Dinamica dei fluidi
LEZIONI DI CONTROLLO E SICUREZZA
DEI PROCESSI IN AMBITO FARMACEUTICO
PROF.SSA ING. MAURIZIA SEGGIANI
[email protected]
tel: 050 2217881
DENSITÀ
I fluidi sono sostanze capaci di scorrere o fluire. Quindi sia i liquidi che i gas, avendo la capacità di
fluire sono considerati fluidi. Nei liquidi si conserva il volume ma non la forma. Nei gas non si
conserva nè la forma nè il volume. La massa volumica (o densità) di un liquido o un gas è un
fattore che ne determina il comportamento come fluido. La densità di una sostanza, r, è data dal
rapporto tra la massa e il volume della sostanza stessa. Essa è espressa nel SI in kg/m3.
La densità è una proprietà intensiva, il cui valore cioè non è proporzionale alla massa della sostanza.
La densità dei solidi e dei liquidi è essenzialmente indipendente dalla pressione e varia debolmente
con la temperatura.
Per lo stato aeriforme la densità mostra una forte dipendenza sia dalla pressione che dalla
temperatura.
Portata massiva e volumetrica
VISCOSITÀ
La viscosità dinamica μ è una proprietà che quantifica la
resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del
fluido.
Dipende dal tipo di fluido, dalla temperatura e pressione:
 La viscosità dipende dalla forma e grandezza delle molecole e
dall’entità delle interazioni tra di esse;
 Nei liquidi la viscosità decresce all'aumentare della temperatura,
nei gas invece cresce, considerando il volume invariato;
 Nei gas la viscosità è molto minore che nei liquidi;
 La viscosità dei gas aumenta con la pressione, mentre quella dei
liquidi ne è quasi indipendente.
Si definisce inoltre la fluidità la grandezza reciproca della
viscosità.
VISCOSITÀ (definizione)
Dal punto di vista quantitativo il significato della
viscosità può essere spiegato considerando questo
esperimento:
si ponga un fluido fra due lastre parallele ciascuna di
area A (m2) distanti h (m); la piastra superiore viene
sottoposta ad una forza tangenziale F (N) ottenuta
mediante un peso. La lastra superiore si muoverà
verso destra con una certa velocità v (m/s) rispetto
alla lastra inferiore mantenuta ferma.
Lo sforzo di taglio T esercitato sulla lastra cioè la forza
per unità di superficie della lastra, F/A (N/m2), risulta
proporzionale alla velocità v di questa ed
inversamente proporzionale alla distanza h tra le due
lastre:
VISCOSITÀ (definizione)
Il coefficiente di proporzionalità è la viscosità dinamica μ. Così, si
ha:
L’equazione (2) può essere generalizzata a due strati adiacenti di fluido
separati da una distanza dy, entrambi in movimento nella direzione x.
Se la differenza di velocità tra i due strati è dv, l’equazione (2) diventa:
L’equazione (3) viene talvolta detta legge di Newton della viscosità.
Il termine dv/dy è detto velocità di deformazione tangenziale, o anche
gradiente di velocità.
VISCOSITÀ (unità di misura)

In base alla sua definizione matematica, la viscosità è dimensionalmente
espressa da uno sforzo di taglio T, espresso nel SI in N/m2 e la velocità di
deformazione tangenziale in s-1, l’unità di misura della viscosità nel SI
diventa:

Nel sistema cgs l’unità di misura è invece g/cm s ed è chiamata Poise (P) da
Jean Louis Marie Poiseuille.
Dunque:

