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Premessa
Questa Unità Didattica rientra nel modulo della Geometria del Piano, è
articolata in quattro lezioni; tratta di similitudine tra triangoli, ed in generale
di poligoni simili.
E’ pensata per una seconda Liceo Scientifico, indirizzo P.N.I., ma può
essere utilizzata in una qualsiasi altra classe, nella quale si sia scelta la strada
delle trasformazioni geometriche per parlare di geometria del piano.
La trattazione contiene una verifica iniziale della durata di circa un’ora,
da proporre alla classe. Si consiglia di non valutare questa prova, ed eventualmente farla fare anonimamente. Lo scopo di tale compito è quello di verificare
il livello di partenza della classe, per attuare, eventualmente, un percorso di
recupero dei prerequisiti necessari per poter affrontare l’argomento.
Dopo essersi accertati che i ragazzi abbiano i prerequisiti richiesti si passa
alla trattazione dei contenuti.
La prima lezione si sviluppa in due ore, in questa viene definita ed analizzata la similitudine come trasformazione geometrica per poi arrivare alla
definizione di poligoni simili.
Nella seconda lezione, pensata di un’ora, si enunciano e dimostrano i tre
criteri di similitudine.
Durante le due ore successive viene proposta un’attività di laboratorio,
con l’utilizzo del software “Cabrı̀”. Ai ragazzi viene consegnata una scheda di
lavoro, sulla quale si richiede di fare una certa costruzione e di rispondere ad
alcune domande, per arrivare all’enunciato del primo criterio di similitudine
e sue conseguenze.
L’ultima lezione si sviluppa in due ore, in essa vengono dimostrati il
teorema delle corde e dellle secanti. Inoltre si vuole arrivare, attraverso
il teorema di Euclide, alla giustificazione delle formule delle aree di alcuni
poligoni.
2
Per finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della
quale viene data una proposta.
E’ importante notare che alla fine di ogni lezione, viene dedicato un pò
di tempo per anticipare il lavoro che sarà svolto nell’incontro successivo,
cosı̀ come all’inizio della lezione si richiamano i concetti sviluppati la volta
precedente e si correggono gli esercizi assegnati per casa.
3
Prerequisiti:
1. Proprietà degli angoli corrispondenti i due rette parallele tagliate da
una trasversale
2. Criteri di congruenza tra triangoli
3. Concetto di equiestenzione
4. L’ Omotetia
5. L’ Isometria
Obiettivi:
- Conoscere
• Conoscere i criteri di similitudine
• Conoscere il teorema delle corde
• Conoscere il teorema delle secanti
- Saper fare
• Saper riconoscere triangoli simili
• Saper riconoscere poligoni simili
• Saper dimostrare ed applicare il teorema delle corde
• Saper dimostrare ed applicare il teorema delle secanti
• Saper giustificare le formule delle aree
4
Verifica dei prerequisiti
(1 ora)
1. Enuncia i criteri di congruenza tra triangoli.
0
0
2. Dati due triangoli tali che β ' β , γ ' γ e CB ' C 0 B 0 , individua tra
le seguenti affermazioni quella esatta, giustificando la risposta.
C
A
C’
B
A’
B’
a) Non si può dire niente sulla congruenza dei due triangoli.
b) I due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza.
c) I due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
d) I due triangoli non sono congruenti.
e) I due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.
3. Disegna per ciascuna delle figure seguenti un’altra ad essa equiestesa
ma non congruente.
a)
b)
5
4. Dimostra che ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di uguale
base e metà altezza.
Utilizzando i termini in parentesi, completa:
“Poichè ogni poligono è scomponibile in .................... ed ogni
.................... è .................... ad un ...................., allora ogni
poligono è .................... ad un .....................”
(equiesteso, triangolo, equiesteso, rettangolo, triangoli, rettangolo)
5. Le trasformazioni geometriche si caratterizzano per i loro invarianti,
ossia per le caratteristiche che lasciano immutate.
Indica per ciascuna delle trasformazioni del piano qui citate quali sono,
tra quelli elencati, gli invarianti.
