SIMULAZIONE DI SECONDA PROVA D’ESAME – ESAME DI STATO 2011/2012
Problemi di spianamento e progettazione stradale
Data: 29/5/2012
CLASSE: __________ CANDIDATO: _________________________
Durata della prova: 7.55 – 13.25. E’ consentito solamente l’uso dei manuali tecnici.
PREMESSA
Per la sistemazione di un appezzamento di terreno, facente parte di un’area destinata a insediamenti
produttivi, un tecnico viene incaricato di studiare lo spianamento di parte di tale area e l’inserimento di una strada
di accesso anche per mezzi pesanti.
Il professionista, dopo le necessarie indagini tecniche presso gli uffici del Territorio e Comunali, esegue il
rilevamento della parte di suo interesse con gli strumenti idonei e quindi realizza una sua planimetria da lavoro in
scala adeguata, segnando con le usuali indicazioni alfabetiche, più semplici da utilizzare, i vertici e gli altri
elementi importanti del disegno, e compila una scheda delle misure e dei dati da lui calcolati (vedi la planimetria
allegata, fuori scala).
Punto A: S T A T O D I F A T T O E D A T I O T T E N U T I D A L R I L I E V O T O P O G R A F I C O
Le misurazioni e i calcoli successivi hanno permesso al tecnico di determinare le coordinate cartesiane e le
quote dei vertici rispetto a un sistema di riferimento locale:
A (−39,034 ; 96,916 ; +21,722)
B (−184,898 ; 326,858 ; +23,033)
C (−116,501 ; 389,256 ; +27,366)
D (−43,373 ; 455,969 ; +32,000)
E (113,429 ; 341,359 ; +29,185)
F (57,532 ; 169,084 ; +27,366)
L’area in oggetto è formata da due particelle adiacenti di mappali nn. 12 e 13, di forma quadrilatera, con
vertici individuati nel verso orario da A-B-C-F (mapp. n. 12) e da F-C-D-E (mapp. n. 13).
Dal punto di vista altimetrico, la particella n. 12 e la parte della n. 13 divisa dalla diagonale DF appartengono
ad un unica falda, mentre la parte rimanente della particella n. 13 appartiene a un’altra falda.
Punto B: D E S C R I Z I O N E D E L L E F A S I D E L L ’ I N T E R V E N T O
1 – Spianamento della particella n. 13 con piano di compenso orizzontale.
2 – Progettazione di una strada avente la carreggiata larga 9,00 metri, passante per i punti L-M-G-H-S, costituita
da un’unica livelletta orizzontale alla quota del piano ottenuto con i lavori di spianamento.
Misure effettuate:
a) prima curva con estremi: L su AB con BL = 58,150 m; M su CF con CM = 24,000 m;
b) asse del primo rettifilo, perpendicolare al confine CF, con estremi: M su CF; N su DE;
c) asse del secondo rettifilo, parallelo al confine DE alla distanza di 4,50 m, con estremi: R su CD e S su EF;
d) curva di raccordo dei due assi rettilinei MN e RS di raggio 40,00 m, con centro O2.
Punto C: I N C A R I C O P A R T I C O L A R E G G I A T O E D E L A B O R A T I R I C H I E S T I A L T E C N I C O
Il candidato risolva l’incarico ricevuto dal tecnico nelle sue parti, producendo gli elaborati grafici e le relazioni
tecniche e di calcolo di seguito elencate, limitandosi alla prima di ciascuna parte e completando l’argomento,
eventualmente in un secondo tempo, con le altre richieste.
1
1) SPIANAMENTO
1a) Studiare lo spianamento della particella di mappale n. 13 con piano orizzontale di compenso, determinando la
quota del piano e le quote rosse dei vertici.
1b) Disegnare la planimetria della particella oggetto dell’intervento in scala opportuna, con l’indicazione di tutti gli
elementi caratterizzanti un progetto di spianamento.
1c) Calcolare il volume di terreno spostato con le operazioni di sterro e/o di riporto, indicando le ipotesi
implicitamente assunte. È facoltà del candidato verificare l’uguaglianza tra il volume di sterro e quello di riporto.
2) PROGETTAZIONE STRADALE
2a) Studiare i vari tratti della strada prevista determinando: il raggio e la lunghezza della curva di estremi L e M,
e le coordinate del centro O1; la lunghezza dei rettifili e della seconda curva, le coordinate del centro O2 e quindi
la lunghezza totale della strada, rilevando gli elementi necessari ai calcoli dal disegno del punto seguente,
realizzato in scala opportuna. È lasciata facoltà di calcolare anche analiticamente gli elementi necessari al disegno.
2b) Disegnare la planimetria del terreno in scala opportuna con l’indicazione dei vertici dei confini e la planimetria
di massima della strada, sullo stesso elaborato grafico, completa dei picchetti e delle indicazioni usuali.
3) RILEVATO STRADALE
3a) Studiare il picchettamento della prima curva di estremi L e M con il metodo preferito, giustificando la scelta, e
dividendo la curva in quattro parti uguali; calcolare le coordinate dei picchetti rispetto al sistema locale adottato e,
facoltativamente, rispetto al sistema di base del rilievo del terreno; accompagnare il calcolo con un disegno
illustrativo.
3b) Disegnare il profilo longitudinale della strada con la usuale quotatura e con scale adeguate, riportando i
profili del terreno prima e dopo lo spianamento e quello di progetto.
3c) Studiare e disegnare la sezione intermedia della curva precedente in scala 1:100, determinando graficamente le
quote del terreno.
4) RELIQUATI (FACOLTATIVO)
Descrivere gli strumenti di misurazione e il metodo che si ritiene conveniente impiegare per la determinazione
dell’area del reliquato stradale compreso tra il confine B-C-D e la strada (alla base della eventuale scarpata) dopo la
realizzazione dell’opera.
2
Soluzione II simulazione prova scritta di topografia
1. Spianamento
Ammessa la schematizzazione della particella 13 mediante le due falde FCD e FDE, nell’ipotesi che sia nullo
l’aumento di volume dello sterro, per calcolare la quota di progetto determiniamo il volume fittizio di terreno
rispetto ad una quota di riferimento inferiori a quelle del terreno, ad esempio 20 m.
Calcoliamo dapprima, mediante la formula di Gauss, le aree orizzontali delle due falde:
1 3
y i ( xi 1 xi 1 )  13.855,5 m 2

