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I VETTORI
Problemi di Fisica
I Vettori
PROBLEMA N. 1
Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:
F1 = (2; 6)
F2 = (-4; 2)
F3 = (-6; -3)
F4 = (0; -4)
SOLUZIONE
Metodo grafico
Rappresentiamo graficamente queste forze e con l’aiuto dell’algebra vettoriale (regola del
parallelogramma) determiniamo la forza risultante:
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I VETTORI
Metodo analitico
Tenendo presente il verso delle componenti delle quattro forze,
totale sono date da:
FXT = ∑ FX = 2 − 4 − 6 + 0 = −8 N
le componenti della forza
FYT = ∑ FY = 6 + 2 − 3 − 4 = 1 N
per cui il modulo della forza totale è dato da:
2
2
FT = FXT
+ FYT
=
(− 8)2 + (1)2
= 65 = 8.1N
mentre l’argomento è:
tgα =
FyT
FxT
=
1
= −0,125 ⇒ α = −7,1° = 172,9°
−8
F = (-8; 1)
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I VETTORI
PROBLEMA N. 2
Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:
α 1 = 30°
F3 = 70 N α 3 = 180°
F1 = 30 N
F2 = 140 N
F4 = 80 N
α 2 = 135°
α 4 = 250°
SOLUZIONE
Metodo grafico
Rappresentiamo graficamente queste forze, riportandole in scala sul sistema di assi
cartesiani, e con l’aiuto dell’algebra vettoriale (regola del parallelogramma) determiniamo la
forza risultante:
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I VETTORI
Metodo analitico
Le componenti delle singole forze sono:
F1 X = F1 ⋅ cos α 1 = 30 ⋅ cos 30° = 26 N
F2 X = F2 ⋅ cos α 2 = 140 ⋅ cos 135° = −99 N
F1 Y = F1 ⋅ senα 1 = 30 ⋅ sen 30° = 15 N
F2 Y = F2 ⋅ senα 2 = 140 ⋅ sen 135° = 99 N
F3 X = F3 ⋅ cos α 3 = 70 ⋅ cos 180° = −70 N
F4 X = F4 ⋅ cos α 4 = 80 ⋅ ⋅ cos 250° = −27 N
F3 Y = 0
F4 Y = F4 ⋅ senα 4 = 80 ⋅ sen 250° = −75 N
Le componenti della forza totale sono date da:
FXT = ∑ FX = 26 − 99 − 70 − 27 = −170 N
FYT = ∑ FY = 15 + 99 + 0 − 75 = 39 N
F = (-170; 39)
Pertanto l’intensità della forza risultante è data da:
2
2
FT = FXT
+ FYT
=
(− 170 )2 + (39 )2
= 28900 + 1521 = 30421 = 174 N
mentre l’argomento è:
tgα =
FYT
39
=
= −0,23
FXT − 170
α = −13° = 167°
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I VETTORI
PROBLEMA N. 3
Un’automobile si sposta di 40 km verso est
spostamento risultante.
e di 30 km verso nord. Determinare lo
SOLUZIONE
Rappresentiamo graficamente il problema:
dove il vettore risultante è stato trovato applicando la regola della poligonale, detta anche
punta – coda.
Il modulo e l’argomento dello spostamento risultante sono dati da:
S = 40 2 + 30 2 = 2500 = 50 km
tgα =
30
= 0,75 ⇒ α = 36,9°
40
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I VETTORI
PROBLEMA N. 4
Considera i due vettori spostamento AB e BC della seguente figura.
Calcolare il vettore somma AC, sapendo che il modulo di AB e
quello di BC sono 100 m.
SOLUZIONE
Graficamente il vettore somma è dato dalla regola della
poligonale.
Dal punto di vista analitico si procede nel seguente modo:
Calcoliamo le componenti di S1 e S2:
S1x = 0
S1y = 100m
S 2 x = S 2 ⋅ cos α 2 = 100 ⋅ cos(90° − 60°) = 86,6m
S 2 y = S 2 ⋅ senα 2 = 100 ⋅ sen (90° − 60°) = 50m
Il vettore somma avrà come componenti:
S Tx = S1x + S 2 x = 0 + 86,6 = 86,6m
S Ty = S1y + S 2 y = 100 + 50 = 150m
Pertanto, l’intensità e l’argomento sono dati da:
2
2
S T = S Tx
+ S Ty
= 86,6 2 + 150 2 = 173m
tgα =
S TY 150
=
= 1,73 ⇒ α = 60°
S TX 86,6
ST = (86,6; 150)
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I VETTORI
PROBLEMA N. 5
Un ragazzo attraversa a nuoto un fiume con una velocità V = 5 km/h. Se la velocità della
corrente è VC = 3 km/h, quale sarà la velocità effettiva del ragazzo e la sua direzione di nuoto?
