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Analisi Matematica A
Dato un numero naturale o nullo n, n assumerà i seguenti valori ordinati {0,1,2,3,...}.
Si definisce n fattoriale o fattoriale di n: n!= n ⋅ (n − 1)! questa formula è corretta solo se n > 1,
poiché
0! = 1
Questa definizione è detta per ricorrenza, perché per conoscere il valore del fattoriale assegnatomi
devo prima conoscere il valore del fattoriale che lo precede.
1!= 1 ⋅ 0! = 1 ⋅ 1
2! = 2 ⋅ 1!= 2 ⋅ 1
Es.
3! = 3 ⋅ 2! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1
4! = 4 ⋅ 3!= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
5!= 5 ⋅ 4!= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
La formula generica sarà:
n!= n ⋅ (n − i ) ⋅ (n − 2 )... ⋅ 2 ⋅ 1
Per avere una stima del valore del fattoriale saprò che:
2n < n! < nn
Dato un insieme A formato da un numero n finito di elementi e preso un altro numero naturale k <
n, si definisce disposizione di k elementi tra gli n dati ogni sottoinsieme ordinato di A formato da k
elementi, due disposizioni di k tra gli n elementi sono diverse se differiscono per gli elementi
oppure per l’ordine con cui vengono presi gli elementi. Il numero delle disposizioni di k elementi
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 )... ⋅ (n − k + 1)
tra gli n dati è dato dal seguente prodotto:
Un altro modo per ottenere il numero delle disposizioni è il seguente:
(n − k )! = n!
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 )... ⋅ (n − k + 1) ⋅
(n − k )! (n − k )!
n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 )... ⋅ (n − k + 1)!
n!
Se k = n, si parla di permutazioni ed il numero di permutazioni sarà n! poiché
0!
Dato un insieme A formato da n elementi, preso un numero naturale k < n, si definisce
combinazione di k elementi tra gli n dati ogni sottoinsieme di A formato da k elementi, due
combinazioni sono diverse se sono formate da elementi diversi. Il numero di combinazioni di k fra
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)... ⋅ (n − k + 1)
n!
=
gli n elementi dati sarà dato da:
k!
k!⋅(n − k )!
n
Il risultato della formula è detto coefficiente Binomiale e si indica con:   (leggi n su k)
k
Formula del binomio di Neewton: dati a, b ∈ R e n ∈ N , cerco una formula per esprimere le
Essendo
(n − k + 1) ⋅ (n − k )!= (n − k + 1)!
seguenti quantità (a + b ) (potenza ennesima del binomio a + b)
n
n
n
n  1 n −1  n  0 n
a b +  a ⋅ b
(a + b )n =  a n ⋅ b 0 +  a n −1 ⋅ b1 +  a n −2 ⋅ b 2 + ... + 
−
0
1
2
n
1
 
 
 


n
La formula compatta sarà:
n
 n  n −k k
 a ⋅ b (leggi sommatoria per i valori di k da 0 a n)
∑
k =0  k 
Per i coefficienti si utilizza il triangolo di Tartaglia Pascal
n
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1
1 1
1 2 1
1 3 3
1
1 4 6
4
1 5 10 10
Questa tabella mi serve per calcolare i coefficienti binomiali
1
5
1
1 6 15 20 15 6
1
1 7 21 35 35 21 7 1
La proprietà dei coefficienti binomiali è la seguente: i coefficienti binomiali equidistanti dagli
estremi sono tra loro uguali. Quindi fissata una riga (n) e una posizione su di essa (k) si può scrivere
la seguente proprietà:
n  n 
  = 
 tale proprietà è vera ∀n e ∀k ≤ n
k n − k
La seconda proprietà dei coefficienti binomiali mi dice che la somma di due coefficienti binomiali
su una riga è uguale al coefficiente binomiali che si trova sulla riga successiva sotto al coefficiente
più spostato verso destra.
 n   n   n + 1
  + 
 = 
 tale proprietà è vera ∀n e ∀k ≤ n - 1
 k   k + 1  k + 1
Esempio: Nella quinta riga 6 + 4 = 10, e il 10 si trova sotto al coefficiente binomiali più a destra
Un ultima proprietà del binomio di Neewton, detta anche disuguaglianza di Bernoulli, vale solo in
un caso particolare, cioè con a = 1, quindi avremo che:
(1 + b )n ≥ 1 + nb
∀x ∈ N, b > −1
b deve essere maggiore di –1 poiché se b < -1 (1 + b)n
risulta minore di 1.
Questa disuguaglianza viene dimostrata per ricorrenza, poiché la sua dimostrazione è legata alla
definizione di fattoriale, cioè:
1)
Dimostro la proprietà per il primo valore di n consecutivo, cioè n + 1
n
n = 1 ⇒ (1 + b ) = 1 + b
 La relazione è vera per uguaglianza
n = 1 ⇒ 1 + nb = 1 + b 
2)
Suppongo vera la proprietà al passo n - 1 e la dimostro vera al passo n, cioè da un numero
(n – 1) al suo successivo (n):
Hp: (1 + b)n-1 > 1 + (n – 1) b
Th: (1 + b)n = 1 + nb
Dall’ipotesi moltiplicando entrambi i membri per (1 + b), considerando b > -1, ottengo:
(1 + b ) ⋅ (1 + b )n −1 ≥ (1 + b )[1 + (n − 1) ⋅ b]
(1 + b )n
(1 + b )n
≥ 1 + (n − 1) ⋅ b + b + (n − 1)b 2
≥ 1 + n ⋅ b + (n − 1)b 2
(n – 1)b2 è sempre maggiore o uguale a 0, ne consegue che (1 + b)n > 1 + nb
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Dati due insiemi A e B, si dice funzione dell’insieme A all’insieme B ogni legge che ad ogni
elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B: f : A → B
L’insieme A è anche detto dominio della funzione e si indica con Df. L’insieme degli elementi di
B, che sono corrispondenti di almeno un elemento di A, fanno parte del condominio che si indica
con Cf
Cf = {y ∈ B : ∃x ∈ A : f ( x) = y}
Sa A e B sono sottoinsiemi propri di R ( A, B ⊆ R ) la funzione si può rappresentare sul piano
cartesiano. Esempi:
f1(x) = 2x
f2(x) = x2
f 3 ( x) = x
f4(x) = x3
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Una funzione si dice INIETTIVA se a ogni elemento distinto di A fa corrispondere elementi distinti
x1 ≠ x 2 ⇔ y1 ≠ y 2
quindi f1(x) e f4(x) sono iniettive.
di B, cioè:
Una funzione si dice SURIETTIVA se il condominio della funzione coincide con B (Cf ≡ B) ,
quindi f1(x) e f4(x) sono suriettive.
Se una funzione è sia iniettiva che suriettive, la funzione si dice biunivoca.
Data una funzione f: A
B mi chiedo se esiste una funzione che indicherò con f −1 : Cf → A tale
che f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x) = y
Questa funzione, detta funzione inversa, posso trovarla solo se la funzione è iniettiva, perché ad
ogni elemento di partenza devo associare uno ed un solo elemento di arrivo.
Se f : A → B è biunivoca allora ∃f −1 : B → A che è biunivoca
N: insieme dei numeri naturali;
P: insieme dei numeri pari;
S: insieme dei numeri dispari;
Z: insieme dei numeri interi;
Q: insieme dei numeri razionali (positivi, negativi e frazioni);
R: insieme dei numeri reali;
ä: appartiene;
/ - : : tale che;
∅ - {}: insieme vuoto;
⊆: inclusione propria;
⊂: inclusione impropria;
∀: per ogni;
∃!: esiste un solo
∃: esiste;
⇔: se e solo se;
⇒: se;
: ne consegue che;
∩: intersezione;
∪: unione;
∧: e;
∨: o;
x: cartesiano
P = {2k ; k ä N}
S = {2k + 1 ; k ä N}
Se A∩B = ∅ i due insiemi si dicono disgiunti;
P + S = N gli insiemi P, S si definiscono partizioni dell’insieme N poiché P∩S = ∅ e la loro
somma ci da l’insieme N.
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Dati 2 insiemi A e B, questi si dicono equipotenti o che hanno la stessa potenza se
∃f : A → B
biunivoca
(es. P è equipotenti a N).
Ogni insieme A che sia equipotenti a N si dice numerabile o che ha la potenza numerabile, si
dimostra che Z è numerabile. A sua volta anche Q è numerabile.
Dati 2 numeri p, q ∈ R , tra essi c’è sempre almeno un numero azionale diverso da entrambi,
p+q

 da cui possiamo notare che tra p e q ci sono sempre infiniti numeri razionali.
 2 
Considerando una retta r sulla quale fisso un punto 0 (origine) e fisso un altro punto diverso P, che
m
quindi mi da unità di misura e verso, ne consegue che a ogni numero razionale
> 0 corrisponde
n
m
uno ed un solo punto P1, con P1 : OP1 =
n
O
P
P1
Tale funzione è f : Q + → r , ne consegue che questa funzione è iniettiva e non suriettive, quindi si
avrà che ∃P1 ∈ r non sempre si avrà il corrispondente numero razionale (vedi esempio sotto con la
costruzione de quadrato di lato unitario).
0
P
P1
Quindi il segmento OP1 non ha rappresentazione nell’insieme Q, cioè è incommensurabile e ne
m m2
consegue che: ∃ : 2 = 2 questo significa che m e n sono primi tra loro. Dimostriamo ora che
n n
m
questa definizione per assurdo, quindi dimostriamo che: ∃ : m 2 = 2n 2 ⇒ m 2 è pari, ne consegue
n
che un quadrato è pari se il numero è pari, e cioè m = 2p, con p ∈ N , ne consegue che m2 = 4p2,
quindi sostituendo a m2 = 2n2 si avrà: 4p2 = 2n2 oppure 2p2 = n2, questo implica che anche n è pari,
ma m ed n devono essere primi tra loro, quindi la proprietà iniziale è assurda.
Tutti i punti che non hanno corrispondenza nei razionali sono i cosiddetti irrazionali.
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Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali (R)
Su R sono definite due operazioni, addizione e sottrazione, che godono della seguente proprietà:
1. Commutativa:
2. Associativa:
3. Distributiva:
a + b = b + a 

∀a, b ∈ R
 a ⋅b = b⋅a 
(a + b ) + c = b + (a + c )

∀a, b, c ∈ R
 (a ⋅ b ) ⋅ c = b ⋅ (a ⋅ c ) 
(a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ∀a, b, c ∈ R
a + 0 = a 

∀a ∈ R
a
1
a
⋅
=


a + (− a ) = 0 ∀a ∈ R

5. Esistenza dell’opposto o del reciproco:  1
a ⋅ a = 1 ∀a ∈ R, a ≠ 0
4. Esistenza dell’elemento neutro:
6. Su R è stabilita una relazione d’ordine tale che valgono le seguenti proprietà:
Transitiva:
a ≤ b,
b ≤ c ⇒ a ≤ c;
Antisimmetrica:
a ≤ b,
b ≤ a ⇒ a = b;
Ordinamento totale: ∀a, b ∈ R si ha che a < b oppure b < a;
Traslativa:
a ≤ b, ⇒ a + c ≤ b + c ;
a ≤ b, ⇒ a ⋅ c ≤ b ⋅ c ;
7. Assioma di completezza: dati 2 insiemi A e B contenuti in R (A, B ⊆ R ) tali che
a ≤ b, ∀a ∈ A
e ∀b ∈ B ,
allora
A ≠ 0, B ≠ 0
e
con
∃x ∈ R : a ≤ x ≤ b ∀a ∈ A
e ∀b ∈ B
ne consegue che tra un numero e quello
successivo c’è sempre un altro numero.
Quindi sappiamo che R è più che numerabile, cioè è un ∞ continuo, poiché è possibile metterlo in
corrispondenza biunivoca con una retta. Se un insieme A è equipotenti a R si dice che ha la stessa
potenza del continuo.
Dati a, b ∈ R con a < b, si introducono i seguenti insiemi:
[a, b] ]a, b[ [a, b[
]a, b]
Intervalli:
[a,+∞[ ]a,+∞[ ]- ∞, a ]
]- ∞, a[
Semirette:
Ogni intervallo ]a, b[ è equipotenti a R, cioè ∃f : ]a, b[ → R che è una funzione biunivoca.
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Data un’equazione algebrica razionale del tipo a0xn + a1xn-1 + … + an = 0 con a 0 , a 1 ,..., a n ∈ R essa
non ha sempre soluzioni in R, poiché il ∆ potrebbe essere < 0, invece tale equazione sarà sempre
possibile e avrà n soluzioni nell’insieme dei numeri complessi C. l’insieme R è sempre in
corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, l’insieme C invece è sempre in corrispondenza
biunivoca con i punti di un piano cartesiano, cioè l’insieme C è costituito dalla totalità delle coppie
ordinate con a, b ∈ R e in questo insieme valgono le seguenti regole di calcolo:
1. (a, b ) + (c, d ) = (a + c, b + d ) ;
2. (a, b ) ⋅ (c, d ) = (a ⋅ c − b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c ) ;
Si verifica che per queste operazioni valgono le proprietà: commutativa, associativa, distributiva.
Per l’addizione l’elemento neutro è (0,0) mentre per la moltiplicazione è (1,0). L’opposto del
numero (a,b) è (-a,-b). Ad ogni numero complesso (a,b) corrisponde uno ed un solo punto P del
piano sul quale si ha un sistema di riferimento cartesiano. P ≡ (a, b )
a
P
b
Come conseguenza della regola assegnata per l’addizione abbiamo la possibilità di scrivere la
seguente identità: (a, b ) = (a,0) + (0, b ) ∀a, b ∈ R
Considero e studio ora i numeri del tipo (a,0), geometricamente ci troviamo sulla retta delle
ordinate.
La somma e il prodotto di un numero con la seconda coordinata nulla è ancora un numero con la
seconda coordinata nulla, allora posso identificare i numeri di tipo (a,0) con a. (a, b ) ≡ a quindi
possiamo affermare che R ⊆ C , tale relazione non è da considerarsi in senso insiemistica, poiché R
è un insieme di numeri e C è un insieme di coppie ordinate.
Considero ora i numeri del tipo (0,b), sempre per le regole dette prima si ha che:
(0, b ) = (0,1) ⋅ (b,0) poiché (b,0) ≡ b essa è verificata. Il fattore (0,1) è detto unità
immaginaria e si indica con la lettera i. (0,1) = i ⇒ (0, b ) = i ⋅ b dunque si avrà:
(a, b ) = (a,0) + (0, b ) = a + i ⋅ b ∀a, b ∈ R
Il valore di i varia al variare della sua potenza:
i 2 = i ⋅ i = (0,1) ⋅ (0,1) = (− 1,0 ) = −1
i 3 = i 2 ⋅ i = −i
i4 = i2 ⋅ i2 = 1
i5 = i
Ne consegue che le potenze di i ogni 4 si ripetono ciclicamente.
6 4 7a 4 8
6 4 7b 4 8
2
(a + i ⋅ b ) ⋅ (c + i ⋅ d ) = a ⋅ c + i ⋅ a ⋅ d + i ⋅ b ⋅ c + i{ ⋅ b ⋅ d = (a ⋅ c − b ⋅ d ) + i(a ⋅ b + b ⋅ d )
Esempio:
−1
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Considero ora un numero Z che posso vedere come coppia ordinata o in forma algebrica. Ad esso
corrisponde un punto P di coordinate (a,b). La posizione di P può essere trovata tramite altre
coordinate, quali distanza OP o l’angolo che la retta OP forma con la retta r.
a
P
ρ
b
θ
O
La distanza tra P e O è una distanza reale maggiore o uguale a 0 e viene chiamata modulo e si
indica con ρ. Tra OP ed r non è unicamente determinato un angolo e si indica con θ. Se 0 < θ < Z è
detto argomento principale.
a = ρ ⋅ cosθ
P ≡ (a, b ) ≡ (ρ, θ ) si avranno le seguenti formule di passaggio:
b = ρ ⋅ sinθ
Z = a + i ⋅ b = ρ ⋅ cosθ + i ⋅ ρ ⋅ sinθ = ρ ⋅ (cosθ + i ⋅ sinθ )
1 4 4 2 4 4 3
formula
trigonometrica
ρ = Z , Z è complesso, e il suo modulo invece è reale (R +).
0
Dato un numero complesso Z = (a,b), si dice suo coniugato (a,−b ) = a − i ⋅ b = Z
Proprietà che lega un numero al suo coniugato:
Z + Z = a + i ⋅ b + a − i ⋅ b = 2 ⋅ a, a, b ∈ R
Z ⋅ Z = (a + i ⋅ b ) ⋅ (a − i ⋅ b ) = a 2 − i{2 ⋅ b 2 = a 2 + b 2
a, b ∈ R
−1
Ne consegue che la somma e il prodotto di un numero coniugato e di un numero complesso è un
numero reale.
Dato un numero complesso Z, cerco il suo reciproco, Z-1.
Z = a +i⋅b
con
a 2 + b2 ≠ 0
1
⇒ moltiplico
e
divido
per
il
coniugato
del
denominatore
Z -1 =
a +i⋅b
Z
1
a −i⋅b a −i⋅b
a
−b
Z -1 ⋅ =
⋅
= 2
= 2
+i⋅ 2
2
2
b
b2
Z a +i⋅b a −i⋅b a + b
1a4 2+43
1a4 2+43
a
b
Dato il numero Z = a + i ⋅ b chiameremo:
a = Re Z (parte reale di Z) [vedi esempio 2];
b = Im Z (coefficiente della parte immaginaria di Z, cioè b ∈ R [vedi esempio 2];
2
a) Z + i ⋅ Z + 2 ⋅ i = 0
Z=a +i⋅b
}−i
}−1
3
2
a + i ⋅ b + i ⋅ (a - i ⋅ b) + 2 ⋅ i = a + i ⋅ b + i ⋅ a + i ⋅ b − 2 ⋅ a ⋅ i 2 ⋅ b + 2 ⋅ i =
2
2
(
= (a + 2 ⋅ a ⋅ b) + i ⋅ a 2 − b 2 + 2 + b
1 42 43
1 4 42 4 43
a
b
)
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R e Z 2 = −2

