L’articolo di Heisenberg del
29 luglio 1925
“Sull’interpretazione
quantoteorica delle relazioni
cinematiche e meccaniche”
1925
1926
L’articolo di Heisenberg del
29 luglio 1925
“Sull’interpretazione
quantoteorica delle relazioni
cinematiche e meccaniche”
Heisenberg ca. 1955
Helgoland 1925
Nella notte fra il 15 e il 16 giugno 1925 Werner Heisenberg, che per curare una febbre da fieno si trovava
sull’isola di Helgoland nel mare del nord, compì un passo cruciale sulla via della formulazione della
meccanica quantistica. Quarant’anni dopo, in una lettera a B. L. van der Waerden, ricorda così l’avvenimento.
“In Helgoland war ein Augenblick, in dem es mir wie eine Erleuchtung kam, als ich sah, dass die Energie
zeitlich konstant war. Es war ziemlich spaet in der Nacht. Ich rechnete es muehsam aus, und es stimmte. Da
bin ich auf einen Felsen gestiegen und habe den Sonnenaufgang gesehen und war glucklich.”
“In Helgoland ci fu un momento in cui mi venne come una illuminazione, quando vidi che l’energia era
costante nel tempo. Era piuttosto tardi di notte. Eseguii i calcoli piuttosto complicati e tutto tornava. Quindi
salii su uno scoglio e vidi il sorgere del sole; ed ero felice.”
Nel giugno 2000 fu eretta una stele
vicino allo scoglio scalato da
Heisenberg. Questo fu distrutto
durante gli eventi bellici della
seconda guerra mondiale.
Helgoland 1925
La storia è raccontata qui con maggiori dettagli (“Fisica ed oltre”, cap. 5)
Da una lettera di
Heisenberg a Pauli
Göttingen, 9 luglio, 1925
“…Sono realmente convinto che una interpretazione della formula di Rydberg in termini di orbite circolari
ed ellettiche in geometria classica non abbia il minimo significato fisico e tutte le mie povere idee mirano
a smantellare completamente il concetto di orbite, che sono inosservabili, e rimpiazzarlo in maniera
adeguata. Perciò oso spedirti il manoscritto del mio lavoro poichè penso che almeno nella parte critica,
cioè nella parte negativa, contenga relmente della fisica. Ho un grande rimorso poichè ti debbo chiedere
di rispedirmi il lavoro entro due o tre giorni. Infatti negli ultimi giorni del mio soggiorno qui, è mia
intenzione di finirlo o bruciarlo. La mia opinione riguardo alla presentazione, della quale non sono molto
soddisfatto, è che sono profondamente convinto riguardo alla parte critica, ma che considero la parte
positiva piuttosto formale e magra; ma forse persone più capaci potranno trarne qualcosa di ragionevole.
Quindi, per favore leggi principalmente l’introduzione…”
Collaborazione con Born e Jordan
Max Born (1882-1970) premio
Nobel 1954
Pascual Jordan (1902-1980)
Abstract dell’articolo “Sulla meccanica quantistica”
di Born e Jordan, 27 settembre 1925
Quarta sezione di Jordan sulla
quantizzazione ce campo e.m.
“Dreimännerarbeit” del 16 Novembre 1925
Paul A.M. Dirac
(1902 - 1984)
Premio Nobel 1933
Alla fine dell’articolo c’è una nota aggiunta in bozze dove si
legge: in un lavoro di P. Dirac, che è stato pubblicato nel
frattempo e indipendentamente dal nostro, sono presentate
alcune delle leggi derivate nella prima parte e nel presente
aricolo ed ulteriori conclusioni derivate dalla teoria.
L’energia contenuta nel piccolo volume v fra n e n+ dn è, sperimentalmente:
Denotando con Es l’s-esimo grado di libertà, abbiamo:
Possiamo allora applicare il principio di Boltzmann al piccolo volume v
La fluttuazione quadratica media è data dalla media del quadrato
della differenza tra l’energia effettivamente posseduta e la sua
media:
Non essendoci correlazione fra i vari gradi di libertà si ottiene :
con:
Se <E> è data come funzione di T , si ottiene facilmente la seguente espressione
per la fluttuazione quadratica media:
Se per <E> utilizziamo la formula di Planck:
otteniamo la formula notevole:
dove il primo termine si otterrebbe dalla formula di Wien:
ed il secondo termine dalla formula di Rayleigh – Jeans:
Dal taccuino di Einstein, Zurigo 1912 -1913
raddopia l’intensità
Zur Einsteinschen Gastheorie
Physikalische Zeitschrift, 27, (1926), 95-101
Sulla teoria del gas di Einstein
La statistica quantistica e le onde di materia; edited by P. Bernardini,
Napoli: Bibliopolis. 1986.
