10a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora
necessario, di formule e grafici.
Def. 1. Esternalità positiva.
Un mercato è caratterizzato da un’esternalità positiva se l’attività di un individuo
(consumatore o impresa) influisce direttamente e in maniera positiva sull’utilità o
sui profitti di un altro individuo).
Def. 2. Costo marginale sociale.
Variazione nei costi totali sociali di produzione derivante dalla produzione di
un’unità aggiuntiva di output. Riflette il costo-opportunità di tutti gli input impiegati, indipendentemente dal fatto che abbiano un prezo oppure no.
Def. 3. Teorema di Coase.
Una volta stabilito a chi appartiene una certa risorsa, la contrattazione tra le parti
coinvolte porterà ad un uso efficiente di tale risorsa.
Def. 4. Sussidio pigouviano.
Sussidio per unità di output garantito ad un’impresa che genera esternalità positiva, il cui ammontare è pari al beneficio marginale che l’impresa procura alla collettività in corrispondenza del volume di produzione efficiente.
Def. 5. Bene pubblico.
Un bene per il quale valgono le proprietà di non rivalità e di non escludibilità.
Def. 6. Miglioramento paretiano.
Redistribuzione delle risorse che migliora la condizione di almeno una persona,
senza peggiorare quella di nessun altro.
Def. 7. Curva dei contratti.
1
Luogo di tutti i punti nella scatola di Edgeworth corrispondenti ad allocazioni efficienti nel consumo.
Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la
risposta.
Vero/Falso 1. In un equilibrio concorrenziale, la quantità prodotta di un bene che
genera esternalità negative è superiore a quella socialmente efficiente.
VERO. La quantità prodotta in concorrenza perfetta è tale da eguagliare i benefici marginali privati ai costi marginali privati. Poiché il costo marginale sociale è
superiore al costo marginale privato si ha un eccesso di produzione.
Vero/Falso 2. L’impresa A produce giocattoli di plastica con un processo produttivo che emette scarichi inquinanti (Z). L’impresa A non ha costi dovuti alla
produzione di scarichi dannosi ma solo un beneficio marginale pari a M B = 40 − 4Z.
Gli scarichi, però, producono un danno all’impresa B che produce nelle adiacenze di
A. Sicuramente, la quantità di scarichi inquinanti socialmente efficiente sarà maggiore
di 10 unità.
FALSO. Dato che l’impresa A non ha costi legati alla produzione di inquinamento (e quindi il danno marginale privato è nullo), sceglierà di inquinare fintanto
che MB=0 (ovvero Z=10). Poiché il danno marginale sociale è superiore a zero, il
livello sociualmente efficiente di scarichi inquinanti sarà sicuramente inferiore a 10.
Vero/Falso 3. Un bene pubblico (Q) può essere fornito ad un costo marginale
costante e pari a 10. La domanda di questo bene da parte di Carlo è Qc = 20 − p,
quella di Luca è Ql = 16 − 2p. La quantità socialmente ottimale di bene pubblico è
12.
VERO. I benefici marginali di Carlo e Luca sono, rispettivamente, M Bc = 20−Q
e M Bl = 8 − (1/2)Q; quindi il beneficio marginale sociale è M BS = M Bc + M Bl =
28 − (3/2)Q. Eguaglaindo beneficio marginale sociale e costo marginale sociale otteniamo ( M BS = M CS → 28 − (3/2)Q = 10) una quantità socialmente efficiente
Q∗ = 12.
Vero/Falso 4. La perdita netta associata ad un monopolio il cui output è fonte di
esternalità positive è maggiore della perdita netta associata ad un monopolio il cui
output non genera esternalità.
VERO. La perdita netta di monopolio deriva dalla produzione di un livello di
output inferiore a quello socialmente ottimale. In presenza di esternalità positive
l’output socialmente efficiente (Y ∗ ) sarà maggiore dell’output in assenza di esternalità (Y ∗∗ ): Y ∗ >Y ∗∗ . Un monopolista produrrebbe una quantità (Y m ) inferiore
all’output in assenza di esternalità (Y ∗∗ ): Y ∗ > Y ∗∗ > Y m . Quindi la perdita netta
associata al monopolio con esternalità positive è maggiore della perdita netta associata ad un monopolio senza esternalità positive.