b)  1
 I m Z = −1
Z=a +i⋅b
2
64 R7e Z48
6 I7m Z8
2
2
2
Z = a − b + i⋅2⋅a ⋅b
Re
1
2
Im
1
64 7 Z48
64 7 Z48
1
a
−b
= 2
+i⋅ 2
2
Z a +b
a + b2
a 2 − b 2 = −2
...
 − b = −1
2
2
 a + b
Si deve però porre una
a 2 = b2 − 2 ⇒ b2 − 2 ≥ 0
condizione
sulla
prima
equazione
del
sistema,
e
cioè:
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Prodotto e potenza in forma trigonometrica:
Dati 2 numeri C scritti in forma trigonometrica:




Z1 = ρ{1 ⋅  cos θ{1 + i ⋅ sinθ1 
Z 2 = ρ{2 ⋅  cos θ{2 + i ⋅ sinθ 2  cerco modulo e




Modulo 
Argomento
Modulo 
Argomento


argomento di Z1 ⋅ Z 2 , ne consegue che:
Z1 ⋅ Z 2 = ρ1 (cosθ1 + i ⋅ sinθ1 ) ⋅ ρ 2 ⋅ (cosθ 2 ⋅ sinθ 2 ) quindi utilizzando le formule di addizione della


trigonometria avremo che: Z1 ⋅ Z 2 = ρ1 ⋅ ρ 2 ⋅  cos(θ1 + θ 2 ) + i ⋅ sin (θ1 + θ 2 )

1 2 3  14 2 43
Modulo 
Argomento

Quindi potremo scrivere che:
Modulo del prodotto = prodotto dei moduli;
Argomento del prodotto = somma degli argomenti;
Se Z1 ≠ 0 , il modulo o l’argomento del suo reciproco saranno rispettivamente:
1
Modulo:
ρ1
Argomento: - θ1
n ∈ N , vale la seguente uguaglianza:
Dati Z in forma trigonometrica e


n
n

(
)
(
)
Z = ρ{ ⋅ cos n ⋅ θ + i ⋅ sin n ⋅ θ  tale formula è detta formula di De Moivre
12 3


Modulo 
Argomento

Si dimostra ora tale formula per induzione:
1)
n = 1 ⇒ Z1 = ρ1 ⋅ (conθ + i ⋅ sinθ ) questo è vero perché è il punto di partenza.
2)
Hp: Z n = ρ n ⋅ (con (n ⋅ θ ) + i ⋅ sin (n ⋅ θ ))
Th: Z n +1 = ρ n +1 ⋅ (con ((n + 1) ⋅ θ ) + i ⋅ sin ((n + 1) ⋅ θ ))
n
1
n
Quindi avremo che: Z n +1 =
{ Z ⋅ Z = ρ ⋅ (cos(n ⋅ θ ) + i ⋅ sin (n ⋅ θ )) ⋅ [ρ ⋅ (cosθ + i ⋅ sonθ )] =
[
]
Utilizzando
la defin.
di pot.
= (ρ n ⋅ ρ1 ) ⋅ [cos(n ⋅ θ + θ ) + i ⋅ sin (n ⋅ θ + θ )] = ρ n +1 ⋅ [cos((n + 1) ⋅ θ ) + i ⋅ sin ((n + 1) ⋅ θ )]
Da qui la tesi, come volevasi dimostrare
Dati un numero α in forma trigonometrica e n ∈ N , cerco un numero Z ∈ C : Z n = α suppongo
però che n > 2, altrimenti banalizzerei il problema. Ogni soluzione del problema viene chiamata
radice ennesima di α. Suppongo θ0 argomento principale, cioè 2π > θ0 > 0. L’incognita è Z, α e n
sono i dati, trasformo ora Z in forma trigonometrica: Z = ρ ⋅ (conθ + i ⋅ sinθ ) , le incognite ora sono:
ρ e θ. Z n = α utilizzando la formula di De Moivre diventa:
ρ n ⋅ (con(n ⋅ θ ) + i ⋅ sin (n ⋅ θ )) = ρ 0 ⋅ (cosθ 0 + i ⋅ sinθ 0 )
L’uguaglianza quindi sarà:
Uguaglianza dei moduli: ρ n = ρ 0 ;
Gli argomenti devono differire di multipli interi di 2π, n ⋅ θ = θ 0 + 2Kπ : K ∈ Z ;
Ossia avremo che:
ρ = n ρ 0 poiché essendo ρ una distanza avrà solo una soluzione maggiore di 0;
θ 0 + 2Kπ
∀K ∈ Z , per ogni K = 0, 1, 2, …, n-1 si ha che:
n
θ + 2Kπ
θ≤ 0
< 2π ⇒ individuo numeri complessi distinti, quindi il problema ha almeno n soluzioni
n
θ=
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Procedo ora alla sua dimostrazione:
Se θ0 > 0, K > 0 ⇒ θ 0 + 2Kπ ≥ 0 ⇒
θ 0 + 2Kπ
≥0
n
θ 0 + 2Kπ
= 2π
n
Ne consegue che per ogni altro valore di K ottengo argomenti che differiscono per multipli interi di
θ + 2Kπ
2π da uno degli argomenti precedentemente scritti, ossia: 0
n
Valori di K
Argomento
0
θ0
n
1
θ 0 + 2π
n
…
…
…
…
n
θ 0 + 2nπ θ 0
=
+ 2π
n
n
Differisce da K = 0 di 2π
Quindi il problema ha esattamente n soluzioni.
Se θ0 < 2π, K < n - 1 ⇒ θ 0 + 2Kπ < 2π + 2π ⋅ (n - 1) = 2π ⇒
Esercizi:
a) Trovare Z ∈ C : Z 4 − 1 − i = 0 ⇒ Z 4 = 1 + i devo trovare le radici quarte (n = 4) del numero 1
+ i. Scrivo 1 + i in forma trigonometrica:
1)ρ 0 = 1 + 1 = 2
1
4
2
1)ρ
=
2
1
cosθ 0 =
π
2 ⇒θ = π
+ 2Kπ
2)θ 0 :
0
1
4
4
2)θ
=
⇒ K = 0,1,2
sinθ 0
4
4
b) Trovare Z ∈ C : Z 2 = 1 + 3 ⋅ i
Z = a + i ⋅ b le incognite sono a, b

9
 2
a
−
= 14a 4 − 9 − 4a 2 = 0
2
2

2

a + b = 1
2
2
2
4a
Z = a − b + 2 ⋅i ⋅a ⋅ b = 1+ 3⋅i ⇒ 

3 
//
2⋅a ⋅b = 3  b =

2⋅a

Da qui si procede con il cambio della variabile.
2ImZ − ReZ = 2
c) Trovare Z ∈ C : Z - 2 = 2 e
Z = x+i⋅ y
 x + i ⋅ y = 2 (x − 2)2 + y 2 = 2(2 ⋅ y − 4 )2 + y 2 = 4
 Z−2 = 2
⇒



x = 2⋅y − 2
//
2ImZ − ReZ = 2  2 ⋅ y − x = 2 


6

y1 = 2  y = 2  y 2 =
8 ± 64 − 60
 1
5
=
y1,2 =
6
2
y 2 = x 1 = 2 
5
x2 =
5
5


La risoluzione di questo sistema ci dà i punti di intersezione tra una rette e una circonferenza
5 ⋅ y 2 − 16 ⋅ y + 12 = 0

x = 2⋅ y − 2

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Proprietà del modulo:
1) Z1 ⋅ Z 2 = Z1 ⋅ Z 2 ;
2)
Z1
Z1
=
se Z 2 ≠ 0
Z2
Z2
3) Z1 + Z 2 ≤ Z1 + Z 2
Tale disuguaglianza è detta disuguaglianza triangolare, e si dimostra
nel seguente modo:
( ) { 2 = (c, b ) e 1Z41 2+43Z 2 = (a + c, b + d )
Suppongo di avere: Z
{ 1 = a, d e Z
P1
P2
P
P
1
b+d
P
T
2
b
d
P
O
a
Q
R
S
c
a+c
Non conoscendo le misure del triangolo OPS, dobbiamo dedurre le misure dei suoi lati dal
parallelismo dei segmenti di retta che ci sono serviti per la sua costruzione.
Z1 = OP1 = P2 P
Z 2 = OP2 = P1 P
considerando quindi il triangolo OPP1, si avrà come
deduzione logica che: Z1 + Z 2 ≤ Z1 + Z 2 , per le proprietà elementari dei triangoli.
Nell’insieme dei numeri complessi non c’è la relazione d’ordine (<), non ha senso scrivere Z1 < Z2
essendo Z1eZ 2 ∈ C
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Dato un insieme A ∈ R ogni M ∈ R si dice maggiorante per A se si verifica che a ≤ M, ∀a ∈ A
1


Es. A = x = , ∀n ∈ N  M = 2 M è maggiorante
n


Se M è maggiorante per A ⇒ ∀M 1 > M si ha M1 > A. Se A ammette un maggiorante ⇒ A si dice
limitato superiormente. A limitato superiormente ⇔
{ ∃M ∈ R : a ≤ M, ∀a ∈ A
equivale
Se A non ha maggioranti, si dice non limitato superiormente, cioè:
A non limitato superiormente ⇔ ∃M ∈ R∃a ∈ A : a > M
N, Z, Q, R non sono limitati superiormente, ma non è limitato superiormente anche ]0,+∞[ .
A limitato inferiormente ⇔ ∃m ∈ R : m < a, ∀a ∈ A
A non limitato inferiormente ⇔ ∃m ∈ R∃a ∈ A : a < m
N.B. A limitato sia superiormente che inferiormente ⇔ ∃m, M ∈ R : m ≤ a ≤ M, ∀a ∈ A
Si dice massimo il primo dei maggiorati, che è il più piccolo di essi e sta nell’insieme A, cioè:
M è maggiorante e M ∈ A
Si dice minimo il primo dei minoranti, che è il più grande di essi e sta nell’insieme A, cioè:
m è minorante e m ∈ A
Esempio:
1


A = x = , ∀n ∈ N 
A è limitato A ⊆ [0,1]
n


1 è massimo per A, 0 è minorante, ma non è minimo poiché 0 ∉ N
Dato un insieme A ⊆ R e un numero L ∈ R , L si dice estremo superiore per A
L = sup.A = sup.a
se:
a∈A
1) L è maggiorante per A;
2) L è il più piccolo dei maggioranti;
Scrivendo in modo equivalente la seconda condizione, avremo che: se prendo un numero
strettamente minore di L, esso non è più maggiorante per A. ∀ε > 0 considero che L − ε non è
maggiorante per A, ossia ∃a ∈ A : a > L − ε (ε: quantità positiva). In definitiva avremo che:
∀ε > 0∃a ∈ A : a > L − ε
Dato un insieme A ⊆ R e un numero l ∈ R , l si dice estremo inferiore per A
l = inf.A = inf.a
se:
a∈A
3) l è minorante per A;
4) l è il più grande dei minoranti;
Scrivendo in modo equivalente la seconda condizione, avremo che: se prendo un numero
strettamente maggiore di l, esso non è più minorante per A. ∀ε > 0 considero che L + ε non è
minorante per A, ossia ∃a ∈ A : a < l + ε (ε: quantità positiva). In definitiva avremo che:
∀ε > 0∃a ∈ A : a < l + ε
Riassumendo:
1) L = sup A
a ≤ L, ∀a ∈ A e ∀ε > 0∃a ∈ A : a > L − ε
2) l = inf A
l ≤ a, ∀a ∈ A e
∀ε > 0∃a ∈ A : a < l + ε
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1