“Das heisst nichts anderes als Ernst machen mit der de BroglieEinsteinschen Undulationstheorie der bewegten Korpuskel, nach welcher
dieselbe nichts weiter als eine Art 'Schaumkamm' auf einer den Weltgrund
bildenden Wellenstrahlung ist".
“Ciò non significa altro che prendere sul serio la teoria ondulatoria di del
corpuscolo in movimento proposta da de Broglie ed Einstein, in accordo con
la quale quest’ultimo non è nulla più che una sorta di cresta di schiuma sulla
radiazione ondosa che forma il substrato dell’Universo”
Dazu führt folgender einfacher Gedanke:
die Einsteinsche Gastheorie wird
erhalten, indem man auf die
Gasmoleküle die Form der Statistik
anwendet, die, auf die "Lichtatome"
angewendet, zum Planckschen
Strahlungsgesetz führt. Aber man kann
das Plancksche Strahlungsgesetz auch
durch "natürliche" Statistik gewinnen,
indem man sie auf die sog.
"Aetherresonatoren", d.i. auf die
Freiheitsgrade der Strahlung anwendet.
Die Lichtatome treten dann nur als die
Energiestufen der Aetherresonatoren
auf. . . . Man muss also einfach das Bild
des Gases nach demjenigen Bilde der
Hohlraumstrahlung formen, das noch
nicht der extremen
Lichtquantenvorstellung entspricht; dann
wird die natürliche Statistik. . . zur
Einsteinschen Gastheorie führen'
A questo nuovo approccio conduce la
seguente semplice idea: la teoria del gas
di Einstein si ottiene applicando alle
molecole del gas quella forma di
statistica che conduce alla legge della
radiazione di Planck qualora venga
applicata agli “atomi di luce” [come ha
fatto Bose]. Tuttavia si può ottenere la
legge della radiazione di Planck usando
la statistica “naturale” se uno la applica
ai cosiddetti “oscillatori eterei”, cioè ai
gradi di libertà della radiazione. Gli atomi
di luce appaiono allora solo come i livelli
di energia degli “oscillatori eterei”…Ci si
deve quindi semplicemente formare una
raffigurazione del gas come le
raffigurazione della radiazione di cavità
che non corrisponda alla
rappresentazione estrema dei quanti di
luce; la statistica naturale condurrà
quindi alla statistica del gas di Einstein.
P. Debye, in un articolo del 1910,
'Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Theorie der Strahlung',
Annln Phys. 33 (1910), 1427 -1434
Aveva ricavato la formula di Planck considerando la cavità popolata di “oscillatori di
radiazione“ in equilibrio termico.
La densità spettrale di energia era data dalla solita formula:
dove e è l‘energia di equilibrio di un oscillatore etereo a frequenza n.
Ogni oscillatore poteva avere solo energie nhn con n=1,2,3,…
Se all‘equilibrio l‘n-esimo livello energetico viene pesato dal suo fattore di Boltzmann,
allora si ha:
N.B.
•
•
cioè la distribuzione di Planck.
Planck aveva quantizzato gli oscillatori materiali, mentre Debye quantizzava gli oscillatori
di radiazione.
nhn è l‘energia corrispondente all‘n-esimo stato del singolo oscillatore etereo non ad uno
stato di n particelle ciascuna con energia hn
Schroedinger cerca di evitare l‘uso della statistica di Bose Einstein trattando il gas di molecole
secondo il metodo di Debye. Ciò equivale a considerare come punto di partenza un
modello di gas visto come un fenomeno ondoso al quale applicare la quantizzazione
secondo Debye.
Schrödinger mira a determinare lo spettro energetico discreto per un
sistema di N atomi in un volume V.