Vero/Falso 5. Considerate un’economia di puro scambio con due agenti e due
beni. Un’allocazione in cui uno solo dei due agenti consuma l’intera dotazione di
2
entrambi i beni è Pareto-efficiente.
VERO. Tale allocazione appartiene alla curva dei contratti, non è quindi possibile migliorare ulteriormente la condizione di almeno un agente senza peggiorare
quella dell’altro.
Vero/Falso 6. Si consideri un’economia di puro scambio. Se entrambi i consumatori preferiscono l’allocazione B all’allocazione A, allora l’allocazione B appartiene
alla curva dei contratti.
INCERTO. Sicuramente l’allocazione A non appartiene alla curva dei contratti
e B rappresenta un miglioramento paretiano ma non sappiamo se, a partie da B,
sono possibili ulteriori miglioramenti nel senso di Pareto.
Vero/Falso 7. Un bene pubblico (X) può essere fornito al costo totale di produzione T C(X) = X 2 . La disponibilità a pagare di ciascuno dei 100 friutori di tale
bene è costante e pari a 1; quindi la quantità socialmente ottimale di tale bene è 100.
FALSO. Il beneficio marginale di ciascun fruitore del bene pubblico è MB i = 1
da cui un beneficio marginale sociale pari a M BS = 100 × M Bi = 100; quindi la
quantità socialmente ottimale è (M BS = M C → 100 = 2X) X ∗ = 50.
Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Un agricoltore (impresa F) ed un apicoltore (impresa B) operano in
poderi confinanti. Indichiamo con qf l’output dell’agricoltore (derrate agricole) e
con qb quello dell’apicoltore (miele). Le due imprese agiscono da price-takers nei
rispettivi mercati. Le derrate agricole sono vendute a 32C
= (pf = 32) mentre il
miele a 16C
= (pb = 16). Siano Cf (qf )=q2f e Cb (qb ,qf ) = q2b +2qf le funzioni di costo
totale delle due imprese. (1) Supponete che i due produttori agiscano in maniera
indipendente e calcolate i rispettivi volumi di vendita. (2) Supponete che l’impresa F
acquisisca l’impresa B e determinate i livelli Pareto-efficienti di derrate agricole e di
miele prodotti dalla nuova impresa F&B. Commentate i risultati ottenuti. (3) Ipotizzate ora che una norma vieti la fusione tra le due imprese. Qual è la somma massima
che l’impresa B sarebbe disposta a versare all’impresa F per indurre l’agricoltore a
produrre il livello socialmente efficiente di derrate agricole?1
Soluzione. (1) I costi marginali delle due imprese sono
M Cf = 2qf e M Cb = 2qb
da cui i seguenti volumi ottimi di produzione
pf = M Cf → 32 = 2qf → qf∗ = 16
e
pb = M Cb → 16 = 2qb → qb∗ = 8
(2) I costi totali di produzione della neo-nata impresa F&B sono
Cf &b (qf , qb ) = Cf (qb , qf ) + Cb (qb , qf ) = qf2 + 2qf + qb2
Il profitto della neo-nata impresa F&B è quindi
πf &b (qf , qb ) = pf qf + pb qb − Cf &b (qf , qb )
1 E’
stato corretto l’errore nello svolgimento!!!!!
3
Dalle condizioni di massimizzazione del profitto rispetto a qb e qf si ottiene
∂π f &b (qf ,qb )
∂qf
e
= 0 → pf = 2 + 2qf → qf∗∗ = 15 < qf∗ = 16
∂π f &b (qf ,qb )
∂qb
= 0 → pb = 2qb → qb∗∗ = 8 = qb∗
Quando le due imprese agiscono in modo indipendente, vengono prodotte derrate
agricole in quantità superiore al livello socialmente ottimale (l’impresa F non tiene
conto dell’esternalità negativa generata sull’impresa B). La produzione di miele invece
era già al livello socialmente ottimale in quanto non viene generata alcuna esternalità.