Invarianti
Allineamento
dei punti
Lunghezza
dei segmenti
Ampiezza
degli angoli
Rapporto
tra segmenti
Aree
Parallelismo
Direzioni
Traslazione
Rotazione
Simmetria As.
Omotetia
6
6. Applica al quadrilatero, ABCD, rappresentato in figura, l’omotetia di
1
centro O e rapporto k = , e successivamente la simmetria assiale di
2
asse a.
D
a
C
O
A
B
Risposta criterio
1)
I◦ Criterio
II◦ Criterio
III◦ Criterio
2)
b
Motivazione
3)
a
b
4)
5)
6)
Omotetia
Simmetria
Punteggio
0-.....-3
0-.....-3
0-.....-3
0-1
0-.....-3
0-1
0-1
0-.....-3
0-.....-7
0-.....-4
0-.....-2
7
Prima Lezione
(2 ore)
Osserviamo i due disegni in figura.
Non possiamo certo dire che siano congruenti e neppure che abbiano la
stessa area; intuitivamente possiamo dire che uno è l’ingrandimento dell’altro.
Per descrivere questa situazione dobbiamo introdurre un nuovo concetto,
quello di similitudine tra figure geometriche, a cui associare l’idea intuitiva
di figure che hanno la stessa forma.
Definizione
Si dice similitudine, di rapporto k 6= 0, la trasformazione che si ottiene
componendo una isometria con un’ omotetia di rapporto k 6= 0, oppure un’omotetia con una isometria.
Sappiamo che la composizione di due trasformazioni geometriche ha come
invarianti quelli comuni alle due trasformazioni. Dunque possiamo ricavare
gli invarianti della similitudine.
8
Invarianti
ISOMETRIA
Allineamento
dei punti
Lunghezza
dei segmenti
Rapporti tra
segmenti
Ampiezza degli
angoli
Invarianti
OMOTETIA
Allineamento
dei punti
Invarianti
SIMILITUDINE
Allineamento
dei punti
Rapporti tra
segmenti
Ampiezza degli
angoli
Rapporti tra
segmenti
Ampiezza degli
angoli
Parallelismo
Parallelismo
Parallelismo
Direzioni
Analizzando la tabella possiamo dire che una similitudine modifica sia le
dimensioni, se k 6= ±1, che la posizione relativa di ogni figura.
Una figura del piano viene detta simile ad un’altra se corrisponde ad essa
in una similitudine.
Il termine similitudine designa, quindi, due oggetti:
• una trasformazione geometrica dei punti del piano;
• una relazione tra figure.
Definizione
Due poligoni che hanno lo stesso numero di lati sono simili se è possibile
stabilire una corrispondenza tra i loro vertici, tale che
1. i poligoni abbiano gli angoli corrispondenti congruenti;
2. il rapporto tra le misure dei lati corrispondenti sia costante.
E’ importante osservare che le due condizioni prese separatamente non sono
sufficienti a dire che i poligoni sono simili.
9
A dimostrazione di quanto detto, consideriamo i seguenti quadrilateri:
hanno i lati in proporzione ma non sono simili poichè hanno angoli differenti.
Esercizio
Determina il corrispondente del quadrilatero di vertici A(1, 3); B(2, 1);
C(4, 4); D(5, 4) nella trasformazione ottenuta componendo l’omotetia di
centro l’origine e rapporto k = 2 con la rotazione di centro il punto B 0 (4, 2)
ed ampiezza 90◦ in verso orario. I due quadrilateri come risultano tra loro?
Attraverso l’omotetia si ottiene il quadrilatero di vertici
A0 (2, 6); B 0 (4, 2); C 0 (8, 8); D0 (10, 8).
Attraverso la rotazione si ottiene il quadrilatero di vertici
A00 (8, 4); B 00 (4, 2); C 00 (10 − 2); D00 (10, −4).
I due quadrilateri sono simili.
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Teorema
La similitudine tra poligoni è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione
• La similitudine è riflessiva: ogni figura è simile a se stessa, inquanto
l’identità può essere considerata sia una isometria che un’omotetia di
rapporto k = 1.
• La similitudine è simmetrica: se il poligono ABCDE.. è simile al
poligono A0 B 0 C 0 D0 E 0 .., allora il poligono A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. è simile ad ABCDE...