SOLUZIONE
Rappresentiamo il problema dal punto di vista vettoriale:
Il ragazzo si muoverà con una velocità effettiva V1 che è la
risultante tra le velocità V e VC, il cui modulo e argomento è dato
da:
V1 = V 2 + VC2 = 5 2 + 3 2 = 5,83km / h
tgα =
V 5
= = 1,67 ⇒ α = 59°
VC 3
PROBLEMA N. 6
Il vettore a è rivolto verso Nord ed ha intensità a = 4,0. Il vettore b è rivolto verso Nord –
Est, formando un angolo di 30° con il primo, ed ha intensità b = 6,5. Determinare il loro
prodotto scalare e vettoriale:
SOLUZIONE
Prodotto scalare
r r
c = a • b = a ⋅ b ⋅ cos α = 4,0 ⋅ 6,5 ⋅ cos 30° = 22,5
c = scalare
Prodotto vettoriale
r r r
c = a⊗b
c = a ⋅ b ⋅ senα = 4,0 ⋅ 6,5 ⋅ sen 30° = 13
c è un vettore di modulo 13, diretto
perpendicolarmente
al
piano
contenente i vettori a e b e orientato
verso il basso (regola del cavatappi o
regola della mano destra).
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I VETTORI
PROBLEMA N. 7
Siano dati il vettore a = (4; -2) ed il vettore b = (3; 1). Calcolare il prodotto scalare e
vettoriale.
SOLUZIONE
Rappresentiamo i due vettori su un sistema di assi cartesiani:
Calcoliamo modulo ed argomento di ogni singolo vettore:
a = 4 2 + (−2) 2 = 4,5
tgα 1 =
b = 3 2 + 1 2 = 3,2
−2
= −0,5 ⇒ α 1 = −26,6°
4
tgα 2 =
1
= 0,3 ⇒ α 2 = 18,4°
3
Pertanto l’angolo tra i due vettori sarà:
α = α 1 + α 2 = 45°
In definitiva:
Prodotto scalare
r r
c = a • b = a ⋅ b ⋅ cos α = 4,5 ⋅ 3,2 ⋅ cos 45° = 10,2
c = scalare
Prodotto vettoriale
r r r
c = a⊗b
c = a ⋅ b ⋅ senα = 4,5 ⋅ 3,2 ⋅ sen 45° = 10,2
c è un vettore di modulo 10,2 e diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b
e con verso uscente dal piano, cioè verso l’osservatore (regola del cavatappi o regola della
mano destra).
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I VETTORI
PROBLEMA N. 8
Un protone (p = 1,6·10-19 C; m = 1,67·10-27 kg) entra in un campo magnetico uniforme
B=0,30 T, con una velocità V = 1,0·104 m/s perpendicolare al campo magnetico. Calcolare la
forza magnetica sul protone.
SOLUZIONE
Gli esperimenti dimostrano che una carica elettrica immersa in un campo magnetico subisce
una forza magnetica data da:
r
r r
F = q⋅V⊗B
Poiché F è una grandezza vettoriale, avrà un’intensità pari a:
F = q ⋅ V ⋅ B ⋅ senα = 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 1,0 ⋅ 104 ⋅ 0,30 ⋅ 1 = 4,8 ⋅ 10−16 N
dove:
α = 90° ⇒ sen90° = 1
Un verso e una direzione dati dalla regola
della mano destra:
ponendo il pollice della mano destra nel
verso della velocità e le altre dita nel
verso del campo magnetico, la forza
magnetica avrà direzione perpendicolare
al palmo della mano e verso uscente.
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I VETTORI
PROBLEMA N. 9
Dati i vettori a = (4; 6) e b = (-3; 2), calcolare il loro prodotto scalare e vettoriale.
SOLUZIONE
Poiché sono note le coordinate cartesiane dei vettori,
calcoliamo il prodotto scalare e vettoriale nel seguente
modo:
r r
c = a • b = a x b x + a y b y = 4 ⋅ (−3) + 6 ⋅ 2 = 0
punto di applicazione: lo stesso dei
vettori a e b
direzione: perpendicolare al piano che
contiene i vettori a e b
verso: entrante
intensità: c = axby – aybx = 4 ⋅ 2 – 6 ⋅ (-3) = 26
Esprimendo i vettori a e b attraverso le coordinate polari (modulo ed argomento):
a = 4 2 + 6 2 = 7,21
tgα 1 =
6
= 1,5 ⇒ α 1 = 56,3°
4
b = (−3) 2 + 2 2 = 3,6
tgα 2 =
2
= −0,67 ⇒ α 1 = −33,7°
−3
il prodotto scalare e vettoriale si calcolano come:
r v
c = a • b = ab ⋅ cos α = 7,21⋅ 3,6 ⋅ cos 90° = 0
punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b
direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b
verso: entrante
intensità: c = ab ⋅ senα = 7,21 ⋅ 3,6 ⋅ sen 90° = 26
dove: α = 180° − (56,3 + 33,7°) = 90°