2 i1
1 3
A(FDE) =  y i ( xi 1 xi 1 )  16.709,7 m 2
2 i1
A(FCD) =
Le quote rosse fittizie si ottengono sottraendo alla quota del terreno la quota di riferimento assunta, cioè 20 m. Si
ottiene quindi il volume fittizio che ipoteticamente si potrebbe ottenere con uno spianamento a quota 20 m:
Vf = A(FCD) 
7,366  7,366  12,000
7,366  9,185  12,000
 A(FDE) 
 282.488 m3
3
3
Dividendo tale volume per l’area complessiva del quadrilatero FCDE otteniamo l’altezza di progetto, cioè l’altezza
del parallelepipedo avente lo stesso volume del terreno attuale, ma la faccia superiore orizzontale. Aggiungendo la
quota di riferimento all’altezza di progetto si ottiene la quota di progetto richiesta.
q = qRIF 
V fitt.
A(ABCD)
 20 
282.488
 29,242 m
13.855,5  16.709,7
Le quote rosse dei vertici si calcolano mediante la differenza tra quota di progetto e quota del terreno:
rF = +1,876 m (riporto) ;
rD = -2,758 m (sterro) ;
rC = +1,876 m (riporto)
rE = +0,057 m (riporto)
La figura 1 riporta il progetto di spianamento, con l’indicazione degli sterri e dei riporti con le usuali simbologie
(puntini rossi per il riporto, tratteggio giallo per lo sterro).
Fig. 1
3
Calcolo del volume di sterro
Anzitutto determiniamo la posizione dei punti di passaggio, operazione che potrebbe essere eseguita anche
graficamente, riportando in corrispondenza degli estremi dei segmenti in cui si ha sterro e riporto le relative quote
rosse (con inclinazione e scala arbitrarie) e congiungendo le estremità. Indicati con H1, H2 e H3 i punti di passaggio,
si ha:
DH1 =
DC
 rD  58,913 m
rD  rC
essendo: DC = ( xC  xD ) 2  ( yC  y D ) 2  98,986 m
DH 2 =
DF
 rD  180,998 m
rD  rF
essendo: DF = ( xF  xD ) 2  ( yF  yD ) 2  304,113 m
DH 3 =
DE
 rD  190,290 m
rD  rE
essendo: DE = ( xE  xD ) 2  ( yE  y D ) 2  194,222 m
Per determinare gli angoli, usiamo la differenza di azimut:
1 = FD̂C  DC  DF  74,4496 gon
essendo: DC  arctan
( xC  x D )
( x  xD )
 200  252,9184 gon ; DF  arctan F
 200  178,4688 gon
( yC  y D )
( yF  yD )
 2 = ED̂F  DF  DE  38,2867 gon
essendo: DE  arctan
( xE  xD )
 200  140,1821 gon
( yE  yD )
Le aree orizzontali dei due prismi di sterro valgono:
1
DH1  DH 2  sen 1  4.907,9 m 2
2
1
A(DH2 H 3 ) = DH 2  DH3  sen  2  9.743,7 m 2
2
A(DH1H 2 ) =
Possiamo ora determinare il volume di sterro, mediante la somma dei due prismi triangolari che lo rappresentano:
Vst. = A(DH1H 2 ) 
2,758  0  0
2,758  0  0
2,758
 A(DH2 H 3 ) 
 14651.6 
 13.470 m3
3
3
3
Per verifica si potrebbe calcolare anche il volume di riporto, sommando i volumi dei due prismi quadrilateri
CH1H2F e EH3H2F, che ovviamente risulterà uguale a quello di sterro precedentemente ricavato.
2. Tracciato stradale
a. primo raccordo di centro O1
Conviene intanto determinare le coordinate dei vertici assegnati, in appoggio ai punti assegnati.