Infatti gli angoli sono congruenti grazie alla proprietà simmetrica delle
congruenze; inoltre se k 6= 0, è il rapporto di similitudine si ha
A0 B 0
B0C 0
C 0 D0
=
=
= ...... = k
AB
BC
CD
si ricava immediatamente che
AB
BC
CD
1
=
=
=
......
=
.
A0 B 0
B0C 0
C 0 D0
k
Dunque se il rapporto di similitudine tra ABCDE.. e A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. è
1
k, quello della similitudine tra A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. e ABCDE.. è .
k
• La similitudine è transitiva: se il poligono ABCDE.. è simile al poligono
A0 B 0 C 0 D0 E 0 .., ed il poligono A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. è simile al poligono A00 B 00 C 00 D00 E 00 ..
allora il poligono ABCDE.. è simile al poligono A00 B 00 C 00 D00 E 00 ...
Infatti la congruenza tra gli angoli è immediata per la proprietà transitiva della congruenza; inoltre se il rapporto di similitudine tra ABCDE..
e A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. è k e quello tra A0 B 0 C 0 D0 E 0 .. e A00 B 00 C 00 D00 E 00 .. è h allora è facile verificare che il rapporto di similitudine tra ABCDE.. e
A00 B 00 C 00 D00 E 00 .. è k · h.
La prossima lezione .....
11
Dopo aver dato la definizione di similitudine e di poligoni simili, ci soffermeremo sulla similitudine tra triangoli.
Sappiamo che ogni poligono può essere scomposto in triangoli; questo
consente di sfruttare per i poligoni i risultati ottenuti sui triangoli: di questo
parleremo nella prossima lezione.
Esercizi per casa
³
7´
1. Dato il poligono avente vertici A(−5, 1), B(−1, 1), C − 1, ,
2
³
7´
D − 5, , determina il corrispondente nella similitudine ottenuta
2
componendo la seguente isometria ed omotetia: simmetria rispetto al1
l’asse X, omotetia di centro l’origine e rapporto k = . Componi sia
2
l’isometria con l’omotetia, sia l’omotetia con l’isometria.
2. Determina una isometria e una omotetia che, composte tra loro , rappresentino una similitudine che fa corrispondere ai punti A(−2, −3),
B(0, −3), C(0, −4) i punti A0 (3, −9), B 0 9, −9), C 0 (9, −12).
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Seconda Lezione
(1 ora)
Nella lezione precedente abbiamo definito la similitudine come composizione di un’omotetia con una isometria, e viceversa; abbiamo trovato gli
invarianti e dimostrato che la similitudine è una relazione di equivalenza,
infine siamo giunti alla definizione di poligoni simili.
Oggi iniziamo a lavorare con un particolare poligono, che è il triangolo.
Come per la relazione di congruenza, anche per la similitudine, esistono
tre criteri per stabilire se due triangoli sono simili, senza dover ogni volta
ricercare la trasformazione in cui si corrispondono, questi criteri sono semplici applicazioni della similitudine.
Primo criterio di similitudine
Se due triangoli hanno gli angoli corrispondenti congruenti allora sono
simili.
Dimostrazione
C’’
C’
C
A
B
B’’ B’
A’
0 A0 C 0 = BAC.
d A0d
d Bd
d
Ipotesi: A0d
B 0 C 0 = ABC;
C 0 B 0 = ACB;
Tesi: Il triangolo A0 B 0 C 0 è simile al triangolo ABC.
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Consideriamo nei due triangoli i lati AB e A0 B 0 ; ciascun angolo ad esso
adiancente è congruente al proprio corrispondente.
Possiamo calcolare il rapporto tra i lati
A0 B 0
= k.
AB
Applichiamo l’ omotetia di centro A e rapporto k al triangolo ABC.
Al punto B corrisponde il punto B 00 ed al punto C il punto C 00 , dunque
AB 00 = k · AB = A0 B 0 .