Dato l’insieme A = x = , ∀n ∈ N  e inf A = 0
dimostro le proprietà precedentemente
n


descritte:
1
tale proprietà è banalmente vera;
1) 0 ≤ , ∀n ∈ N
n
1
l’incognita è n
ed
ε è il dato del problema.
2) ∀ε > 0∃n ∈ A : < 0 + ε
n
1
Considero un generico ε > 0 e cerco n : < ε .
n
1
1
< ε equivale a n > , poiché tutti i numeri sono positivi.
ε
n
Per risolvere questo problema ho bisogno della funzione “parte intera di”
+
f: R0+
R così definita, ad ogni numero x ∈ R 0 associo il numero naturale o nullo che è il più
grande intero < x, allora se 0 < x < 1 si ha f(x) = 0. Tale funzione si indica con il segno [x ] . Il
grafico di questa funzione quindi sarà:
[x ] ≤ x ≤ [x ] + 1
quindi in risoluzione al problema di prima avremo che:
1
1
1 
quindi come volevamo dimostrare il problema ha almeno una
n =   + 1,∈ N ⇒   + 1 >
ε
ε 
ε 
soluzione in questo caso ha infinite soluzioni.
Vale il seguente Teorema (di WEIEERSTRASS) [teorema valido anche se limitata inferiormente].
Se A ⊆ R è tale che A ≠ 0 e A è limitato superiormente, cioè ha almeno un maggiorante, allora
∃L ∈ R : L = supA (esistenza dell’estremo superiore in R).
Il teorema non vale in Q, ad esempio se A = x ∈ Q + : x 2 < 2 , tale insieme è limitato, non vuoto e
{
}
l’estremo superiore di A è 2 ∉ Q .
Dato un insieme A ≠ 0 , abbiamo 2 situazioni:
1) A limitato superiormente, allora ∃supA ∈ R ;
2) A non limitato superiormente, allora scriveremo simbolicamente supA = +∞ ;
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Definizione di limitatezza:
Se ho A limitato, allora ∃m, M ∈ R : m ≤ a ≤ M, ∀a ∈ A , ma equivalentemente si ha:
A limitato superio ⇔ ∃K ∈ R + : a ≤ K, ∀a ∈ A , per dimostrare questa funzione avremo che:
1.
a ≤ K utilizzando la proprietà del valore assoluto, equivale a: - K ≤ a ≤ + K , ne consegue
che posso prendere m = -K e M = +K.
2. K = max{m , M }
Definizioni analoghe di funzioni (lim. Inf., lim. Sup….)
Data una funzione f: Df R
M ∈ R è maggiorante per f se M è maggiorante per Cf (codominio), ossia f(x)
{ < M, ∀x ∈ Df
Codominio
+
Esempio: f(x) = x
x∈R
Cf = R f non limitata superiormente.
Dimostro che f non limitata superiormente, cioè: sup Cf = +∞ sup f(x) = +∞ cioè equivale a:
2
x∈R
∀M ∈ R∃x ∈ R : f(x) > M
nel nostro caso
f( x ) > M
diventa ( x ) 2 > M . L’incognita è
soprassegnata ed M è da considerarsi un dato del problema, quindi risolvo ( x ) 2 > M rispetto a x .
M < 0 ⇒ ∀x ∈ R

In conclusione possiamo fare 2 conclusioni:
Se: x 
M ≥ 0 ⇒ x < − M ∪ x > − M
(
)
x è funzione di M, cioè dipende da M x = x (M ) ;
Posso scrivere la definizione con M ∈ R + , cioè: M ∈ R = M ∈ R +
R e dato un numero L ∈ R si definisce estremo superiore
f(x) ≤ L, ∀x ∈ Df

L = sup f(x) ⇔ 
x∈Df
∀ε > 0∃x ∈ Df : f( x ) > L − ε
Data f: Df
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Successioni
Si definisce successione ogni funzione il cui dominio coincide con N, quindi sono leggi che ad ogni
n ∈ N associano un numero reale o complesso (n
an). Le successioni si indicano con la seguente
simbologia: {a n }n oppure (a n )n
Esempi:
1
n
2. a n = n 2
1. a n =
inf a n = 0
n∈N
sup a n = +∞
n∈N
 1se n ∈ P
n
3. a n = (- 1) = 
− 1se n ∈ D
 n se n ∈ P
n
4. a n = (- 1) ⋅ n = 
− n se n ∈ D
inf a n = −1
n∈N
sup a n = +1
n∈N
inf a n = −∞
n∈N
sup a n = +∞
n∈N
Definizioni di monotonia
R con Df ⊆ R , essa si definisce monotona se: ∀x 1 , x 2 ∈ Df con
Data una funzione f: Df
x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) tale monotona è definita non decrescente.
Se invece, ∀x 1 , x 2 ∈ Df con x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) < f(x 2 ) la funzione è detta crescente.
Se vi è una funzione ∀x 1 , x 2 ∈ Df con x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) la funzione è detta non crescente.
Se vi è una funzione ∀x 1 , x 2 ∈ Df con x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) > f(x 2 ) la funzione è detta decrescente.
Esempi:
1. f(x) = ex
è una funzione monotona crescente;
è una funzione monotona non decrescente;
2. f(x) = [x ]
Se una funzione è monotona crescente o decrescente allora la funzione è iniettiva, ne consegue che
posso costruire la funzione inversa ∃f −1
(
)
Definizione di monotonia per le successioni:
Data una successione {a n }n essa si dice monotona non decrescente se ∀n 1 , n 2 ∈ N con n 1 < n 2 si
ha a n1 ≤ a n2 . Solo in N questo equivale a: ∀n ∈ N si ha a n ≤ a n +1
Da questa si ricavano le altre definizioni riguardanti la monotonia delle successioni.
Se ho una successione che sia monotona crescente o decrescente si ha a 1 = min a n
n∈N
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Esercizi:
a n = n + 1 − n , ∀n ∈ N
a n > 0 poiché il primo termine è maggiore del secondo, ne
consegue che vi è limitatezza inferiore e 0 è un minorante.
Per
comodità
trasformo
la
mia
successione:
n +1 + n
n +1− n
1
an = n +1 − n ⋅
=
=
n +1 + n
n +1 + n
n +1 + n
n + 1 è crescente 
 ⇒ la somma è crescente perché lo sono separatamente i due addendi.
n
è decrescente
1
Concludendo
è una successione decrescente. Alla luce di questo risultato avremo che:
n +1 + n
a 1 = max a n ⇒ sup a n . Ammettendo massimo la funzione è limitata, in particolare 0 < an < a1,
(
)
n∈N
n∈N
∀n ∈ N .
Ora verifico se lo 0 è limite:
1  a n ≥ a, ∀n
0 = inf a n ⇔ 
n∈N
2 ∀ε > 0∃n : a n < ε
Verifico la seconda proprietà: preso ε > 0, cerco n :
0 < n + 1 − n < ε devo porre due condizioni, cioè che
che
n +1 − n
( n +1 − n ) < ε
2
ed
2
ε abbiano lo stesso segno.
2
⇒ avremo: 2 ⋅ n + 1 − ε 2 < 2 ⋅ n + n considero ε < 1 ed elevo nuovamente al
2
2
quadrato: 4 ⋅ n + 1 + ε 4 + 4 ⋅ n − 4 ⋅ n ⋅ ε 2 − 2 ⋅ ε 2 < 4 ⋅ n + 4 ⋅ n
(
4⋅ n ⋅ε > 1− ε
2
n + 1 − n sia una quantità positiva e
) ⇒ n > (14−⋅εε )
2 2
2 2
2
(
)
 1− ε2 2 
posso prendere ad esempio: n = 
+1
2 
 4 ⋅ ε 
Concludo quindi che 0 = inf a n
n∈N
 1
f(x) = ln1 + 
Il dominio della seguente funzione sarà: Df = ]− ∞,−1[ ∪ ]0,+∞[ , quindi
 x
questa funzione sarà studiata in due momenti:
1
1
 1
a) x > 0,
> 0 ⇒ 1 + > 1 ⇒ ln1 +  > ln1 = 0 , posso concludere che in questo
x
x
 x
tratto la funzione è inferiormente limitata quindi 0 è minorante per f(x) per
x ∈ ]0,+∞[ . Sempre in questo tratto, con x ∈ ]0,+∞[ la f(x) non è superiormente
limitata;
1
1
 1
< 0 ⇒ 1 + < 1 ⇒ ln1 +  < ln1 = 0 , posso concludere che in questo
b) x < -1,
x
x
 x
tratto la funzione è superiormente limitata per x ∈ ]- ∞,−1[ . Sempre in questo tratto,
con x ∈ ]- ∞,−1[ la f(x) non è limitata inferiormente;
Quindi totalmente la funzione non è limitata, ne superiormente ne inferiormente.
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Elementi di topologia in R
Dato x 0 ∈ R , considero ε > 0, chiamo intervallo centrato in xo e di raggio ε, l’insieme
]x 0 − ε, x 0 + ε[ , quindi genericamente sarà:
x -ε
x +ε
x
0
0
0
Dato A ⊆ R , un punto x 0 ∈ R si dice punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni
intervallo centrato in xo c’è almeno un elemento o punti di A ≠ x 0 , cioè:
e a ∈ ]x 0 − ε, x 0 + ε[
∀ε > 0∃a ∈ A : a ≠ x 0
o anche ∀ε > 0 si ha la seguente proprietà:
A ∩ ]x 0 − ε, x 0 + ε[ − {x 0 } ≠ ø
Dato un insieme suppongo che ∃x 0 ∈ R di accumulazione per A, preso εο > 0, voglio sapere quanti
elementi di A ≠ x 0 stanno ]x 0 − ε 0 , x 0 + ε 0 [ . La risposta è: almeno uno, ma non può essere solo
uno, poiché se considero ε1 > 0 : a ∉ ]x 0 − ε 1 , x 0 + ε 1 [ anche in questo intervallo vi sarà un
elemento di A ≠ x 0 (vedi grafico sotto);
x -ε
0
x -ε a
0
x +ε
1
0
0
1
x -ε
x
0
0
0
Quindi abbiamo dimostrato un teorema, cioè se A ha un punto di accumulazione, allora A ha infiniti
elementi. Tale condizione è necessaria (CN) perché un insieme A abbia elementi di accumulazione,
però questa condizione non è sufficiente (CS) perché io abbia punti di accumulazione.
Esercizi:
2 < z +1− 3⋅i < 3
essendo z = x + i ⋅ y , quindi avremo che:
z + 1 − 3 ⋅ i = x + i ⋅ y + 1 − 3 ⋅ i = i ⋅ ( y − 3) + 1 + x ,
(x + 1)2 + (y − 3)2 ne
2
2
z + 1 − 3 ⋅ i < 3 ⇔ 4 < (x + 1) + (y − 3) < 9 . I
quindi
consegue che la disequazione equivalente sarà: 2 <
z +1− 3⋅i =
punti di questa disequazione rappresenteranno i punti di una corona circolare.
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Re Z

Im Z + 1 ≥
2

 Z − 1 2 ≤ 4
z = x +i⋅y
z - i = x + i ⋅ (y - 1)
x

 y +1 ≥
z - i = x + (y - 1)
2

x 2 + (y − 1)2 ≤ 4
Per la risoluzione di questo sistema immagino che al posto delle disuguaglianze ci siano delle
uguaglianze e i valori comuni li trovo sul grafico.
2
2
2
Le soluzioni del sistema sono i punti contenuti nella circonferenza al di sopra della retta.
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Proprietà sul teorema di esistenza di punti di accumulazione (Teorema di Bolzano – Weierstrass).
Se A ⊆ R ha infiniti elementi ed è limitato, allora ∃x 0 ∈ R di accumulazione per A.
Dato A ⊆ R con infiniti elementi (CN perché A abbia punti di accumulazione), ci sono 2 possibili
casi:
1) A limitato ( ⇒ ∃x 0 ∈ R di accumulazione per A);
2) A non limitato ⇒ ?
~
~
[Reale ampliato = R = R ∪ {+ ∞,-∞} in R ± ∞ sono dei simboli, mentre in R sono un insieme di
valori].
Se x 0 ∈ R ho considerato ]x 0 − ε, x 0 + ε[ con ε > 0, se prendo +∞ agli estremi, si sostituiscono le
semirette ]M,+∞[ con M ∈ R + , se invece prendo -∞ agli estremi, si sostituiscono le semirette
]- ∞, M[ con M ∈ R + .
Dato A ⊆ R , +∞ è di accumulazione per A se ∀M > 0 (oppure ∀M ∈ R + )
∃a ∈ A : a ∈ ]M,+∞[ qui non poniamo a ≠ +∞ poiché è una cosa ovvia.
Ossia: ∀M > 0∃a ∈ A : a > M , ciò equivale a insieme non limitato superiormente, quindi possiamo
concludere che:
A non limitato superiormente se e solo se +∞ è di accumulazione per A;
A non limitato inferiormente se e solo se -∞ è di accumulazione per A;
L’insieme dei numeri naturali N non è limitato superiormente, ne consegue che ha +∞ come
elemento di accumulo ed è l’unico, cioè non ha altri elementi di accumulazione.
TOPOLOGIA
Punto interno: Dato A ⊆ R , x 0 ∈ A si dice interno se ∃ε 0 > 0 : ]x − ε 0 , x + ε 0 [ ⊆ A . Se A è
numerabile allora non ha punti interni.
°
Dato A ⊆ R , indico con A tutti i punti interni ad A.
]a, b[
[a, b[
°


Esempio: A 
 hanno lo stesso A = ]a, b[
]a, b]
[a, b]
Dimostrazione:
x 0 ∈ ]a, b[ è interno a ]a, b[
x 0 ∈ ]a, b[ ⇔ a < x 0 < b
xo è interno ⇔ ∃ε 0 > 0 : ]x 0 − ε 0 , x 0 + ε 0 [ ⊆ ]a, b[
a
x -ε0
0
x
0
x +ε0
0
b
Ossia a < x 0 + ε 0 e b > x 0 + ε 0
numero positivo
 a < x 0 − ε 0 ε 0 < x 0 − a


numero positivo
x 0 + ε 0 < b ε 0 < b − x 0
 ε > 0  0 < ε < minore tra (xo - a, b - xo) ⇒ ha infinite soluzioni
0
0


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Ad esempio ε 0 =
min (x 0 − a, b − x 0 )
2
Definizione di insieme aperto:
°
Se A ≡ A , allora A si dice aperto, e si indica con le parentesi quadre aperte ]a, b[
A si dice chiuso se il suo complementare rispetto a R è aperto, ad esempio [a, b] è chiuso.
Infine ci sono insiemi che non sono ne aperti ne chiusi, cioè: [a, b[e]a, b]
Dato A ⊆ R , x 0 ∈ R si dice di frontiera se ∀ε > 0 si ha che: ]x 0 − ε, x 0 + ε[ ∩
C
{
A ≠ 0/ e
Complementare
]x 0 − ε, x 0 + ε[ ∩ A ≠ 0/ ad esempio i punti a e b sono punti frontiera per ]a, b]
Limite per funzioni (e successioni)
Data f: A R ed essendo A = Df.
Preso xo, voglio dare significato alla situazione seguente: quando x si avvicina a xo, ovviamente
rimanendo in A e non raggiungendo xo, si ha che f(x) si avvicina ad un elemento l che chiamo limite
di f(x) con x tendente a xo [ lim f(x) ]
x → x 0
CN (condizione necessaria) per poter parlare di
per Df.
Quindi avremo che:
lim f(x) = l ⇔ comunque
x → x 0
si
lim
x → x 0
è che xo sia di accumulazione per A, quindi
lim f(x) = l
x → x 0
prenda
un
intorno
I1
del
valore
l,
∃un intorno I 2 di x 0 : ∀x ∈ I 2 ∩ A − {x 0 }si ha che f(x) ∈ I1
Da questa definizione possiamo avere vari casi:
1° Caso: x 0 ∈ R , l ∈ R
lim f(x) = l ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ ]x 0 − δ, x 0 + δ[ ∩ A − {x 0 }si ha che f(x) ∈ ]l - ε, l + ε[
x → x 0
Ora scrivo x ∈ ]x 0 − δ, x 0 + δ[ in modo equivalente
x 0 − δ < x < x 0 + δ ⇔ −δ < x - x 0 < + δ ⇔ x - x 0 < + δ
f(x) ∈ ]l - ε, l + ε[ ⇔ f(x) − l < ε
lim f(x) = l con x 0 , l ∈ R e con xo punto di accumulazione per A = Df
x → x 0
⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε ) > 0 : ∀x con 0 < x - x 0 < δ e x ∈ A si ha f(x) - l < ε
0 < x - x0 ⇔ x ≠ x0
2° Caso: x 0 = +∞ , l ∈ R con Df non limitato superiormente.
lim f(x) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃M (ε ) > 0 : ∀x con x > M e x ∈ Df si ha f(x) - l < ε
n
→ +∞
in tutti i casi in cui xo = +∞, essi contengono la successione, poiché il dominio delle successioni è N
e +∞ è il suo unico punto di accumulazione.
Data una successione (an)n, abbiamo i seguenti casi:
l ∈ R Successione Convergente