Wir berechnen es in engem Anschluss
an L. de Broglie aus der Vorstellung,
dass mit der Geschwindigkeit v = bc
bewegtes Molekül von der Ruhmasse m
nichts weiter ist als ein "Signal", man
konnte sagen "der Schaumkamm", eines
Wellensystems, dessen Frequenz n in
der Nachbarschaft von
“ Noi lo calcoliamo in stretto accordo con L.
de Broglie, partendo dall’idea che una
molecola di massa a riposo m, che si
muove con velocità v=bc, non costituisca
che un “segnale” - si potrebbe dire una
cresta schiumosa - di un sistema ondoso, la
cui frequenza n giaccia nelle vicinanze di
liegt und für dessen
Phasengeschwindigkeit u ein
Dispersionsgesetz gilt, das durch
vorstehende Gleichung, in Verbindung
mit
E la cui velocità di fase u sia determinata da
una legge di dispersione data dalla
precedente equazione e dalla relazione
gegeben wird (v spielt dann die Rolle der
Signalgeschwindigkeit, wie man leicht
nachrechnet und de Broglie gezeigt hat).
(v gioca il ruolo di velocità del segnale,
come si può facilmente calcolare e come ha
mostrato de Broglie).
Ora ci dobbiamo occupare di contare il
numero delle vibrazioni proprie di un
volume V per un fenomeno ondoso che
segue questa legge di dispersione.”
Ora ci dobbiamo occupare di contare il numero delle vibrazioni proprie di un
volume V per un fenomeno ondoso che segue questa legge di dispersione.”
Quindi il gas non è più un aggregato di particelle, ma è costituito da un “campo
ondoso” complessivo (onde di fase) confinato entro il volume V che segue una
legge di dispersione dedotta dalla teoria de de Broglie.
A questo punto Schrödinger procede a contare gli stati come Rayleigh o Debye
(teoria dei calori specifici) dove determina lo spettro energetico trovando le
vibrazioni proprie delle onde elastiche esistenti nel corpo.
Detto s il numero delle vibrazioni proprie fra 0 e n, trova:
Con ciò risulta determinata l’energia della s-esima vibrazione propria:
Quanto di momento lineare che non
dipende dalla natura del gas
Esiste un caso limite particolarmente interessante, quello di piccoli b:
che risulta in perfetto accordo con l’articolo di Einstein sulla statistica dei gas:
“Quantentheorie des einatomiger idealen Gases”
Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. 1925 pag. 261-267
(vedi )
L’altro caso limite interessante è quello di b prossimo a 1:
Si trova:
Che è il classico risultato per la radiazione.
La differenza nella dipendenza funzionale dei valori per l’energia in funzione
del numero di vibrazioni proprie è giustificata da Schrödinger mediante la legge
di dispersione delle onde di fase.
A questo punto si pone il problema di costruire le particelle, come oggetti
localizzati, a partire dalle onde (analisi di Fourier, pacchetti, dispersione del
pacchetto etc.)
Applicazione delle idee di Bose al gas di molecole
quantistico 1924 - 1925
A. Einstein, “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases“
Berliner Berichte 1924, 261-267 (20 sett. 1924)
eine gegenseitige Beeinflussung
der Moleküle von vorläufig ganz
rätselhafter Art
Una mutua interazione delle molecole
la cui natura è al presente misteriosa.
Enrico Fermi Molecole e cristalli 1934
Chiariremo i diversi modi di contare gli stati nelle tre statistiche di Bose Einstein, Fermi
e Boltzmann su un semplicissimo esempio numerico. Supponiamo che il sistema sia
costituito da due molecole eguali e che per ciascuna di esse si abbiano tre stati quantici
traslatori rappresentati dalle tre cellette negli schemi della figura 47. I numeri N1 N2 N3
la cui somma deve essere 2, possono prendere le 6 terne di valori
(2,0,0) (0,2,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)
Le realizzazioni di questi stati sono rappresentate nella fig. 47.