(3) L’impresa B è disposta a versare all’impresa F una somma massima pari alla
contrazione nel danno patito, dove il danno è pari a 2qf (si ricava dalle funzione di
costo dell’impresa b). Formalmente
Contrazione nel danno = 2qf∗ − 2qf∗∗ = 2(16) − 2(15) = 2
Esercizio 2. La ditta Chemprod opera in concorrenza perfetta, e produce un
medicinale generico il cui prezzo di vendita è 12. La funzione di costo totale sopportato dalla Chemprod è data da T C(Q) = (1/2) Q2 , dove Q è la quantità di medicinale
prodotto. Nel produrre il medicinale, la Chemprod emette fumi che provocano un
danno al vicinato: il danno totale dipende dalla quantità prodotta, ed è quantificabile come D(Q)=2Q. (1) Illustrare la situazione tramite il grafico delle grandezze
marginali, esplicitando in particolare il costo marginale privato della Chemprod e
quello sociale; calcolare la scelta ottima privata della Chemprod, e la quantità socialmente efficiente; valutare il danno totale provocato al vicinato nei due casi. (2)
Il partito di opposizione propone di imporre una tassa per ogni unità prodotta dalla
Chemprod al fine di indurla a produrre la quantità socialmente efficiente di medicinale. A quanto deve ammontare tale tassa? (3) Il partito di governo, invece, propone
di lasciar fare alla Chemprod, sostenendo che il vicinato si darà poi da fare per proporre alla Chemprod una riduzione della sua produzione. Quanto è disposto a pagare
il vicinato per ottenere che la Chemprod riduca la propria produzione di medicinale
al livello socialmente efficiente?
Soluzione. (1) La Chemprod opera in concorrenza perfetta, per cui il prezzo di
vendita coincide con il suo ricavo marginale (MR), che è dunque una retta orizzontale
in corrispondenza del valore 12. Siccome il costo totale dell’impresa è T C(Q) =
(1/2) Q2 , il suo costo marginale privato MC (cioè quello sopportato direttamente
da essa) è Q. La scelta ottima privata della Chemprod è tale da eguagliare benefici
(ricavi) e costi marginali privati
Qp = 12.
La ditta, tuttavia, provoca anche un danno esterno pari a D(Q)=2Q, e dunque il
danno marginale prodotto da ogni nuova unità prodotta è MD = 2. Il costo marginale
sociale derivante dall’attività produttiva è
M CS = M C + M D = Q + 2
Il beneficio marginale sociale in questo caso è rappresentato dal prezzo di vendita,
12. Eguagliando quanto sopra si ottiene
Q + 2 = 12 → Qs = 10 < Q∗
4
Come capita sempre nel caso di esternalità negative, la quantità socialmente efficiente
è inferiore a quella scelta privatamente. Si veda il grafico sottostante.
P
MR
MC
MCS
MC
P = MR
12
2
Q
Q S =10 QP =12
Il danno totale provocato da un certo livello di produzione è pari, come detto sopra, a D(Q)=2Q; dunque il danno totale provocato dalla scelta ottima privata è pari
a 2 × Qp = 24 (somme delle due aree ombreggiate nella figura), mentre quello provocato nel caso della quantità socialmente efficiente è 2 × Qs = 20 (area ombreggiata
solo in chiaro).
(2) Una tassa per ogni unità prodotta dalla Chemprod ha l’effetto di far aumentare
il costo marginale privato sopportato dalla Chemprod. L’obiettivo, come sappiamo, è
quello di indurre la Chemprod a produrre la quantità socialmente efficiente di output
(10 anziché 12). Quindi basta che la curva del costo marginale complessivo (inclusa
la tassa, t) della Chemprod eguagli il costo marginale sociale (in corrispondenza del
livello socialmente efficiente di output):
M C + t = M CS → Qs + t = Qs + 2 → t = 2
in tal modo la scelta ottima privata della Chemprod sarà 10 e non più 12. Questo è
un intervento che alcuni chiamerebbero “statalista”.
