DIDATTICA DELL’ARITMETICA
NELLA SCUOLA MEDIA
LA RICERCA DIDATTICA
UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA
In certi contesti storici il passaggio, non necessariamente
sequenziale, da rappresentazioni iconiche a rappresentazioni
simboliche, attraverso le rappresentazioni "indicative"
(dall'inglese "indexical") è un tratto caratteristico dello
sviluppo del ragionamento matematico.
UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA
Il pensiero aritmetico, così come altre forme di pensiero, vive in
una delicata interazione tra attività mentale ed espressione
linguistica: in generale le rappresentazioni e i simboli
costituiscono un sistema semiotico di particolare importanza
per ogni attività matematica.
UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA
(Radford, 1999).
I segni non come specchi riflettenti di processi cognitivi interni, ma
come strumenti o addirittura protesi della mente.
I segni vestono, per Radford, una sorta di "embodied intelligence"
(intelligenza incorporata), in quanto sonpo stati costruiti
storicamente per qualche scopo e come tali trascinano con sé modelli
di usi e ragionamenti precedenti.
Tuttavia, i segni, così come ogni altro artefatto culturale, non
parlano da sé.
Essi vivono nella vita degli individui attraverso atti di
comunicazione e interazione in cui acquistano significato.
Radford ha studiato il modo in cui gli studenti usano i segni, e
attribuiscono a questi i significati, in esperimenti legati alla
costruzione di modelli e alla loro generalizzazione in termini
aritmetico-algebrici.
Secondo Radford i segni vanno intesi in senso generale:
possono essere segni-parola di un linguaggio naturale scritto o
parlato, oppure lettere o altri artefatti.
Egli afferma che l'apprendimento nel passaggio aritmeticaalgebra appare non come un processo aculturale di astrazione,
ma piuttosto come la realizzazione di un processo sociale e
individuale che si appropria di un sistema di segni in una
prospettiva di sviluppo storico e culturale.
Radford sottolinea ripetutamente come la produzione e
comprensione dei segni da parte degli studenti siano
accompagnate (o, meglio, avvolte) da schemi discorsivi.
Contrariamente a quanto ritenuto tradizionalmente, la
generalizzazione non è astrazione avulsa dal contesto, ma una
differente, ma contestuale, espressione semiotica degli schemi
precedenti.
Quindi, per Radford, la produzione di segni in una formula è
mediata dal discorso e dalla sua espressione scritta.
FELICE
Dimostra che un numero pari, maggiore di due, si può sempre
scrivere come somma di due numeri dispari diversi tra loro
3+1=4
5+3=8 (e poi cancella con una riga)
5+1=6
7+1=8
9+1=10
11+1=12
E' vera perché:
i numeri pari hanno di dietro un numero
dispari, perché la scala è p-d-p-d e quindi se si
fa il numero prima, cioè dispari +1 viene pari.
Quindi in formula si può fare così p-1=d e se
faccio d+1=p, perché se pari meno 1 dà
dispari, allora 1 più dispari dà pari.
FELICE
Dimostra che un numero pari, maggiore di due, si può sempre
scrivere come somma di due numeri dispari diversi tra loro
1
2
3 4
5 6
7 8
-1
-1
-1
Quindi, secondo la mia affermazione, se
scrivo un pezzo di scala di numeri pari
facendo meno 1 si può fare quella del
dispari perché p-1=d
quindi d+1=p
Precedente
Successivo
Quindi un pari è uguale ad un precedente
dispari +1.
Interazione tra pensiero e linguaggio. Influsso di
esperienze precedenti (la linea dei numeri,
l'esperienza del conteggio,
la percezione dello spazio e del tempo).
Tutto ciò confluisce nel processo di nominalizzazione.
Esso consiste nell'assegnare nomi agli elementi del
problema
in modo da incorporarvi il senso del problema stesso.
Le lettere fungono da nomi per gli elementi in gioco e
le relazioni tra le lettere riflettono le relazioni tra gli
elementi.
Nel protocollo di Felice la scelta dei nomi è utile per
giungere alla soluzione:
lo scrivere p-1=d induce l'altra scrittura d+1=p, che
rende manifesto il fatto che ogni pari può essere
rappresentato come somma del precedente dispari,
più uno.