La viscosità dell’acqua a temperatura ambiente é di circa 0,01 P, ovvero 1
centipoise, che si scrive 1 cP.
Il rapporto tra viscosità dinamica di un fluido e la sua densità è detto viscosità
cinematica e si indica con n:
nel SI
nel sistema cgs è cm2/s e viene detta stokes, St.
VISCOSITÀ
REOLOGIA
In generale, quanto maggiore é lo sforzo di taglio
applicato, tanto maggiore è la velocità di scorrimento
della lastra.
La reologia studia il legame esistente tra lo sforzo di
taglio applicato e il gradiente di velocità prodotto.
La reologia è la scienza che studia gli equilibri raggiunti nella materia deformata
per effetto di sollecitazioni
Vi sono diversi materiali coinvolti in studi reologici:
farmaceutici, alimentari, materie plastiche, gomme, ceramiche etc….
Tutti questi materiali non sono completamente omogenei, ma mostrano un
comportamento irregolare che, se non completamente analizzato, può portare,
durante il processo di lavorazione, a comportamenti inaspettati.
REOLOGIA
Per mezzo della reologia è possibile differenziare il comportamento dei fluidi in
diverse categorie.
Fluidi newtoniani
Quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente
di velocità é una costante, il fluido viene detto
newtoniano. I gas, l’acqua, soluzioni acquose diluite
sono fluidi newtoniani.
Questo comportamento può essere espresso attraverso
la relazione:
dove T é lo sforzo di taglio, dv/dy é il gradiente di
velocità e μ é la viscosità dinamica.
I fluidi per i quali non esiste una proporzionalità
costante tra sforzo di taglio e gradiente di velocità
vengono definiti non newtoniani.
In questo caso la viscosità è costante e dipende solo da
pressione e temperatura.
REOLOGIA
Fluidi non newtoniani
Tipici fluidi non newtoniani sono, ad esempio, le vernici, le colle, le
gelatine, molti prodotti alimentari, il sangue, ecc. I fluidi non newtoniani
possono essere suddivisi in diverse categorie.
Fluidi pseudoplastici
Quelli nei quali la viscosità diminuisce all’aumentare del gradiente
di velocità; analiticamente ciò può essere espresso dalla relazione:
dove K é definita viscosità apparente, ed n<1; é il comportamento
tipico di tutti quei fluidi che contengono in sospensione molecole di
peso molecolare elevato; incrementando lo sforzo di taglio, le
molecole tendono ad allinearsi nella direzione di scorrimento
offrendo sempre meno resistenza.
La viscosità di un sistema pseudoplastico diminuisce via via che
aumenta la velocità di taglio.
REOLOGIA
Fluidi dilatanti
Sono detti fluidi dilatanti, ad esempio gli amidi ed i grassi e
sospensioni concentrate (oltre il 50% in peso) di particelle
solide sufficientemente piccole e non flocculate, quelli per i
quali vale la relazione:
con n>1.
Quando il sistema viene agitato con sforzi di taglio crescenti, diventa
più viscoso in quanto il moto delle particelle determina un aumento
di volume del sistema responsabile dell'aumento di viscosità.
Fluidi di Bingham
Sono fluidi che si comportano come i fluidi newtoniani
(μ=cost), solo dopo che é stato raggiunto un certo
valore dello sforzo di taglio applicato; sono un
particolare caso di fluidi plastici.
Esempi di fluidi plastici sono le soluzioni molto
concentrate e i colloidi, per i quali é necessario uno
sforzo di taglio tale da rompere la struttura reticolata
che essi presentano.
LA DINAMICA DEI FLUIDI
La dinamica dei fluidi studia il moto dei fluidi, ossia delle correnti fluide.
Esistono diversi tipi di correnti fluide:

