x 1.00 x 0.02 x 21.00
Pavimento mattonelle di cotto
•
11
0.40 kN/m2
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Analisi dei carichi:
Per la valutazione del peso proprio della trave assumiamo una dimensione di tentativo pari a 30x50.
I solai sono orditi in maniera tale da trasferire i carichi sulle travi di piano 1-4, 2-5 e 3-6. La trave 2-5
risulta maggiormente sollecitata. Poiché l’analisi dei carichi effettuata si riferisce al carico agente su ogni
mq di superficie, per valutare lo scarico per ogni metro lineare di trave è necessario moltiplicare il carico
per la luce di influenza del solaio stesso, pari alla metà della luce di ogni solaio che scarica sulla trave di
progetto.
• Peso proprio trave: (0.30 x 0.50 x 1.00) x 25 kN/mc
• Peso proprio solaio: 2x(4.10 kN/mq x 2.5 m)
= 3.75 kN/m
= 20.5 kN/m
Totale G1
• Sovraccarico accidentale: 2x(3.5 kN/mq x 2.5 m)
Q
= 24.25 kN/m
= 17.5 kN/m
Calcolo sollecitazioni allo SLU:
qsd = 1.3⋅ 24.25 +1.5⋅17.50 = 31.52 + 26.25 ≈ 58
kN
m
La luce di calcolo della trave, nell’ipotesi di vincolo di semincastro è: l=6.00 x 1.05 = 6.30 m. Il momento
massimo di semincastro è:
Mୗୢ
q ୱୢ ∙ lଶ 58 ∙ 6.30ଶ
=
=
= 195 kNm
12
2
12
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Progetto della sezione in c.a.
Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.
u=0.25.. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava,
per trave emergente, r’=1.71. Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
d = 1.71⋅
19500
= 43.6 cm
30
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=
d+c=47,6 cm. Assumiamo h=50 cm.
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Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
As =
19500
= 12.04 cm2
0.9 ⋅ 39.13⋅ 46
Dalla tabella dei tondini, disponiamo 3Φ
Φ14 + 4Φ
Φ16 (=12.66 cm2). Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa
vale: A’s=u As=0.25 ·12.66 = 3.16 cm2 corrispondenti a 3Φ
Φ14 (=4.62 cm2).
Posizione dell’asse neutro
Ipotizziamo che l’armatura compressa sia snervata:
Ns = f yd ⋅ As = 39.13⋅12.66 = 495.4 kN
N 's = f yd ⋅ A's = 39.13⋅ 4.62 = 181kN
Nc = fcd ⋅ b⋅ ( 0.8 ⋅ x) = 1.41⋅ 30 ⋅ ( 0.8 ⋅ x) = 34 ⋅ x kN
Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale della sezione:
Ns − N 's − Nc = 0;
495.4 −181− 34 ⋅ x = 0 ;
x=
314.4
= 9.24 cm
34
poiché:
x = 9.24 cm> 2.20 ⋅ c = 8.80 cm
l’armatura compressa è snervata e la posizione dell’asse neutro trovata è corretta.
Calcolo del momento resistente
Per l’equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto al punto di applicazione di Nc:
M rd = Ns ( d − 0.4x) + N 's ( 0.4x − c) = 495.4 ( 46 − 0.4 ⋅ 9.24) +181( 0.4 ⋅ 9.24 − 4) =
= 21012.4 kNcm = 210 kNm> M sd = 195kNm
VERIFICA POSITIVA
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Disegno delle armature
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Tabella tondini da Cemento Armato
Diametro
mm
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
25
26
28
30
32
0,28
0,50
0,79
1,13
1,54
2,01
2,54
3,14
3,80
4,52
4,91
5,31
6,16
7,07
8,04
0,57
1,01
1,57
2,26
3,08
4,02
5,09
6,28
7,60
9,05
9,82
10,62
12,32
14,14
16,08
0,85
1,51
2,36
3,39
4,62
6,03
7,63
9,42
11,40
13,57
14,73
15,93
18,47
21,21
21,13
1,13
2,01
3,14
4,52
6,16
8,04
10,18
12,57
15,21
18,10
19,63
21,24
24,63
28,27
32,17
Numero barre
5
6
7
sezione [cm²]
1,41
2,51
3,93
5,65
7,70
10,05
12,72
15,71
19,01
22,62
24,54
26,55
30,79
35,34
40,21
16
1,70
3,02
4,71
6,79
9,24
12,06
15,27
18,85
22,81
27,14
29,45
31,86
36,95
42,41
48,25
1,98
3,52
5,50
7,92
10,78
14,07
17,81
21,99
26,61
31,67
34,36
37,17
43,10
49,48
56,30
8
9
10
12
2,26
4,02
6,28
9,05
12,32
16,08
20,36
25,13
30,41
36,19
39,27
42,47
49,26
56,55
64,34
2,54
4,52
7,07
10,18
13,85
18,10
22,90
28,27
34,21
40,72
44,18
47,78
55,42
63,62
72,38
2,83
5,03
7,85
11,31
15,39
20,11
25,45
31,42
38,01
45,24
49,09
53,09
61,58
70,69
80,42
3,39
6,03
9,42
13,57
18,47
24,13
30,54
37,70
45,62
54,29
58,90
63,71
73,89
84,82
96,51
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Fonti
•
•
•
D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)
Norme tecniche per le Costruzioni”
Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –
Suppl. Ord.)
“Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
S.Catasta – Materiale didattico
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