lim a n =  ± ∞
Successione Divergente
n → +∞
 ∃/
Successione Oscillante

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Proviamo ora a dedurre la definizione
lim a n = l dalla definizione di limite:
x → +∞
lim a n = l ∈ R ⇔ ∀ε > 0, ∃M = M (ε ) > 0 : ∀n con n > M e n ∈ N si ha a n - l < ε
n → +∞
n ∈ N si può togliere, poiché essendo una successione questo è ovvio, quindi equivalentemente si
ha che: lim a n = l ∈ R ⇔ ∀ε > 0, ∃n (ε ) : ∀n > n si ha a n - l < ε
n → +∞
lim a n = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n (M ) : ∀n > n si ha a n > M
n → +∞
lim a n = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n (M ) : ∀n > n si ha a n < M
n → +∞
Esempi di limiti per le successioni:
lim a n = 1
1. a n = 1, ∀n
n → +∞
2. a n = n, ∀n
3. a n = (- 1)
n
essendo a n − l = 0, ∀n avremo a n − l < ε con ε > 0, ∀n
lim n = +∞
n → +∞
lim a n La funzione è oscillante essa non può neanche avere limite l = 1
n → +∞
poiché la definizione di limite n
+∞ deve essere vera ∀n > n
Teorema dell’unicità del limite:
Se ∃ lim an allora esso è unico
n →+∞
l
Dimostriamo per assurdo quanto appena affermato, supponiamo cioè che lim an =  1 con l1 < l2
n →+∞
l 2
Hp:
a ∀n> n
a ∀ n > n*
n
l1 - ε
l1
n
l1 + ε
l2 - ε
l2
l2 + ε
L’assurdo si verifica quando sovrappongo i disegni, cioè quando prendo infiniti valori di ε0 > 0 si
verifica che: l1 + ε0 < l2 - ε0. L’assurdo si verifica ∀ n > max( n ,n*)
Teorema di Limitatezza:
Se {an}n è convergente allora è limitata (non vale il viceversa). [Per verificare una proposizione
falsa è sufficiente fornire un esempio].
Esempio di successione limitata ma non convergente: an = (-1)n
Teorema del Valore Assoluto:
Se ∃ lim an = l ∈ R allora ∃ lim |an| = |l|, cioè il limite del valore assoluto è uguale al valore
n →+∞
n →+∞
assoluto del limite, e non viceversa.
Esempio: ∃ lim a n ma ∃/ lim a n
x → +∞
x → +∞
Esercizio:
Scrivere con la definizione la seguente uguaglianza: lim |an| = |l|
n →+∞
lim an = l ∈ R ⇔ ∀ε > 0∃n (ε ) : ∀n > n si ha a n - l < ε .
n → +∞
Essendo
|| x | | y || ≤| x y | ∀x, y ∈ R
posso scrivere ||an| – |l|| ≤ |an – l|, ma dalla definizione di limite |an – l| < ε quindi ||an| – |l|| ≤ |an – l| <
ε di conseguenza
||an| – |l|| < ε allora la definizione di limite risulta ancora vera anche in questa forma:
lim |an| = |l| con l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n (ε) : ∀ n > n si ha ||an| – |l|| < ε
n →+∞
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Teorema della permanenza del segno:
∃ n* : an · l > 0, ∀ n > n*
Se ∃ lim an = l ∈ R –{0} allora
n →+∞
Dimostrazione:
Caso l > 0
Devo dimostrare che ∃ n* : an > 0 ∀ n > n*
lim an = l ⇔ ∀ ε > 0, ∃ n (ε) : ∀ n > n si ha |an – l| < ε o anche l – ε < an < l + ε
n →+∞
Dovendo dire se an > 0, considero ε0 > 0 : l – ε0 > 0 , ad esempio: ε0 = 3 allora ottengo
an > l – 3 > 0, ∀ n > n (3) ossia an > 0, ∀ n > n* con n* = n (3)
Invece di scrivere lim an = l si può scrivere
lim an = l;
n →+∞
n
lim an = l;
→ +∞
an n
→ l
n
→ +∞ si sottintende poiché è l’unica soluzione possibile.
Vale il seguente teorema:
lim an = l ⇒ lim |an| = |l| ma non lim |an| = |l| ⇒ lim an = l tranne nel caso l = 0
Poiché le due definizioni di limite sono identiche.
lim |an| = 0 ⇒ lim an = 0
Teoremi di confronto:
Date {an}n e {bn}n se ∃ n* : an ≤ bn, ∀ n > n*
1. ∃lim an = +∞ ⇒ ∃ lim bn = +∞;
2. ∃ lim bn = -∞ ⇒ ∃ lim an = -∞;
allora si ha che valgono le seguenti proprietà:
Teorema dei 2 carabinieri:
Date {an}n; {bn}n; {cn}n tali che ∃ n* : an ≤ bn ≤ cn, ∀ n > n* inoltre sappiamo che:
∃ lim an = lim cn = l ∈ R allora si conclude che ∃ lim bn = l
Dimostrazione:
Hp: ♠ an ≤ bn ≤ cn, ∀ n > n*
♠ ∀ ε > 0 ∃ n (ε) : ∀ n > n (ε) si ha |an – l| < ε cioè l – ε < an < l + ε
♠ ∀ ε > 0 ∃ nI(ε) : ∀ n > nI (ε) si ha l – ε < cn < l + ε
Th:
∀ ε > 0 ∃ nII(ε) : ∀ n > nII (ε) si ha l – ε < bn < l + ε
Dalla 1° Hp valida ∀ n > n*
l – ε < an ≤ bn ≤ cn < l + ε
Dalla 2° Hp valida ∀ n > n (ε)
Da cui l – ε < bn < l + ε vera ∀ n > max( n ; n*, nI)
Essendo:
l – ε < an vera ∀ n > n (ε);
an ≤ bn ≤ cn, vera ∀ n > n*;
cn < l + ε vera ∀ n > nI (ε);
Quindi nII(ε) = max( n ; n*, nI)
Dalla 3° Hp valida ∀ n > nI(ε)
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Teorema:
Date {an}n e {bn}n tali che ∃ n* : an ≤ bn ∀ n > n* ed ∃ lim an = l1 ∈ R, ∃ lim bn = l2 ∈ R,
la tesi è allora l1 ≤ l2
Se la prima ipotesi è an < bn ∀ n > n* si ha ancora l1 ≤ l2
l1 = 0
Esempio:
an = 0, ∀ n
1
l2 = 0
bn = , ∀ n
n
Regole di calcolo dei limiti
Teorema:
Date {an}n e {bn}n, se ∃ lim an = l1 ∈ R ed ∃ lim bn = l2 ∈ R allora avremo che:
∃ lim (an + bn) = l1 + l2 ed ∃ lim (an · bn) = l1 · l2
Cioè il limite di una somma (o di un prodotto) è uguale alla somma (o al prodotto) dei limiti.
Attenzione però che può esistere il limite della somma (o del prodotto), e non esistere il limite degli
addendi (o dei fattori);
Esempio:
bn = -an
an + bn = 0
an = (-1)n
Può: ∃ lim an ed ∃ lim (an + bn) e nello stesso tempo ∃/ lim bn
Teorema del reciproco:
~
Date {an}n e {bn}n, se ∃ lim an = l ∈ R allora
1
 l se l ∈ R - {0}

1
= 0 se l = ± ∞
∃ lim
an
+ ∞ se l = 0 e ∃ n * : a n > 0 ∀ n > n *

− ∞ se l = 0 e ∃ n * : a n < 0 ∀ n > n *
Esempi:
1. an = n lim an = +∞
⇒ lim
1
=0
an
1
1
∃ lim an = 0 perché |an| = 
→ 0
n
n
∃/ n* : an è a segno costante ∀ n > n*
n se n ∈ P
1
1
bn
1
n
·
n
=
⇒
∃
Se
ho
lim
=
= bn
·
n
=
(-1)
/

n
(-1)n
an
an
an
- n se n ∈ D
2. an = (-1)n ·
1
a
n
Teorema del quoziente:
Date {an}n e {bn}n, se ∃ lim bn = l1 ∈ R e ∃ lim an = l2 ∈ R –{0} allora ∃ lim
Tale teorema risulta dal teorema del reciproco, poiché: se ho
Forme indeterminate:
Somma:
a n + bn
Prodotto:
an · bn
bn
1
Quoziente:
= bn
an
an
bn
l
= 1
an
l2
bn
1
= bn
an
an
an 
→ +∞
an 
→ ±∞
bn 
→ -∞
bn 
→ 0
→ ±∞
an 
bn 
→ ±∞
→ 0
an 
bn 
→ 0
f.i. del tipo +∞ + (-∞)
f.i. del tipo ±∞ · 0
∞
f.i. del tipo
∞
0
f.i. del tipo
0
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Esempi:
an 
→ +∞
1) an = n
2) an = n
bn 
→ -∞
studio an + bn
bn = -n
a n + bn = 0 
→ 0
bn = -2n
an + bn = -n 
→ -∞
- n + 1 se n ∈ P
bn = -n +(-1)n = 
3) an = n
- n − 1 se n ∈ D
n
an + bn = (-1) non ha limite è oscillante
Teorema della Somma:
Se ∃ lim an = +∞(-∞) e ∃ M ∈ R : bn > M ∀ n (bn < M ∀ n ), cioè la successione bn è limitata
inferiormente allora ∃ lim (an + bn) = +∞ (-∞)
~
OSSERVAZIONE: Se ∃ lim bn = l ∈ R la successione {bn}n è sicuramente limitata inferiormente se
l ∈ R oppure l = +∞, quindi se l ha questi valori posso eseguire la somma.
Esempio:
→ -∞;{bn}n è limitata ne consegue che lim cn = -∞
1.
cn = -n + (-1)n cn = an + bn con an = -n 
2.
lim (n + sin n) cn = an + bn con an = n 
→ +∞ bn = sin n è limitata quindi lim cn = +∞
Teoremi del Prodotto:
1. Se ∃ lim an = 0 e ∃ n > 0 : |bn| ≤ M ∀ n (totalmente limitata), allora ∃ lim (an · bn) = 0
Esempio:
1
1
→ 0 poiché è il prodotto di 
→ 0 e (-1)n che è limitata
(-1)n 
n
n
2. Se ∃ lim an = +∞ e ∃ M > 0 e n : bn > M, ∀ n > n
({bn}n è discosta positivamente dallo zero) allora ∃ lim (an · bn) = +∞
Se ∃ lim an = +∞ e ∃ M > 0 e n : bn < -M, ∀ n > n
({bn}n è discosta negativamente dallo zero) allora ∃ lim (an · bn) = -∞
OSSERVAZIONI:
~
Se ∃ lim bn = l ∈ R allora {bn}n è discosta positivamente dallo zero se l ∈ R+ oppure
l = +∞;
Non basta richiedere che bn > 0, ∀ n > n perché in tal caso potrebbe essere che il
lim bn = 0;
Limiti Particolari:
1. lim nα con α ∈ R
α = 0 nα = 1 
→ 1
0<α<1
lim nα = +∞
α ≥ 1 nα > n per il teorema da cui lim n 
→ +∞
1
α < 0 nα = -α ⇒ -α > 0 dal caso precedente n-α 
→ +∞ e per il
n
1
teorema del reciproco -α 
→ 0
n
+ ∞ se α > 0

α
Quindi riassumendo avremo che: lim n = 1 se α = 0
0 se α < 0

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2. lim P(n)
polinomio di grado r ∈ N in n
r
P(n) = aon + a1nr – 1 + … + ar
Raccogliendo il termine di grado massimo avremo che:



1
1
P(n) = n{  a 0 + a1 + ...
{ + an r 
+∞ 
{ n 0 123n 
1 4 4 04 2 4 4 40 3 
r
a0
− ∞ se a 0 < 0
Il risultato finale dipende da ao, quindi avremo che: lim P(n) = 
+ ∞ se a 0 > 0
P(n)
con P(n) di grado r ∈ N in n e Q(n) di grado s ∈ N in n
3. lim
Q(n)
Q(n) = bos + b1ns – 1 + … + bs
1
1
1
1


n r  a 0 + a1 + ... + a r r 
 a 0 + a1 + ... + a r r 
P(n)
n
n 
n
n 

lim nr-s =
=
= n r-s 
1
1
1
1
Q(n)




n s  b0 + b1 + ... + bs s 
 b0 + b1 + ... + bs s 
n
n 

1 4 4 44n 2 4 4 4 n43 
+ ∞ se r > s

1 se r = s
0 se r < s

a0
b0
a0

+ ∞ se r > s e b > 0
0

a0

P(n)
− ∞ se r > s e < 0
b0
Forma indeterminata, non risolvibile con teoremi.
= 
quindi lim
Q(n) 
a
 0 se r = s
 b0
0 se r < s

n
4. lim a con a ∈ R
a > 1 ∃ x > 0 : a = 1 + x da cui avremo che an = (1 + x)n > 1 + nx (disuguaglianza di
Bernoulli), ma lim (1 + nx) = +∞ per il teorema del confronto si ha lim an = +∞;
a = 1 an = 1 
→ 1;
-1 < a < 1 considero:
n
1
1
1
da cui an =   = n essendo lim bn = +∞
0 < a < 1 allora ∃ b> 1 : a =
b
b
b
1
→ 0 quindi avremo che lim an = 0;
per il teorema sul reciproco n 
b
n
a = 0a = 0 
→ 0;
–1 < a < 0, allora studio a ⇒ 0 < a < 1 , |an| = (|a|)n quindi 0 < |a| < 1 ⇒
lim |a|n = 0, ossia avremo che lim |an|n = 0 ⇒ lim an = 0 (per un teorema del
valore assoluto;
a ≤ 1 considero:
a = -1 ⇒ an = (-1)n è una successione oscillante;
a < -1 ⇒ a posso scriverlo come (-1)|a| da cui an = (-1)n|a|n ⇒ |a|n > 1 ⇒
|a|n 
→ +∞, quindi la successione è oscillante;
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+ ∞ se a > 1
1 se a = 1

n
Quindi riassumendo avremo che: lim a = 
0 se - 1 < a < 1 o | a |< 1
∃/ se a ≤ -1
Esercizi:


lim  1 n2 +3 1 - 1 2n3- 1 
+∞ 
 +∞
(
) (
n + 1 - n -1 =
f.i +∞-∞
)(
)
(n + 1) − (n - 1) =
n + 1 - n -1 n + 1 + n -1
2
=