stazionaria o non stazionaria

comprimibile o incomprimibile

viscosa o non viscosa
In una corrente stazionaria la velocità media delle particelle di fluido o la
portata in una sezione del condotto restano invariate nel tempo.
La maggior parte dei liquidi è incomprimibile, cioè la densità non varia con
la pressione. Per contro i gas sono altamente comprimibili.
Un fluido è viscoso quando non fluisce facilmente (es. il miele). Invece un
fluido con viscosità nulla fluisce senza impedimenti o attriti.
Profilo di velocità per
fluido non viscoso
Profilo di velocità per
fluido viscoso
LA DINAMICA DEI FLUIDI
Studiare la dinamica dei fluidi serve per misurare la velocità o la portata di
un fluido che scorre in un condotto o ancora, per calcolare quale pressione
dovrà avere un fluido per fare in modo che arrivi alle utenze finali con un
dato valore di portata.
Questi problemi si risolvono applicando al fluido in questione bilanci di
massa e di energia.
Bilancio di massa (Equazione di continuità)
Chiunque abbia usato il pollice per regolare l’acqua
uscente
all’estremo
di
una
manichetta
avrà
probabilmente osservato che la velocità dell’acqua
aumenta notevolmente quando il pollice riduce l’area
della sezione trasversale dell’apertura della manichetta.
Questo tipo di comportamento dei fluidi è descritto
quantitativamente da una relazione nota come equazione
di continuità.
EQUAZIONE DI CONTINUITÀ
L’equazione esprime il concetto che la massa di fluido che entra da un estremo di
un tubo deve uscire dall'altro estremo se nel tratto considerato non si verificano
entrate o uscite di fluido. Per esempio, se un fluido entra in un tubo con una portata
in massa di 5 kg/s, esso deve uscire con la stessa portata, sempre che, fra il punto di
entrata e il punto di uscita, non ci siano sorgenti né pozzi che aggiungano o
sottraggano fluido.
La figura sopra rappresenta una massa elementare di fluido in moto lungo un
condotto. Poiché nessuna quantità di fluido può attraversare le pareti laterali del
tubo, le portate in massa nei punti 1 e 2 devono essere uguali.
La portata in massa si ricava dalla seguente formula:
Q m = r ∙A∙v
L’unità di misura della portata in massa nel Sistema Internazionale è il
kilogrammo al secondo (kg/s).
Equazione di continuità
r1 ∙A1∙v1 = r2 ∙A2∙v2
nel caso di fluidi incomprimibili (r = cost)  A1∙v1 = A2∙v2 (portata volumetrica m3/s)
TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI
Fluido incomprimibile e privo di attrito
(non viscoso)  Fluido ideale
Prima di esaminare il teorema di Bernoulli facciamo due osservazioni riguardo al
modulo della velocità, alla pressione e alla quota di un fluido ideale in moto (corrente
irrotazionale, fluido non-viscoso e incomprimibile).
Prima osservazione: quando un fluido che fluisce in un tubo orizzontale incontra una
regione in cui la sezione trasversale ha un’area ridotta, la pressione del fluido
diminuisce come indica la figura sopra. Quando si muove verso valle, dalla regione 1
alla regione 2 nella figura, il fluido aumenta la propria velocità (accelera), come è
richiesto dalla principio di conservazione della massa espresso dall'equazione di
continuità. Per la seconda legge di Newton, il fluido che accelera deve essere soggetto a
una forza che può esistere soltanto se la pressione nella regione 1 è maggiore della
pressione nella regione 2.
Perciò, in un tubo orizzontale, la pressione diminuisce quando la velocità del fluido
aumenta (minore area della sezione trasversale) e, viceversa, la pressione aumenta
quando la velocità del fluido diminuisce (maggiore area della sezione trasversale).
TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI
Seconda osservazione: se il fluido subisce un aumento
della quota, come nella figura, la pressione in basso
risulterà maggiore della pressione alla sommità. Questa
affermazione si basa sulla legge di Stevino (statica dei
fluidi).
Ciò detto, affrontiamo lo studio del teorema di Bernoulli
costatando che esso altro non è che il principio di
conservazione dell’energia meccanica, applicato ad
un fluido in movimento.
Se m è la massa di un fluido in moto, ad m si possono associare tre tipi di energia:
Energia di posizione o geodetica: è dovuta al fatto che, poiché il fluido è immerso
nel campo gravitazionale di accelerazione (g), ha un energia potenziale proporzionale alla
quota (h) cui essa si trova rispetto ad un piano di riferimento arbitrario, tale energia è
espressa da:
Ep = m∙g∙h
g = 9,81 m/s2
TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI

Energia cinetica: è dovuta al fatto il fluido è in movimento con
velocità v:
Ec = ½ ∙m∙v2