Generalmente succede che i buoni risolutori fin
dall'inizio intravedono un possibile cammino e
inglobano questa anticipazione nei loro primi
tentativi di nominalizzazione
I principianti spesso procedono a tentoni mentre
scelgono i nomi e sono influenzati da rigidi stereotipi.
In questi casi il processo di nominalizzazione prende
strade sbagliate e il nome diventa un "designatore
rigido“(Arzarello, Bazzini e Chiappini, 1994).
Dimostra che la somma di due numeri dispari
consecutivi è un multiplo di 4.
Un esperimento condotto con studenti di scuola media
e con studenti universitari ha mostrato la stessa
tipologia di errori:
due numeri dispari consecutivi sono scritti come
x+y
2h+1+2k+1 invece di 2h+1+2h+3
oppure sono presenti solo tentativi aritmetici
L'esempio
due numeri dispari consecutivi scritti come
x+y
2h+1+2k+1
invece di 2h+1+2h+3
dimostra che alcuni studenti, che riescono ad esprimere le
relazioni tra gli elementi del problema usando il linguaggio
naturale o il codice aritmetico, non sono capaci di
esprimere le stesse relazioni in termini algebrici.
Più precisamente, sono incapaci di usare il linguaggio
algebrico come mediatore tra lo scopo del problema e le
relazioni qualitative e quantitative tra i suoi elementi.
Il senso del problema non viene tradotto nel codice
algebrico.
LINGUAGGIO NATURALE
NUMERI
LETTERE
• Dividere un numero dato in due parti tali
che la prima parte superi la seconda di un
numero dato
• Ragionamento orale:
• “La parte più piccola è uguale alla metà del
numero da dividere, meno la metà
dell’eccesso dato”
• Dividere un numero dato in due parti tali
che la prima parte superi la seconda di un
numero dato
• Esempio numerico:
• “Il numero da dividere sia 9, l’eccesso dato
sia 5. Allora la parte più piccola è2, la più
grande è7”
• Passaggio alle lettere:
• “Sia a il numero da dividere e b l’eccesso.
Allora, indicando con x la parte più piccola,
è x=a/2 – b/2
Trovare tre numeri la cui somma sia 164,
tali che il secondo superi il primo di 14 e che il terzo sia la
somma dei primi due.
Possibile soluzione aritmetica
“La somma dei tre numeri si compone di
1) Primo numero
2) Primo numero aumentato di 14
3) Due volte il primo numero più 14
Si ha cioè quattro volte il primo numero aumentato di 28.
Se dunque si toglie 28 da 164, il resto (136) varrà il quadruplo del
primo numero e di conseguenza 136:4, cioè 34.”
Possibile soluzione algebrica
x+x+14+x+x+14 = 164
4x + 28 = 164
x = 34
ELISA
Cosa succede se addiziono due dispari consecutivi? Si trova una
regolarità? Se si, quale? Spiega i tuoi ragionamenti
3+5=8
4+4=8
5+7=12
6+6=12
7+9=16
8+8=16
.……
……….
Quello in mezzo è pari -1, e il secondo è pari +1, è come
sommare due pari, anzi come sommare due pari
uguali, px2 quindi è multiplo di 4.
Provo con le lettere
d+ (d+2)=[(d+2)-1]x2=p
/
doppio del pari che sta in mezzo
Poi Elisa torna ai numeri
d=3
d=5
d+2-1=4
d+d+2=(d+1)x2=2d+2
ELISA
Cosa succede se addiziono due dispari consecutivi? Si trova una
regolarità? Se si, quale? Spiega i tuoi ragionamenti
Poi Elisa torna ai numeri
d=3
d=5
d+2-1=4
d+d+2=(d+1)x2=2d+2
In questo passaggio il ragionamento sui numeri è sottostante alla
trasformazione algebrica, che produce un cambio di espressione
simbolica (e quindi di senso), ma non un cambio di denotazione. Il
nuovo senso le permette di confermare la sua intuizione primitiva
sui numeri.
Infine, Elisa conclude:
P P P P…
2 4 6 8…
il doppio di un dispari è il primo pari; +2 è il pari che
viene dopo, che è quello multiplo di 4.
ELISA
Il protocollo di Elisa dimostra chiaramente
l'attivazione di sensi diversi e la loro
coordinazione: le lettere sostengono il flusso di
pensiero ed Elisa non perde mai il controllo
della situazione.