Nello schema corrispondente alla statistica
di Boltzmann le due molecole sono state
indicate con due lettere diverse a e b,
perchè quando le due molecole sono in due
celle diverse, si hanno due stati diversi
secondo che esse sono nell'ordine ab o
nell' ordine ba. Invece nelle nuove
statistiche in cui si tiene conto della
assoluta equivalenza delle due molecole
esse sono state indicate entrambe con lo
stesso simbolo a.
A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitzb. Preuss.
Akad. Wiss., (1925), 3-14.Ricevuto 8 gennaio
Quando Einstein nel 1924-25 applica le idee di Bose al gas di molecole
quantistico, affronta l’argomento ricorrendo ancora una volta alla teoria
delle fluttuazioni:
Per la fluttuazione quadratica media dell’energia dei fotoni vale:
che ponendo:
si scrive nella forma suggestiva:
Einstein mostrò che questa formula descrive anche le fluttuazioni del gas di
molecole quantistico, pur di ridefinire nella maniera naturale l’energia
cinetica E ed il momento p delle molecole:
Ricordiamo il lavoro del 1909 sulle fluttuazioni della radiazione
di cavità.
Einstein riconobbe allora nel secondo termine
dell’espressione:
il contributo del familiare comportamento ondoso, e nel primo
termine il contributo dell’inusuale e nuovo comportamento
particellare,
Si deve osservare, nel lavoro del 1925, il singolare scambio di
ruolo dei due termini di cui è costituita la fluttuazione.
Infatti nella espressione corrispondente per la fluttuazione
quadratica media nel caso del gas molecolare quantistico:
è il secondo termine, di natura ondosa, ad essere nuovo ed
inusuale, mentre il primo termine, che corrisponde al caso
della statistica di Poisson, risulta essere quello familiare.
In forza di questa analogia Einstein fu portato ad
“interpretare il secondo termine associando alle
molecole del gas un fenomeno radiativo”,
ed aggiunse:
“Intendo approfondire questa interpretazione
poiché penso che qui abbiamo a che fare con
qualcosa di più di una semplice analogia”.
A. Einstein, “Quantentheorie des einatomige idealen Gases“
Berliner Berichte 1925, 3-14 (9 febb.1925)
ricevuto 8 genn.
ich glaube, dass es sich dabei um mehr
als um eine blosse Analogie handelt. Wie
einem materiellen Teilchen bzw. einem
System von materiellen Teilchen ein
(skalares) Wellenfeld zugeordnet werden
kann, hat Hr. L. de Broglie in einer sehr
beachtenswerten Schrift dargetan.
Io penso che questa sia più di una
semplice analogia. de Broglie ha
mostrato in un lavoro molto importante
come un campo d’onda (scalare) possa
essere coordinato con una particella
materiale o un sistema di particelle
materiali
E. Schroedinger, “Zur Einsteinschen Gastheorie”
Physikalische Zeitschrift, 27, (1926), 95-101
Ciò non significa altro che prendere sul serio la teoria ondulatoria di del corpuscolo
in movimento proposta da de Broglie ed Einstein, in accordo con la quale
quest’ultimo non è nulla più che una sorta di cresta di schiuma sulla radiazione
ondosa che forma il substrato dell’Universo.
de Broglie 1923
L’osservatore stazionario attribuisce alla particella in
moto l’energia:
Dimostrò quindi che se all’inizio il fenomeno periodico
interno alla particella si trova in fase con l’”onde fictive”
“l’armonia di fase persisterà per sempre”.
Infatti la particella che al tempo t=0 coincideva con
l’onda nell’origine, al tempo t=t si troverà nella posizione
x=vt. Il fenomeno periodico interno sarà caratterizzato
dalla funzione:
e quindi le associa la frequenza:
Mentre l’”onde “fictive” associata alla particella in quella
posizione è data da:
de Broglie considerò una particella di massa m0 in
moto con velocità v = b c rispetto ad un
osservatore stazionario e considerò che la particella
fosse la sede di un fenomeno periodico di frequenza
n0 pari a:
Considerando la frequenza del fenomeno periodico
interno, a causa della dilatazione relativistica del
tempo, l’osservatore osserverà però una frequenza più
bassa:
Fu questa discrepanza tra n e n1 ad attrarre
l’attenzione di de Broglie e a determinare il
successivo corso dei suoi pensieri.
de Broglie introdusse “une onde fictive associée au
mouvement du mobile” che si muove con velocità
c/b e la frequenza n precedentemente definita.
