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Sessione ordinaria 2012
Seconda prova scritta
Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca
M970 – ESAME DI STATO DI ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI
CORSO DI ORDINAMENTO E P.N.I.
Indirizzo: GEOMETRI
Tema di: TOPOGRAFIA
Della particella pentagonale ABCDE, con lati a pendenza costante, sono note le coordinate planoaltimetriche dei vertici, rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali:
VERTICI
A
B
C
D
E
ASCISSE
258.75 m
388.60 m
210.20 m
50.35 m
73.10 m
ORDINATE
208.80 m
75.40 m
- 65.45 m
36.25 m
148.70 m
QUOTE
115.37 m
109.28 m
99.01 m
105.69 m
110.28 m
Dovendosi effettuare una compravendita di una porzione di terreno identificato da tale particella e
successivamente inserire una strada tra i due terreni formatisi, il candidato:
1) Frazioni la particella in due parti, con dividente parallela al lato AB, staccando un’area pari
ad ¼ dell’area totale, verso AB.
2) Detti M ed N rispettivamente gli estremi della dividente su AE e su BC, ne determini le
coordinate planimetriche e le quote.
3) Inserisca una curva monocentrica tangente ai tre rettifili ED, EM, ed MN individuando il
valore del raggio e la posizione dei punti di tangenza (T1 su ED, T2 su EM e T3 su MN).
4) Realizzi il profilo longitudinale in corrispondenza dei picchetti D, T1, T2, T3, N, dopo avere
inserito una livelletta di compenso con pendenza pari al 2%, in salita da D ad N, e determini
le quote rosse e le quote dei punti di passaggio.
Inoltre il candidato rappresenti la planimetria della particella al termine dei lavori in scala 1 : 2000 e
il profilo longitudinale completo del tratto di strada in scala 1 : 1000 / 1 : 100.
____________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l'uso di manuali tecnici e di calcolatrici tascabili non programmabili.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
SOLUZIONE (Claudio Pigato, Giovanni De Poli - ITG Bernini)
Calcoliamo subito, mediante la formula di Gauss, l’area dell’appezzamento:
1 5
A(ABCDE) =  y i  xi 1  xi 1   55.186,7 m2
2 i1
L’area A’ della porzione oggetto di compravendita è pari ad 1/4 della precedente:
A’=A(ABCDE) / 4 = 13.796,7 m2
Per poter applicare la formula del trapezio abbiamo bisogno della lunghezza della base AB e dei due angoli
alla base, che determiniamo con le usuali formule di conversione da coordinate rettangolari a polari:
AB = xB  xA    y B  y A   186,16 m
 = AE - AB = 129,210 gon
 = BA - BC = 93,405 gon
x  xA   200  280,069 gon
essendo:
AE = arctan E
 yE  yA 
x  xA   200  150,858 gon ;
AB = arctan B
 yB  yA 
x  xB   200  257,454 gon
BC = arctan C
 yC  y B 
La base del trapezio incognita risulta pertanto:
2
2
BA = AB  200 = 350,858 gon
MN = AB  2A'  cot   cot    213,11 m
2
Applicando ora la formula inversa dell’area del trapezio determiniamo l’altezza:
2 A'
h=
 69,11 m
AB  MN
h'
h
AM =
 77,08 m ; BN =
 69,48 m
sen 
sen 
Abbiamo tutti gli elementi ora per determinare le coordinate dei due punti M e N:

