Analisi Matematica I
Topologia e convergenza in R
2
Finora ci siamo occupati sostanzialmente delle proprietà algebriche di R, ovvero delle
sue proprietà di corpo commutativo totalmente ordinato. Passando a un punto di vista
topologico, cerchiamo adesso di definire con precisione il concetto di “vicinanza”, “prossimità” a un suo punto: anzi, visto che ciò ci servirà per la fondamentale nozione di limite,
e di R, ottenuta aggiungendo i due “punti all’infinito”
lo faremo anche per l’estensione R
±1. Questo studio, se fatto a partire da un insieme qualsiasi, condurrebbe alla nozione
astratta di spazio topologico: in e↵etti, quanto diremo sarà facilmente adattabile a un
contesto generale, come si vedrà parlando di topologia nel piano R2 e, più generalmente,
nello spazio affine Rn .
Le nozioni topologiche che stiamo per introdurre (aperti, chiusi, intorni...) troveranno
subito applicazione nello studio del limite di una successione di numeri reali, che a sua
volta ci aiuterà a meglio comprendere e allargare le prime. Infine, quanto appreso per le
successioni lo useremo per lo studio delle serie, ovvero somme infinite.
2.1
La topologia della retta reale e della retta reale estesa
Introduciamo alcune notazioni e terminologie.
• Tra gli intervalli di R, chiameremo intervalli aperti quelli che non contengono nessuno
dei loro estremi: si tratta dunque di quelli limitati del tipo ]a, b[ con a < b, o delle
semirette del tipo ]a, +1[ oppure ] 1, a[ per qualche a 2 R, o di tutto R =] 1, +1[.
• Se x0 2 R e r > 0, considereremo la palla aperta di raggio r in x0
Bx0 (r) := ]x0
r, x0 + r[ = {x 2 R : |x
Intervalli aperti
Palla aperta
x0 | < r} ,
e similmente B x0 (r) = [x0 r, x0 + r] = {x 2 R : |x x0 |  r}, Bx (r) =]x0 r, x0 ] e
0
Bx+ (r) = [x0 , x0 + r[: si tratta di intervalli centrati (oppure solo da un lato) in x0 di
0
raggio r, con gli estremi compresi o no.(48)
La topologia euclidea di R
Il primo passo è la definizione di (sottoinsieme) aperto.
Diremo che A ⇢ R è un (sottoinsieme) aperto in R se si può esprimere come unione di
intervalli aperti di R (inoltre, per definizione, anche ? è aperto in R). La famiglia di tutti
gli aperti di R si dirà la topologia (euclidea) di R.
Diremo invece che A ⇢ R è chiuso in R se il complementare {R A = R \ A è aperto in R.
(48)
La notazione “B” richiama la parola inglese “ball”, è scelta per pensare a essi come a “palline unidimensionali” centrate in x0 .
Corrado Marastoni
62
Aperto
Topologia
Chiuso
Analisi Matematica I
In particolare, A si dirà compatto se è chiuso e limitato.(49)
Compatto
Esempi. (1) Tutti gli intervalli aperti di R (compreso R) sono aperti di R, mentre tutti gli intervalli chiusi
di R (cioè del tipo [a, b], [a, +1[, ]
1, a] e R =]
1, +1[) sono chiusi di R. Tra essi, i soli compatti sono
quelli del tipo [a, b]. (2) Si dimostra che R e ? sono i soli sottoinsiemi di R ad essere sia aperti che chiusi
in R. (3) N, Z, e i sottoinsiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) {a1 , . . . , an } sono chiusi in R;
e =R\Q
inoltre i sottoinsiemi finiti sono compatti, mentre N e Z no (infatti non sono limitati). (4) Q e Q
non sono ne’ aperti ne’ chiusi in R, perché nessuno dei due può essere aperto in R (infatti, a causa della
densità in R di entrambi, nessun intervallo aperto di R può essere contenuto in essi).
La seguente caratterizzazione alternativa dell’essere “aperto” ci prepara alla successiva
nozione di “intorno” di cui parleremo tra breve.
Proposizione 2.1.1. A ⇢ R è aperto se e solo se per ogni x 2 A esiste r > 0 tale che
Bx (r) ⇢ A, ovvero se e solo se A contiene una palla aperta centrata in ogni suo punto.
