Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . CdS . . . . . . . . . . .
CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - 10 Giugno 2015
CdL in STAD, SIGAD
Compito intero
Seconda prova in itinere: esercizi 4,5,6.
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi.
Tempo: 2h 45’ (prova in itinere 1h 30’). Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti. Ogni esercizio
risolto correttamente vale 6 punti (12 punti per la prova in itinere). Punteggio massimo 30.
1.
2.
3.
4. La durata X di un dispositivo ha la seguente densità
2
kxe−x , x > 0
f (x) =
0,
x ≤ 0.
Calcolare: (i) la costante k; (ii) P (X > 5|X > 2); (iii) la funzione di rischio h(x).
k=
; P (X > 5|X > 2) =
; h(x) =
.
5. Un sistema Σ è costituito da due dispositivi in parallelo D1 e D2 , che entrano in funzione contemporaneamente. Siano X e Y i tempi aleatori (in giorni) di durata dei due dispositivi con densità
congiunta pari a f (x, y) = 6e−2x−3y per x > 0, y > 0 e con f (x, y) = 0 altrove. Calcolare
la funzione di sopravvivenza SZ (z) del tempo di durata Z del sistema Σ. Calcolare la probabilità α che il dispositivo D1 si guasti prima del dispositivo D2 . Infine, calcolare la funzione
caratteristica del numero aleatorio X + Y .
SZ (z) =
α=
ψX+Y (t) =
6. Sia D il triangolo di vertici i punti (1, 0), (0, 1), (1, 1). La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f (x, y) = a(x + y), per (x, y) ∈ D e con f (x, y) = 0, altrove. Calcolare
la costante a, la densità marginale fX (x) e P (X ≤ Y ).
a=
; P (X ≤ Y ) =
; fX (x) =
Soluzione Provvisoria.
1.
2.
3.
1
;
ˆ
4. Osservando che
+∞
0
kx
k
2 dx =
x
2
e
´ +∞
si ha k = 2. Inoltre, osserviamo che per x > 0 si ha S(x) = P (X > x) = x
Quindi si ha
−25
= PP (X>5)
= ee−4 = e−21
P (X > 5|X > 2) = P (X>5,X>2)
P (X>2)
(X>2)
2t
et2
2
dt = e−x .
Infine, per x > 0 si ha
S(x)
h(x) =
=
f (x)
2x
ex2
1
ex2
= 2x .
Cioè la funzione di rischio è sempre crescente , e quindi siamo in presenza di un fenomeno di
invecchiamento o di usura positiva.
5. Si può facilmente verificare che i numeri aleatori X, Y sono stocasticamente indipendenti con
distribuzione esponenziale rispettivamente di parametri λ1 = 3, λ2 = 2. Infatti, calcoliamo la
densità fX (x) di X. Per x ≤ 0 si ha
ˆ +∞
ˆ +∞
f (x, y)dy =
0dy = 0 ,
fX (x) =
−∞
mentre per x > 0 si ha
ˆ +∞
ˆ
fX (x) =
f (x, y)dy =
−∞
−∞
+∞
−2x−3y
6e
−2x
dy = 6e
0
Calcoliamo la densità fY (y) di Y . Per y ≤ 0 si ha
ˆ +∞
ˆ
fY (y) =
f (x, y)dx =
−∞
mentre per y > 0 si ha
ˆ
ˆ +∞
f (x, y)dx =
fY (y) =
−∞
e−3y
−
3
+∞
= 2e−2x .
0
+∞
0dx = 0,
−∞
+∞
−2x−3y
6e
−3y
dx = 6e
0
e−2x
−
2
+∞
= 3e−3y .
0
Osservando che fX (x)fY (y) = f (x, y) per ogni (x, y) ∈ R2 si ha che i numeri aleatori X, Y
sono stocasticamente indipendenti.
Calcoliamo la funzione di sopravvivenza SX (x) = P (X > x) = 1 − FX (x) di X. Si ha
1, x ≤ 0
SX (x) =
−2x
e ,x > 0.
Per quanto riguarda Y si ha
SY (x) =
1, y ≤ 0
e−3y , y > 0.
Osserviamo che Z = max{X, Y } è il tempo aleatorio di durata del sistema S. Ricordando che
X, Y sono stocasticamente indipendenti, per z > 0, la funzione di sopravvivenza di Z è data da
SZ (z) = P (Z > z) = P (max{X, Y } > z) = P (X > z ∨ Y > z) =
= P (X > z) + P (Y > z) − P (X > z)P (Y > z) = e−2z + e−3z − e−5z ,
2
e la funzione densità di Z, per z > 0, è data da
fZ (z) = −S 0 (z) = 3e−3z + 2e−2z − 5e−5z .
Anche se non richiesta, calcoliamo la funzione di rischio. Per z > 0, si ha
3e−3z + 2e−2z − 5e−5z
fZ (z)
=
.
fZ (z)
e−3z + e−2z − e−5z
hZ (z) =
La probabilità α che il dispositivo D1 si guasti prima di D2 è data da
´ +∞ ´ +∞
−2x−3y
α = P (X < Y ) = 0
6e
dxdy =
x
h −5x i+∞
´ +∞ −5x
= 0 2e dx = 2 − e 5
=
0
´ +∞
0
2
5
−2x
6e
h −3y i+∞
dy =
−e 3
x
=
E(X2 )
.
E(X1 )+E(X2 )
Infine, poichè X ∼ Exp(2), Y ∼ Exp(3), con X, Y stocasticamente indipendenti, si ha
che la funzione caratteristica ψX+Y (t), per ogni t, è il prodotto ψX (t)ψY (t) delle funzioni
caratteristiche di X e di Y calcolate in t, pertanto
2
3
ψX+Y (t) = ψX (t)ψY (t) =
.
2 − it
3 − it
6. Si ha
´1 ´1
( 1−x a(x + y)dy)dx = a 32 .
0
Dovendo essere
´1 ´1
( 1−x a(x + y)dy)dx = 1 si ha
0
a=
3
.
2
Per x ∈
/ [0, 1] si ha fX (x) = 0, mentre per x ∈ [0, 1] si ha
ˆ 1
3
fX (x) =
3/2(x + y)dy = x(x + 2).
4
1−x
ˆ ˆ
Inoltre
P (X ≤ Y ) =
f (x, y)dxdy
D∩B
dove D è il triangolo dato e B = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}. Pertanto
1
D ∪ B = {(x, y) ∈ D : x ≤ y} = { ≤ y ≤ 1, 1 − y < x < y}
2
quindi
ˆ
1
P (X ≤ Y ) =
1
2
ˆ
(
y
3/2(x + y)dx)dy = . . . =
1−y
1
.
2
oppure, considerando la regione D ∩ B come unione di domini normale rispetto a x
´ 1 ´1
´1 ´1
P (X ≤ Y ) = 02 ( 1−x 3/2(x + y)dy)dx + 1 ( x 3/2(x + y)dy)dx =
2
´1 3
´1 3
7
9
2
2
( x(x + 2))dx + 1 ( 4 (−3x + 2x + 1))dx = 32
+ 32
= 12 .
0 4
2
3