Energia di pressione o piezometrica: rappresenta l’energia che
viene fornita al fluido quando viene introdotto nella corrente in
pressione o che viene ceduta dal fluido quando ne viene estratto:
Epr = P∙m/r
Nel caso di moto stazionario, la massa di fluido m mantiene costante lungo tutto il condotto la
somma delle tre energie per cui si può scrivere:
Ep + Ec + Epr = m ∙ g ∙ h + ½ m ∙ v2 + P∙m/r = cost
Dividendo tutti i termini per il prodotto m ∙g si ha:
P/(r ∙g) + h + v2/(2g) = cost
[m]
Equazione di Bernoulli
oppure moltiplicando per r/m si ha:
P+ r∙g h + r∙v2/2 = cost
[Pa]
TEOREMA DI BERNOULLI PER FLUIDI IDEALI
h : altezza geometrica
p/rg : altezza piezometrica
v2/2g : altezza cinetica
P/(r ∙g) + h + v2/(2g) = carico idraulico in m
P+ r∙g h + r∙v2/2 = carico idraulico in Pa
ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DI BERNOULLI
ESERCIZI SU EQUAZIONE DI BERNOULLI
2. Due punti di un tubo orizzontale che trasporta acqua ad una portata di 5 m3/h hanno
diverse sezioni con raggio R1 = 5 cm e R2 = 1.5 cm, in condizioni stazionarie, si valutino
le velocità u1 e u2.
Soluzione: essendo Qv = u•S da cui allo stazionario Q1 = Q2 cioè
u1•S1 = u2•S2
u1 = Qv/S1
Qv = 5 m3/3600s = 1.39 10-3 m3/s
S1 = p (0.05)2 = 0.00785 m2
S2 = p (0.015)2 = 0.000706 m2
Da cui:
u1 = 1.39 10-3/0.00785 = 0.178 m/s
u2 =0.178 ∙0.00785/0.000706 = 1.98 m/s
ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DI BERNOULLI
ESERCIZI SULL’EQUAZIONE BERNOULLI
Eq. di continuità
sostituendo v2 nell’eq. di Bernoulli si ha:
Un tubo di Pitot è infatti fornito di due prese di pressione, una
all'estremità anteriore disposta tangenzialmente alla corrente
(presa totale) e una sul corpo del tubo disposta
perpendicolarmente al flusso (presa statica). Come da definizione,
la differenza tra queste due pressioni (la pressione dinamica,
ottenibile con l'utilizzo di un manometro differenziale
opportunamente collegato alle due prese) risulta proporzionale
al quadrato del modulo della velocità, quindi:
TEOREMA DI BERNOULLI PER LIQUIDI REALI
MOTO DI LIQUIDI REALI
Liquido reale in movimento  presenza di attrito (viscosità)  liquido viscoso
Forze di attrito si oppongono al moto  si ha una dissipazione di energia lungo il
condotto  L’EQUAZIONE DI BERNOULLI DEVE ESSERE CORRETTA in quanto,
per effetto dell’attrito, l’energia meccanica non si conserva:
(EMECCANICA)1=(EMECCANICA)2 + attrito
L’equazione di Bernoulli per i liquidi reali diventa:
dove
è detta perdita di carico
e rappresenta la differenza dell’energia meccanica posseduta dal fluido nella sezione 1 e quella
che possiede nella sezione 2
CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO
Le perdite di carico lungo una condotta dipendono da:
• grandezze fisiche (densità e viscosità del fluido)
• grandezze cinematiche (moto, velocità)
• grandezze geometriche (diametro del tubo, la sua forma, rugosità della parete).
La formula più usata per il calcolo delle perdite di carico è:
dove:
o
f è il coefficiente di attrito, funzione del regime di moto (laminare o turbolento
(vortici)) e della rugosità delle pareti (-)

l è la lunghezza della tubazione o lunghezza equivalente* (m)

um è la velocità media del liquido (m/s)

d è il diametro della tubazione (m)

