SISTEMI DEL SECONDO ORDINE
la funzione di trasferimento di un sistema del secondo ordine assume la seguente forma:
Il termine ωn è detto pulsazione naturale, il termine ξ è detto smorzamento e Q è detto
fattore di merito. E’ chiaro che :
Sono presenti due poli:
I poli della funzione di trasferimento risultano:
a) reali, distinti e negativi se ξ>1 ,cioè se Q<0,5
b) reali e coincidenti se ξ=1 , cioè se Q=0,5 (i due poli risultano uguali alla pulsazione
naturale)
c) complessi coniugati a parte reale negativa se ξ<1 cioè se Q>0,5.
Per un sistema di controllo in genere risulta necessario una csi 0,7<ξ<1 perché le
oscillazioni sono praticamente assenti e la sovraelongazione è contenuta al 5%, i
tempi di risposta viceversa sono rapidi.
Poli della funzione di trasferimento reali, distinti e negativi ξ>1 sovrasmorzato
Poli della funzione di trasferimento reali, coincidenti ξ=1 smorzamento critico
Programma Scilab
s=poly(0,"s");
csi=-.1;w=50;
l=syslin('c',w^2/(s^2+2*csi*w*s+w^2));
t=0:0.001:1;
y=csim('step',t,l);
plot2d(t,y,2)
CASO POLI complessi e coniugati sistema sottosmorzato
Sovraelongazione 50 %
T assestamento
0.2 s
sovraelongazione massima al variare di x
Sovraelongazione 50 %
ξ=0.2
segue che wn vale 100.
Tempo di picco
Tp =
p
w n × 1- d
2
i minimi e i max si succedono con tempi Ti =
k ×p
w n × 1- d
2
Per quanto riguarda il significato dei parametri w o e x , con riferimento alla posizione
dei poli nel piano di s, il coefficiente w o, chiamato pulsazione naturale (perché è la
pulsazione di oscillazione se il sistema non fosse smorzato), è legato ai poli dalla
relazione
e rappresenta la distanza dei poli dall'origine; il coefficiente x , detto coefficiente di
smorzamento, è dato da
.
Nel caso in cui sia q = 0°, e quindi x = 1, i poli sono reali e coincidenti e lo smorzamento
viene detto critico. Se invece q = 90°, lo smorzamento è nullo e i poli sono puramente
immaginari. L’angolo misura quindi il grado di smorzamento del sistema.
Per valori di x maggiori di uno, i poli diventano reali e distinti.
Poli immaginari puri ξ=0
wn
wn =2p
p/T
T si legge dal grafico
6.28/0.12@
@50
Esercizio
Valutare ξ
e wn
Reali e positivi se ξ<-1
complessi coniugati a parte reale positiva se ξ<0
Esempio:
Verificare che per il sistema del secondo ordine avente la seguente funzione di trasferimento:
H =
20
s + 20 s + 2500
2
si ha x < 1 e calcolarne i parametri POT e T 1 supponendo di applicare in ingresso un gradino di
ampiezza 40.
Soluzione:
Confrontando l’espressione della F.d.T. assegnata con quella generica di un sistema del secondo
ordine senza zeri:
K
H = 2
s + 2w n x × s + w n2
si ottengono le equazioni:
ìï2xw n = 20
í 2
ïîw n = 2500
20
20
=
= 0,5 che risulta minore
2w n 100
di 1. Si procede quindi calcolando le grandezze richieste tramite le corrispondenti formule:
da cui si ricava prima il parametro w n = 2500 = 50 e poi x =
POT = 100 × e
p
T1 =
w n 1- x
-
2
p ×x
1-x
=
2
= 100 × e
p
-
50 1 - 0,5 2
p ×0 , 5
1- 0 , 5 2
= 16,3
= 0,072s
Si noti che i valori trovati non dipendono dall’ampiezza del gradino applicato in ingresso.
La risposta è riportata nella figura seguente.