 xM  xA  AM  sen AE  185,42 m
M

 y M  y A  AM  cos AE  185,06 m

 x N  xB  BN  sen BC  334,07 m
N

 y N  y B  BN  cos BC  32,35 m
Per determinare le quote di M ed N sfruttiamo la circostanza che i lati della particella sono a pendenza
costante:
Q  QA
QM = QA  AM  E
 113,36 m
AE
Q  QB
QN = QB  BN  C
 106,14 m
BC
essendo: BC = 227,30 m; AE = 195,14 m.
Passiamo ora al terzo quesito, determinando il raggio della curva circolare tangente ai tre rettifili ED, EM e
MN, che rappresenta un arco della circonferenza ex-inscritta al triangolo EMV (fig. 1).
1
V
A
M
T2
E
T3
T1
B
O
D
N
C
Fig. 1
Del triangolo VEM possiamo calcolare il lato EM e gli angoli alla base:
EM = AE – AM = 118,06 m
VEM = EM - EV = EA - DE =80,069 - 12,708 =67,361 gon
EMV = MV - ME = BA - AE =350,858 - 280,069 = 70,790 gon
(NB: eventuali differenze sulle ultime cifre nelle differenze indicate derivano dal fatto che i calcoli intermedi
sono eseguiti con tutte le cifre).
Il raggio della curva si determina col rapporto tra l’area del triangolo VEM e la differenza tra semiperimetro
e lato tangente.
A(VEM)
r=
 97,89 m
p(VEM) - EM
 = 200 – (VEM + EMV) = 61,850 gon
EM
VE =
 sen EMV  128,18 m
sen 
EM
VM =
 sen VEM  124,59 m
sen 
1
A(VEM) = EV  EM  sen VEM  6.593,4 m 2
2
La posizione dei punti di tangenza si determina sfruttando la proprietà che il centro O si trova
sull’intersezione delle bisettrici degli angoli esterni:
r
essendo: DEA = 200 – VEM = 132,639 gon
ET1 = ET2 =
 57,23 m
tan DEA/2
r
essendo: NME = 200 – EMV =129,210 gon
MT2 = MT3 =
 60,83 m
tan NME/2
Volendo, si può perfezionare il posizionamento dei punti di tangenza, determinandone le coordinate con le
usuali formule, utilizzate anche in precedenza per i punti M ed N:
T1 (61,75; 92,61) ; T2 (127,55; 166,33) ; T3 (227,84; 141,47)
essendo:
2
Passiamo quindi all’ultimo punto, consistente nella determinazione della livelletta di compenso, avente
pendenza del 2% in salita da D a N. Per completare il profilo servono ovviamente le quote del terreno dei
punti di tangenza. Ora, per i punti T1 e T2 si applica la formula della pendenza già applicata per M e N, dato
che per ipotesi i lati sono a pendenza costante. Per il punto T3 invece sarebbe lecita tale ipotesi solo se tale
punto appartenesse ad un’unica falda, cosa che invece non accade. La determinazione della quota del terreno
in tale punto non è pertanto teoricamente calcolabile con i dati a disposizione. Il calcolo prosegue pertanto
con un calcolo approssimato della quota di T3, assumendo costante la pendenza del lato MN.
Q  QE
QT1 = QE  ET1  D
 107,99 m
DE
Q  QE
QT2 = QE  ET2  A
 111,77 m
AE
Q  QM
QT3  QM  MT3  N
 111,30 m
MN
La livelletta di progetto si determina imponendo che l’area della figura delimitata dal profilo del terreno sia
pari a quella delimitata dal profilo di progetto.
Assumendo una quota di riferimento di 100 metri, si ottiene il seguente valore dell’area:
A = 57,50×(5,69+7,99)/2+103,58×(7,99+11,77)/2+108,85×(11,77+11,30)/2+152,29×(11,30+6,14)/2 =
= 4.002,2 m2
Dividendo tale valore per la distanza complessiva di base, pari a 422,22 metri si ottiene l’altezza del
rettangolo equivalente:
h = 4.002,2 / 422,22 = 9,48 m
Il trapezio finale, pure equivalente, avrà il lato superiore con inclinazione del 2%; notando però che la sua
distanza dalla base inferiore sarà ancora pari all’altezza precedentemente calcolata (poiché a sinistra e a
destra avremo due triangoli di aree uguali, ma opposte), possiamo determinare la quota iniziale di progetto:
qD = 100 + h – 422,22/2 × 0,02 = 105,25 m
Conoscendo la pendenza della livelletta si determinano quindi le quote di tutti gli altri vertici e le relative
quote rosse, come riportate nel profilo di fig. 2:
qT1 = qD + 57,50×0,02 = 106,40 m
;
rT1 = qT1 - QT1 = -1,59 m (sterro)
qT2 = qD + 161,08×0,02 = 108,47 m
;
rT2 = qT2 - QT2 = -3,30 m (sterro)
qT3 = qD + 269,93×0,02 = 110,65 m
;
rT3 = qT3 - QT3 = -0,65 m (sterro)
qN = qD + 422,22×0,02 = 113,70 m
;
rN = qN - QN = 7,55 m (riporto)
-0,44
7,55
-1,59
-0,65
-3,30
L = 422,22 m p= 2%
(100)
106,40 107,99
Quote
di progetto
105,25 105,69
Quote
del terreno
T2
103,58
T3
108,85
N
152,29
113,70 106,14
T1
57,50
110,65 111,30
D
Distanze
108,47 111,77
Punti
Fig. 2
3