LAVORO
L= F x S
.
L= F
S
.
L= F S cos ϑ
CASI PARTICOLARI
L= F . S
Se F ed S hanno stessa direzione e verso
L= -F . S
Se F ed S hanno stessa direzione e verso opposto
L= 0
Se F ed S sono perpendicolari
L >0
Se 0 < ϑ ≤ π/2
L<0
Se π/2 < ϑ ≤ π
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pag. 1
LAVORO DEL CAMPO ELETTRICO
I CASO: Campo uniforme E (costante in direzione, verso ed intensità)
La forza esercitata dal campo elettrico su di una carica q è costante in ogni punto
e risulta: F=qE
Per semplicità consideriamo una carica esploratrice positiva (q >0).
+
+
+
+
A
+
ϑ
d
E
F
F
Le linee di forza sono parallele
ϑ
-
B’ -
L’intensità del campo elettrico risulta: E=σ/εo
- B
-
Analizziamo il lavoro compiuto dal campo elettrico, quando la carica q si sposta dalla
posizione iniziale A alla posizione finale B, considerando due tragitti differenti:
a) il moto avviene lungo la linea di forza AB, il lavoro risulta: L=Fd=qEd
b) la traiettoria del moto è composta dagli spostamenti AB’ e B’B.
Il lavoro totale è la somma dei lavori presenti per i due tratti: L=LAB’ + LB’B
LAB’= qEAB’ cos ϑ = q E AB = q E d
LB’B= 0 perché la forza è perpendicolare allo spostamento ( F ⊥ B’B)
Anche per il secondo tragitto si ha che il lavoro totale risulta: L=qEd=Fd
IL lavoro dipende solo dalla posizione iniziale (A) e dalla posizione finale (B) della
carica q e non dalla traiettoria, pertanto il campo elettrostatico è conservativo.
II CASO: Campo generato da una carica puntiforme Q
a) Consideriamo inizialmente il moto della carica q lungo una linea di forza.
B
Il campo elettrico, e quindi la forza, varia in funzione della distanza r.
P2
.
Il campo elettrico non uniforme risulta: E= 1/4πεo Q/r2 e
A
la formula F=E.q ha validità puntuale.
+Q
Il calcolo del lavoro, compiuto dalle forze del campo, per portare la
carica di prova q dalla posizione iniziale A alla posizione finale B non
può essere effettuato applicando in modo sintetico la relazione L=F.d,
con d=AB. Occorre suddividere lo spostamento AB in tanti piccoli
spostamenti elementari ∆s. Il lavoro totale risulta essere la
sommatoria:
L=L1+L2+L3+……………+Ln , con Li il lavoro compiuto
nell’i-esimo spostamento ∆si=ri+1 – ri .
Calcoliamo L1, lavoro compiuto dal campo elettrico per lo spostamento elementare
∆s1 =AP1 in cui la distanza r varia da rA ad r1 .
P1
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pag. 2
.
.
Si ha una piccola variazione del campo elettrico ( 1/4πεo Q/r21 ≤ E ≤ 1/4πεo Q/r2A)
Il vettore campo elettrico E nell’intervallo AP1 può, in prima approssimazione, essere
considerato costante esprimendo r2 mediante la media geometrica: r2= rA . r1.
.
Si ha la seguente relazione per il campo elettrico: E= 1/4πεo Q/r1.rA che possiamo
considerare costante in tutti i punti dello spostamento ∆s1 = r1 - rA .
Sostituendo ∆s1 ed E nella relazione del lavoro L1= qE . ∆s1 , si ha:
.
.
.
L1= 1/4πεo Q/r1.rA (r1-rA) = 1/4πεo qQ (1/rA – 1/ r1)
Analogamente, per l’intervallino ∆s2, si ha il lavoro:
.
L2= 1/4πεo qQ (1/r1 – 1/ r2)
Sommando i lavori elementari si ha:
L= L1+L2+……………+Ln = Qq/4πεo (1/rA – 1/ r1 + 1/r1 – 1/ r2 + …………+1/rn – 1/ rB )
L= Qq/4πεo (1/rA – 1/ rB )
Quindi il lavoro totale risulta:
b) Consideriamo il moto della carica q lungo una traiettoria qualsiasi.