(3) Se si lascia che la Chemprod faccia ciò che vuole (cioè si “attribuiscono i
diritti” alla Chemprod), essa produrrà ovviamente la quantità 12. A questo punto
il vicinato sa che, se la produzione di Chemprod si riducesse al livello socialmente
efficiente, cioè da 12 a 10, il danno per il vicinato stesso si ridurrebbe di 12 — 10 =
2 (vedi punto 1). Quindi, la somma massima che il vicinato è disposto a spendere
per indurre la Chemprod a produrre la quantità socialmente efficiente è 2. Ovviamente, occorre presupporre che esista la possibilità di condurre a buon termine le
contrattazioni fra il vicinato e la Chemprod. Alcuni chiamerebbero questa politica
“liberista”.
Esercizio 3. Il bene X è un bene pubblico; esso viene prodotto ad un costo totale
pari a 6X, dove X è la quantità prodotta, e viene venduto ad un prezzo p pari al
costo marginale. Nella società ci sono solo Topolino e Pippo: la domanda del bene
da parte di Topolino è Xt = 4 − (1/2)p, mentre quella di Pippo è Xp = 4 − p. (1)
Definite correttamente un bene pubblico, e fatene un esempio. (2) Rappresentate
correttamente le curve di domanda di Topolino e Pippo, e determinate quanto del
bene viene acquistato da ciascuno dei due; calcolate il surplus che Topolino e Pippo
5
traggono da queste decisioni, e anche il surplus sociale. (3) Calcolate quale sarebbe
la quantità socialmente efficiente del bene pubblico, e quanto sarebbe in questo caso
il surplus sociale.
Soluzione. (1) Un bene è pubblico quando tutti possono consumare simultaneamente la stessa dose di quel bene, e nessuno può essere escluso dal consumo di quel
bene, cioè se qualcuno ne ha comprato una dose tutti gli altri ne fruiscono gratuitamente. Se per esempio una parte degli abitanti (o anche un solo abitante) pagano
per uno sceriffo di quartiere allora tutti gli abitanti godranno di quel servizio.
(2) Dato il costo totale di produzione, il costo marginale è
MC = 6
e, date le ipotesi, il bene X viene venduto ad un prezzo p pari a MC=6.
La curva di domanda (inversa) di Topolino è
pt = 8 − 2X
, mentre quella di Pippo è
pp = 4 − X
La curva di domanda di Topolino (MBt ) è il suo beneficio marginale; idem per Pippo
(MBp ). Ecco il grafico.
p
12
MB
8
prezzo=MC
6
4
MBT
3
MBP
1
2
X
4
Siccome il prezzo di vendita è 6, solo Topolino acquista un po’ del bene pubblico,
mentre Pippo non ne acquista dato che la sua curva di domanda inversa è troppo
bassa ovvero la sua disponibilità a pagare è inferiore al prezzo di mercato. Topolino
compra una unità (lo si ottiene subito dalla sua curva di domanda diretta). Il surplus
di consumatore di Topolino, SCt , è
SCt =
8−6
2
=1
(l’area ombreggiata della figura); ma anche Pippo ottiene del surplus SCp , in quanto
può godere di una unità del bene pagando zero: il surplus di Pippo è l’area tratteggiata della figura, un trapezio rettangolo
SCp =
4+3
2
6
= 3.5
Il surplus sociale è quindi
SC = SCt + SCp = 1 + 3.5 = 4.5
(3) La quantità socialmente efficiente è individuata dall’uguaglianza fra costo
marginale (sociale) e beneficio marginale sociale MBS. Nel caso di un bene pubblico
il MBS è la somma verticale dei benefici marginali privati dei soggetti partecipanti
M BS = 8 − 2X + 4 − X = 12 − 3X
mentre il costo marginale sociale è 6. Eguagliando
M BS = M C → 12 − 3X = 6 → X ∗ = 2 > 1
La quantità socialmente efficiente è 2. Il surplus sociale in corrispondenza di tale
quantità è
SC 0 = 12−6
2 × 2 = 6 > 4.5
Esercizio 4. Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo opera
un’impresa caratterizzata dalla funzione di costo totale T C(Q) = 50Q. (1) Si calcoli
l’equilibrio (in termini di quantità scambiata, prezzo, profitti e surplus dei consumatori) supponendo che la domanda inversa di mercato sia p = 100−Q. (2) Si supponga
che l’attività produttiva generi un beneficio marginale a soggetti terzi nella misura di
M B(Q) = 10. Si calcoli il beneficio totale in corrispondenza dell’equilibrio privato.