ANTICIPAZIONE
“Anticipazione" : processi mentali attraverso i quali il soggetto
intravede la forma finale dell'espressione utile a risolvere il
problema, e anche il modo per attuare le trasformazioni
necessarie per ottenerla.
Elementi diversi concorrono nel processo: la memoria del
passato, le trasformazioni che hanno avuto successo in
situazioni analoghe, l'intuizione delle forme, intermedie e
finale, dell'espressione, suggerite dalla forma presente.
Infine, la capacità di relazionare la forma dell'espressione
trasformata agli scopi del problema.
ANTICIPAZIONE
Può succedere ad esempio che di fronte all'addizione 6+7, il
bambino calcoli in questo modo: 6+6+1 e, ricordando che 6+6 fa
12, aggiunga 1 e arrivi al risultato (13). Il bambino che segue
questa procedura dimostra una buona comprensione
dell'operazione di addizione: sa che può scomporre un numero
adeguatamente e che può sommare i singoli addendi scomposti.
Facendo poi ricorso a conoscenze immagazzinate in memoria (in
questo caso 6+6=12) trova il risultato. Osserviamo che qui il
bambino, oltre a padroneggiare disinvoltamente i numeri,
dimostra un forte pensiero anticipatorio: scompone 7=6+1
pensando già a come utilizzare gli addendi.
ANTICIPAZIONE
La tensione continua tra "prevedere" e "applicare" e,
analogamente, tra "congetturare" e "validare", permette
un produttivo sviluppo del ragionamento , in aritmetica
come in algebra.
Il problema della brava tessitrice
Una tessitrice migliora ogni giorno le sue capacità sicchè ogni
giorno è in grado di produrre una lunghezza di stoffa doppia di
quella tessuta il giorno precedente. Così facendo, in 6 giorni
produce 189 cm di stoffa. Quanto produce ogni giorno?
Lunghezza della stoffa tessuta nei sei giorni
t + t x 2 + t x 4 + t x 8 + t x 16 + t x 32
t x 63
= 189
t
= 3
Lunghezza della stoffa tessuta nei sei giorni
3 6 12 24 48 96
Il problema della brava tessitrice è riportato nel secondo capitolo del
Chiu Chang suan-shu
( “Nove capitoli sulle arti matematiche” ),
il più autorevole testo matematico cinese antico.
Fu scritto probabilmente nel primo secolo dopo Cristo ( in Occidente
l’impero Romano attraversava allora il suo periodo di massimo
splendore), presenta 246 problemi e contiene un dettagliato riassunto del
sapere matematico del tempo: regole per eseguire operazioni, metodi per
misurare i terreni, dividere somme di denaro, determinare tassazioni,
progettare edifici….
Sebbene sapessero applicare anche procedure più sofisticate e complesse,
i matematici cinesi, come gli egizi, per risolvere i problemi come questo,
si servivano del metodo “della falsa posizione”.
VERSO LE PARENTESI
Il bambino invece che calcola 5x11 come 5x10+1 e arriva a 51 come
risultato, dimostra capacità di scomposizione dei numeri, ma scarsa
conoscenza delle proprietà delle operazioni. In questo caso basterà
fargli fare una verifica per accorgersi che il risultato è sbagliato,
quindi possiamo moltiplicare 5x10, ma poi dobbiamo moltiplicare
5x1 e sommare i due risultati. E' la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all'addizione. La strada si apre all'uso delle
parentesi.
TRASFORMAZIONE
Ogni trasformazione, in aritmetica come in algebra,
prende senso se legata a un'intuizione che anticipa la
strada da seguire.
Qui spesso si apre il divario tra chi intravede da subito il
percorso e chi si arena senza saper cosa fare. Per
quest'ultimo i simboli (numeri, lettere, segni di operazione)
si svuotano di ogni significato: al massimo vengono
spostati qua e là, senza un disegno preciso.
TRASFORMAZIONE
Ogni trasformazione, in aritmetica come in algebra,
prende senso se legata a un'intuizione che anticipa la
strada da seguire.
Qui spesso si apre il divario tra chi intravede da subito il
percorso e chi si arena senza saper cosa fare. Per
quest'ultimo i simboli (numeri, lettere, segni di operazione)
si svuotano di ogni significato: al massimo vengono
spostati qua e là, senza un disegno preciso.
