Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatori: richiami
r
Operatore posizione
in 3D
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Operatore
momento
L =anche
r parziale
⇥
Non
è permessa,
in particolare, la riproduzione
i
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
⇤ o in
⌅ tutto la presente
⇥
⇥
⇥ Silva)
⇥Q
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Q,
W
W
Detti
due operatori, la grandezza Q, W = QW
⇥ e rappresenta l’operazione:
è detta commutatore di Q e W
⇧
⌃
⇥
⇥
⇤ W
⌅
⇤ W
⌅
⌅ Q
⇤
Q,
=Q
W
Si dimostra che operatori con stessi autostati
1] commutano;
2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento angolare.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare classico.
z
v
x
Momento angolare
(momento della quantità di moto):
r
L = rnonmv
=r p
O Enrico Silva - proprietà intellettuale
ceduta
y la riproduzione anche parziale
Non è permessa, in particolare,
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto
il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
z
Elettrone su un’orbita circolare:
L
r
m, –e
L=r
n
v
mv = mvrn
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare quantistico.
Momento angolare classico:
Espressione operatoriale:
L = r p Enrico Silva - proprietà intellettuale nonLceduta
=r
⇥
i
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Principio
di opera.
ovvero:
della
presente
corrispondenza:
= y la presente
z
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte oLinx tutto
i z
i y
Lx = ypopera
zp
z
è yrichiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Ly = zpx xpz
Ly = z
x
i x
i z
Lz = xpy ypx
Lz = x
y
i y
i x
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare quantistico: la misura.
L=r
Espressione operatoriale:
i
Lx = y
⇥
Ly = z
i z
z
i y
i x
x
i z
Richiamo: operatori
conSilva
stessi-autostati
Enrico
proprietà intellettuale non ceduta
Lz = x
y
i y
i x
1] commutano;
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili.
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Le componenti del momento angolare non commutano.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
[Lx , Ly ] = i Lz
[Lz , Lx ] = i Ly
Si ottiene facilmente (con molta algebra):
[Ly , Lz ] = i Lx
Non è possibile misurare simultaneamente due componenti di L.
⇥
L2 , Lx,y,z = 0
Il quadrato del momento angolare totale e una
qualunque componente di L commutano:
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autofunzioni e autovalori
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
L2 = ⇥l 2
tiene conto
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
delle dimensioni
Lz = m
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
con L = r
⇥
i
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
⇤
1
⇤
ˆ 1 ⇤ + ⇥ˆ scritto
In coordinateopera
sferiche:
è richiesto
dell’autore (E. Silva)
= r̂ il+permesso
Cerco funzioni ψ t.c.
⇤r
sviluppando:
⇤=
L
i
Lz =
L2 =
⇤
⇥ˆ
⇤
⇥
i⇥ ⇤
2
r sin ⇤⇥
r⇤
ˆ 1 ⇤
sin ⇤⇥
1 ⇤
sin ⇤
⇥
sin
Figura da Griffiths,
Introduction to
Quantum Mechanics
⇤
⇤
⇥
1 ⇤2
sin2 ⇤⇥2
⌅
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autofunzioni.
Cerco funzioni ψ t.c.
L2
Lz
= ⇥l
=m
2
con
Lz =
L2 =
⇥
i⇥ ⇤
2
1 ⇤
sin ⇤
sin
⇤
⇤
⇥
1 ⇤2
sin2 ⇤⇥2
⌅
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
con R(r) non determinata:
gli operatori del
Non
è
permessa,
in R(r)
particolare,
la riproduzione
anche parziale
Separazione di variabili! ⇤ =
( )⇥(⇥)
momento angolare non dipendono da r.
della presente opera.
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
⇥
Lz :
) = m il permesso
( )
⇥scritto( dell’autore
) = eim (E. Silva)
opera è (richiesto
i⇥
⇤
⇥
⌅
1 ⌅
⌅
1 ⌅2
2
2
L :
sin
( )⇥(⇥) = ⇤l ( )⇥(⇥)
sin ⌅
⌅
sin2 ⌅⇥2
Si applica solo a
Alla fine si ottengono le armoniche sferiche:
( ) e fornisce -m2.
( )⇥(⇥) = Ylm ( , ⇥)
come autofunzioni simultanee di L2 e Lz.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autovalori.
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
Ylm ( , ⇥)
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati:
della presente opera.
l è intero perin
le parte
armoniche
Per
o insferiche;
tutto la presente
L2 l’autorizzazione
= l(l + 1) 2 a riprodurre
sono ammessi
formalmente
anche (E.
valoriSilva)
semiinteri
opera è richiesto il permesso
scritto
dell’autore
Le autofunzioni simultanee di L2 e Lz sono le armoniche sferiche:
Lz
=m
l⇥m⇥l
notare: la “lunghezza” di L, l(l + 1) , è sempre maggiore della grandezza
di Lz, m , a indicare che la conoscenza di una componente non determina L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autofunzioni.