(3) Se invece di un’impresa competitiva il mercato fosse stato dominato da un monopolista, quale sarebbe stato il livello di output prodotto e quale il beneficio totale
generato? (4) Confrontate (anche graficamente) l’equilibrio competitivo con quello
monopolistico in presenza dell’esternalità e calcolate il livello di sussidio pigouviano
che dovrebbe essere implementato nei due casi.
Soluzione. (1) Le curve di domanda inversa e di costo marginale sono, rispettivamente
C(Q)
p = 100 − Q e M C = dTdQ
= 50;
La produzione privata, stante l’ipotesi di concorrenza perfetta, è
p = M C → 100 − Q = 50 → Q∗ = 50
Sostituendo nella curva di domanda inversa si ottiene p∗ = 50. Il profitto dell’impresa
competitiva è nullo (il prezzo di vendita equivale al costo medio di produzione) mentre
il surplus dei consumatori è
SC =
100−50
2
× 50 = 1250
(2) Il beneficio totale per i soggetti terzi, stante la forma del beneficio marginale,
è
B(Q) = 10Q
da cui un beneficio in corrispondenza dell’equilibrio privato pari a
B(Q∗ ) = 10Q∗ = 500
Quindi la produzione del bene genera un beneficio per soggetti terzi nella misura di
500 ed un surplus dei consumatori di 1250.
7
(3) Un monopolista avrebbe optato per un livello di output tale per cui
M R = M C → 100 − 2Q = 50
quindi l’equilibrio di monopolio si caratterizzerebbe per un volume di output pari a
25 ed un prezzo di vendita pari a 75. I profitti del monopolista sarebbero pari a
πm = (75 − 50) × 25 = 625
Il surplus dei consumatori in questo caso sarebbe pari a
SC =
100−75
2
× 25 =
625
2
ed il beneficio complessivo di cui godono i terzi in questo caso sarebbe
B(Qm ) = 10Qm = 250
(4) Il livello socialmente efficiente di output è tale da eguagliare benefici e costi
di tutti i soggetti coinvolti. Il costo marginale sociale derivante dalla produzione del
bene è
M CS = M C − M B = 50 − 10 = 40
quindi
M BS = M CS → 100 − Q = 40 → Qs = 60
Sia l’impresa competitiva che il monopolista in presenza di esternalità positive producono un livello inferiore a quello socialmente efficiente. Nel grafico sottostante
forniamo una rappresentazione della situazioone di cui sopra.
p
100
domanda
Eq.monopolio
Eq. competitivo
MC=
50
MCS
=40
MR
Output socialmente efficiente
Qm=25 Q*=50 Qs=60
100
Q
L’area celeste segnala il beneficio per i terzi in corrispondenza dell’eq. di monopolio;
la somma delle aree rossa e celeste indica il beneficio per i terzi in corrispondenza
dell’eq. competitivo; le aree colorate indicano il beneficio dei terzi in corrispondenza
8
del livello pareto-efficiente di output.
