Il caos deterministico
Il cavolo romano
(er broccolo romanesco)
Roberto Capone
I Sistemi caotici come modelli creativi
“Vedere un mondo in un grano di
sabbia e un universo in un fiore
di campo, possedere l’infinito sul
palmo della mano e l’eternità in
un’ora” (W. Blake)
"Il più bello dei mondi è un mucchio di
rifiuti gettato dal caso"
(Teofrasto, metafisico,III sec a.c.)
“… questo grandissimo libro
della natura che
continuamente ci sta aperto
innanzi agli occhi (io dico
l’universo) non si può
intendere se prima non si
impara a intender la lingua e
conoscere i caratteri ne’ quali
è scritto. Egli è scritto in
lingua matematica e i caratteri
son triangoli, cerchi ed altre
figure geometriche, senza i
quali mezzi è impossibile a
intendere umanamente
parola: questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro
laberinto” (G. Galilei)
Introduzione
“Il mondo si può guardare con gli occhi di un poeta,
contornandolo di una velata malinconia o di una stravaganza
frenetica; si può, con l’immaginazione, varcare i confini del
reale, perdersi nella molteplicità dei mille colori di un bosco,
credere che un bacio sia un miracolo divino…
Quando uno scienziato si guarda intorno, invece,, cammina
sotto la pioggia e pensa all’angolo che essa forma con
l’orizzontale, pensa alle parole come alla propagazione nel
vuoto del suono, al sesso come a un processo iterativo di
input e output…
Oggi, con la sensibilità del poeta, il matematico si perde nella
complessità dei mille colori della storia assaporando il gusto
di nuove conoscenze, percorrendo sentieri inesplorati e si
abbandona a inusitate follie”.(R.Capone)
 Pierre-Simon
de Laplace disse:
”…Un’intelligenza che , per un istante
dato, conoscesse tutte le forze da cui la
natura è animata … abbraccerebbe nella
stessa formula i moti dei corpi più grandi
dell’universo e quelli dell’atomo più
leggero: per essa non ci sarebbe nulla
d’incerto e il futuro come il passato
sarebbe presente ai suoi occhi…” (1825)
Dall’antica Grecia
(VI sec. a.C.)  
 Democrito e Leucippo
In tutto c’è parte di tutto
 Anassimandro
 Epicuro
 Eraclito
Attraverso i secoli
• Lucrezio
Data aequatione quotcunque fluentes quantitae
• Newton involvente fluxiones invenire et vice versa
• Leibnitz
Ai giorni nostri
 Laplace
(XVIII secolo)
 Brown (1753 - 1858)
 Einstein (1879 - 1955)
 Heisenberg (1927)
 Gauss (1777 – 1855)
 Poincarè (1854 – 1912)
Il Moto Browniano
Già Robert Brown (botanico scozzese) nel lontano
1827, servendosi di un comune microscopio
analizzando il comportamento dei granelli di
polline immersi in acqua, scoprì che essi si
muovono in modo costante , casuale e turbolento,
senza relazione con correnti presenti nell’acqua
Stato “molecola attiva”
Gay-Lussac “I gas reagiscono l’uno contro
l’altro secondo proporzioni definite per volume”
 A. Avogadro “a TPS tutti i gas contengono uno stesso
numero di particelle in un dato volume”
 1858
S. Cannizzaro riconobbe valida l’ipotesi di
Avogadro
 1865
J. Lodschmidt stimò il diametro delle
molecole di gas e riuscì a calcolare il numero di
molecole in un dato volume di gas a TPS
 1827
 Seconda
metà dell’800 Maxwell e
Boltzmann
“I gas sono composti da molecole in
collisione. Purtroppo il loro moto non è
governato dalle leggi della meccanica
newtoniana ma se ne puo’ solo
determinare il comportamento medio”
Ogni corpo è costituito da molecole; esse non sono
ferme ma oscillano continuamente
La velocità media delle molecole dipende dalla
temperatura
Nei solidi e nei liquidi le molecole sono più legate tra
loro, oscillano minor ampiezza e non si spostano
sensibilmente
Nei gas le molecole sono più libere e possono anche
diffondere
Einstein e il moto browniano
Albert Einstein (1905 - Über die von der molekularkinetishchen
Theorie der Warme gefordete Bewegung von in ruhenden
Flussigkeiten suspendierten Teilchen
 Il
polline - afferma Einstein - si muove perché
incessantemente colpito, in modo casuale ed
imprevedibile, dalle molecole d'acqua che lo
circondano e che sono in continuo movimento per
agitazione termica
 Einstein dimostrò che la distanza media percorsa
dalla particella aumentava in ragione della radice
quadrata del tempo trascorso, in modo, trascorso un
tempo sufficiente, da ritrovarla in un punto molto
distante da quello originario
 Ma
perché Einstein disse "radice quadrata"?
