Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . CdS . . . . . . . . . . .
CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - 24 Giugno 2015
CdL in STAD, SIGAD
Compito intero
Seconda prova in itinere: esercizi 4,5,6.
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi.
Tempo: 2h 45’ (prova in itinere 1h 30’). Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti. Ogni esercizio
risolto correttamente vale 6 punti (12 punti per la prova in itinere). Punteggio massimo 30.
1. Siano A, B due eventi, con A ∨ B = Ω, e sia P (A) = 34 , P (B) = 21 . Determinare i costituenti
e l’insieme I dei valori coerenti per l’estensione z = P (E), con E = (A ∨ B) ∧ (Ac ∨ B c ).
Inoltre, verificare se A, B possono essere valutati stocasticamente indipendenti.




A, B possono essere stoc. ind.? Si No
Costituenti=
I=
,


Perchè?

2. Un giocatore intende partecipare al gioco “8elotto”. Un’urna contiene 90 palline numerate da
1 a 90. Il giocatore segna su una schedina r = 8 numeri1 tra quelli presenti nell’urna e paga
1 euro. Dall’urna si estraggono (senza restituzione) 20 palline e le vincite sono stabilite dalla
Tabella 1, dove X è il numero delle palline indovinate dal giocatore e V è la corrispondente
vincita. Ad esempio se si indovinano 5 palline (X = 5) si vincono 20 euro (V = 20). Nei casi
non presenti in tabella non si vince nulla. Calcolare: i) P (V = 0); ii) la probabilità condizionata
X
0
5
6
7
8
V Vincita (in euro)
1
20
200
1000
20.000
Tabella 1: Struttura Premi 8elotto
δ di avere indovinato 8 palline sapendo che la vincita è positiva. Infine, calcolare il guadagno
relativo atteso r di chi acquista il biglietto (r = E( V 1−1 )).
P (V = 0) =
;δ =
;r =
;
3. Si lancia ripetutamente una moneta “regolare” e sia En l’evento “esce Testa al lancio n-esimo”,
n ∈ N . Supponiamo E1 , E2 , . . . , Ek , . . . stocasticamente indipendenti. Calcolare: i) la probabilità α che esca Testa per la prima volta entro 12 lanci sapendo che nei primi 10 lanci si è ottenuto
sempre Croce; ii) il numero necessario di lanci m affinchè la probabilità di ottenere almeno una
9
volta Testa sia maggiore di 10
; iii) la probabilità β che Testa appaia per la prima volta in un
lancio di ordine pari.
α=
1
;m =
;β =
Nel testo era stato erroneamente riportato 10
1
;
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con valore atteso µ = 25 e deviazione standard
pari σ = 6. Calcolare: (i) il valore di x0 tale che P (X > x0 ) = 0, 35; (ii) il valore di x1 tale che
)2 .
P (X ≥ 25 − 6x1 |X ≤ 25 + 6x1 ) = 0, 959. Infine calcolare la densità di Y = ( X−25
6
x0 =
x1 =
fY (y) =



5. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul quadrato Q = [0, 2]×[0, 2]. Calcolare:
(i) la probabilità dell’evento condizionato E|H, con E = (Y < 2X), H = (X > 1/3); (ii) il
coefficiente di correlazione lineare ρ di X, Y , e la funzione caratteristica ψZ (t), di Z = X − Y
P (E|H) =
ρ=
ψZ (t)
6. Da un’urna contenente 1 pallina bianca 2 nere e 3 rosse si effettuano 3 estrazioni senza restituzione. Indicando con X il numero aleatorio dei colori delle palline estratte ( ad esempio X = 1=
“le palline sono tutte dello stesso colore”, X = 2“le palline sono di due colori”) , calcolare per
ogni possibile valore h di X, ph = P (X = h). Indicando con Y il numero aleatorio di palline
bianche estratte, calcolare ph|1 = P (X = h|Y = 1), per ogni possibile valore di (X|Y = 1).
Infine, calcolare cov(X, Y )
