Ma essendo:
la fase del fenomeno periodico interno è la stessa di
quella dell’onda fittizia.
“Questo risultato suggerisce che ogni particella in moto
può essere accompagnata da un’onda e che sia
impossibile disgiungere il moto della particella dalla
propagazione dell’onda.”
Applichiamo quest’idea al moto di un elettrone lungo
una traiettoria chiusa percorsa con periodo T.
Ricordando che l’onda associata all’elettrone viaggia
alla velocità v = c/b, se al tempo t = 0 l’elettrone si
trova all’origine O della traiettoria, l’onda partita da O
raggiungerà l’elettrone, precedendolo lungo la
traiettoria e “doppiandolo”, al tempo t nel punto O’
tale che:
c/b t = b c (
t+T)
percorso dell’onda
percorso della particella
+ un circuito completo
dell’orbita
Quindi la fase del fenomeno periodico interno è
cambiata di
de Broglie ritiene evidente che il moto sarà stabile
solo se l’onda fittizia ritroverà in O’ l’elettrone in fase
con se stessa.
Ne segue che D = n. Ma questa è la condizione di
Bohr-Sommerfeld
In seguito de Broglie dimostra che la velocità
Della particella v = b c non è altro che la velocità di
gruppo delle onde di fase:
de Broglie adotta inoltre, quale postulato, che in
condizioni classiche la particella seguirà una
traiettoria normale alle superfici di ugual fase della
sua onda di fase (ottica geometrica)
In condizioni non classiche, se cioè la particella deve
passare attraverso aperture o fenditure di dimensioni
paragonabili alla lunghezza d’onda della sua onda di
fase, ci si debbono però attendere fenomeni analoghi
a quelli dell’ottica ondulatoria, come interferenza o
diffrazione.
Il 16 novembre 1925 Schrödinger scrisse una lunga lettera al suo amico
Alfred Landé riguardante il recente tentativo di Landé di ricondurre la
interdipendenza statistica implicata dalla statistica di Einstein - Bose a un
fenomeno di sovrapposizione:
Mi fa molto piacere sentire che il tuo lavoro intende essere un “ritorno alla
teoria delle onde”. Anch’io inclino molto a fare così. Recentemente sono stato
profondamente coinvolto nello studio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie.
E’ estremamente stimolante ma ciononostante alcune parti di essa sono molto
dure da digerire. Ho tentato vanamente di farmi una raffigurazuione dell’onda
di fase di un elettrone in un’orbita ellittica. I “raggi” approssimano quasi
certamente delle ellissi kepleriane di uguale energia. Ciò tuttavia fornisce
come fronti d’onda orribili “caustiche” o simili. Nello stesso tempo, la
lunghezza dell’onda dovrebbe essere uguale ad un ciclo di Zeeman o di Stark!
Man erreicht dies nun nach Debye und v.
Laue dadurch, dass man in der einen
ebenen Wellenfunction, von welcher man
ausging, nicht nur die Frequenz, sondern
auch die Wellennormale über einen
kleinen Bereich, einen kleinen
Raumwinkel dw variieren lässt und ein
Kontinuum infinitesimaler
Wellenfunctionen innerhalb dieses
Frequenz und Wellennormalen-bereiches
zusammenintegriert. […]
Secondo Debye e v. Laue, si ottiene
questo cominciando con un’onda piana e
lasciando variare non solo la frequenza,
ma anche la normale all’onda quest’ultima in un piccolo angolo solido
dw, ed integrando insieme un continuo di
funzioni d’onda infinitesimali in questa
regione di frequenza e di normali all’onda.
[…]
Ist nach den klassischen Wellengesetzen
natürlich nicht zu erreichen, dass das so
erzeugte "Modell eines Lichtquants" . .
.auch dauernd beisammen bleibt.
Vielmehr zerstreut es sich . . . auf immer
grössere Raume…
Una tale costruzione non assicura, in
accordo con le leggi classiche delle onde,
che il “modello di un quanto di luce” così
prodotto . . . rimanga anche insieme in
maniera duratura. Piuttosto si disperde in
regioni sempre più grandi. . . "