Le onde elettromagnetiche e la relatività speciale
Sperimentalmente si trova che le onde elettromagnetiche si propagano
nel vuoto con velocità c = 3.00x108 m/s. c è una costante universale,
quindi non dipende dalla lunghezza d’onda. c è la velocità della luce.
Analizzando l’effetto fotoelettrico si deduce che la radiazione
elettromagnetica è quantizzata pertanto le onde elettromagnetiche si
comportano come particelle; le particelle associate alla radiazione
elettromagnetica sono i fotoni. L’energia di un fotone è proporzionale
alla frequenza dell’onda, ma tutti i fotoni hanno la stessa velocità c
quando viaggiano nel vuoto. Per un oggetto di massa m che si muove
con v « c sappiamo che
v
v
p = mv e
1 2 p2
Ek = mv =
2
2m
Queste due quantità si conservano negli urti. A velocità prossime a c
questo non avviene più.
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I postulati
Nel 1905 Einstein formulò la teoria della relatività speciale (effetto
fotoelettrico e moto Browniano). I postulati di partenza sono due
1. le leggi della fisica sono identiche in tutti i sistemi di riferimento
inerziali
2. la velocità della radiazione elettromagnetica nel vuoto è costante,
indipendentemente dal moto della sorgente
Il primo postulato è identico a quello utilizato da Newton, il secondo pare
essere contrario all’intuizione, in quanto per v « c l’esperienza ci dice che
le velocità si sommano linearmente.
Consideriamo una particella che si muove con velocità dx/dt in direzione
x, rispetto ad un sistema di riferimento che si muove con velocità v in
direzione x, le coordinate sono
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y
y’
sistema S
dx/dt
v
sistema S’
dx’/dt’
x
x’
x' = x − vt
y' = y
z' = z
Trasformazione Galileiana
t' = t
Essendo dt=dt’, differenziando si ottiene per le velocità
dx' dx
=
−v
dt ' dt
Tutto funziona fino a che v « c. Esempio: luce emessa da una sorgente
in moto con v, la luce viaggia sempre con c, non con v + c!!!.
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Esperimento di Michelson e Morley
Le onde elettromagnetiche si possono propagare nel vuoto. Per molto
tempo si è creduto che esse si dovessero per forza propagare in un mezzo
chiamato etere. 1881 esperimento di Michelson con l’interferometro.
Esperimento ripetuto poi con maggiore sensibilità assieme a Morley nel
1887. Se la propagazione dell’onda elettromagnetica dipende dall’etere,
allora il moto rispetto all’etere deve influire sulla velocità della luce.
Cercare di provare l’esistenza dell’etere equivale a provare il secondo
postulato della relatività ristretta. Scopo dell’esperimento di M & M era
quello di vedere se il moto della terra poteva influire sulla velocità della
luce. La velocità della terra attorno al sole vale v = 3x104 m/s, quindi
v 3 ⋅10 4 m / s
−4
=
=
10
c 3 ⋅108 m / s
Se la trasformazione Galileiana fosse vera, allora la velocità della luce
emessa in direzione parallela al moto della terra dovrebbe aumentare di
un diecimilionesimo, diminuire se emessa in direzione antiparallela.
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M: specchio parzialmente riflettente
M1, M2: specchi
d1, d2 ~ 1 m
La luce viene riflessa diverse volte. Supponiamo
che le due traiettorie siano perfettamente uguali.
Secondo la trasformazione di Galileo, la velocità
della luce nelle due traiettorie non dovrebbe essere
la stessa a causa della velocità della terra ed i due
fasci luminosi dovrebbero arrivare a tempi diversi
(secondo la teoria della relatività speciale invece
arrivano contemporaneamente).
Nella realtà le due traiettorie non sono mai esattamente le stesse, si
osserava allora una figura di interferenza a causa dello sfasamento dovuto
ai diversi cammini ottici. M & M cercarono variazioni nella figura di
interferenza ruotando l’apparato, montato su una pietra molto pesante e
galleggiante su di un bagno di mercurio.
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Secondo la teoria della relatività speciale la figura di interferenza non
cambia a seguito di una rotazione di 90o, dato che la velocità della luce
rimane costante. Usiamo ora la trasformazione Galileiana per analizzare
l’esperimento. Considerriamo il caso in cui la luce viaggia parallela e
antiparallela alla terra. Il tempo t1 necessario per arrivare allo schermo è,
se 2L1 è la traiettoria totale,
L1
L1
t1 =
+
c+v c−v