→ 0
n + 1 + n -1
n + 1 + n - 1 1 n2 +3 1 + 1 2n3- 1
1 +4∞4 2 4 +4∞3
(
)
(
)
+∞
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Successioni Monotone:
Teorema se {an}n è monotona allora
sup a n se c' è monotonia crescente o non decrescente
∃ lim an = 
inf a n se c' è monotonia decrescente o non crescente
Dimostrazione: Nel caso di {an}n crescente o non decrescente e sup an ∈ R
Hp: 1) an ≤ an + 1, ∀ n (oppure an < an + 1)
2) sup an = L ∈ R, cioè:
a) an ≤ L, ∀ n;
b) ε > 0 ∃ n (ε) : a n > L - ε
Th:
lim an = L cioè ∀ ε > 0 ∃ n*(ε) : ∀ n > n* si ha L - ε < an < L + ε
Dall’ipotesi 2a, avremo che: an ≤ L, ∀ n e L > L + ε, ∀ ε > 0, da ciò an < L + ε, ∀ n
Per l’ipotesi 2b avremo che an > L - ε, ma per la monotonia della prima ipotesi avremo
an ≥ a n , ∀ n > n da ciò an > L - ε, ∀ n > n . In conclusione L - ε < an < L + ε, ∀ n > n da cui la
tesi con n* = n
an
L-ε
L
L+ε
a n dalla 3° Hp
Casi Particolari:
 1
a n = 1 +  si dimostra che la successione è crescente e limitata, ne consegue che per il teorema
 n
 1
appena dimostrato ovvero che ∃lim n 1 +  ∈ R , per definizione questo limite si pone uguale a e.
 n
 e x 0 se x 0 ∈ R
n

 1
lim1 +  = e
Si dimostra che
lim e x = + ∞ se x 0 ∈ R
n
x→x 0
 n
 0 se x = −∞
0

ln x 0 se x 0 ∈ R +

lim ln x =  + ∞ se x 0 = +∞ da ciò si deducono i seguenti risultati:
x →x 0
 - ∞ se x = 0
0

~
lim f (l ) = l ∈ R allora lim e f ( x )
x →x 0
x →x 0
 e l se l ∈ R

= + ∞ se l = +∞ quindi avremo che:
 0 se l = - ∞

 ln l se l ∈ R +

lim ln f (x ) = + ∞ se l = +∞
x →x 0
 - ∞ se l = 0

Analoghi risultati si avranno per e a n e per ln a n
Successioni Esponenziali:
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(a n )b
(a n )b
n
(a n )b
, b n ∈ R, a n > 0
n
= e ln (a n ) = e b n ⋅ln (a n ) studio il limite lim(b n ⋅ ln a n ) , avremo che:
bn
n
è in forma indeterminata se e solo se lo è il lim(b n ⋅ ln a n ) , cioè se bn o ln an, uno tende a 0 e
n
0
0
n
∞
l’altro tende a +∞, quindi avremo che: ∞ , 0 , 1 , poiché ln an tende a 0 o a +∞, an assume certi
valori.
Teorema:
b
l
Se ∃ lim a n = l1 ∈ R + e∃ lim b n = l 2 ∈ R ⇒ ∃ lim(a n ) n = (l1 ) 2
n
n
n
Esempio:
 n +1
lim

n
 n −1
3⋅n
forma esponenziale
n +1

→1
n -1
f.i. 1∞
3n 
→ +∞
n
 1
Porto la base alla forma 1 + 
 n
n −1
n + 1 + 1 -1
2
1
= an
= 1+
= 1+
essendo
n -1
2
n -1
n -1
2
2



1 
1 +

 n - 1 
2 

n -1 2
⋅ 3n
2 n -1
3n
n -1

 1n -213
2
tende a 6



 
1
 
= 1 +

→ e6

n
1



 
2  

1 4 4 2 4 43 
tende a e
Terminologie:

1
Se lim an = +∞ (-∞) allora lim 1 + 
 an 
an
=e
6 7 8a 0 
 tende

(-1) n 
3/ n/ 1 +
3n 

n 2 −1


n
n
n
3n + (-1)
 3n + (-1) 

 tende
a
=


→1
lim 



3n + n
 3n + n 

n 
3/ n/ 1 +

3n 
{

 tende a 0 
ordine superiore a n, ne consegue che è una f.i. 1∞
n2 −1

→ +∞
n


 (−1)n − n 





1

= 1 +



3n + n 


(-1) n − n 


1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 
3n + n
 3n + (-1)n

+ 1 − 1

 3n + n

n 2 −1
n
 3n + (-1)n − 3n − n 

= 1 +

3n + n


n 2 −1
n
tende a e
poiché n2 è di
n 2 −1 ( −1)n − n
⋅
n
3n + n
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(−1) n − n n 2 − 1
⋅

→ −∞
lim
n
3n + n
grado massimo.
per risolvere questo limite si possono raccogliere i termini di
Terminologia:
Se lim an = + ∞ (-∞) allora diremo che {an}n è un infinito
lim bn = ±∞
Confronto fra Infiniti: lim an = ±∞
l ∈ R - {0} diremo che sono dello stesso ordine o che hanno la stessa velocità
± ∞ diremo che {a } è di ordine superiore a {b }
a

n n
n n
lim n = 
b n 0 diremo che {a n }n è di ordine inferiore a {b n }n
∃/ diremo che {a n }n e {b n }n sono non confrontabili
Esempi:
Se an = n
2n

→
stesso ordine


→
{a n }n è di ordine superiore a {b n }n
 n
 2
bn = n

→
{a n }n è di ordine inferiore a {b n }n

an
1
1
n(2 + (−1) n ) 
→
=
quindi ∃/ lim
n

b n 2 + (−1)
2 + (−1) n
an
= 1 allora si scrive an ∼ bn (an asintotico a bn)
bn
Dati quattro infiniti {an}n, {bn}n, {cn}n, {dn}n tali che {bn}n sia di ordine inferiore a {an}n e {dn}n sia
di ordine inferiore a {cn}n,
} a 0
 tende

b 
1 + n 
an 

an 
a n + bn
 Ne consegue che il limite di partenza si riduce a
Considero: lim
⇒ lim ⋅
cn + d n
cn 


dn 
1 +

c

n
{ 
1 44 tende
2 4a430 
Se lim
tende a 1
an
 ∞
Nello studio di quozienti di infiniti  f .i.  si possono trascurare e/o eliminare a numeratore
cn
 ∞
e/o a denominatore quegli infiniti di ordine inferiore rispetto ai rimanenti.
Confronto di infiniti Fondamentali:
Se considero na con a > 0 si ha n a1 è di ordine superiore a n a 2 se a1 > a2
n
n
Se considero an con a > 1 si ha (a 1 ) è di ordine superiore a (a 2 ) se 1 >aa2
lim
Infatti:
(a )n
lim 1 n
(a 2 )
a
= lim 1
 a2
n
n

a 
a
 quindi 1 > 1 da cui il limite sarà lim  1  = +∞
a2
 a2 

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Crescenza degli infiniti,
cioè scendendo cresce
l’ordine
Gli Infiniti:
ln n vale anche per (log a n, ∀a > 1)
na , a > 0
e n vale anche per (an, a > 1)
n!
nn
 7 n è di ordine superiore a 5n 7

→
 n
5 n + 4n
5 è di ordine superiore a 4n
6 4tende
7 4a 1 8
tende
} a 0


5n 7 
7 n 1 + n 
7 



 = +∞
Altra risoluzione: lim



4n 
n
5 1 + n 
5 
{

1 4 tende
2 4a30 
lim
5n 7 + 7 n
lim
7n
= +∞
5n
tende a 1
Confronto tra ln (n2 + 1) e ln (n + 1), sono dello stesso ordine? Per saperlo studio il limite:
6 4 70 4 8
2
}
 2
1 
1 

2
ln
n
1
+
ln
n
ln
1
+
+






ln (n 2 + 1)
n2 
 n 2 


lim
= lim
= lim
=2
  1 
ln (n + 1)
 1
ln
ln n1 + 
{ n + ln 1 + 
n
1
  n 
1 4 2 43
0
Essendo il limite uguale a 2 gli infiniti precedenti sono dello stesso
Confronto tra ln (1 + en) e (n + 1)
6 4 70 4 8
}n
 
1 
1 

ln e n 1 + n 
ln e n + ln 1 + n 
n
ln (1 + e )
 e 
 e  = 1 Sono dello stesso ordine
= lim 
lim
= lim
n +1
n +1
n{+ 1
n
1
n
forma esponenziale indeterminata del tipo ∞0
ln n
1

=0
studio ora l’esponente e il suo limite lim  ln n  = lim
n
n

Considero: lim n n = lim n 
→
1
1
n
n =e
lnn n
1
= en
ln n
poiché ln n è un infinito di ordine inferiore a n lim e
1
lim (n 2 + 1)ln ( n +1)
f.i. ∞0
1
(n 2 + 1)ln ( n+1)
ln n
n
= e0 = 1
1
= e ln ( n +1)
ln (n 2 +1)
 
1 
ln n 2 1 + 2 
1
ln (n 2 +1)
ln (n + 1)
 n 
= 2 ⇒ lim e ln ( n +1)
lim
= lim 
= e2
ln (n + 1)
ln (n + 1)
2
studio il limite dell’esponente
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1
1
1
 1 
ln 

 1  2n + 1
f.i. 00
= e 2 n + 1  5n + n  studio il limite dell’esponente
 n

5 +n
 
n 
n
 1 

− ln 5n 1 + n 
ln n
ln 5n + ln1 + n 

n
− ln (5 + n )
5 +n
 5  = − ln 5
  5  = lim −
= lim
= lim
lim 
2
2n + 1
2n + 1
2n + 1
2n + 1
 1  2n + 1
lim  n

5 +n
1
lim e 2 n + 1
 1 
ln  n 
 5 +n 
=e
−
ln 5
2
Sottosuccessioni:
Data una successione {an}n ∈ N considero NI ⊆ N ma con infiniti elementi, chiamo sottosuccessione
a
I oppure n
la legge che ad ogni n ∈ NI associa a e la indico {a }
n n∈N
n
lim a n
NI
=
l
∈
NI
R ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n (ε) : ∀ n >
n (ε),
n
∈
NI si ha
a n − l < ε in questo caso n ∈ N 1 è obbligatorio
Vale ovviamente il seguente teorema:
~
Se ∃ lim an = l ∈ R allora ogni sottosuccessione di {an}n ∈ N ha limite l.
Se data una successione {an}n ∈ N,esistono due sue sottosuccessioni che hanno limiti diversi tra loro
ne consegue che ∃/ lim an
Casi particolari di sottosuccessioni sono:
1. NI = P sottosuccessione di posto pari
2. NI = D sottosuccessione di posto dispari
 an = 1
→1

P
n 
I due limiti sono diversi allora ∃/ lim (-1)n
an = (-1) a n
→ −1
 D = −1 
Teorema:
Se ∃ lim a n
~
an
P = l ∈ R e ∃ lim D = l allora ∃ lim an = l
Esempi:
n +1 1
 an
=
=

P 2n + 1 2

 1
(−1) n n + 1 
− n 1 − 
an =
a
 n = −1
2n + 1  n =
2
 D n 2 + 1 



n

an =
n 3 + (−1) n
n − n 2 + (−1) n
Ne consegue che ∃/ lim an
6 4 71 4 8
 6 708 
 (−1) n 
n 3 1 + 3 
n 


n 3 + (−1) n
 = -∞

lim
= lim
2
n
n − n + (−1)


1
(−1) n 
2
n  −1+ 2 
1 2n 3 
 {n
1 04 4 2 4 043 
−1
oppure
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an =
n 3 + (−1) n
n − n 2 + (−1) n

1 

n 3 1 + 3 

 n  = −∞
lim a n = lim
P
1


n2  −1 + 0

n


1 


n 3 1 − 3 
 an
 n  = −∞
lim D = lim  1


n2  −1 − 0

n

n 3 − (1)

→ -∞
n
n − n 2 + (− 1)
n
Data la successione an =
si chiede se è monotona e se è limitata.
n +1
n
n +1
<
essendo tutte quantità positive, equivale
1) Verifico che an < an + 1, ∀n , cioè
n +1
n+2
a n n + 2 < (n + 1) n + 1
n2(n + 2) < (n + 1)2(n + 1) ⇔ n3 + 2n2 < (n + 1)3 ⇔ 2n2 < 3n2 + 3n + 1 ⇔ 0 < n2 + 3n + 1
È clamorosamente vera, quinti la successione è crescente.
1) Essendo an crescente posso affermare che an è limitata inferiormente.
sup an ∈ R? No poiché il sup an = lim an = +∞ e la successione è crescente.
n
lim
= +∞ Quindi la successione an non è limitata.
n +1
n
Quindi ∃ lim
Esercizio:
n −3
1  

A  ,1 ∪ x =
, n = 1,2,3,...,
122 3  1 4 4 2n
4 4 2 4 4 4 43 
A1
°
1 
A 1 =  ,1
2 
°
A2 = O
/ poiché è un infinito numerabile.
A2
Ne consegue che l’insieme non è aperto perché i punti interni dovrebbero coincidere.
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o
1 
A =  , 1 ≠ A quindi A non è aperto
2 
1 
x0 ∈ fr A2 ⇔ ∀ ε > 0 si ha ]x0 - ε, x0 + ε[ ∩ A2 ≠ 0
fr. A2 = A2 ∪  
2
]x0 - ε, x0 + ε[ ∩ CA2 ≠ 0 se x0 ∈ A2 si ha x0 ∈ ]x0 - ε, x0 + ε[ ∩ A2 e ]x0 - ε, x0 + ε[ ∩ CA2 ≠ 0
poiché A2 è numerabile e ]x0 - ε, x0 + ε[ è continuo.
1 
1
1
1
è di frontiera per A2⇔  − ε, + ε  ∩A2 ≠ 0 poiché = lim an = sup an e
2 
2
2
2
1
1 
1
 2 − ε, 2 + ε  ∩ CA2 ≠ 0 poiché l’elemento 2 vi è sicuramente contenuto, quindi
1 
1 
1 
fr. A = A2 ∪  , 1 fr. A1 =  , 1 , acc. A1=  ,1
2 
2 
2 
1 ∈ acc.A ⇔ ∀ε > 0, ∃x ∈ A 1 : x ≠ 1 e x ∈ ]1 − ε,1 + ε[
1
1 
acc. A2 =   poiché = lim a n
n
2
2
Un insieme si dice aperto se contiene i suoi punti di accumulazione. Il nostro insieme quindi è
chiuso poiché 1 è di accumulazione ma non appartiene ad A.
Esempi:
n4 + n3 − n2 + ∞ − ∞
=
2n + 1
∞
lim
(n
)(n
(n
+ n3 − n2
⋅
(2n + 1)
4
f.i.
)=
n
+ n ) (2n + 1) ⋅ ( n
4
+ n3 + n2
3
4
+n
4
3
2
+n +n
3
2
∞
∞
)
f.i.
n3
1
1
n4 + n3 − n2 1
=
= ⇒ lim
=
2n + 1
4
 2⋅2 4
 



1 2
1
n 2 + n  1 + + 1

{n   1 2 3n

0 


 1
lim
(n
3
3
)
n 3 + 2n 2 e b = n
1
2
 3
  3
2 3
2 3
− n  ⋅  n + 2n
+ n n 3 + 2n 2
 n + 2n
 
n 3 + 2n 2 − n = 
2
1
n 3 + 2n 2 3 + n ⋅ n 3 + 2n 2 3 + n 2
considero a =
(
3
=
f.i. sapendo che (a3 –b3) = (a – b)(a2 + ab +b2)
+ 2n 2 − n = ∞ − ∞
3
(
)
)
(
(
)
2n 2
(n
3
+ 2n
)
2
2 3
(
+ n n + 2n
3
Se gli infiniti di tipo
)
1
2 3

→
+n
2
+∞−∞ o
raccogliendo il limite più alto.
)
(
(
(
)
)
1
3

+ n2 
=
)
2
2
⇒ lim 3 n 3 + 2n 2 − n 2 =
3
3
∞
sono di ordine diverso posso procedere nei vari modi o
∞
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 n 2 + 2n 

lim 

2
n
n
−


n

1
f.i. 1 devo ricondurla a una forma del tipo 1 + 
 an 
∞
n
an
n
 
 n 2 + 2n
n 2 + 2n − n 2 − n 
 =
 = 1 +

1
1
+
−

 
 n2 − n
n2 − n

 

n
n 2 +2 n − n 2 −n
6 4 4 4 4 4 4 4 7e 4 4 4 4 4 4 48
n 2 −n
2 −n
n


 n 2 + 2 n − n 2 −n 


n ( n 2 + 2 n − n 2 −n )