p
100
domanda
Eq.monopolio
Eq. competitivo
MC=
50
Sussidio per impresa competitiva
MCS
=40
MR
Sussidio per monopolista
0
Qm=25
Q*=50 Qs=60
100
Q
Per indurre l’impresa competitiva a produrre 60 unità di output sarebbe necessario
un sussidio per unità di output tale per cui
M C − s = M CS → 50 − s = 40 → s∗ = 10
mentre per indurre un monopolista a produrre il livello socialmente efficiente di output sarebbe necessario un sussidio s∗∗ = 70, tale per cui l’intersezione tra curva di
ricavo marginale e curva di costo marginale del monopolista si verifichi in corrispondenza del livello socialmente efficiente di output
M R = M C − s → 100 − 2Qs = 50 − s → 100 − 120 = 50 − s → s∗∗ = 70
Esercizio 5. Un Governo deve decidere quale ammontare di bene pubblico fornire.
Ci sono solo due cittadini interessati a tale bene (A e B). Le curve della disponibilità
a pagare (ovvero le curve di beneficio marginale) di ognuno dei due cittadini sono
M BA = 2 − 16 Q e M BB = 4 − 13 Q
La produzione del bene ha un costo
T C(Q) =
Q2
4
+9
(1) Definite correttamente un bene pubblico e fornitene un esempio. (2) Individuate
(anche graficamente) la quantità ottimale di bene pubblico specificando il contributo
complessivo, quello individuale e l’introito pubblico (supponendo che il Governo abbia
la facoltà di imporre ai contribuenti di partecipare al finanziamento della spesa per
la produzione del bene pubblico). (3) Se il Governo dovesse imporre ad entrambi i
cittadini un contributo alla produzione del bene pubblico nella stessa misura, ritenete
che il bene sarebbe prodotto? Argomentate la risposta.
Soluzione. (1) Un bene è pubblico quando è non rivale e non escludibile ovvero
quando è tale da: consentire il consumo simultaneo da parte di più utenti; non
consentire l’esclusione di coloro che non hanno contribuito all’acquisto una volta
che qualcuno ne ha comprato una certa quantità. Se per esempio una parte degli
abitanti (o anche un solo abitante) pagano per un servizio di disinfestazione dalle
zanzare allora tutti gli abitanti godranno di quel servizio.
9
(2) La curva del beneficio marginale di A si caratterizza per una pendenza pari a
-(1/6); un’intercetta verticale (0; 2) ed un’intercetta orizzontale (12; 0). La curva del
beneficio marginale di B si caratterizza per una pendenza pari a -(1/3); un’intercetta
verticale (0; 4) ed un’intercetta orizzontale (12; 0). Dunque graficamente
MB,
MC
4
Beneficio marginale di B
2
Beneficio marginale di A
12
Q
da cui un beneficio marginale sociale pari a
M BS = M BA + M BB = 2 − 16 Q + 4 − 13 Q = 6 − 12 Q
MB,
MC
6
Beneficio marginale di A+B
4
Beneficio marginale di B
2
Beneficio marginale di A
12
Q
La curva di costo marginale è
M C(Q) =
Q
2
da cui
M BS = M C(Q) → 6 − 12 Q =
Q
2
→ Q∗ = 6,
un contributo complessivo alla realizzazione del bene pubblico pari a
M BS ∗ = 6 − 3 = 3,
un contributo individuale di
∗
∗
M BA
= 2 − 16 Q∗ = 1 e M BB
= 4 − 13 Q∗ = 2
ed un introito pubblico di
M BS ∗ × Q∗ − T C(Q∗ ) = 18 − 9 − 9 = 0
10
Graficamente
MB,
MC
6
MC
Beneficio marginale di A+B
4
Beneficio marginale di B
3
2
Beneficio marginale di A
1
6
12
Q
(3) Se ad entrambi i contribuienti venisse richiesto di versare un analogo contributo, e quindi se
∗
∗∗
∗∗
M BA
= M BB
= MBS
= 32
2
il primo consumatore si dichiarerebbe non più interessato al bene pubblico (il beneficio derivante dal consumo in questo caso sarebbe nullo). Sul mercato resterebbe solo
il consumatore B. Stante il costo di produzione e la disponibilità a pagare dell’unico
interessato avremmo che
M BS = M C(Q) → M BB = M C → 4 − 13 Q =
Q
2
→ Q∗∗ =
24
5
, M BS ∗∗ = 4 −
1 24
3 5
=
12
5
Dal momento che in questo caso il governo subirebbe una perdita, il bene pubblico
non sarebbe fornito:
M BS ∗∗ × Q∗∗ − T C(Q∗∗ ) = −9
Esercizio 6. L’impresa A produce il bene x venduto in un mercato concorrenziale
al prezzo costante di 1000. La funzione di costo totale dell’impresa A è
T CA (x, z) = x2 + (12 − z)2
dove z rappresenta il livello di inquinamento connesso al processo produttivo di
x. L’impresa B produce il bene y, venduto in un mercato concorrenziale al prezzo
costante pari a 400. La funzione di costo totale dell’impresa B è
T CB (y, z) = y 2 + 12 z 2 .