( x  xB )
 xL  xB  BL  sen BA  153,749 m
L
 200  164,0122 gon
essendo: BA  arctan A
(
y

y
)

y

y

BL

cos


277
,
754
m
A
B
 L
B
BA

( x  xC )
 xM  xC  CM  sen CF  101,618 m
M
 200  157,4175 gon
essendo: CF  arctan F
(
y

y
)

y

y

CM

cos


370
,
428
m
F
C
C
CF
 M
Poiché il primo rettifilo è perpendicolare al lato CF, necessariamente il centro della prima curva deve appartenere
al medesimo lato, dato che raggio e tangenti sono perpendicolari tra loro. Possiamo quindi determinare l’angolo
formato tra la corda LM e il secondo raggio MO1, mediante la differenza di azimut. Com’è noto, tale angolo
corrisponde alla metà dell’angolo al vertice della curva.
4
 1/2 = O1M̂L  ML  MO  ML  CF  75,2033 gon
1
essendo: ML
( x  xM )
 arctan L
 200  232,6208 gon
( yL  yM )
Possiamo ora ricavare tutti gli elementi del primo raccordo:
1  200   1  49,5934 gon (angolo al centro)
c1  M L  ( x L  x M ) 2  ( y L  y M ) 2  106,330 m
c1  M L  2r  sen
 1  r1  1 

200
1
 r1 
2
c1
2 sen
1
 140,006 m
(corda)
(raggio)
2
 109,066 m
(sviluppo)
Le coordinate del centro si determinano semplicemente dal punto C, considerato che la distanza CO1 è pari a quella
assegnata CM più il raggio, e che l’azimut CO1 è uguale a CF:

 xO1  xC  CO1  sen CF  14,799 m
O1 

 yO1  yC  CO1  cos CF  260,591 m
b. secondo raccordo di centro O2
Di questa seconda curva circolare conosciamo già il raggio (40 m) e possiamo determinare l’angolo al vertice per
differenza di azimut; detto V2 il vertice formato tra i due rettifili MN e RS, si ha infatti:
 2 = SV̂2 M  V M  V S  NM  DE  117,2354 gon
essendo: NM  MN  200  CF - 100  200  257,4175 gon (MN è perpendicolare a CF)
2
2
Anche di questa seconda curva possiamo pertanto determinare tutti gli elementi caratteristici:
2  200   2  82,7646 gon (angolo al centro)
t2  r2  tan
2
2
 30,410 m
(tangente)