Anche in questo caso il lavoro complessivo deve essere calcolato come somma dei
lavori elementari negli n spostamenti ∆s : L=L1+L2+L3+………………+Ln
Calcoliamo inizialmente il lavoro L1 compiuto dal campo sulla carica q, che esegue lo
spostamento elementare ∆s1 =AP1 .
Analogamente al caso precedente si ha che il campo elettrico, nell’intervallo AP1, può
.
in prima approssimazione essere considerato costante e risulta: E1= 1/4πεo Q/r1.rA
Il lavoro elementare L1 risulta: L1=q E1 x ∆S1= qE1 . AP1 cos ϑ = q .E1.AA1
Sostituendo la formula del campo elettrico e essendo
AA1 = r1-rA , si ha:
.
.
L1= 1/4πεo q Q/r1.rA
(r1-rA) =
Qq/4πεo (1/rA – 1/ r1 )
Analogamente, per l’intervallino ∆s2, si ha il lavoro: L2= Qq/4πεo (1/r1 – 1/ r2 )
Sommando i lavori elementari si ha: L= Qq/4πεo (1/rA – 1/ rB )
Il risultato ottenuto, per una traiettoria qualsiasi, è uguale a quello verificato quando
la traiettoria coincidente con una linea di forza.
Si ha quindi che il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale della
carica q e non dalla traiettoria; ciò ci consente di affermare che il campo
elettrostatico è conservativo.
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ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA
Il campo elettrico è conservativo, possiamo quindi introdurre una nuova grandezza:
l’energia potenziale elettrica della carica q ( U(r) ), dipendente dalla carica di prova
q e dalla sua posizione nel campo elettrico.
Il lavoro compiuto dalle forze del campo, quando la carica esploratrice q si sposta da
una posizione iniziale A ad una posizione finale B lungo una traiettoria qualsiasi,
∆U
e quindi
L= -(UB – UA) = UA - UB
risulta: L= -∆
L’energia potenziale elettrica della carica q, posta nella posizione r, può essere
determinata a meno di una costante additiva: U(r)= U(r’) + C
Comunque, essendo interessati alla variazione di energia potenziale, praticamente la
costante additiva non ha interesse particolare e per ogni singolo caso può essere
definita in modo da semplificare l’espressione dell’energia potenziale.
Verifichiamo l’affermazione precedente nel caso di un campo uniforme.
h
+
+
+
+
-
-
C
q
D
0
-
-
L= q E ∆h = q E (hC – hD)
Posto U= q E h + C
Si ha: L= UC – UD = q E hC +C – qEhD - C
L= qE (hC – hD)
Si constata che la costante additiva C non ha alcuna utilità pratica, in quanto nel
calcolo del lavoro essa non riveste alcun ruolo. Per il campo uniforme è opportuno
porre C=0 e quindi si ha che l’energia potenziale di una carica q risulta: U= qEh.
L’energia potenziale di una carica q posta sulla lastra carica negativamente B è nulla
(UB= 0), mentre è massima se la carica è posta sulla lastra carica positivamente, dove
risulta : UA= qEd.
( “d” è la distanza tra le due lastre )
L’energia potenziale elettrica di una carica q nei punti interni al doppio strato (U=qEh)
esprime il lavoro che le forze del campo compiono quando la carica q si sposta da quel
punto allo strato a carica negativa.
Nel caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q, si ha che il lavoro
risulta:
L= Qq/4π
πεo (1/rA – 1/ rB ) = 1/4π
πεo Qq/ rA - 1/4π
πεo Qq/ rB
e quindi l’energia potenziale risulta: U(r)= 1/4πεo Qq/ r + C .
È opportuno porre, anche in questo caso, la costante additiva C=0, e quindi l’energia
potenziale di una carica q posta in un campo elettrico generato da una carica
puntiforme Q risulta: U(r)= 1/4πεo Qq/ r .