Le conseguenze dell’attività produttiva di A sono percepite esclusivamente dall’impresa
B. (1) Fornite definizione, espressione analitica e rappresentazione grafica di: costo
marginale privato, danno marginale e costo marginale sociale dell’inquinamento. (2)
Determinate i volumi di inquinamento ed i profitti massimi dell’impresa B quando
A adotta un comportamento opportunistico. (3) Calcolate (ed indicate nel grafico)
il livello socialmente efficiente di inquinamento. (4) Determinate il livello di imposta
di Pigou che dovrebbe gravare sull’impresa A perchè si raggiunga la configurazione
Pareto efficiente.
Soluzione. (1) Guardate bene il costo dell’impresa A: l’inquinamento non dipende
da quanto l’impresa A produce (z non dipenda da x); il significato del termine
11
(12 − z)2 , che appare nel costo, è semplicemente che l’impresa A può decidere di
inquinare più o meno, e minor inquinamento le costa di più, indipendentemente da
quanto produce, quindi tale termine rappresenta una specie di “costo di disinquinamento”: più aumenta l’inquinamento (almeno sino a 12) e più si riduce il costo. La
scelta ottima, dal punto di vista privato, di questa impresa sarà produrre la quantità
x che massimizza il profitto
π A = T RA − T CA = 1000x − x2 − (12 − z)2
Notate che la scelta della quantità ottima di prodotto x può avvenire senza considerare il costo del disinquinamento, visto che x e z entrano in modo indipendente
nel profitto. Dopo aver scelto quanto produrre, l’impresa A deciderà di fissare il
livello di inquinamento in modo da minimizzare il costo di disinquinamento. Ovviamente, il livello di inquinamento che minimizza il costo di disinquinamento è 12. In
termini formali per individuare il livello ottimo delle due variabili, x e z è necessario
annullare entrambe le derivate parziali del profitto:
½ ∂πA
½
½ ∗
1000 − 2x = 0
x = 500
∂x = 0 →
→
∂πA
z ∗ = 12
2
(12
−
z)
(−1)
=
0
=
0
∂z
Si ribadisce che, in questo esempio, la scelta di quanto inquinare è indipendente dalla
scelta di quanto produrre e viceversa: x ottimale rimane sempre 500 anche se cambia
la parte della funzione di costo che dipende da z; e la scelta di quanto inquinare
rimane 12, qualsiasi sia il modo in cui il costo dipende dalla quantità x.