Inoltre, poichè l’omotetia conserva l’ampiezza degli angoli si ha B 00d
AC 00 =
00 C 00 = A0d
0 A0 C 0 .
d ma anche AB
d
d = Bd
ABC,
B 0 C 0 , ossia B 00d
AC 00 = BAC
Dunque i triangoli AB 00 C 00 ed A0 B 0 C 0 sono congruenti (A-L-A).
Esiste, cioè un’isometria che fa corrispondere il triangolo AB 00 C 00 al triangolo
A0 B 0 C 0 .
Complessivamente
omotetia
ABC 7−→ AB 00 C 00
isometria
7−→
A0 B 0 C 0
quindi i triangoli ABC e A0 B 0 C 0 sono simili.
Secondo criterio di similitudine
Se due triangoli hanno un angolo congruente e i due lati che lo comprendono proporzionali allora sono simili.
Dimostrazione
A0 B 0
A0 C 0
0 A0 C 0 = BAC.
d
Ipotesi:
=
; Bd
AB
AC
Tesi: Il triangolo A0 B 0 C 0 è simile al triangolo ABC.
Supponiamo che i triangoli ABC e A0 B 0 C 0 siano tali che
A0 B 0
A0 C 0
0 A0 C 0 e
d = Bd
BAC
=
= k.
AB
AC
14
C’’
C’
C
A
B’’ B’
B
A’
Applichiamo l’omotetia di centro A e rapporto k, in modo che al triangolo
ABC corrisponda il triangolo AB 00 C 00 .
Dunque
AB 00 = k · AB = A0 B 0 e AC 00 = k · AC = A0 C 0 .
I triangoli AB 00 C 00 ed A0 B 0 C 0 sono congruenti (L-A-L).
Esiste, cioè un’isometria che fa corrispondere il triangolo AB 00 C 00 al triangolo A0 B 0 C 0 .
Complessivamente
omotetia
ABC 7−→ AB 00 C 00
isometria
7−→
A0 B 0 C 0
quindi i triangoli ABC e A0 B 0 C 0 sono simili.
Terzo criterio di similitudine
Se due triangoli hanno i lati proporzionali allora sono simili.
Dimostrazione
C
C’
C’’
A
Ipotesi:
B’’
A0 B 0
A0 C 0
B0C 0
=
=
.
AB
AC
BC
B
A’
B’
15
Tesi: Il triangolo A0 B 0 C 0 è simile al triangolo ABC.
Supponiamo che
A0 B 0
A0 C 0
B0C 0
=
=
= k.
AB
AC
BC
Applichiamo l’omotetia di centro A e rapporto k, in modo che ai vertici
B e C corrispondano B 00 e C 00 .
Dunque
AB 00 = k · AB = A0 B 0 ; AC 00 = k · AC = A0 C 0 ; B 00 C 00 = k · BC = B 0 C 0 .
I triangoli AB 00 C 00 ed A0 B 0 C 0 sono congruenti (L-L-L).
Esiste, cioè un’isometria che fa corrispondere il triangolo AB 00 C 00 al triangolo A0 B 0 C 0 .
Complessivamente
omotetia
ABC 7−→ AB 00 C 00
isometria
7−→
A0 B 0 C 0
quindi i triangoli ABC e A0 B 0 C 0 sono simili.
La prossima lezione .....
A questo punto sfruttando i criteri dimostrati, possiamo di volta in volta
verificare abbastanza agevolmente che due o più triangoli siano o no simili.
Nella prossima lezione faremo un’esercitazione in laboratorio utilizzando
“Cabrı̀”.
Esercizi per casa
1. Dati i triangoli di vertici A(−2, 0), B(−4, −2), C(−3, 0) e A0 (6, 0),
B 0 (12, −6), C 0 (9, 9), individa la similitudine che li fa corrispondere.
2. Dimostra che tutti i triangoli equilateri sono tra loro simili.
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Terza Lezione
(2 ore)
Laboratorio con l’utilizzo di
“Cabrı̀”
Primo criterio di similitudine
tra triangoli
Costruzione
Dato un triangolo ABC, costruisci il triangolo ADE tale che:
a) D appartenga alla retta AB,
b) ED sia parallelo a BC,
c) E appartenga alla retta AC.
Rispondi alle domande
1. Cosa accade variando la posizione del punto D?
...............................................................................................