Le autofunzioni del momento angolare hanno l intero e
l⇥m⇥l
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Tabella da Griffiths,
Introduction to
Quantum Mechanics
Rappresentazioni delle armoniche sferiche su:
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
Sez. 5.1 (armoniche sferiche)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autostati, autovalori.
Lz
Una possibile rappresentazione per l = 2:
L
2
1
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Attenzione: l’analogia non va spinta oltre. In
0 anche parziale
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
particolare il disegno dei vettori è fuorviante:
della
presente
opera.
se uno stato ha Lz determinato, allora Lx e Ly
–1
sono indeterminati
perché non hannoaautostati
Per l’autorizzazione
riprodurre in parte o in tutto la presente
comuni conopera
L z.
–2
è richiesto il permesso scritto dell’autore
(E. Silva)
Ly
Lx
Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati:
L2 = l(l + 1)
Lz
=m
2
l intero o semiintero, intero per le armoniche sferiche
l⇥m⇥l
notare: la “lunghezza” di L, l(l + 1) , è sempre maggiore della grandezza
di Lz, m , a indicare che la conoscenza di una componente non determina L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autostati, autovalori.
Lz
2
Una possibile rappresentazione
alternativa per l = 2:
1
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
0 anche parziale
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
della
presente
opera.
Attenzione: l’analogia non va spinta oltre. In
–1
Per
l’autorizzazione
a riprodurre
in parte o in tutto la presente
particolare
il disegno
dei vettori “rotanti”
è
fuorviante: se
uno stato
ha Lz determinato,
–2
opera
è richiesto
il permesso scritto dell’autore
(E. Silva)
allora Lx e Ly sono indeterminati perché non
hanno autostati comuni con Lz.
Una misura di Lz proietta il sistema in uno
stato per cui Lx e Ly sono indeterminati.
Ly
Lx
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Potenziale centrale: fdo
Sia V=V(r) un potenziale a simmetria sferica
(dipendente solo dalla distanza da un punto -origine-).
L’equazione di Schroedinger si può scrivere in
Figura da Griffiths,
Introduction to
coordinate
polari:
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
Quantum Mechanics
⇤
⇥
⌅
2
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche
1
2 ⇥
2⇥
2 parziale
r
+L
+ V (r) = E
2
della2mr
presente
opera.
⇥r
⇥r
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Si può
risolvere
comeilper
il momento
angolare
per separazione
opera
è richiesto
permesso
scritto
dell’autore
(E. Silva)di variabili.
Gli stati stazionari (autofunzioni dell’Hamiltoniana) sono:
⇤(r, , ⇥) = R(r)Ylm ( , ⇥)
m
dove le R(r) sono funzioni della sola r, e le Yl ( , ⇥) sono le armoniche sferiche.
H, L2 , Lz sono simultaneamente misurabili.
V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r).
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: riassunto
Le componenti del momento
angolare non commutano.
[Lx , Ly ] = i Lz
Non è possibile misurare
simultaneamente due
componenti di L.
[Lz , Lx ] = i Ly
[Ly , Lz ] = i Lx
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Il quadrato
momento in particolare, la riproduzione
È possibile
misurare
Non èdelpermessa,
anche
parziale
⇥
2
, Lx,y,zopera.
=0
angolare totale e una qualunque dellaLpresente
simultaneamente L2 e una
componente
L commutano: a riprodurre in parte o in tutto componente
Perdil’autorizzazione
la presente di L.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
m
Le autofunzioni simultanee di L2 e Lz sono le armoniche sferiche: Yl ( , ⇥)
Con autovalori dati da:
L2 = l(l + 1)
2
l = 0, 1, 2, ...
=m
Lz
l⇥m⇥l
Potenziale centrale V(r): gli stati stazionari (autofunzioni dell’Hamiltoniana)
sono:
⇤(r, , ⇥) = R(r)Y m ( , ⇥)
l
dove le R(r) sono funzioni della sola r, determinate da V(r)
H, L2 , Lz sono simultaneamente misurabili in un potenziale centrale.
V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r).
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento magnetico.
Spin.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento magnetico classico.