Per una carica q posta all’infinito si ha energia potenziale nulla:
lim
r
U(r) = 0.
+∞
∞
L’energia potenziale elettrica di una carica q, posta nel punto P ad una distanza r dalla
carica Q generatrice del campo, esprime il lavoro che le forze del campo compiono
per portare la carica q da quel punto all’infinito lungo una qualsiasi traiettoria.
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Per il campo elettrico è valido il principio di sovrapposizione: ET =Σ
Σi Ei. Si ha quindi che
qualsiasi campo elettrico E è la somma di campi conservativi Ei e quindi è conservativo.
Si ha che ogni carica di prova q ha sempre una specifica energia potenziale elettrica,
dipendente dalla carica q e della sua posizione nel campo elettrico.
Lavoro compiuto dal campo elettrico quando la carica esploratrice descrive una
traiettoria chiusa
A≡
≡B
Consideriamo una carica q che percorre una qualsiasi traiettoria chiusa. Si ha che
l’energia potenziale iniziale e finale sono uguali UA =UB e quindi il lavoro compiuto dalle
forze del campo sulla carica q è nullo: L= UA –UB = 0 .
Possiamo affermare che un campo elettrostatico è conservativo poiché per una
qualsiasi traiettoria chiusa il lavoro che le forze del campo compiono sulla carica di
prova q è sempre nullo.
Circuitazione del campo elettrico
Suddividiamo una generica traiettoria chiusa in n spostamenti elementari ∆s e
calcoliamo il lavoro come somma dei lavori elementari: L=L1+L2+L3+………………+Ln
Pn
A
∆S1
E1 ϑ
P2
P1
Il lavoro elementare L1 nel primo spostamento ∆s1 risulta: L1= q E1 x ∆S1.
In modo analogo possiamo esprimere i lavori negli altri spostamenti elementari.
Complessivamente si ha: L= q E1 x ∆S1 + q E2 x ∆S2 + ……… + q En x ∆Sn
n
Ponendo in evidenza q, si ha:
L= q Σi Ei x ∆Si
1
Poiché il lavoro totale, compiuto lungo la traiettoria è chiusa è nullo (L= 0) si ha:
n
q Σi Ei x ∆Si =0
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1
n
Per qualsiasi carica q, possiamo affermare che la sommatoria C(E)=Σi Ei x ∆Si =0
1
è sempre nulla, qualunque sia la traiettoria chiusa.
La sommatoria suddetta, calcolata su di un percorso chiuso, è detta “ circuitazione del
campo elettrico” e viene così indicata: C( E ).
Il risultato ottenuto è conseguente alla conservatività del campo elettrico.
Possiamo quindi enunciare il “Teorema della circuitazione” per il campo elettrostatico:
“la circuitazione del campo elettrostatico calcolata su una qualsiasi traiettoria
chiusa è sempre nulla ( C( E )= 0)”.
Potenziale elettrico
In ogni punto (P) del campo elettrico, l’energia potenziale U(P), altre alla dipendenza
dal campo elettrostatico, è direttamente proporzionale alla carica q.
Possiamo definire una nuova grandezza fisica, il “potenziale elettrico” V(P)=U(P)/q
che è indipendentemente dalla carica esploratrice q ed è funzione delle sole proprietà
del campo nel punto P.
È quindi possibile descrivere il campo elettrico, in modo puntuale, sia mediante la
grandezza vettoriale E (vettore campo elettrico) sia mediante la grandezza scalare V
(potenziale elettrico), dipendente anch’essa dalle sole proprietà del campo.
Il potenziale elettrico in un punto P di un campo elettrico è numericamente uguale al
lavoro che le forze del campo devono compiere per portare la carica positiva ed
unitaria (q=+1 Coulomb) da tale punto P all’esterno del campo.
La sua unità di misura nel S.I. è il Volt
1 Volt= 1 Joule/1 Coulomb
Lavoro e differenza di potenziale
Il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare una carica q dal punto A al punto
B risulta:
L= -∆
∆U = UA – UB = q VA –q VB
Si ha quindi: L= -q ∆V
∆V = VB – VA è la differenza di potenziale tra i punti B e A, essa è in modulo uguale
al lavoro compiuto dalle forze del campo per portare la carica positiva ed unitaria
(q=+1 Coulomb) dalla posizione iniziale A alla posizione finale B.