Nel caso in cui la luce viaggi perpendicolarmente al moto della terra, il
tempo t2 per raggiungere lo schermo vale (traiettoria = 2L2)
L2
L2
t2 =
+
2
2
c −v
c2 − v2
I due raggi luminosi sono sfasati di una quantità
c(t 2 − t1 )
∆φ =
λ
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Quando tutto l’apparato viene ruotato di 90o, la differenza di fase (fringe
shift) vale
2 Lv 2
∆φ =
λc 2
Con L ~ L1 ~ L2 ~ 10 m. Nell’esperimento la luce aveva λ ~ 500 nm, il
fringe shift atteso, nel caso la luce avesse viaggiato a velocità diverse a
causa del moto della terra, era
2
(
2)(10m )(10 − 4 )
≈ 0 .4
∆φ =
−7
5 ⋅10 m
Non fu osservato alcuno shift. La velocità della luce non dipende dal
moto della terra e non c’è alcun etere → le onde elettromagnetiche si
possono propagare nel vuoto. L’esperimento fu ripetuto molte volte
raffinandolo, ma non si è mai osservato il fringe shift!!!
La velocità della luce ha un valore molto elevato (c=2.99792458·108 m/s),
ma finito: un fotone impiega 1 ns per fare 0.3 m, la luce emessa dal sole
impiega 500 s per arrivare sulla terra, ci vogliono 15·109 s per la luce
emessa dalla galassia più lontana per raggiungere la terra.
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Relazione tra spazio e tempo
ct
ct’
traiettoria della
=c
’
particella
/dt
’
dx
=c
traiettoria della
t
d
/
particella
dx
x
x’
Sistema S
Sistema S’
Diagramma spazio-tempo. Per ct = 0 (ora), x = 0 nel sistema S per la
particella. Il moto uniforme corrisponde ad una linea retta con pendenza
c/v. Dato che c è la velocità massima, la pendenza minima è 1, solo il
triangolo azzurro è accessibile. Le coordinate della particella si possono
scrivere inizialmente
 ct   0 
  =  
 x  0
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Consideriamo ora una particella a riposo nel sistema S, al tempo t1 le sue
coordinate spazio-temporali sono
 ct   ct1 
  =  
x  0 
La traiettoria della particella è una linea retta verticale, dopo un tempo t1
la particella non si è mossa da x = 0. Analizziamo adesso la particella nel
sistema S’ che si muove con velocità v nella direzione delle x negative.
Le coordinate spazio temporali sono
 ct '   ct '1 
  =  
 x'   x'1 
Sia la coordinata spaziale che quella temporale della particella sono
aumentate (t’1>t’ e x’>0). Nel sistema S’ la particella ha velocità v e
segue la traiettoria tratteggiata. La velocità della particella vale
v=
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x'1
t '1
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La coordinata temporale della particella deve aumentare altrimenti una
velocità relativa maggiore porterebbe la particella nella zona proibita del
diagramma spazio-tempo. La trasformazione Galileiana risulta errata
ad alte velocità perché presuppone che le coordinate temporali siano
le stesse nei due sistemi di riferimento, mentre ciò è vero solo a
velocità piccole.
La relazione tra un sistema di riferimento fermo S (t,x,y,z) ed un secondo
sistema S’ (t’,x’,y’,z’) in moto rispetto ad S con velocità costante v, fu
introdotta nel 1890 da Hendrik Lorentz. Egli trovò che per una data
trasformazione delle coordinate spazio-tempo, le equazioni di Maxwell
risultavano invarianti. Trasformazione di Lorentz. Questo risultato è
valido anche per velocità molto elevate. Questo risultato sorprendente
dipende dal fatto che la forza magnetica su di una carica in moto con
v « c è così piccola rispetto alla forza elettrica, che uno deve introdurre
effetti dell’ordine di v/c per tenerne conto. Questo è anche il motivo per
cui nella legge di Ampère-Maxwell compare c.
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La trasformazione di Lorentz ha le seguenti caratteristiche:
1. la trasformazione è una funzione lineare di x e t
2. la trasformazione non varia le coordinate y e z
3. la trasformazione non influisce sulla velocità di un’onda di luce
4. facendo una seconda trasformazione con velocità v nella direzione
delle x negative, si ritorna alle coordinate spazio-tempo di partenza
5. la trasformazione si riduce a quella Galileiana per v « c
 xv 
t' = γ  t − 2 
 c 
x' = γ (x − vt )
y' = y
z' = z
γ =
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Trasformazione di Lorentz
1
v2
1− 2
c
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Per v « c, γ ? 1 e si ha la trasformazione Galileiana. La trasformazione
inversa (da S’ ad S) vale
 x' v 
t = γ  t '+ 2 
c 