1

n 2 −n
=
e
=  1+

2


n −n



2


n + 2n − n 2 − n 


n (2n + n )
3n 2
Si studia infine l’esponente
=
n 2 − n n 2 + 2n − n 2 − n
n 2 − n n 2 + 2n − n 2 − n
(
n
)
(
)
3
2
3
 n 2 + 2n 
 = e 2 = e3
Ne consegue che lim 

2
 n −n 
Funzioni: Data f : A 
→ R (A = Df) si dice funzione pari o simmetrica se f(x) = f(-x), ∀ x ∈ A
(simmetria rispetto all’asse delle y);
Si dice funzione dispari o asimmetrica se f(x) = -f(-x), ∀ x ∈ A (simmetria rispetto all’asse delle x);
Si dice periodica di periodo t se f(x) = f(x + t), ∀ x ∈ A
Esempi:
f(x) = |x| è pari
f(x) = x3 è dispari
f(x) = sen x è periodica di periodo 2π
Funzione Inversa:
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f: A
→ R iniettiva allora ∃ f-1 : f-1(y) = x ⇔ y = f(x)
Se f è monotona crescente o decrescente allora è iniettiva, ossia invertibile
Composizione di Funzioni:
f: A
g: B
→ Cf
→ Cg
F(x) = g(f(x)) dunque Cf ⊆ B
g
f
A
Cf ⊆ B
F=gof
F:A
→ Cg
e si legge f composto g
Cg
F
Esempi:
F(x) = x 2 + 1
F(x) = sin x2
cioè la radice quadrata di f(x))
f(x) = x2 + 1 g(x) = x
f(x) = x2
g(x) = sin x
(prima si esegue f(x) e poi g(x),
Restrizione e prolungamento:
Data f : A 
→ R considero un sottoinsieme del Df cioè un insieme AI ⊆ in A, si chiama
restrizione della funzione f ad AI la funzione f I : AI 
→ R così definita f I (x) = f(x)
A
A
Se considero AII ⊇ A chiamo prolungamento di f ogni funzione g : AII 
→ R : g = f(x)
A
I
f
: A
Data f : A 
→ R non necessariamente iniettiva si cerca A ⊆ A tale che
→ R
AI
sia iniettiva, cioè si lavora con la restrizione, e se ciò è possibile, allora f I ha funzione
A
inversa.
Funzioni inverse:
1. Considero f(x) = x2 è pari, non iniettiva nel suo dominio. Se la restringo a R 0+ allora f
R 0+ è
iniettiva (ha monotonia crescente) dunque è invertibile.
y = x2, x ∈ R 0+ la sua inversa è x = y
Se considero la funzione inversa come nuova funzione, cioè g(x) =
x , il suo grafico sarà:
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2. Considero f(x) = sin x è periodica dunque non iniettiva. Se la restringo all’intervallo
 π π
− 2 , 2  ho monotonia crescente e dunque infettività e il grafico sarà:
−
y = sin x
π
2
 π π
− 2 , 2 
π
2
[-1, 1]
f-1(y) = arcsin y
3. Considero f(x) = cos x, considero la restrizione a [0, π]
Esempi:
1) f(x) = 2|x|
Df = R
f è pari poiché f(x) = f(-x)
Quindi avremo che La funzione 2|x| = 2|x| , ∀ x > 0,
utilizzando il grafico della funzione 2x ed eseguendone il
simmetrico rispetto all’asse y avremo il grafico della
funzione 2|x|, tale simmetria però va eseguita solo per la
parte positiva. Dal grafico si nota che la funzione ha un
limite inferioreche avrà valore 1, cioè f(0) = 1 non ha
però sup 2|x| = +∞ (limite superiore);
x ∈R
1
x
2) f(x) = 3 per x < 0, questa condizione non è il dominio, ma è stata posta perché voglio
1
1
< 0 quindi 0 < 3 x < 1 ⇒ f(x) è
studiare la funzione nella parte negativa, quindi si ha
x
1
limitata, inoltre inf 3 x = 0
x<0
1
sup 3 x = 1.
x<0
1
Inoltre nell’intervallo considerato 3 x è
 1

monotona decrescente, poiché è decrescente l’esponente  3 x è una funzione composta 


3) f(x) =
x+2
x +1
x+2
1
= 1+
x +1
x +1
Df = R - {-1}
1
x +1
1+
1
x +1
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Dal grafico si nota che la funzione non è limitata , ma se considero la sua restrizione a ]-1, +∞[
allora ho monotonia decrescente, da cui infettività ed esistenza dell’inverso.
f
]1, +∞[
]-1, +∞[
Per calcolare f-1(2) e f-1(4) si procede nel seguente modo
f-1
f-1(y) = x ⇔ f(x) = y con y = 2 cerco x : f-1(2) = x ossia cerco x : f(x) = 2
N.B. ho solo una soluzione, altrimenti non avrei potuto svolgere f-1)
1
=2
x = 0 f-1(2) = 0
⇒ 1+
x +1
1
1
2
2
=4
=3
x= −
f-1(4) = −
⇒ 1+
x +1
x +1
3
3
4)
Disegnare la funzione f(x) = [x ] + x − [x ] x ≥ 0
0≤x<1
1≤x<2
e così via…
[x] = 0
[x] = 1
f(x) = x
f(x) = 1 + x − 1
Teorema:
~
~
Data f : A 
→ R considerato x0 ∈ R di accumulazione per A si ha lim f(x) = l ∈ R ⇔
x → x0
∀ {xn}n con lim xn = x0 si verifica che lim f(xn) = l (Caratterizzazione sequenziale del limite)
n
n
Questo vuol dire che tutti i teoremi sulle successioni valgono anche per i limiti tranne 2 eccezioni.
Teorema del valore Assoluto:
Se ∃ lim f(x) = l ∈ R allora ∃ lim |f(x)| = |l|
x → x0
x → x0
Per le successioni non vale il viceversa se non con l = 0
Esempio:
1 x ∈ Q
preso x0 ∈ R ∃/ lim f(x) poiché
f(x) = 
Cerco f(x) : ∃ lim |f(x)|, ma ∃/ lim f(x)
x → x0
x → x0
x → x0
- 1 x ∈ R - Q
vicino al punto xo ci sono infiniti razionali e infiniti irrazionali.
Tutte le funzioni che hanno una soluzione sui razionali e una sugli irrazionali si dicono funzioni di
DIRICHLET.
Limite di Restrizione:
Data f : A 
→ R considerato B ⊆ A suppongo che x0 sia di accumulazione per B.
lim f (x) = l ∈ R oppure che x 0 ∈ R, cioè + ∞
B
x → x0
⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 : 0 < |x- x0| < δ,x ∈ B ⇒ f ( x ) − l < ε essendo x ∈ B avrò che |f(x) – l| < ε
B
Data questa definizione esiste sicuramente il seguente:
Teorema:
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~
~
Se ∃ lim f(x) = l (con x0 ∈ R e l ∈ R ) allora ∀ B ⊆ A purché x0 sia di accumulazione anche per B
x → x0
si ha che ∃ lim f
x → x0
B
(x) = l
Se ∃ (B1 e B2) aventi x0 come punto di accumulazione e tali che lim f
x → x0
B1
(x) ≠ lim f
x → x0
B2
(x) allora
∃/ lim f(x) = l
x → x0
Esempi:
1 x ∈ Q
1) f(x) = 
- 1 x ∈ R - Q
f
(x) = 1 e
(x) = -1
B1
B2
∀ x0 ∈ R allora si ha che x0 è di accumulazione sia per B1 che per B2
(x) = -1 Sono diversi quindi ∃/ lim f(x)
lim f (x) = 1
lim f
B1
B2
x → x0
x → x0
x → x0
B1 = Q
B2 = R – Q ⇒ f
2) Voglio dimostrare che ∃/ lim sin x
x → ±∞
B1 = {x ∈ R : x = kπ, ∀ k ∈ Z} +∞ (-∞) è di accumulazione per B1 poiché B1 è non
limitato superiormente (o inferiormente).
f (x) = 0 ⇒ lim f (x) = 0
Se ritengo f(x) = sin x a
B1
B1
x → ±∞
π


B2 = x ∈ R : x = + 2kπ, ∀ k ∈ Z  ±∞ di accumulazione per B2
2


f
(x) = 1
∀x
(x) = 1
lim f
B2
B2
x → ±∞
i due limiti sono diversi fra loro e quindi ∃/ lim sin x
x → ±∞
N.B: Non è necessario prendere B1 e B2 complementari.
Casi particolari di Restrizioni:
f: A
→ R considero x0 ∈ R di accumulazione per A prendo B1 = {x ∈ A : x > x0} e
B2 = {x ∈ A : x < x0} e suppongo x0 di accumulazione per B1 e B2
lim f (x) = l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 : 0 < |x- x0| < δ, x ∈ B1 ⇒ |f(x) – l| < ε
B1
x → x0
x0 - δ
x0
x0 + δ
x0 < x < x0 + δ con x ∈ A che equivale a
0 < |x- x0| < δ, x ∈ B1
Invece di scrivere lim f
x → x0
B1
scriveremo lim+ f(x) cioè limite
x → x0
di f(x) per x che si avvicina a x0 da destra.
scriveremo lim− f(x)
Analogamente al posto di lim f
B2
x → x0
x → x0
lim− f(x) = l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 : x0 - δ < x < x0 con x ∈ A ⇒ |f(x) – l| < ε
x → x0
Teorema:
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~
Se ∃ lim+ f(x) = l ∈ R e ∃ lim− f(x) = l allora ∃ lim f(x) = l
x → x0
x → x0
x → x0
Esempio:
Studio del lim
x→0
lim x = 0
x→0
1
uso il teorema del limite sul reciproco
x
spezzo il limite in limite destro e sinistro
1
= +∞
x→0
x→0 x
1
lim x = 0
per valori negativi ⇒ ∃ lim− = -∞
x → 0−
x→0 x
1
Quindi ∃/ lim
x→0 x
lim+ x = 0
per valori positivi ⇒ ∃ lim+
Successioni definite per ricorrenza:
1. Se a 1 = 1, a n +1 = 3a n , ∀n ≥ 1
1
2. a 1 = 3, a n +1 =
, ∀n ≥ 1
an
3. a 1 = 0, a n +1 = 2a n + 1, ∀n ≥ 1
Se a 1 = 1, a 2 = 3 , a 3 = 3 3 , ... an è crescente? Lo sarà se
a n +1 > a n ∀n ossia 3a n > a n poichè a n è sotto radice, a n > 0 quindi elevato al quadrato 3a n > (a n )
dividendo per an, avremo 3 > an
Concludendo: se 3 > an è vera la successione è crescente
2
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1. a n = 1
a n +1 = 3a n , ∀n ≥ 1
a n < 3, ∀n
Dimostro che a n < 3,
Per n = 1 ho a1 = 1 < 3
La successione è crescente se e solo se si verifica che
∀ n per induzione:
a n < 3, ⇒ a n +1 < 3
a n < 3 implica che 3a n < 9
ricordando che an > 0 si ha 3a n < 9 da cui abbiamo 3a n = a n +1 da cui la tesi.
La successione è crescente e limitata (1 < an < 3, ∀n ) dunque
∃ lim a n = l ∈ R e l = sup a n e l ≥ 1
la
relazione
n
a n +1 =
n
3a n ⇒ l = lim a n +1 = lim
n
n
identità: l = 3 ⋅ l
l = 3⋅l
poiché 0 non è accettabile.
2
2. a n = 3
a n +1
1
=
,
an
3a n = lim (3a n ) = 3 ⋅ l Allora abbiamo la seguente
n
l - 3⋅l = 0
2
1
a4 = a2 =
3
l(l - 3) = 0 possiamo concludere che l = 3
a5 = a3 = 3
3 se n è dispari
an  1
se n è spari
 3
∃/ lim a n poiché è oscillante
n
3. a n = 0
a n +1 = 2a n + 1
a2 = 1 a3 = 3
a4 = 7
a 5 = 15
a 6 = 31
a n +1 = a n + 2 dimostrabile per induzione a n > 0, ∀n
a n +1 = a n + 2 n −1 ≥ 2 n
da cui a n +1 ≥ 2 n poiché 2 n = +∞ possiamo concludere, per un teorema di confronto, si ha
∃ lim a n = +∞
n -1
n
FUNZIONI
Teorema di limitatezza locale:
Se ∃ lim f (x ) = l ∈ R allora è localmente limitata, cioè vicino a xo
x → x0
∃M > 0 e ∃r > 0 :| f (x ) |≤ M, ∀x ∈ ]x 0 − r, x 0 + r[ ∩ Df (se x 0 ∈ R )
1° teorema diverso dalle successioni.
f(x) = x Df = R non limitata lim f (x ) = 0 ∈ R
x →0
Teorema sulle funzioni monotone:
Data f: A R monotona non decrescente o crescente, allora
∃ lim+ f (x ) = c = inf f (x )
∃ lim− f (x ) = a = sup f (x )
x → x0
x > x0
x → x0
c
b
a
X0
x < x0
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Applicazioni importanti di questo teorema
a) f(x) = ex
funzione crescente, quindi ∃ lim e x = sup e x = +∞ poiché la funzione è non limitata
x → +∞
x∈R
superiormente:
f(x) = ex
∃ lim e x = inf e x = 0 +
x → −∞
f(x) = e
x
x∈R
∃ lim− e x = sup e x ≤ e x 0
∃ lim+ e = inf e x ≥ e x 0
x
x >x0
x→x 0
x→x 0
x<x0
Dimostro che lim e = e con la definizione di limite destro
x
x0
x →x 0
⇔ ∀ε > 0, ∃δ(ε ) > 0 : x 0 < x < x 0 + δ ⇒| e x − e x 0 |< ε
trovare δ(ε ) > 0
verificare questa definizione vuol dire
e x < e x 0 + ε
x > xo allora per la monotonia e x > e x 0 > e x 0 - ε, ∀ε > 0 quindi
| e − e |< ε ⇔  x
x0
e > e − ε
e x > e x 0 - ε è verificata per ogni x > xo, quindi risolvo e x < e x 0 + ε risulta x = ln e x 0 + ε
x0
x
(
ln e
x0
(
)
+ ε > x0
)
quindi abbiamo
(
x0
ln e x 0 + ε
)
6 4 4 47 4 4 48
δ(ε ) = ln e x 0 + ε − x 0
(
)
Analogamente si dimostra che anche il lim- e x = e x 0 , quindi per il teorema ∃ lim e x = e x 0
x→x 0
x →x 0
b) f(x) = xn
lim x n = 0
lim x n = 0 lo dimostro con la definizione di limite
x →0 +
x →0
∀ε > 0, ∃δ(ε ) > 0 : 0 < x < 0 + δ ⇒| x n − 0 |< ε
|xn| < ε
poiché x > 0 equivale xn < ε da cui x <
1
n
1
n
ε cioè x < ε n in conclusione |xn| < ε
1
n
⇔0<x<ε
quindi prendo δ(ε ) = ε
Questo
risultato
può
essere
esteso,
cioè:
n
n
lim x = x 0 , ∀x 0 ∈ R si può dimostrare che, cambiando variabile x = xo + h h = x – xo h ∈ R
x →x 0
x → x0 ⇔ h → 0
lim x n = x 0n ⇔ lim(x 0 + h )
x →x 0
h →0
n
n
n
Neewton, cioè: (x 0 + h ) = ∑  x 0r ⋅ h n − r
r =0  r 
n
risultato sarà solo x 0
n
e quest’ultima la dimostro con il binomio di
quindi per quanto dimostrato prima h
0 quindi il
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dimostro che lim sen x = 0
c) f(x) = sen x
x →0
dimostro che il lim+ sen x = 0 con un teorema di confronto e con il cerchio trigonometrico (cioè di
x →0
raggio uguale a 1), x quindi è espresso in radianti.
B
x
A
C
AB = x si ha che : BC = sen x ⇒ BC < AB da cui 0 < sen x < x
0→0=0
⇒ per il teorema dei 2 carabinieri ∃ lim+ sen x = 0
x →0
x→0=0
x = -y x
lim− sen x = 0 lo dimostro con il cambio di variabile
x →0
0- ⇔ y = 0 +
lim sen (- y ) = lim+ - [sen y] = 0 questo risultato può essere esteso, cioè:
y →0 +
y →0
lim sen x = lim sen ( x 0 + h )
lim sen x = sen x 0 , x 0 ∈ R
x →x 0
x→x 0
h →0
utilizzando le formule di
addizione
avrò:


lim  sen x 0 ⋅ cos
sen x = sen x 0
{ h + cos x 0 ⋅ sin
{ h  se dimostriamo che cos h → 1 avremo che xlim
h →0
→x 0
1
0


d)
lim cos x = 1
posso considerare -
x →0
cos x = 1 - sin 2 x poichè sin 2 x + cos 2 x = 1
limiti avremo che: lim sen x = 0
2
x →0
(
π
π
<x<
4
4
)
2
x →x 0
lim ln x = +∞
per
il
teorema
x →0
lim 1 - sen x = 1
x →0
sulle
funzioni
lim
x →0
x∈R +
Discorso analogo per lim ln x = inf ln x = −∞
x → +∞
x >0
cos
x
>
0
(1 - sen x ) =
2
1 =1
∀x 0 ∈ R (si dimostra come per ex)
monotone
lim ln x = sup ln x = +∞ perché non è limitata superiormente
x → +∞
cui
sapendo che lim sen x = 0 allora per i teoremi sui
da cui la tesi. Da ciò deduco che lim cos x = cos x 0 ,
x → +∞
per
crescenti
abbiamo
che
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Limiti Notevoli
P(x )
con P e Q polinomi in x
stessi risultati delle successioni, attenti però a:
Q (x )
 + ∞ se n ∈ P
lim x n 
x → −∞
− ∞ se n ∈ D
2) Confronto di infiniti:
lim f (x ) = +∞(− ∞ ) si dice che è un infinito se anche: lim g (x ) = +∞(− ∞ ) allora posso
1)
lim
x → +∞
x →x 0
x →x 0
confrontare f(x) e g(x), se però tutte e due hanno x xo = + ∞
f e g si dicono infiniti dello stesso ordine
 l ∈ R - {0}
0
f si dice di ordine inferiore a g, o g di ordine superiore a f
f (x ) 
lim

x → +∞ g (x )
vedi l ∈ R - {0}
 + ∞(- ∞ )
 ∃/
f e g non sono confrontabili
Vale la seguente proprietà (principio di sostituzione degli infiniti)
Nello studio di quozienti di infiniti si possono trascurare a numeratore e/o a denominatore
(separatamente) gli infiniti di ordine inferiore rispetto ai rimanenti.
Per x + ∞ i seguenti infiniti sono di ordine crescente:
ln x (loga x, ∀a > 1);
xa, ∀a > 0;
ex (ax, ∀a > 1);
ESEMPIO:
lim
2x + 5 ⋅ 3
x → +∞
3
Per
− x 10
x
= poichè
x
+1
2
+4
sapere
ln x
x
se
è
2 x è di ordine superiore a x 10
x
+1
4 2 è di ordine superiore a 3ln x
di
ordine
superiore
2x o 3
x
studio
x ⋅ln 3
3
e
= lim x⋅ln 2 = lim e x ⋅ln 3- x⋅ln 2 = 0 poichè :
x
x → +∞ 2
x → +∞ e
x → +∞
  ln 3

lim x ⋅ ln 3 - x ⋅ ln 2 = lim  x ⋅ 
- ln 2  = −∞
x → +∞
x → +∞

  x
x
Quindi avremo che 2 è di ordine superiore. Confronto ora il denominatore
2
3 x
x
lim
= poichè 4 = 4 ⋅ 2 x 
→ da qui si vede che 2 x è di ordine superiore quindi
x → +∞ 2 x
1
il limite sarà
4
x
 1
lim 1 +  = e
da ciò abbiamo che se lim f(x) = + ∞ (−∞) allora si ha
3)
+∞
x → x o
 x
x →
lim
(
)
( −∞ )
lim
x → x o

1 
1 +

 f(x) 
f(x)
1
=e
allora
lim
x → x o
(1 + x) x = e infatti, considerando separatamente
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0+ pongo y =
limite destro e limite sinistro x
1
x
poiché x
0+ ⇔ y
+∞
x2 +1
=1
2
x → +∞ x − 1
3x 2 
→ +∞
f.i.1∞
1
1
(1 + x) x = (1 + ) y y
→ e
→ +∞
y
ESEMPI:
a)
 x 2 +1
 2

 x −1
lim
x → +∞
3x 2
=
lim
2
 x +1

 2
+ 1 − 1
 x −1

2
3x 2
x −1  x 2 −1

2  2 

= 1 + 2

 x − 1 


2
⋅3 x 2
2
=e
x 2 −1
⋅3 x 2
= e6
1
b)
lim (1 + x )
2
4x 2 + 5x 3
x → 0
per il teorema della permanenza del segno l’esponente tende a + ∞
f.i.1∞
e la base tende a 1
+ ∞ poiché non
x
1
(1 + x )
2
2
4x + 5x
3

2
 1+ x

(
 ln (2x ) 
c)
lim 

x → +∞  ln x 
)

x2


1
x2 ⋅
1
4x 2 + 5x 3
 ln 2 + ln x 


 ln x 
d)
lim
x → +∞
(x
2
=e
1
4
ln (2x )
ln 2 + ln x
= lim
=1
x → +∞ ln x
x → +∞
ln x
ln x

→ lim
ln 2
ln x
N.B: attenzione a non confondere x
0 con
infiniti di grado superiore o inferiore.
sono
ln x ln x


ln 2
ln
2



= 1 +
 
 ln x  


+ 4x + 1 − x
)
ln
⋅ln x
x
x 2 +1
f.i. 1∞
lim
x → +∞
= e ln 2 = 2
(x
2
)
+ 4x + 1 − x = lim
x → +∞
raccogliendo la x si ha che lim f (x ) = 0
x 2 + 4x + 1 − x 2
x + 4x + 1 + x
2
=
4
=2
2
x → +∞
4)
lim x α ⋅ ln x = 0
x → 0 +
accumulazione
x α ⋅ ln x =
5)
lim + x x
x → 0
x, α ∈ R + quindi ha senso calcolare solo x
di
xα
.
ln
x
ln x
1
pongo x = x 
→ 0 + ⇔ y 
→ +∞
1
y
xα
x x ∈ R + f.i. 0 0
x
0+ poiche 0 è punto di
solo
da
destra.
1
ln
ln x
y − ln y y→+∞
= α =
→ 0
α
y
yα
1
 
x
x x = e ln x = e x⋅ln x = e 0 = 1
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6)
lim
x → 0
+
log a (1 + x)
x
1
x
a >0 ea ≠1
log a (1 + x) = log a e
poichè
lim + log a (1 + x) = 0
x → 0
1
x
lim (1 + x) = e
x → 0 +
log a (1 + x) 1
= ⋅ log a (1 + x)
x
x
caso
particolare
a
=
e
log a (1 + x)
=1
x → 0 +
x
a x -1
a x -1
0
+
7) lim
a∈R
a=1
a –1=0
= 0 per a = 1 considero x
0+ e
x → 0
x
x
0- e
0< a <1)
Pongo
a > 1
(analogamente si può studiare x
1
y= x
x → 0 + y → +∞
lim a x = a 0 = 1
lim (a x − 1) = 0
a x > 1 per x > 0
x → 0
x → 0
a -1
 1
a x -1 1
1
1
1
x = log a 1 +  ⇒
= ⋅
=
ax = 1+
y
x
y
y
 1
 y


1
log a 1 +  log a 1 + 
 y
 y


lim
y
y
 1
 1
lim 1 +  = e ⇒ lim log a 1 +  = log a e
quindi avremo per il teorema sul
y → +∞
y → +∞
 y
 y
1
a x -1
1
log
a
ln
a
lim
=
=
=
=
∀ a > 0 per a = e
reciproco lim
e
y
y → +∞
x → 0
log a e
x
 1
log a 1 + 
 y
x
e -1
lim
= 1 poiché ln e = 1
x → 0
x
sin x
0
con x misurato in radiante lim sin x = 0 f.i. per trovareil valore del
8) lim
x → 0
x → 0
x
0
sin x
è
limite utilizzo il teorema di confronto e la considero solo a destra poiché la funzione
x
sin x
sin x
pari, siccome è il quoziente di 2 funzioni dispari, allora lim +
= lim −
considero
x → 0
x → 0
x
x
π
(l’importante è che sia nel primo quadrante).
x → 0 + , posso limitarmi a studiare 0 < x <
4
Considero ora il cerchi trigonometrico. BC = sin x;
AB = x; AD = ? I triangoli OBC e OBA sono simili,
allora possiamo scrivere:
BC : OC = AD : OA
BC sen x
=
= tan x essendo OA
da qui ricavo AD =
OC
cos
x
D
=1
BD < AB < AD ossia sin x < x < tan x
sin x
B
sin x < x <
divido per sin x (poiché sin x
cos x
> 0 siamo nel primo quadrante) e otttengo
x
1
→0
1<
<
x
→1 quindi per il teorema dei 2
X
sin x cos x
x
O
C
A
= 1 da qui per il teorema sul
carabinieri ∃ lin
x → 0 sin x
sin x
=1
reciproco posso concludere ∃ lin
x → 0
x
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sin x
1 
 sin x
lim cos x = lim 
⋅
 =1
x → 0
x → 0
x
x cos x 
tan x
sin x
0
tan x =
f.i.
x → 0
0
x
cos x
1 - cos x
0
10) lim
f.i.
2
x → 0
0
x
2
1 - cos x (1 - cos x ) ⋅ (1 + cos x )
1 - cos 2 x
sin 2 x
1
1
1
 sin x 
= 2
=
⋅
=
=
=
 ⋅
2
2
2
2
1 + cos x  x  cos x 2
x
x + x ⋅ cos x
x ⋅ (1 + cos x )
x
9)
lim
.
ESERCIZI
a)
b)
c)
d)
sin x 2
sin x 2
x2
sin x 2
0
lim
=
f.i.
=
⋅
= 1 se si considerava t = x2 avrei avuto
2
2
2
2
x → 0 sin x
0
sin x sin x x
sin t
=1
che:
t
e x - cos x
1 - cos x
1
e x - 1 x →0
0
lim
=
f.i.

→1
→
2
x → 0
0
2x
2
x
x
x
x
x
x
e - cos x e - 1 + 1 - cos x e - 1 1 - cos x e - 1 1 1 - cos x x 1
=
=
+
=
⋅ +
⋅ =
2x
2x
2x
2x
x 2
2 2
x2
t
x
2 -2
2 -1
0
lim
=
lim 2 x = 2
f.i.
lim
= ln 2
2x – 2= 2. (2x-1 – 1)
t → 0
x → 1 x - 1
x → 1
0
t
2 ⋅ (2 t - 1)
t = x –1 x 1 = t 0
lim
= 2 ⋅ ln 2 = ln 4
t → 0
t
 ex 1 
∞
ex -1
lim
=
f.i.
lim  −  = + ∞ poiché ex è di ordine superiore a x
x → +∞
x → +∞ x
∞
x
x

 sin x 
lim 
=0
x → +∞
x 
1
e)
lim x ⋅ sin =
x → +∞
x
indeterminata
sin t
=1
t → 0
t
lim
poiché
1
sin x
= sin x ⋅
x
x
f.i. ∞
1
x ⋅ sin =
x
sin
1
x
.
1
x
0
sin
1 x→+∞
→ 0
x
0
0
t=
f.i.
1
x
per comodità cambio forma
essendo x
+∞
= t
0
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Grafici Qualitativi
1
x
1
Per disegnare la funzione mi procuro i
seguenti dati:
1. Cerco i dati dove f(x) = 0 sioè
dove
.
2
1
1
1
1
sin = 0 ⇒ = kπ ∀k ∈ Z - {0}
π
2⋅π
π
x
x
1
x=
k = +1, +2, +3,…,+n
kπ
-1
1
1
1
x = ± ,± ,...,±

→ 0
1π 2π
nπ
2
1
1 π
x=
k∈Z
2. Cerco i punti dove f(x) = 1 cioè sin = 1 ⇒ = + 2kπ ∀k ∈ Z
π + 4kπ
x
x 2
2 2 2
1
x = , , , ... 
→ 0
lim sin = 0
x → +∞
π 5π 9π
x
f(x) = sin
A.
|x|
g(x)
=
0
x=
1
∀k ∈ Z - {0}
kπ
2
π + 4kπ
|g(x)| <
-x < g(x) < +x
|x| Ne consegue che la nostra
funzione oscilla tra |x| e |-x|
1
lim x ⋅ sin = 0
x → 0
x
|-x|
lim
(1 + x )α − 1
x
x → 0
(1 + x )
α
x
−1
=
e
α⋅ln (1+ x )
−1
α∈R
lim (1 + x ) = 1α = 1
α
x → 0
lim α ⋅ ln (1 + x ) = 0
f.i.
0
0
(1 + x )α
x → 0
x
e
− 1 α ⋅ ln (1 + x )
⋅
= 1⋅ α 
→ α
α ⋅ ln (1 + x )
x
Casi Particolari:
(1 + x ) − 1
1
1+ x −1
• α=
lim
= lim
= lim
x → 0
x → 0 x ⋅
2
x
(1 + x ) + 1 x → 0
1
−1
-x 1
-1
lim 1 + x
= lim
⋅ = lim
= −1
• α = -1
x → 0
x → 0 1 + x x
x → 0 1 + x
x
)
1
(1 + x ) + 1
= e α⋅ln (1+ x )
et −1
=1
t → 0
t
t = α ⋅ ln (1 + x )
lim
α⋅ln (1+ x )
(
g(x)
∀x =
= x
11)
1
x
per
f(x) = x ⋅ sin
B.
=
1
2
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Infinitesimi e loro confronto
Se lim f (x ) = 0 allora la diremo INFINITESIMA.
x → 0
Se lim f (x ) = lim g (x ) = 0 allora poniamo le seguenti definizioni:
x → 0
x → 0
f e g sono dello stesso ordine
 l ∈ R - {0}
0
f si dice di ordine superiore a g o g di ordine inferiore a f
f (x ) 
lim
=
x → 0 g (x )
g si dice di ordine superiore a f o f di ordine inferiore a g
± ∞
 ∃/
f e g non sono confrontabili
sin x e x hanno lo stesso ordine
1 - cos x e x2 hanno lo stesso ordine
2
sin x è di ordine superiore a x
f (x )
1
1
1
→0
Se f (x ) = x ⋅ sin x
→ 0
e g (x ) = x
= sin
∃/ lim sin
x → 0
g(x )
x
x
x
∃/ lim sinx
equivale a
x → ±∞
Negli infinitesimi contano gli insiemi di ordine più bassi
f (x )
f (x ) + g 1 (x )
con
lim i
=0
i = 1, 2
lim 1
lim f i (x ) = lim g i (x ) = 0 e
x → x 0 f (x ) + g (x )
x → x 0 g (x )
x → x 0
x → x 0
2
2
i
f 1 (x )
+1
f1 (x ) + g 1 (x )
g 1 (x ) g 1 (x )
in tal caso si ha lim
= lim
⋅
x → x 0 f (x ) + g (x )
x → x 0 g (x ) f 2 (x )
2
2
2
+1
g 2 (x )
Possiamo enunciare il seguente principio di “Sostituzione degli infinitesimi”. Nello studio di
quozienti di infinitesimi si possono eliminare a numeratore e/o denominatore separatamente quegli
infinitesimi di ordine superiore rispetto ai rimanenti.
e x − 1 + (1 − cos x )
1 − cos x
1
e x − cos x
ex −1
lim
= lim