∆V= -L/q
;
VA – VB = L/q
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Potenziale elettrico di un campo uniforme
Vmax= hmax E
V= U/q = q E h/q
V= Eh
V= 0
Il Potenziale elettrico di un campo uniforme dipende dalla quota h e risulta: V= Eh
- Le superfici equipotenziali sono piani paralleli alle armature del doppio strato
(indicate in figura con il tratteggio).
- Il potenziale è zero sull’armatura negativa, cresce con la quota h ed è massimo
sull’armatura positiva (V= Ed).
- Il vettore campo elettrico, perpendicolare alle superfici equipotenziali, ha verso
dai punti a potenziale più alto ai punti a potenziale più basso.
Potenziale elettrico di un campo generato da una carica puntiforme
V(r) = U(r)/q = 1/4πεo q Q/r
.
V(r)= 1/4πεo . Q/r
1/q
Il Potenziale elettrico di un campo generato da una carica puntiforme è inversamente
.
proporzionata alla distanza r e risulta: V(r)= 1/4πεo Q/r
Le superfici equipotenziali sono sferiche e concentriche il cui centro coincide con la
posizione della carica Q generatrice del campo.
- Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme positiva Q > 0
.
V(r)= 1/4πεo Q/r
Il potenziale è in ogni punto positivo;
V(r) > 0 (decresce al crescere di r)
e all’infinito si ha: lim
V(r) = 0
r
+∞
∞
- Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme negativa Q < 0
V(r)= -1/4πεo . Q/r
Il potenziale è in ogni punto negativo ;
V(r) < 0 (cresce al crescere di r)
e all’infinito si ha: lim
V(r) = 0
r
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+∞
∞
Il vettore campo elettrico in entrambi i casi è sempre perpendicolare alle superfici
equipotenziali ed il suo verso è diretto da punti a potenziale maggiore a punti a
potenziale minore.
Quest’ultima osservazione ha validità generale ed è vera anche in presenza di un
campo elettrico risultante dalla sovrapposizione di più campi elettrici elementari.
Consideriamo la situazione di un campo elettrico dato dalla sovrapposizione di campi
generati da due cariche puntiformi e positive.
In ogni punto, per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico totale risulta:
ET= E1 + E2 (Somma vettoriale)
E1 : campo elettrico generato dalla carica Q1;
E2 : campo elettrico generato dalla carica Q2.
Analogamente il potenziale in ogni punto è dato dalla somma scalare dei potenziali
dovuti ad ogni singola carica (principio di sovrapposizione per il potenziale).
Per il caso in figura si ha:
VT= V1 + V2 (Somma scalare)
V1 : campo elettrico generato dalla carica Q1;
V2 : campo elettrico generato dalla carica Q2.
+Q
+Q
+
+
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Relazione tra campo elettrico e differenza di potenziale
Consideriamo un doppio strato, il vettore campo elettrico è costante, e risulta: E=σ/εo
+
+
+
A
+
+
Il lavoro compiuto dalle forze de campo per spostare
la carica q dalla posizione A alla posizione B risulta:
L= F ∆l = q E d con d=AB
Il lavoro può anche essere espresso nel modo seguente
L= -q ∆V
Uguagliando le due relazioni si ha:
E= - ∆V/d
q E d = -q ∆V
d
B
-
-
-
-
-
La relazione E= - ∆V/d consente di determinare il campo elettrico data la differenza
di potenziale “∆
∆V” tra due punti posti a distanza “d”. La relazione non ha validità solo
per il campo uniforme, ma ha valore generale, purché “∆
∆V” sia la differenza di
potenziale tra due punti posti a distanza “d” molto piccola.