S
Dimostrazione. Se A è un aperto allora A = j2J Ij ove gli Ij sono intervalli aperti di R, dunque, preso
un x 2 A, tale x deve stare in uno di questi intervalli, diciamo in Ij0 : esiste allora certamente r > 0 tale
che Bx (r) ⇢ Ij0 , ed essendo IjS
0 ⇢ A si conclude. Viceversa, per ogni x 2 A si scelga rx > 0 tale che
Bx (rx ) ⇢ A: poiché allora A = x2A Bx (rx ), A è aperto.
Corollario 2.1.2. Ogni sottoinsieme non vuoto di R che sia chiuso e inferiormente (risp.
superiormente) limitato ammette minimo (risp. massimo) in R. In particolare, un sottoinsieme compatto ammette massimo e minimo in R.
Dimostrazione. Sia B ⇢ R un chiuso non vuoto e inferiormente limitato: allora esiste ⇠ := inf B 2 R.
Supponiamo per assurdo che ⇠ 2
/ B: poiché A := R \ B è aperto, per la Proposizione 2.1.1 esiste r > 0 tale
che B⇠ (r) ⇢ A, ovvero tale che B⇠ (r)\B = ?. Ma ciò contraddice subito la seconda proprietà caratteristica
dell’inf. Dunque ⇠ 2 B, ovvero ⇠ = min B. L’asserzione per il massimo si prova analogamente.
Esempi. (1) Un intervallo del tipo [a, b[ con a, b 2 R non è ne’ aperto (infatti [a, b[ non contiene una
palla aperta centrata nel suo punto a) ne’ chiuso (infatti [a, b[ è superiormente limitato, ma non ammette
massimo). (2) Idem per A = { n1 : n 2 N}: non è ne’ aperto (infatti non contiene una palla aperta centrata
nel suo punto 12 ) ne’ chiuso (infatti è inferiormente limitato, ma non ammette minimo). Invece B = A[{0}
S
1
è chiuso (infatti il suo complementare R<0 [ n2N ] n+1
, n1 [ [ R>1 è aperto).
Passiamo ora alla nozione di “intorno” di un punto.
Se x0 2 R e A ⇢ R, diremo che A è un intorno di x0 in R se contiene un aperto contenente
x0 , ovvero (per la Proposizione 2.1.1) se contiene qualche palla aperta centrata in x0 : in
particolare, ciò implica che x0 2 A.(50) La famiglia Bx0 = {Bx0 (r) : r > 0} è una base di
intorni di x0 , nel senso che essa ha la proprietà che ogni intorno di x0 contiene qualche
(49)
La definizione di compattezza più adatta ad essere generalizzata non è quella appena data: tuttavia, per
R tale definizione, che non daremo in questo corso, si dimostra essere equivalente a chiusura più limitatezza,
dunque per semplicità assumiamo quest’ultima come nozione di compattezza in R.
(50)
Dunque, un intorno A di x0 è un sottoinsieme che “circonda” x0 ; se lo circonda solo da un lato, si
parlerà di intorno sinistro (risp. destro) di x0 in R, ovvero se esiste r > 0 tale che Bx0 (r) ⇢ A (risp.
Bx+0 (r) ⇢ A. Talvolta si parla di intorno anche come “intorno bilatero” per sottolineare il concetto “destro
e sinistro”.
Corrado Marastoni
63
Intorno
Base di intorni
Analisi Matematica I
elemento di Bx0 .(51) La nozione di intorno è quella che designa la “vicinanza”: ad esempio,
diremo che una proprietà P(x) (dipendente da x 2 R) vale attorno (o vicino) a x0 2 R se
l’insieme A = {x 2 R : P(x) è vera} è un intorno di x0 .
Si noti che la definizione di “intorno” è stata data poggiando su quella di “aperto”;
ma, poiché ora la Proposizione 2.1.1 si può rileggere dicendo che un sottoinsieme di R è
aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto, avremmo potuto iniziare questo paragrafo
nell’ordine inverso, prima definendo gli intorni di un punto come quelli che contengono
qualche palla aperta centrata nel punto, e poi gli aperti di R come quei sottoinsiemi che
sono intorno di ogni loro punto.