Un altro caso: Andrea
• 3^ media
• Insegnamento innovativo
• Votazione in matematica: molto
buono
y = x2 -4x +4
y = -x2 + 4
Confronta
queste due funzioni,
cioè prova a dire
quando una è
più grande dell’altra
………...
ANDREA
METAFORE
Legittimazione e rilevanza delle metafore collegate
al proprio corpo o alla propria esperienza.
Bilance in equilibrio
I piatti di una bilancia sono in equilibrio quando gli oggetti posti
sul primo piatto pesano quanto gli oggetti collocati sul secondo
piatto
Se togliamo oggetti di pari peso da entrambi i
piatti della bilancia, essi restano in equilibrio
Anche se aggiungiamo oggetti di pari peso
su ciascun piatto della bilancia, l’equilibrio si conserva
Le mele hanno tutte lo stesso peso.
Anche le pere hanno tutte lo stesso peso, diverso da quello delle
mele.
80 g
Tre mele pesano quanto 2 pere. Se tolgo tre mele dal primo piatto
della bilancia, per mantenere l’equilibrio……
Quanto pesa una mela ? Quanto pesa una pera ?
Le melanzane hanno tutte lo stesso peso. Anche i peperoni
hanno tutti lo stesso peso, diverso da quello delle melanzane.
Tre peperoni pesano quanto due melanzane. Anche un peperone e un pomodoro
pesano quanto due melanzane. Un pomodoro pesa 200 grammi.
Quanto pesa un peperone? Quanto pesa una melanzana?
Le pere hanno tutte lo stesso peso.
Anche i limoni hanno tutti lo stesso peso.
Un limone pesa 70 grammi.
Quanto pesa una pera?
Quanto pesa un ananas?
La dispensa della nonna
Durante l’estate la nonna ha preparato un po’ di
salsa di pomodoro che ha messo in vasetti di due
misure.
Su questa bilancia ci sono
complessivamente
7 kg di salsa.
Quanto contiene ogni vasetto
piccolo?
Quanto contiene ogni vasetto
grande?
In Liguria, la nonna ha fatto spese al frantoio. Le bottiglie di olio
e i vasetti di olive pesano complessivamente 5,6 kg.
Quanto pesa un vasetto di olive?
Quanto pesa una bottiglia di olio?
Calcolare in modo disinvolto implica una buona interazione tra
comprensione procedurale e relazionale.
Eseguire senza capire porta alla dimenticanza a breve termine o,
forse peggio, a un ricordo distorto.
Gli studenti si costruiscono una grande varietà di strategie di
calcolo.
L'obiettivo finale consiste nel rendere lo studente padrone di metodi
accurati ed efficienti, che siano saldamente connessi alla
comprensione dei numeri e delle operazioni.
Inoltre lo studente dovrà imparare a conoscere e scegliere gli
strumenti più opportuni, a seconda della situazione: talvolta userà il
calcolo mentale, altre volte carta e matita, altre volte ancora la
calcolatrice.
In base al contesto deciderà poi se accontentarsi di un calcolo
approssimato o se ricercare il risultato esatto
IL PROBLEMA
Il cuore del far matematica
è
I bambini di fronte ad un problema
Aritmetico
Privo di dati numerici
Interessanti perchè
L’allievo è spinto a cercarli e quindi
interviene sul pb. in modo attivo anche nella fase di
elaborazione e non solo in quella di risoluzione
Pb con dati rintracciabili
Pb. scolastici standard
Pb scolastici standard
Linguaggio laconico
Dati numerici
Testo breve culminante con una domanda
Qual è la risposta dell’allievo di fronte alla
proposta di risolvere da solo e per iscritto un
pb. standard con un dato mancante?
Offrirà una soluzione o denuncerà la mancanza dei dati?
Inventerà situazioni fittizie che in qualche modo pongano
rimedio alle lacune?
Il comportamento è influenzato dall’età?
Ricorrerà a qualche tipo di rappresentazione o si
limiterà a fare uso di formalismi noti?
Che tipo di linguaggio userà? (ling. nat. o simboli)
Se il testo richiama situazioni vissute o potenzialmente
tali, cio accrescerà o diminuirà la capacità critica?
Che ruolo ha la possibile identificazione con i personaggi
del pb. e l’eventuale coinvolgimento affettivo?