 2  r2  2 
 52,003 m (sviluppo)
200
Conviene determinare le coordinate del secondo centro dopo aver determinato le lunghezze dei rettifili.
c. lunghezza del tracciato (parte facoltativa)
Secondo la consegna la lunghezza del tracciato può essere determinata graficamente, data l’operosità richiesta per
il relativo calcolo analitico. Lo svolgimento analitico è il seguente.
Determiniamo anzitutto la lunghezza del primo rettifilo: consideriamo il triangolo CMD, del quale sono noti i due
lati CD e CM e l’angolo compreso; ricaviamo quindi MD e l’angolo in M rispettivamente col teorema del coseno e
col teorema dei seni (quest’ultimo è applicabile dato che l’angolo in C è ottuso, per cui l’angolo da determinare
sarà sicuramente acuto):
2
2
DM  CD  CM - 2  CD  CM  cos   103,488 m ; essendo:  = CF - CD = 104,4991 gon
 sen 

CMD  arcsen 
 CD   80,6393 gon ; MDC = 200 – (CMD + ) = 14,8616 gon
 DM

Passiamo ora al triangolo MDN, in DM è noto e si possono determinare per differenza i suo angoli adiacenti:
DMN = 100 – CMD = 19,3607 gon ; NDM =  - MDC = 97,8746 gon
essendo:  = DC - DE = 112,7363 gon
5
Col teorema dei seni possiamo finalmente determinare la lunghezza del lato MN:
MN 
DM
 sen NDM  107,341 m
sen (NDM  DMN)
Per determinare la lunghezza del primo rettifilo si deve detrarre a quest’ultima distanza la tangente della seconda
curva e della larghezza di metà strada misurata però lungo tale direzione. Detto V2 il secondo vertice, si ha:
MG  MN  t2 
4,50
 107,341  30,410  4,670  72,260 m
cos 17,2354
(essendo l’angolo al denominatore la differenza tra l’angolo formato tra i due rettifili e l’angolo retto).
Per il secondo rettifilo, abbiamo che il lato RS, essendo parallelo a DE, forma il trapezio RSED, del quale abbiamo
la base minore DE (194,222 m) e i due angoli alla base:  = 112,7363 gon e  = 120,2083 gon.
Per ricavare la base maggiore, alla base minore sono da aggiungere le proiezioni dei due lati (si ricordi il problema
del trapezio):
RS  DE  4,50  tan(112,7363 - 100)  tan(120,2083 - 100)  196,613 m
La lunghezza del rettilineo HS si ottiene quindi detraendo dal precedente segmento RV 2 e la tangente t2:
HS  RS  RV2  t2  134,378 m
avendo ricavato RV2 risolvendo il triangolo rettangolo CMV2 e poi il triangolo CV2R.
3. Rilevato stradale
a. picchettamento della prima curva di centro O1
Supponendo la curva accessibile solo all’interno, adottiamo il metodo per ordinate alla corda, assumendo un
sistema locale di assi x’-y’ avente ascissa lungo la corda e ordinata lungo la bisettrice. Determiniamo quindi le
coordinate dei tre picchetti interni alla curva P2, P3 e P4, avendo indicato con P1=L e P5=M i punti di tangenza.
Poiché gli archi descritti da ogni picchetto sono uguali, l’angolo al centro relativo ad ogni coppia di picchetti vale:

1
n 1
 12,3984 gon
Le coordinate dei vertici nel riferimento locale sopra
indicato sono pertanto (fig. 2):
 x'3  0

picchetto P3 : 

y ' 3  f  r1  r1  cos 1  10,488 m


2
 x'   r1  sen    27,095 m
picchetti P2  P4 :  24
 y ' 24  r1  ( r1  r1  cos   7,841 m
Fig. 2
Per determinare le coordinate di tali punti nel sistema di riferimento globale si deve effettuare una roto-traslazione,
mediante le seguenti equazioni:
 x P  x' P  cos  - y ' P sen   xQ

 y ' 24  x' P  sen   y ' P cos   yQ
in cui  è l’angolo formato tra i due sistemi di riferimento e Q è il punto medio della corda. L’angolo  si
determina osservando che corrisponde a quello formato tra l’asse Y passante per O1 e la bisettrice della curva.
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