g è l’accelerazione di gravità (m/s2)
* Se lungo la tubazione sono presenti valvole, gomiti, curve, contatori, etc. ad essi si assegna una lunghezza
fittizia (detta equivalente) cioè si considera ognuna di queste resistenze localizzate come comportante una
perdita di carico uguale a quella dovuta ad un tratto di tubazione di lunghezza leq. La lunghezza quindi da
inserire nella formula sopra è data dalla somma dei tratti rettilinei lr più le lunghezze equivalenti (l1, l2,
…) dovute alle varie resistenze locali:
REGIMI DEL FLUSSO, ALL’INTERNO
Regime Laminare
il moto del fluido avviene con
scorrimento di strati infinitesimi
gli uni sugli altri, senza alcun
tipo di rimescolamento
Regime Turbolento
i fenomeni inerziali, dovuti
alla velocità, come i vortici,
vincono sui fenomeni viscosi,
che tendono a mantenere tutto
parallelo e svolgono un'azione
di mescolamento dei filetti fluidi tra
loro
REGIMI DEL FLUSSO – PROFILI DI VELOCITÀ
Laminare,
profilo parabolico
Turbolento
NUMERO DI REYNOLDS
Reynolds number: Re = d v r / m = d v / n
dove:
SI
cgs
m
cm

d = lunghezza caratteristica (diametro)

v = velocità media del fluido (portata / sezione)
m/s
cm/s

r = densità del fluido
kg / m3
g / cm3

m = viscosità dinamica del fluido
kg / m s
poise

n = viscosità cinematica del fluido = m / r
m2 / s
Interpretazione: rapporto fra forze inerziali e forze viscose
cm2 / s
MOODY’S DIAGRAM
(e /d , RUGOSITÀ SUPERFICIALE/DIAMETRO)
RUGOSITÀ e
La rugosità e (o scabrosità o scabrezza o scabrezza assoluta) è
una proprietà della superficie di un corpo costituita da microimperfezioni geometriche presenti sulla superficie oppure risultanti da
lavorazioni meccaniche; tali imperfezioni si presentano in forma di
solchi o scalfitture, di forma, profondità e direzione variabile.
La misura della rugosità e, espressa in micron, mm, è il valore medio
aritmetico degli scostamenti (presi in valore assoluto) del profilo reale
della superficie rispetto alla linea media.
MOODY’S DIAGRAM
Si può suddividere il diagramma in quattro zone:
 La prima zona è caratterizzata dal regime laminare e si estende fino
a Re ≈ 2300. La curva è quasi rettilinea, con pendenza negativa.
 La seconda zona è la zona critica: qui il diagramma non viene
disegnato perché non se ne conosce l’andamento.
 La zona successiva, che ha inizio per Re ≈ 4000 - 4100, è caratterizzata
dal regime turbolento. Si può dividerla in zona di transizione e zona
con moto completamente turbolento.
 La curva decresce:
 Se il tubo è liscio la curva decresce indefinitamente;
 Se invece il tubo presenta una certa rugosità la curva diviene
orizzontale in corrispondenza di un certo numero di Reynolds. Il
valore di tale numero di Reynolds diminuisce con l’aumentare
della scabrosità del tubo.
NUMERO DI REYNOLDS

ELOGIO DELLE TUBAZIONI DEL MINIMO DIAMETRO
Fissata la portata necessaria, ad esempio per soddisfare la necessità di produzione, è necessario valutare le perdite di
carico e il diametro della tubazione in modo da trovare la soluzione economicamente più conveniente.
Nella Tabella si riportano i benefici derivanti dalla scelta di diametri piccoli tenendo presente che a tali benefici di contro
aumenteranno le perdite di carico (costi energetici maggiori per il trasporto dei fluidi (pompe o compressori))
funzione
Costo
beneficio
Minore costo di investimento (tubo + fittings + saldature
+ guarnizioni + verniciatura + coibentazione)
note
Es. da 3’’ a 2’’ il
costo piping
scende del 33%
Meno spazio occupato, meno peso sul rack
HSE*
Produzione
Qualità
Manutenzione
Minore hold-up di sostanze pericolose
Minor rischio dovuto alle perdite
Minor tempo per riempire / svuotare
Maggior velocità, meno rischio di intasamento
Più facile da pulire (per soffiaggio)
Minore batch mixing
Minor rischio di corrosione
Più facile da smontare / rimontare
* HSE: Health, Safety & Environment
Shorter cycle time
Valori delle velocità medie consigliate
Argomenti prossima lezione:
- Macchine per il trasporto dei liquidi e dei gas
- Apparecchiature per il vuoto