Dalla relazione E= - ∆V/d si manifesta che nel S.I. il campo elettrico può esprimersi
anche in Volt/m, unità equivalente al Newton/Coulomb. Si ha infatti:
Volt/m = J/C m = N m/C m = N/C
Alcune considerazioni
(1) Il campo elettrico può essere rappresentato tracciando le linee di forza o,
analogamente, tracciando le superfici equipotenziali.
- Le linee di forza sono sempre perpendicolari alle superfici equipotenziali ed
hanno verso dai punti a potenziale maggiore a punti a potenziale minore.
(2) Il lavoro compiuto dalle forze del campo può sempre essere calcolato tramite la
relazione:
L= -q ∆V
L= q (VA – VB)
(3) Se una qualsiasi carica si muove lungo una traiettoria delimitata da due punti
giacenti su di una stessa superficie equipotenziale (VA = VB), il lavoro è nullo: L= 0
+
+
+
+
A
B
V
L= 0
A
-
B
-
-
-
.
+Q
V
(4) Il moto delle cariche elettriche, libere di muoversi e immerse in un campo
elettrico, avviene spontaneamente se il lavoro compiuto dalle forze del campo è
positivo (L > 0).
Essendo L= UA – UB > 0 si ha UA > UB, pertanto una qualsiasi carica q si muove
spontaneamente da punti a maggiore energia potenziale a punti a minore energia
potenziale.
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Le cariche positive +q si muovono spontaneamente verso punti a minore
potenziale. Infatti, dovendo essere UA > UB si ha:
q VA > q VB
VA > VB
Le cariche negative –q si muovono spontaneamente verso punti a maggiore
potenziale. Infatti, dovendo essere UA > UB si ha: q VA > q VB
VA < VB
Campo elettrico e potenziale per un conduttore isolato
In condizioni elettrostatiche ogni punto di un conduttore isolato presenta lo stesso
potenziale (V= cost).
Infatti, se così non fosse, gli elettroni di conduzione si muoverebbero verso i punti a
maggiore potenziale ed il conduttore non sarebbe più in equilibrio elettrostatico.
In conseguenza del fatto che in condizioni elettrostatiche il potenziale all’interno del
conduttore è costante e data relazione esistente tra campo elettrico e differenza di
potenziale (E= - ∆V/d) si ha che in ogni punto interno al conduttore il campo elettrico
è necessariamente nullo (E= 0).
In ogni punto superficiale il vettore campo
elettrico è perpendicolare alla superficie
stessa.
Infatti, se così non fosse, esso presenterebbe
una componente tangente alla superficie che
implicherebbe la presenza di una differenza di
potenziale tra punti superficiali prossimi
(∆
∆V= -E .d). Gli elettroni di conduzione soggetti
a tale differenza di potenziale, sarebbero in
moto sulla superficie contravvenendo al
supposto stato di equilibrio elettrostatico.
Vogliamo ora calcolare l’intensità del vettore campo elettrico esterno al conduttore
ed in prossimità della sua superficie. Consideriamo un cilindretto retto elementare,
disposto come in figura, aventi le superfici di base Sb1 e Sb2 parallele alla superficie
del conduttore ∆S, con Sb2 interna ed Sb1 esterna al conduttore. Il flusso del campo
elettrico uscente dal cilindretto è la somma dei flussi attraverso la superficie laterale
L, e attraverso le superfici di base Sb1 e Sb2. Si ha:
ΦT(E) = ΦL(E) + ΦB1(E) + ΦB2(E)
Il vettore campo elettrico è perpendicolare alla superficie di base Sb1 esterna al
conduttore e quindi, indicando con ∆S l’estensione della superficie, il flusso attraverso
Sb1 risulta:
ΦB2(E) = E . ∆S
All’interno del conduttore il campo elettrico è nullo ed è quindi anche nullo il flusso
attraverso la superficie di base Sb2 interna al conduttore ΦB2(E) = 0. Anche il flusso
attraverso la superficie laterale è nullo ΦL(E) = 0, poiché il vettore campo elettrico è
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parallelo alla superficie laterale . Complessivamente il flusso del campo elettrico
uscente dal cilindretto risulta:
ΦT(E) = E . ∆S .