Per una spira circolare di area S, dove scorre la corrente I, il
momento magnetico è
m = IS n
In un campo di induzione B i momenti magnetici tendono ad allinearsi
Enrico
Silva -diproprietà
con il campo (agisce
il momento
una forza).intellettuale non ceduta
n
I
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
m·B
La forza agente è F = ⇥V
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Elettrone su un’orbita circolare.
z opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento angolare: L = r mv = mvr n
L
e
e
=
Corrente equivalente: I =
n
T
2 r/v
r
2
Superficie della spira: S = r
m, –e
v
e
e
Momento magnetico “orbitale”: m =
vr n =
L=
2
2m
L’energia potenziale è V =
e
Magnetone di Bohr: µB = 2m ⇥ 9.274 · 10
24
JT
1
N.B.: m ⇥ L
µB
perché l’elettrone
ha carica negativa
L
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Rapporto giromagnetico
Definizione: dato un sistema (o particella) dotato di momento magnetico m
e di momento angolare L, si definisce rapporto giromagnetico la grandezza:
m
L sono valori algebrici
Enrico Silva - proprietà
= intellettuale nonm,ceduta
rispetto a un medesimo asse.
Non è permessa, in particolare, L
la riproduzione anche parziale
della presente
Per un corpo puntiforme dotato
di massaopera.
m e di carica q, che ruota attorno
Per l’autorizzazione a riprodurre inq parte o in tutto la presente
a un asse, si può dimostrare che:
=
(anche per orbite non circolari)
opera è richiesto il permesso scritto
2m dell’autore (E. Silva)
e
µB
= ge
= ge
Per un elettrone si ha sperimentalmente:
2m
con ge ≅ 2.
(Considerando il solo momento magnetico orbitale, si è ottenuto sopra ge = 1)
Il momento magnetico è maggiore del solo momento orbitale.
Il rapporto giromagnetico vale ≈ –2.
Esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Spin
La combinazione di due esperimenti fondamentali (Stern-Gerlach e Einstein-de Haas)
indica che i momenti magnetici di spin sono legati a un ulteriore e diverso momento
angolare, intrinseco agli elettroni (e ad altre particelle, in generale).
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Esso prende il nome di “spin” S
Non è permessa,
in particolare, la riproduzione anche parziale
È un momento angolare (quindi
ne segue
le regole),
della
presente
opera.MA NON È dovuto a rotazioni
meccaniche:
è
una
proprietà
intrinseca
della
particella
ad es.
massa o la carica).
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o(come
in tutto
la presente
operaorbitali:
è richiesto il permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
Per i momenti
analogamente
per i momenti
angolari di spin:
e
µB
e
µB
m=
L=
L
ms =
S= 2
S
2m
m
S è quantizzato, e la sua proiezione sull’asse z è Sz = ± /2,
ovvero il numero quantico corrispondente può assumere valori ms = ±1/2.
In analogia (si può dimostrare) al momento angolare,
S2 ha autovalori discreti dati da:
s(s + 1)
2
dove per gli elettroni, legati o liberi, s = 1/2.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Spin.
Oltre al momento angolare orbitale, esiste il momento angolare di spin (o “spin”).
Lo spin è una grandezza intrinseca, non è dovuta a rotazioni meccaniche.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
anche parziale
della presente opera.
Allo spin è associato un momento magnetico.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
è richiesto
permesso
scritto
dell’autore (E. Silva)
È descrivibileopera
come fdo
(esperienzaildei
filtri di Stern
Gerlach).
Lo spin è una
proprietà
quantistica,
non ha analogolaclassico.
Non
è permessa,
in particolare,
riproduzione
Le proprietà di osservabilità sono come quelle dei momenti angolari:
S2 ha autovalori s(s+1).
La proiezione su un asse, Sz, ha autovalori: m = –s, –s+1, ..., s-1, s
L[’autovalore dell]o spin di una particella assume valori: S = 0, 1/2, 1, 3/2, ....
L [’autovalore dell]o spin di un singolo gli elettrone, legato o libero, vale s = 1/2
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Nota sulla combinazione dei momenti
angolari orbitali e di spin.
Un sistema (ad esempio, un atomo) può contenere numerosi elettroni.
Il momento angolare totale J rappresenta la somma di tutti i momenti
Enricoelettroni
Silva - proprietà
angolari dei singoli
(orbitali eintellettuale
di spin): J =non
L +ceduta
S.
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della
presente opera.
Il momento magnetico totale,
similmente,
sarà dato da mJ = ml + ms.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
il permesso
scritto dell’autore
(E.
Silva)
Mentre mopera
e richiesto
ms || S, non
si ha necessariamente
che m
|| a J.
l || L, è
J sia
Questo è comprensibile, ricordando che
ms =
e
S=
m
m=
e
L=
2m
2
µB
S
µB
L