Figura 2.1: U e V sono entrambi intorni di x0 ; A è aperto (si noti che è intorno di ogni suo punto); B non è aperto
(si noti che non è intorno del suo punto b).
Esempi. (1) A = [0, 1[ è un intorno di x0 =
1
2
(infatti Bx0 ( 13 ) ⇢ A), ed è intorno di tutti i suoi punti
tranne 0 (infatti, non esiste nessun r > 0 tale che B0 (r) ⇢ A). (2) A =]0, 1[[{2} [ R
né di
31 né di 1 (basta notare che nessuno dei due sta in A), è un intorno di
1
2
3
non è un intorno
(perché B 1 ( 15 ) ⇢ A) ma
2
non di 2 e nemmeno di 3 (entrambi stanno in A, ma non esiste r > 0 tale che Bx0 (r) ⇢ A per x0 = 2, 3).
e = R\Q
È intorno destro di 3, ed è intorno di tutti i punti x0 2]0, 1[[R>3 . (3) A = { 1 : n 2 N}, Q e Q
n
non sono intorno di alcuno dei loro punti.
Proposizione 2.1.3. (Proprietà degli aperti, dei chiusi, degli intorni di un punto)
(i) Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono ancora degli aperti.
Lo stesso vale per gli intorni di un punto: unioni qualsiasi e intersezioni finite di
intorni di un punto x0 sono ancora degli intorni del punto x0 .
(ii) Unioni finite e intersezioni qualsiasi di chiusi sono ancora dei chiusi.
S
Dimostrazione. Sia {Ai : i 2 I} una famiglia qualsiasi di aperti, e sia A = i2I Ai : se x0 2 A, allora esiste
i0 2 I tale che x0 2 Ai0 e dunque esiste r > 0 tale che Bx0 (r) T
⇢ Ai0 ⇢ A. Perciò A è aperto di R. Sia
invece {Bi : i = 1, . . . , n} una famiglia finita di aperti e sia B = n
i=1 Bi : se x0 2 B, vale x0 2 Bi per ogni
i, e dunque per ogni i esiste ri > 0 tali che Bx0 (ri ) ⇢ Ai (ove i = 1, . . . , n): posto r = min{ri : i = 1, . . . , n}
(vale r > 0, perché gli ri sono in numero finito) si ha Bx0 (r) ⇢ Bx0 (ri ) ⇢ Bi per ogni i = 1, . . . , n, e
dunque Bx0 (r) ⇢ B, col che si è mostrato che B è aperto. In modo simile si prova l’enunciato sugli intorni
di un punto x0 . Per dimostrare le a↵ermazioni
se X è un insieme
e {Ai : i 2 I}
S sui chiusi,
Tbasta notare che, T
S
una famiglia di sottoinsiemi di X, vale {X i2I Ai = i2I {X Ai e {X i2I Ai = i2I {X Ai .
Esempi. (1) A margine della Proposizione 2.1.3, è opportuno osservare che l’intersezione di una famiglia
qualsiasi di aperti non sempre è aperta (ad esempio, l’intersezione della famiglia infinita {]
1 1
, [:
n n
n 2 N} di
intervalli aperti è {0}, che non è aperto in R) e che similmente l’unione di una famiglia qualsiasi di chiusi di
(51)
In generale, ogni famiglia di intorni di x0 che gode della suddetta proprietà si dice essere una “base di
r
intorni di x0 ”: ad esempio, lo sono anche anche {B x0 (r) : r > 0}, oppure {]x0
, x0 + r] : r > 0}.
2
Corrado Marastoni
64
Analisi Matematica I
R non sempre è chiusa in R (ad esempio, l’unione della famiglia infinita {[
chiusi è ]
n 1 n 1
, n ]
n
: n 2 N} di intervalli
1, 1[, che non è chiuso in R). (2) L’insieme A = { 3, 0, 1} è chiuso in R perché è l’unione finita
dei tre chiusi { 3}, {0} e {1} (oppure, perché il suo complementare {R A = R<
3 []
3, 0[[]0, 1[[R>1 è
aperto di R in quanto unione di aperti di R). Anche l’insieme B = Z è chiuso in R, ma non lo si dimostra
dicendo che esso è l’unione della famiglia di chiusi {{n} : n 2 Z} (infatti l’unione di una famiglia infinita
S
di chiusi non è detto sia chiusa), ma dicendo che il suo complementare {R Z = n2Z ]n, n + 1[ è aperto in R
(perché unione di aperti).