(2) Ora considerate il costo dell’impresa B: l’inquinamento z è deciso dall’impresa
A, e questa non ci può fare nulla, nel senso che il costo da inquinamento non dipende
da quanto B decide di produrre. Quindi è come se fosse un costo fisso per l’impresa
B (che ora sappiamo valere 12 z 2 = 12 122 = 72). L’impresa B, come ogni impresa, non
considera i costi fissi e massimizza il proprio profitto
π B = 400y − y 2 − 72
da cui una derivata prima rispetto alla quantità prodotta pari a
dπ B
dy
= 400 − 2y
che si annulla per
dπ B
dy
= 0 → 400 − 2y = 0 → y ∗ = 200
Si noti che questa impresa sceglie y ∗ = 200 indipendentemente da quello che fa
l’impresa A.
(3) La quantità socialmente efficiente di inquinamento è quella che massimizza
il surplus sociale. In questo esempio il surplus sociale è semplicemente la somma
dei profitti delle due imprese, visto che essendo in concorrenza perfetta esse non
contribuiscono, con le loro scelte, al surplus dei consumatori. Formalmente il profitto
congiunto (che dipende dal livello di produzione delle due imprese e dal livello di
inquinamento) è
£
¤ £
¤
Π(x, y, z) = 1000x − x2 − (12 − z)2 + 400y − y 2 − 12 z 2
Quindi occorre massimizzare il profitto congiunto rispetto alle tre variabili: x, y e
z. Come abbiamo visto prima, la scelta dell’inquinamento da parte dell’impresa A
è indipendente dalla sua scelta di quanto produrre; d’altra parte, il suo profitto,
ma non la decisione di quanto produrre, dipende da quanto inquina. Similmente,
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la scelta di quanto produrre da parte dell’impresa B non dipende dall’inquinamento
di A: di nuovo, il suo profitto, ma non la decisione di quanto produrre, dipende
dall’inquinamento di A. Dunque la quantità socialmente efficiente dipende solo da
quanto A decide di inquinare (e non da quanto le due imprese decidono di produrre),
tenendo però conto del fatto che questa scelta influenza anche i profitti di B (ma
non la sua produzione). Detto in altri termini, basta concentrarci sull’effetto che
l’inquinamento ha sui profitti delle due imprese, e non anche sul loro livello di produzione. Ricordando le annotazioni precedenti, ovvero il fatto che sia y che x non
dipendono dal livello di inquinamento, sappiamo già che i livelli ottimali di queste
due variabili saranno x∗ = 500 e y∗ = 200 (come al punto 2). Cambia però il livello
ottimo di inquinamento dal momento che l’impresa A non teneva conto del danno
causato all’impresa B; infatti calcolando la derivata del profitto congiunto rispetto a
z e ponendo questa derivata uguale a zero otteniamo
∂Π
∂z
= 0 → −2(12 − z)(−1) − 12 (2)z = 0 → z ∗∗ = 8
L’inquinamento socialmente efficiente è inferiore a quello deciso privatamente
dall’impresa A (z∗ =12>8). Si ripete che questo risultato non dipende da quanto
le due imprese producono, perché la derivata appena calcolata non dipende da tali
decisioni.
(4) L’imposta di Pigou è, in questo caso, un’imposta uniforme per ogni unità di
inquinamento dell’impresa A, che faccia sì che il maggior costo marginale di inquinamento (inclusivo dell’imposta) di tale impresa la induca a inquinare in ammontare
proprio pari alla quantità socialmente efficiente, che abbiamo scoperto appena prima
essere 8. Ora, ricordiamo che il profitto dell’impresa A è originariamente
π A = T RA − T CA = 1000x − x2 − (12 − z)2
Se aggiungiamo un ulteriore costo, dovuto ad un’imposta t per ogni unità di inquinamento, il profitto dell’impresa A diventa
πA (, t) = 1000x − x2 − (12 − z)2 + tz
Allora l’impresa A, per massimizzare il profitto rispetto all’inquinamento, sceglierà
il livello di z in modo da annullarne la derivata parziale, cioè
∂π A
∂z
= 0 → −2(12 − z)(−1) − t = 0 → z =
24−t
2
Siccome l’inquinamento socialmente ottimale z∗∗ = 8, sostituendo si ottiene
8=
24−t
2
→ t∗ = 8
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