Per il teorema di Gauss, se ∆q è la carica distribuita sulla superficie ∆S di
intersezione tra il cilindretto e la superficie del condutture, si ha anche: ΦT(E)= ∆q/εo
Indicando con σ=∆
∆q/∆
∆S la densità di carica superficiale si ha:
ΦT(E)= σ ∆S/εo.
Uguagliando le due espressioni del flusso si ha: E . ∆S = σ ∆S/εo .
Possiamo quindi enunciare il Teorema di Coulomb: l’intensità del campo elettrico in
prossimità della superficie del conduttore è direttamente proporzionale alla densità
di carica superficiale: E = σ /εo .
Potenziale di un conduttore sferico
Il potenziale è costante in tutti i punti del
conduttore sferico, per cui per calcolo del
potenziale possiamo riferirci ad un punto
particolare, il centro del conduttore, che
consente di semplificare il calcolo del
potenziale.
Suddividiamo la superficie sferica in un insieme di n superfici elementari ∆Si
elettricamente cariche, tanto piccole da potersi considerare puntiformi. Sia ∆qi la
carica presente sulla i-esima superficie ∆Si .
Per il principio di sovrapposizione il potenziale nel centro del conduttore risulta:
n
n
V=Σ
Σi Vi
1
=
Σ 1/4πεo ∆qi/R = 1/4πεo ∆q1/R + 1/4πεo ∆q2/R + …… + 1/4πεo ∆qn/R
1
dove Vi= 1/4πεo ∆qi/R è il potenziale generato dalla carica ∆qi.
Evidenziando il fattor comune 1/4πεoR e tenendo presente che la carica totale
elettrica risulta Q= Σi ∆qi si ha il potenziale del conduttore sferico:
.
V= 1/4πεoR (∆q1 + ∆q2 + ……… + ∆qn) = 1/4πεo Q/R
Tutti i punti del conduttore sferico hanno lo stesso potenziale:
V= 1/4πεo Q/R
dove R è il raggio dalla sfera.
Nei punti esterni al conduttore sferico si ha il potenziale è V= 1/4πεo Q/r, in cui r è
la distanza del punto P dal centro della sfera. Ovvero si ha lo stesso potenziale che si
avrebbe se tutta la carica Q fosse contenuta nel centro della sfera.
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Equilibrio elettrostatico tra due conduttori
Si abbiano due conduttori sferici di raggio RA e RB uniti da un condotto metallico:
Il potenziale del conduttore A risulta:
e quello del conduttore B è:
VA= 1/4πεo QA/RA
VB= 1/4πεo QB/RB
Poiché ogni punto del sistema deve essere allo stesso potenziale si ha:
VA = VB
1/4πεo QA/RA = 1/4πεo QB/RB
QA/RA = QB/RB
La carica elettrica presente su ogni conduttore sferico è direttamente proporzionale
al rispettivo raggio (Q/R= cost).
La densità superficiale di carica σ è inversamente proporzionale al raggio del
conduttore sferico, infatti si ha:
σ = Q/S = Q/4πR2 = [1/4π . Q/R] . 1/R = cost/R ,
.
ovvero: σ R = cost
La densità di carica cresce al decrescere del raggio della sfera. Per l’esempio in figura
si ha: σA > σB. Quanto osservato in questo caso particolare è generalizzabile per un
conduttore di forma qualsiasi, considerando come valore di R il raggio di curvatura.
σB
σA
EA
+
+
+ +
+ RA +
+ +
+ +
RB
+
+
+ +
EB
La densità di carica σ è grande se il raggio di curvatura R è piccolo, pertanto le
cariche si addensano in prossimità delle punte del conduttore.
Poiché, per il teorema di Coulomb, il campo elettrico in prossimità della superficie del
conduttore è direttamente proporzionale alla densità superficiale di carica (E= σ/εo),
ne consegue che anche il campo elettrico così come la densità di carica è inversamente
proporzionale al raggio di curvatura. In prossimità delle punte di un conduttore carico
il campo elettrico è molto intenso e può essere causa di un intenso vento elettrico.
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