...............................................................................................
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2. Come sono tra loro gli angoli dei due triangoli?
(Verifica la tua risposta utilizzando il comando “MISURA
DELL’ANGOLO”.)
...............................................................................................
...............................................................................................
3. Per quale motivo?
...............................................................................................
...............................................................................................
4. Quale relazione lega le misure dei lati dei due triangoli?
...............................................................................................
...............................................................................................
5. Per quale motivo?
...............................................................................................
...............................................................................................
18
6. Calcola i rapporti tra i lati:
AD ED AE
,
,
; che cosa noti?
AB BC AC
...............................................................................................
...............................................................................................
7. Muovi il punto D. Le misure dei segmenti variano?
I rapporti variano?
...............................................................................................
...............................................................................................
8. La relazione che lega questi rapporti continua ad essere valida?
...............................................................................................
...............................................................................................
9. Quale relazione lega i triangoli ABC e AED?
...............................................................................................
...............................................................................................
19
Puoi ora enunciare il primo criterio di similitudine tra triangoli.
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
Perimetro ed area di triangoli simili
• Misura il perimetro e l’area dei triangoli ABC e AED.
• Calcola il rapporto tra queste misure.
• Muovi il punto D e completa la seguente tabella (P indica il perimetro
e A l’area).
AD
AB
3
2
1
0,5
P(ABC)
P(AED)
A(ABC)
A(AED)
Osservando la tabella completa
In due triangoli simili, con rapporto di similitudine k:
• il rapporto tra i perimetri è ..........
• il rapporto tra le aree è ..........
20
La prossima lezione .....
Nella prossima lezione vedremo altre applicazioni delle similitudini.
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Quarta Lezione
(2 ore)
Oggi passiamo ad applicare la similitudine alla circonferenza per ricavarne
alcune proprietà, dopo di chè passeremo a giustificare le formule delle aree
dei poligoni.
Teorema delle corde
Se in una circonferenza due corde AB e CD si intersecano in un punto
P , allora i quattro segmenti che si determinano sono nella proporzione
P A : P C = P D : P B.
Dimostrazione:
uniamo C con B e A con D e dimostriamo che i triangoli P CB e P AD sono
simili.
dD:
Facciamo una simmetria assiale rispetto alla bisettrice dell’angolo BP
B → B0
osserviamo che
C → C 0.
22
_
d = DAB
d perchè insistono sullo stesso arco BD;
• DCB
d perchè corrispondenti nella simmetria assiale;
• Pd
C 0 B 0 = BCD
d = Pd
ne segue BAD
C 0 B 0 e che le rette AD e B 0 C 0 sono parallele perchè
formano angoli corrispondenti uguali con la trasversale AB.
Dunque possiamo affermare che esiste un’omotetia che manda il triangolo
P C 0 B 0 nel triangolo P AD; complessivamente
P CB
isometria
7−→
omotetia
P C 0 B 0 7−→ AP D
quindi i triangoli P CB e P AD sono simili, hanno dunque i lati in proporzione: P A : P C = P D : P B.
Teorema delle secanti
Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano due semirette
secanti che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti A, B, C e
D, allora i quattro segmenti di estremo P , che si determinano, sono nella
proporzione
P A : P C = P D : P B.
Dimostrazione:
uniamo A con D e B con C e dimostriamo che i triangoli P CB e P AD sono
simili.
23
Facendo una simmetria assiale, del triangolo P AD, rispetto alla bisettrice
dD, otteniamo il triangolo P A0 D0 .
dell’angolo BP
Osserviamo che
_
• Pd
CB = Pd
AD perchè insistono sullo stesso arco BD;
• Pd
AD = P d
A0 D0 perchè corrispondenti nella simmetria assiale
ne segue P d
A0 D0 = Pd
CB e le rette A0 D0 e CB sono parallele perchè formano
angoli corrispondenti uguali con la trasversale P C.
Dunque possiamo affermare che esiste un’omotetia che manda il triangolo
P A0 D0 nel triangolo P CB; complessivamente
P AD
isometria
7−→
omotetia
P A0 D0 7−→ P CB
quindi i triangoli P CB e P AD sono simili, hanno dunque i lati in proporzione: P A : P C = P D : P B.