cov(X, Y ) =
ph|1 =
ph =














2
Soluzione Provvisoria.
1. TO DO
2. Se si giocano r numeri si ha
r
h
P (X = h) =
90−r
20−h
90
20
, h = 0, . . . r ,
P (V = 0) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)] ,
e
δ = P (X = 8|X ∈ {0, 5, 6, 7, 8}) =
P (X = 8)
.
P (X = 0) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)
Inoltre
E(V ) = 1P (X = 0) + 20P (X = 5) + 200P (X = 6) + 1000P (X = 7) + 2000P (X = 8)
e
r=
E(V ) − 1
.
1
3. Sia X il numero aleatorio di lanci fino a quando appare per la prima volta Testa. Si ha che X ha
una distribuzione geometrica di parametro p = 12 . Si ha
α = P (X ≤ 12|X > 10) = P (X ≤ 2) =
3
1 1
+ = .
2 4
4
Inoltre, determiniamo il più piccolo intero m tale che
P (E1 ∨ · · · ∨ Em ) ≥
c
Poichè P (E1c ∧ · · · ∧ Em
)=
1
,
2m
9
1
c
⇐⇒ P (E1c ∧ · · · ∧ Em
)≤ .
10
10
determiniamo il più piccolo intero m tale che
1
1
≤
⇐⇒ 2m ≥ 10 .
2m
10
Osservando che 23 = 8 e 24 = 16, si ha che m = 4. Infine indicando con 2N l’inisieme dei
numeri pari, per la sigma additività della distribuzione geometrica, si ha
+∞
+∞
X
1X 1
1
1
1
=
= ·
β = P (X ∈ 2N) =
P (X = 2n) =
2n
n
2
4 n=0 4
4 1−
n=1
n=1
+∞
X
1
4
4. Si ha
=
x0 − 25
x0 − 25
X − 25
>
) = 1 − Φ0,1 (
) = 0, 35 .
6
6
6
Osservando che Φ0,1 (0, 385) ' 0, 65 e che Φ0,1 (x) è invertibile, si ha
P (X > x0 ) = P (
Φ0,1 (
x0 − 25
x0 − 25
) = 0, 65 ⇐⇒
= 0, 385 ⇐⇒ x0 = 27, 31 .
6
6
3
1
.
3
Inoltre,
P (X ≥ 25 − 6x1 |X ≤ 25 + 6x1 ) =
P (25 − 6x1 ≤ X ≤ 25 + 6x1 )
2Φ0,1 (x1 ) − 1
=
= 0, 959.
P (X ≤ 25 + 6x1 )
Φ0,1 (x1 )
Φ(x1 ) = 1/(2 − 0, 959) ' 0, 96 ⇐⇒ x1 ' 1, 75 .
Infine, indicando con Z ∼ N0,1 , si ha FY (y) = 0, per y < 0. Per y ≥ 0, si ha
FY (y) = P (Y ≤ y) = P ((
X − 25 2
√
√
√
) ≤ y) = P (− y ≤ Z y) = 2Φ0,1 ( y) − 1.
6
Derivando si ottiene, se y < 0, fY (y) = 0, se y ≥ 0, si ha
y
1
1
1
√
fY (y) = FY0 (y) = 2N ( y) √ = √ y − 2 e− 2 .
2 y
2π
5. Si ha f (x, y) = 14 , se (x, y) ∈ Q e f (x, y) = 0, se (x, y) ∈
/ Q. Si ricava facilmente che sia X
che Y hanno distribuzione uniforme nell’intervallo [0, 2] e sono stocasticamente indipendenti.
Infatti, se x ∈
/ [0, 2], si ha fX (x) = 0, se x ∈
/ [0, 2], si ha
ˆ 2
1
1
dx = .
fX (x) =
2
0 4
Se y ∈
/ [0, 2], si ha fY (y) = 0, se Y ∈
/ [0, 2], si ha
ˆ 2
1
1
dy = .
fY (y) =
2
0 4