Trasformazione inversa
x = γ ( x'+vt ')
y = y'
z = z'
Esempio: dimostrare che facendo una trsformazione di Lorentz con v
positiva in direzione x e poi una seconda trasformazione con v negativa,
si ottengono le coordinate spazio-temporali di partenza
La prima trasformazione ci dà (y e z restano invariati)
 xv 
t' = γ  t − 2 
 c 
x' = γ (x − vt )
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Siano ora t”, x”, y” e z” le coordinate ottenute dalla 2^ trasformazione,
in dettaglio abbiamo
2
2
2 2
2


x
'
v
γ
xv
γ
xv
γ
tv
v


2
2

t" = γ  t '+ 2  = γ t − 2 + 2 − 2 = γ 1 − 2 t = t
c 
c
c
c

 c 
2
2
2


γ
xv
v
2
2
2
2
x" = γvt '+γx' = γ vt − 2 + γ x − γ vt = γ 1 − 2  x = x
c
 c 
c.v.d.
L’equazione dell’onda elettromagnetica
∂2F ∂2F ∂2F
1 ∂2F
+
+ 2 = 2
∂x 2
∂y 2
∂z
c ∂t 2
Trasformiamo l’onda secondo la trasformazione Galileiana
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Per le derivate spaziali abbiamo
∂F ∂F ∂x' ∂F ∂t ' ∂F
=
+
=
e
∂x ∂x' ∂x ∂t ' ∂x ∂x'
∂2F ∂2F ∂2F ∂2F ∂2F ∂2F
=
=
= 2
2
2
2
2
2
∂x
∂x' ∂y
∂y ' ∂z
∂z '
Per le derivate temporali abbiamo
∂F ∂F ∂t ' ∂F ∂x' ∂F ∂F
-v
=
+
=
∂t
∂t ' ∂t ∂x' ∂t ∂t ' ∂x'
2
∂2F  ∂
∂  ∂F ∂F  ∂ 2 F
∂2F
2 ∂ F
-v
=  -v 
− 2v
= 2 +v
2
2
∂t
∂x'
∂x' ∂t '
 ∂t ' ∂x'  ∂t ' ∂x'  ∂t '
Allora in S’ l’equazione dell’onda diviene
2
∂2F ∂2F ∂2F 1  ∂2F
∂2F 
2 ∂ F

+ 2 + 2 = 2  2 + v
− 2v
2
2
∂x'
∂y '
∂z '
c  ∂t '
∂x'
∂t ' ∂x' 
L’espressione dell’onda è cambiata, rimane invariata per v ? 0
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Se invece applichiamo una trasformazione di Lorentz, abbiamo
∂F ∂F ∂x' ∂F ∂t '
=
+
=γ
∂x ∂x' ∂x ∂t ' ∂x
∂F ∂F ∂t ' ∂F ∂x'
=
+
=γ
∂t
∂t ' ∂t ∂x' ∂t
∂F γv ∂F
− 2
∂x' c ∂t '
∂F
∂F
− γv
∂t '
∂x'
Derivando ulteriormente si ottiene (le derivate y e z sono uguali al caso
precedente)
2
2 2
2
2
2
2
∂ F
γ v ∂ F 2γ v ∂ F
2 ∂ F
=
γ
+
− 2
2
4
2
2
∂x
∂x'
c ∂t '
c ∂x' ∂t '
1 ∂ 2 F γ 2 ∂ 2 F γ 2 v 2 ∂ 2 F 2γ 2 v ∂ 2 F
= 2
+ 2
− 2
c 2 ∂t 2
c ∂t '2
c ∂x'2
c ∂x' ∂t '
Procedendo abbiamo
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 2 γ 2v 2  ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F  2 γ 2v 2  1 ∂ 2 F
 γ − 2  2 + 2 + 2 =  γ − 2  2
c  ∂x'
c  c ∂t '2
∂y '
∂z '


∂2F ∂2F ∂2F 1 ∂2F
+
+
=
∂x'2 ∂y '2 ∂z '2 c 2 ∂t '2
Infatti
 2 γ 2v 2 
v2 
2
 γ − 2  = γ 1 − 2  = 1
c 

 c 
La trasformazione di Lorentz mantiene invariata l’equazione
dell’onda elettromagnetica!!!
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