 Essa rappresenta una caratteristica del tutto peculiare
e originale della previsione di Einstein.
 Infatti essa prevede che in quattro secondi la
particella non si sposterà quattro volte più distante di
quanto si sposti in un secondo, ma solo due.
 In particolare, Einstein previde che a temperatura
ambiente una particella si sposti a distanza pari ad un
decimillesimo di centimetro al secondo
Interpreta il fenomeno in termini di urti con le
molecole del liquido, dando una svolta decisiva ai
futuri sviluppi della teoria del rumore e delle
fluttuazioni, ma sopratutto alle nascenti teorie
atomiche.
 Facevano acqua da tutte le parti i modelli di:
 Thomson (modello a panettone)
 Rutherford (modello planetario)
 In questo fervido contesto culturale si individuano
anche le figure di due matematici italiani: Gregorio
Ricci Curbastro (1853-1925) e Tullio Levi-Civita
(1873-1941)

Interactive physic
M=50
N=100 E=465J
N=400 E=1630J
N=1600 E=6720J
M=100
N=100 E=449J
N=400 E=1655J
N=1600 E=6496J
Dimostrazione matematica
 una
particella di massa M immersa in un
fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una
temperatura T.
 Questa particella sarà soggetta ad un attrito
viscoso , dove λ è il coefficiente di attrito
viscoso e è la velocità della particella
stessa, e dalla forza risultante dagli urti con
le molecole che compongono il fluido.
Riguardo a questa forza aleatoria possiamo
fare le seguenti ipotesi:
Dimostrazione matematica 2
Dimostrazione matematica 3
 Macroscopicamente
una particella soggetta ad un
moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo δt,
uno spostamento distribuito come una gaussiana con
media nulla e varianza 2Dt. Un metodo per studiare
questo moto è quello di studiare come evolve la
densità di probabilità di trovare la particella nella
posizione ad un tempo t + δt.
 Questa può essere riscritta come la probabilità che la
particella si trovasse in r ad un tempo t, moltiplicata
per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di
tempo δt, la particella si sia spostata da r a r+dr
integrata su tutti gli r :
 dove
la probabilità condizionata, per quanto visto
sopra, può essere scritta come:
Ho sfruttato lo sviluppo in serie di Taylor perché per dt
piccoli anche dr saranno piccoli ottenendo la ben nota
equazione di diffusione
 Si
racconta che Heisenberg, uno dei padri della Fisica
quantistica e premio Nobel per la Fisica nel 1932, pochi
minuti prima di morire abbia detto: “…quando
nell'aldilà avrò l'opportunità di interrogare il Creatore,
gli voglio chiedere due cose: perché la relatività e
perché la turbolenza. Almeno sulla prima spero di
ottenere una risposta…".
 Non
è possibile sapere dove si trova una particella e
seguirla nella sua traiettoria (non esiste più alcuna
traiettoria); né si può sperare di trovarla in un
determinato punto (la probabilità è zero). Ci si deve
accontentare della probabilità di avere la particella in
un certo volume dello spazio.
 Wolfgang Ernst Pauli (1900 – 1958)
 Niels Henrik David Bohr (1885 – 1962)
 Le
conseguenze del principio di indeterminazione di
Heisenberg sono devastanti. Si può finalmente dire
addio alle insoddisfacenti orbite planetarie di
Rutherford, perché il concetto stesso di orbita non ha
più senso. Infatti, ciò che rende unica una traiettoria,
che si trova risolvendo le equazioni di Newton, è la
conoscenza simultanea di posizione e velocità iniziali
di una particella. Ma è proprio ciò che in meccanica
quantistica non si può avere!
È
Born ad accorgersi che l'algebra soggiacente al
modello di Heisenberg non è commutativa: ab non è
uguale a ba. Ciò vuol dire che a e b non possono
essere numeri, ma devono essere quelle tabelle di
numeri che i matematici chiamano matrici. I fisici
non sono abituati a questo formalismo, ma non
possono negare il successo della quantenmechanik.
…ogni individuo, anche il più chiuso
nella vita più banale, costituisce in
sé stesso un cosmo.
Porta in sé le sue molteplicità
interiori, le sue personalità virtuali,
un’infinità di personaggi chimerici,
una molteplice esistenza nel reale e
nell’immaginario, nel sonno e nella
veglia, nell’obbedienza e nella
trasgressione, nell’ostentato e nel
segreto;
porta in sé brulichii larvali nelle
proprie caverne e nei propri abissi
insondabili. Ognuno contiene in se
galassie di sogni e di fantasmi,
slanci inappagati di desideri e
amori, abissi di infelicità, immensità
di glaciale indifferenza,
conflagrazioni di astri in fiamme,
irruzioni di odio, smarrimenti
stupidi, lampi di lucidità e dementi
burrasche …
E. Morin