Poichè fX (x)fY (y) = f (x, y), per ogni (x, y) ∈ R2 , si ha che X, Y sono stocasticamente
indipendenti e quindi X, Y sono incorrelati. Pertanto, ρ = 0. Si ha
ˆ +∞
ˆ 2
1 h eitx i2 e2it − 1
itx
itx 1
ψX (t) =
e fX (x)dx
e
dx =
=
.
2
2 it 0
2it
−∞
0
e
ψY (t) = . . . =
e2it − 1
.
2it
Quindi
ψX−Y (t) = ψX (t)ψ−Y (t) = ψX (t)ψY (−t) =
(e−2it − 1) (e2it − 1)
e2it − 1 e−2it − 1
=
.
2it
−2it
4t2
Poichè (X, Y ) ha distribuzione uniforme su un insieme limitato di R2 le probabilità di P (EH), P (H)
si possono calcolare come rapporto tra aree. Dalla Figura 1 e 2 si osserva che P (H) = 2 · (2 −
1
)/4 = 56 e
3
ˆ 2ˆ 2
ˆ 1 ˆ 2x
1
1
2 1
13
P (EH) =
dxdy +
dxdy = + = .
1
4
9 2
18
0
1
0 4
3
Pertanto
P (EH)
P (E|H) =
=
P (H)
4
13
18
5
6
=
13
.
15
y ..............
. ....
....
..
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
.
.
...
...
....
...
...
...
..
...
...
..
.
.
...
.
.
.
...
....
...
...
... ....
...
... ...
. ..
...
.
...
.... .....
...
....
...
....
.....
...
.
... .... ....
... .... ...
... ... ...
...
... ...
..
.......
.
..............................................................................................................................................................................
.
2
H
E
y = 2x
2
3
0
x=
1
3
1
1
3
2
x
Figura 1:
6. Si ha
2 3
P (X = 1) =
1
0
0 3
6
3
1
20
=
3
10
2 3
P (X = 3) =
P (X = 2) =
1
1
=
1 1
6
3
(11)(22)(30) (11)(20)(32) (10)(21)(32) (10)(22)(31)
+
+
+
=
(63)
(63)
(63)
(63)
1+3+6+3
20
=
13
20
oppure,
P (X = 2) = 1 − P (X = 1) − P (X = 3) .
Inoltre,
1
1
5
P (Y = 1) =
1
2 = .
2
6
3
P (X = 1|Y = 1) = 0;
P (X = 2|Y = 1) =
P (X = 2, Y = 1)
=
P (Y = 1)
P (X = 3|Y = 1) = 1 −
Inoltre
(11)(22)(30) (11)(20)(32)
+
(63)
(63)
1
2
=
2
.
5
3
2
= .
5
5
1
13
6
1 + 26 + 18
45
9
+2 +3 =
=
= ,
20
20
20
20
20
4
1
1
1
E(Y ) = 0 + 1 =
2
2
2
P1 P3
E(X · Y ) = j=0 i=1 i · jP (X = i, Y = j) =
1 · 0P (X = 1, Y = 0) + 2 · 0P (X = 2, Y = 0) + 3 · 0P (X = 3, Y = 0)+
1 · 1P (X = 1, Y = 1) + 2 · 1P (X = 2, Y = 1) + 3 · 1P (X = 3, Y = 1) =
2 · 1P (X = 2, Y = 1) + 3 · 1P (X = 3, Y = 1) =
2 · 1P (X = 2|Y = 1)P (Y = 1) + 3 · 1P (X = 3|Y = 1)P (Y = 1) =
2 52 12 + 3 53 12 = 13
.
10
E(X) = 1
5
2.5
2.0
1.5
y
1.0
0.5
0.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Figura 2: I punti del quadrato Q che soddisfano EH
Quindi
cov(X, Y ) =
6
7
13 9 1
− · =
10 4 2
40