Adesso cerchiamo di capire se e quali triangoli simili tra loro possiamo
trovare in un triangolo rettangolo.
Consideriamo un triangolo ABC, retto in A, e tracciamo l’altezza AH
relativa all’ipotenusa.
d il
Facciamo una simmetria assiale di asse la bisettrice dell’angolo ABC,
triangolo ABH si trasforma nel traingolo A0 BH 0 .
24
d0 A0 risulta retto, quindi le rette AC e A0 H 0 sono
Ne segue che l’angolo BH
parallele. Allora i triangoli BA0 H 0 e ABC sono omotetici; complessivamente
ABH
isometria
7−→
omotetia
A0 BH 0 7−→ ABC.
Si conclude che i triangoli ABH e ABC sono simili.
In particolare dalla similitudine di questi triangoli ne segue che
BC : AB = AB : BH.
In questo modo abbiamo dimostrato
Primo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa
e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Siamo ora nelle condizioni di poter giustificare assiomaticamente le formule che permettono di determinare l’area di un poligono qualsiasi a partire
da quella del quadrato.
Ricordiamo che:
• l’area di un quadrato di lato ` è il numero reale `2 ;
• l’area di un poligono è l’area del quadrato ad esso equiesteso.
Teorema
Ogni rettangolo di base b ed altezza h è equiesteso ad un quadrato di area
`2 = b · h.
25
Dimostrazione
Dato un rettangolo di base b ed altezza h possiamo costruire un quadrato
ad esso equiesteso.
Sia il quadrato ABDE equiesteso al rettangolo BHM N , con
AB = ` , BH = h , BC = b.
E
A
D
B
H
C
h
b
N
M
Per la similitudine dei triangoli ABC e ABH si ha
BC : AB = AB : BH
ossia
b:`=`:h
dunque
`2 = b · h.
Il quadrato a cui è equiesteso il rettangolo ha area b · h, quindi l’area del
rettangolo è anch’essa b · h.
26
Sapendo che ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo, questo rettangolo legittima le formule per calcolare le aree delle figure poligonali più
frequenti.
• l’area di un parallelogramma di base b ed altezza h è b · h;
• l’area di un triangolo di base b ed altezza h è
b·h
;
2
• l’area di un trapezio di basi b1 , b2 ed altezza h è
(b1 + b2 ) · h
.
2
In generale un quadrilatero con diagonali d1 , d2 perpendicolari, è equiesteso alla metà di un rettangolo di dimensioni d1 , d2 . Ne segue che:
• l’area di un deltoide (quadrilatero con lati a due a due congruenti e
d1 · d2
diagonali perpendicolari) è
;
2
• l’area di un rombo è
d1 · d2
.
2
27
Verifica Finale
(2 ore)
1. In un triangolo ABC una retta passante per il punto medio di AB,
detto M , è parallela al lato BC. In quale punto, P , essa incontra il
lato AC? Se da P si manda la parallela ad AB, in quale punto Q
essa interseca il lato BC? Analizza ognuno dei quattro triangoli, che si
ottengono congiungendo M, P e Q. Dire se sono simili al triangolo di
partenza ABC, giustificando la risposta. In caso affermativo, indicare
il rapporto di similitudine.
2. Dimostrare che è sufficiente che due triangoli rettangoli abbiano un
angolo acuto congruente affinchè si corrispondano in una similitudine.
3. Dimostra che se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano
una tangente P T ed una secante, nei punti A e B, allora:
P A : P T = P T : P B.
4. Enuncia e dimostra il teorema delle corde.
5. Determinare perimetro ed area di un trapezio rettangolo le cui diagonali
siano perpendicolari e le cui basi misurino h e k, con h > k.
6. Spiegare perchè le seguenti proposizioni costituiscono la dimostrazione
della formula dell’area di un triangolo:
a) l’area di un quadrato di lato ` è per definizione `2 ;
b) ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di ugale base e di metà
altezza;
c) ogni rettangolo di dimensioni b ed h è equiesteso ad un quadrato di
area b · h.