→1

→
2
x → 0
x → 0
2⋅x
2 ⋅ cos x
2
x
x
(
)
Studio ex come infinitesimo
lim e x = 0 per ricondurmi ad una f.i. cerco la funzione che ha x
xo
x → −∞
1
1
o meglio α con α ∈ R +
α
x
x
pongo
x=-y
lim
x → −∞
ex
1
 
x
 
x
→ −∞ ⇔ y 
→ +∞
α
α
= lim x ⋅ e x = 0
x ⋅e =
x
x
α
e −x
=
−y
ey
- ∞ = 0 cioè
∀α > 0
x → −∞
α
xo
α
=
y α y→+∞
→ 0
ey
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CONTINUITÀ:
Data f: A R, preso x 0 ∈ A con x 0 acc.A , f si dice continua in xo se ∃ lim f (x ) = f (x 0 ) con la
x → x0
sostituzione x – xo = h, la definizione di continuità diventa: lim f (x 0 + h ) = f (x 0 )
x → 0
Si ha continuità a destra (o a sinistra) in xo ⇔ ∃ lim + f (x ) = f (x 0 )
x →
x0
(x )
−
0
Quindi la funzione sarà totalmente continua in xo se e solo se la funzione è continua in xo sia da
destra che da sinistra.
Esempio:
f (x ) = [x ] con x 0 = n
lim f (x ) = f (x 0 )
x
→ x 0+
avremo che :
lim f (x ) ≠ f (x 0 )
x
→ x 0−
Se f non è continua in x 0 ∈ A allora si dice discontinua. Esistono vari tipi di discontinuità:
1. Discontinuità di prima specie:
A salto: ∃ lim + f (x ) ed ∃ lim − f (x ) ∈ R , ma diversi tra loro;
x → x 0
x → x 0
Diversi da f(xo);
2. Discontinuità di seconda specie, se ∃/ o non è finito il limite destro o quello sinistro o
entrambi;
Se f è costante in xo, allora per i teoremi sui limiti, si hanno le seguenti proprietà:
a) f è localmente limitata in xo;
b) Se f (x ) ≠ 0 allora ∃r > 0 : f (x ) ⋅ f (x 0 ) > 0, ∀x ∈ x 0 − r, x 0 + r ∩ A (permanenza del segno);
c) | f | è continua in xo;
1
d) Se f (x o ) ≠ 0 allora
è continua in xo;
f
Se f e g sono continue nello stesso punti xo, allora:
e) f +g e f ⋅ g sono continue in xo;
g
è continua in xo;
f) Se f (x o ) ≠ 0 allora
f
NB: la somma di due funzioni può essere continua senza che lo siano gli addendi, come ad
esempio: [x ] x − [x ] in questo caso le due discontinuità si compensano.
]
[
Teorema:
}
g οf
f composto g
Se f è continua in xo e g è continua in yo = f (xo) allora
è continua in xo.
Funzioni continue fondamentali: (in tutti i punti del loro dominio)
1) f (x ) = x n , ∀n ∈ N
f continua in xo ⇔ lim x n = x 0n ( ⇒ i polinomi e i quozienti di
x → x 0
polinomi sono funzioni continue);
2) f (x ) = e x , f continua in xo ⇔ lim e x =, e x 0 ;
x → x 0
3) f (x) = ln x;
α
4) f (x ) = x α , α ∈ R, Df = R + scrivendo il valore di α con base e si avrà: x α = e ln x = e αln x f è
continua in quanto composizione di funzioni continue;
5) f (x ) = a x , a ∈ R + f è continua e composta poiché a x = e x⋅ln a ;
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6) f (x) = sin x
è composta poiché
7) f (x) = cos x
è composta poiché
lim sin x = sin x 0 ;
x → x 0
lim cos x = cos x 0 ;
x → x 0
Esercizi:
1

x ⋅ sin se x ≠ 0
1) f (x ) = 
Ci chiediamo se è continua nel dominio (Df);
x
 0 se x = 0
1
x ⋅ sin
esiste ∀ x ≠ 0 e Df = R
∀ x 0 ∈ R - {0} vicino a xo, abbiamo che f(x)
x
1
coincide con: x ⋅ sin , che è continua in tutti i punti in cui è definita perché:
x
1
sin è continua poiché è una funzione composta da funzioni continue;
x
1
x ⋅ sin è continua perché è il prodotto di funzioni continue
x
La continuità in xo = 0
1
1
lim f (x ) = f (0 ) cioè lim x ⋅ sin = 0 ciò è vero poiché sin è limitata e x tende a 0.
x → 0
x → 0
x
x
x + 1 se x ≥ 0
le funzioni x + 1 e x2 sono continue.
Df = R
2) f (x ) =  2
<
x
se
x
0

Verifico ora la continuità di f in xo = 0; f(0) = 1 è necessario considerare limite destro e limite
lim + f (x ) = lim + (x + 1) = 1 = f(0)
f è continua a destra di xo = 0,
sinistro.
x → 0
x → 0
lim f (x ) = lim − x = 0 ≠ f(0) f non è continua a sinistra di xo = 0;
2
x → 0 −
x → 0
Proprietà delle funzioni continue in intervalli del tipo [a,b]
R che sia continua in ogni punto dell’intervallo [a,b], allora valgono le
Considero f: [a,b]
seguenti proprietà:
f è limitata cioè l = inf f (x ) e L = sup f (x ) si ha che l, L ∈ R (la continuità in [a,b] è
x∈[a, b ]
x∈[a, b ]
CS per la limitatezza);
l, L sono valori assunti da f (x), cioè f ha massimo e minimo assoluti, cioè
∃x 1 , x 2 ∈ [a, b] : f (x 1 ) = l e f (x 2 ) = L
x1 è detto punto di minimo assoluto, x2 è
detto punto di massimo assoluto;
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Proprietà
1. Se f è continua in [a,b], ⇒ f limitata in [a,b]
Esempi:
f(x) = x per x ∈[0, +∞[ è continua ma non limitata;
1
f(x) = in ]0, 1] è continua, ma non limitata;
x
2. Teorema di Weierstrass:
Se f è continua in [a,b] allora ha massimo e minimo in [a,b].
Esempio:
f limitata in [a,b] ma non continua in tutto [a,b]
x se x ∈ ]0,1[ cioè 0 < x < 1
f (x ) 1
se x = 0 o x = 1
 3
l= 0
L=1
1
3
1
3
0
1
∃/x ∈ [0,1] : f (x ) = 0 o f (x ) = 1 poiché f non è continua ne in xo = 0 ne in xo = 1
3. Teorema degli zeri di una funzione continua
Se f è continua in [a,b] e f(a) . f(b) < 0 (assumono valori di segno opposto agli estremi)
allora ∃x 0 ∈ ]a, b[ : f (x ) = 0
f(a) < 0
f(b) > 0
b
a
N.B.: non c’è una sola soluzione, se ce ne sono più di una sicuramente sono in numero
dispari.
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Se devo risolvere un’equazione di tipo f(x) = 0 con f continua nel suo dominio ossia cerco
soluzioni appropriate, cioè cerco a, b : f(a) . f(b) < 0 allora ∃x 0 ∈ ]a, b[ soluzione
dell’equazione.
Analogo discorso per l’equazione del tipo f(x) = k ( ⇔ f(x) – k = 0)
4. Teorema dei valori intermedi
Se f è continua in [a,b] allora presi y1 e y2 ∈ Cf con y1 < y2, cioè sono diversi, allora
∀y ∈: ]y1 , y 2 [, ∃x ∈ [a, b].f (x ) = y Se una funzione continua assume 2 valori allora assume
anche tutti i valori intermedi, o anche se y1 e y2 ∈ Cf ⇒ [y1 , y 2 ] ⊆ Cf
5. Se f è continua in [a,b] chi è Cf?
Per il teorema di Weierstrass si ha che l = m (minimo) e L = M (massimo), allora per il
teorema dei valori intermedi [m, M ] ⊆ Cf per il significato di m, M si ha che Cf ≡ [m, M ]
Ossia le funzioni continue trasformano intervalli chiusi in intervalli aperti.
6. Teorema di continuità della funzione inversa
R ed è continua e monotona crescente o decrescente in [a,b] allora
Data f: [a,b]
−1
∃f : [m, M ] 
→[a, b] continua.
Fine Funzioni Continue
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CALCOLO
DIFFERENZIALE
DERIVATE E DERIVABILITÀ
Considero f: A R con A = Df e i domini potranno essere:
• Intervalli;
• Semirette;
• Unioni di intervalli e semirette;
• Tutto R;
Preso un punto xo del dominio della funzione (xo ∈A), considero h∈R-{0}, tale che xo + h ∈ A (h
si dice incremento e xo + h si dice punto di incremento rispetto a xo).
Chiamiamo rapporto incrementale della funzione f nel punto xo
f (x 0 + h ) − f (x 0 )  incremento variabile dipendente

f si dice derivabile


h
 incremento variabile indipenden te 
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
∈R
(cioè il limite deve essere finito) Il valore del limite si
in xo se ∃ lim
h → 0
h
dice DERIVATA di f nel punto xo e si indica con:
• f1(xo);
• D f(xo);
df
(x 0 )
•
dx
f (x ) − f (x 0 )
∈ R f si
Con il cambio di variabile xo + h = x si ha la definizione equivalente ∃ lim
x → x 0
x - x0
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
∈ R tale valorosi indica con
dice derivabile a destra (e a sinistra) in xo se ∃ lim +
0
h
h → −
[
]
(0 )
f (x 0 ) o f (x 0 ) f (x 0 ) o f (x 0 )
Per i teoremi sui limiti si ha che f è derivabile in xo ⇔ f derivabile a destra e a sinistra di xo e
devono essere uguali, cioè f +1 (x 0 ) = f -1 (x 0 )
Esempi:
h
f (x ) = x
x 0 = 0 studio la derivabilità a destra lim + = 1 = f +1 (0)
h → 0 h
1)
h
poi studio la derivabilità a sinistra lim − = −1 = f −1 (0 )
h → 0 h
2)
f è derivabile a destra e a sinistra di xo = 0, ma non derivabile nel punto stesso.
1

x ⋅ sin
se x ≠ 0
f (x ) = 
derivabilità in xo = 0. Il rapporto incrementale di f in xo = 0 è
x
 0
se x = 0
1
h ⋅ sin − 0
f (h ) − f (0 )
1
1
h
=
= sin
dovendo sostituire
lim sin
ma esso ∃/ , come
h → 0
h
h
h
h
precedentemente visto, cioè f non è derivabile ne a destra ne a sinistra di xo = 0.
1
+
1
d
1
−
1
s
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Teorema: se f è derivabile in xo allora f è continua in xo.
Dimostrazione: f continua in xo ⇔ lim f (x 0 + h ) = f (x 0 ) ⇔ lim [f (x 0 + h ) − f (x 0 )] = 0
h → 0
0
f (x 0 + h ) − f (x 0 ) }
f (x 0 + h ) − f (x 0 ) =
⋅h
∀h ≠ 0
1 4 4 2h 4 4 3
lim [f (x 0 + h ) − f (x 0 )] = 0
h → 0
ma:
per il teorema sul prodotto si ha la tesi, cioè
f (x 0 )
h → 0
Osservazioni: derivabilità in xo ⇒ continuità in xo, non è vero il contrario, cioè ci sono funzioni
continue in xo, ma non derivabili in esso, come ad esempio f(x) = |x|. La continuità in xo è CN, ma
non CS per la derivabilità.
Regole di Derivabilità
a) Se f e g sono derivabili in xo allora:
• f + g è derivabile in xo e D(f + g) (xo) = f1(xo) + g1(xo);
• f . g è derivabile in xo e D(f . g) (xo) = f1(xo) . g(xo) + f(xo) . g1(xo);
SOMMA: il rapporto incrementale della somma è:
[f (x 0 + h ) + g(x 0 + h )] − [f (x 0 ) + g(x 0 )] = f (x 0 + h ) − f (x 0 ) + g(x 0 + h ) − g(x 0 )
qui si passa al
h
h
1
1
lim (f + g )(x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 )
h
h → 0
PRODOTTO: il rapporto incrementale del prodotto è:
[f (x 0 + h ) ⋅ g(x 0 + h )] − [f (x 0 ) ⋅ g(x 0 )] =
h
f (x 0 + h ) ⋅ g (x 0 ) − f (x 0 ) ⋅ g (x 0 + h ) + f (x 0 ) ⋅ g (x 0 + h ) − f (x 0 ) ⋅ g (x 0 )
=
h
aggiunto e tolto la stessa quantità f (x 0 ) ⋅ g(x 0 + h ) .
g(x 0 + h ) ⋅
1 4 2 43
g(x 0 )
da
cioè
ho
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
g (x 0 + h ) − g (x 0 ) h → 0
+ f (x 0 ) ⋅

→ f 1 (x 0 ) ⋅ g(x 0 ) + g 1 (x 0 ) ⋅ f (x 0 )
1 4 4 2h 4 4 3
1 4 44 2h 4 4 43
f 1 (x 0 )
g1 ( x 0 )
Per Hp i teoremi su somma e prodotto sono finiti e derivabilità implica continuità.
b) Se f è derivabile in xo e f(x) ≠ 0
Il
Rapporto
allora
1
è derivabile in xo e
f
incrementale
f 1 (x )
1
D (x 0 ) = 2 0
f (x 0 )
f 
1
in x 0
f
a
è:
− f (x 0 + h ) + f (x 0 )
1
1
−
f (x 0 + h ) ⋅ f (x 0 )
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
f 1 (x )
f (x 0 + h ) f (x 0 )
1
=−
⋅

→ 2 0
=
h
h
f (x 0 )
1 4 4 2h 4 4 3 f1(4x20 +43h ) ⋅ f (x 0 )
f 1 (x )
f (x 0 )
f(xo) ≠ 0 è molto importante, ne consegue che per intervalli molto
N.B: f (x 0 + h ) ≠ 0
piccoli ∃f (x 0 + h ) ≠ 0 poiché f(x) è diversa da 0 in tutto l’intorno di xo.
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c) Se f e g sono divisibili in xo e f(xo) ≠ 0 allora
g 1 (x 0 ) ⋅ f (x 0 ) − f 1 (x 0 ) ⋅ g(x 0 )
g
D (x 0 ) =
f 2 (x 0 )
f 
g
f
è derivabile in xo e