Siano ora x0 2 R e A ⇢ R (non necessariamente aperto né chiuso). Il punto x0 , appartenga
egli o meno ad A, può avere varie relazioni con A: andiamo a descriverne alcune.
Il punto x0 si dirà essere
(a) punto interno di A in R se A è intorno di x0 (in particolare, x0 2 A);
(b) punto di chiusura di A in R se A \ U 6= ? per ogni intorno U di x0 ;
(c) punto di accumulazione per A in R se A \ (U \ {x0 }) 6= ? per ogni intorno U di x0 ;
(d) punto isolato di A se x0 2 A ed esiste un intorno U di x0 tale che U \ A = {x0 };
(e) punto di frontiera per A se è di chiusura sia per A che per {R A.
Punto interno
Punto di chiusura
Punto di
accumulazione
Punto isolato
Punto di frontiera
Diamo alcune spiegazioni per meglio illustrare queste proprietà.
(a) I punti interni di A stanno in A, ed il loro insieme (detto interno di A) si denota
con Ȧ o con intR A se si vuole insistere su “interno in R”: vale Ȧ ⇢ A, e Ȧ è il più
grande aperto di R contenuto in A; in particolare, Ȧ = A se e solo se A è aperto.
(b) L’idea è: in tutti gli intorni di x0 cadono punti di A (si può dire anche: A\Bx0 (r) 6= ?
per ogni r > 0, ovvero che per ogni r > 0 esiste x 2 A tale che |x x0 | < r). Tutti i
punti di A sono di chiusura per A, ma non è detto valga il viceversa. Il loro insieme
(detto chiusura o aderenza di A) si denota con A o con clR A se si vuole insistere su
“chiusura in R”, e A è il più piccolo chiuso di R contenente A: in particolare, A = A
se e solo se A è chiuso di R.
(c) La definizione è più esigente di quella di “chiusura”: infatti l’idea è che in tutti gli
intorni di x0 cadono punti di A diversi da x0 (si può dire anche: per ogni r > 0 esiste
x 2 A tale che x 6= x0 e |x x0 | < r), e dunque tutti i punti di accumulazione sono
anche di chiusura per A in R. Anche i punti di accumulazione non è detto stiano
in A, anzi, il caso più interessante è proprio quello in cui non ci stanno: e non è
difficile vedere che questi ultimi sono tutti e soli gli elementi di A \ A: in altre parole,
Corrado Marastoni
65
Interno
Chiusura
(o “aderenza”)
Analisi Matematica I
i punti di A sono tutti quelli di A più quelli di {R A che sono di accumulazione per
A. Notiamo allora che A ⇢ R è chiuso in R se e solo se esso contiene tutti i suoi
punti di accumulazione. L’insieme dei punti di accumulazione di A è detto derivato
di A.
Derivato
(d) L’idea è: sono i punti di A “isolati da tutti gli altri di A” (il punto x0 ha un intorno
nel quale esso è l’unico punto di A). Essi sono dunque tutti i punti di A che non
sono di accumulazione per A.
(e) È come dire: x0 è un punto che non sta né in intR A né in intR ({R A) (per ogni intorno
U di x0 vale A \ U 6= ? e ({R A) \ U 6= ?). L’insieme dei punti di frontiera di A è
detto frontiera di A.
Frontiera
Esempi. Esaminiamo gli esempi precedentemente proposti (per ognuno di essi indichiamo di seguito
l’insieme dei punti interni, di chiusura, di accumulazione, isolati, di frontiera). (1) Se A = [0, 1[ essi sono
]0, 1[; [0, 1]; [0, 1]; ?; {0, 1}. (2) Se A =]0, 1[[{2} [ R
3
essi sono ]0, 1[[R>3 ; [0, 1] [ {2} [ R
3;
[0, 1] [ R
3;
{2}; {0, 1, 2, 3}. (3) Se A = { 3, 0, 1} oppure A = Z essi sono ?; A; ?; A; A. (4) Se A = { n1 : n 2 N}
e = R \ Q, essi sono ?, R, R, ?, R.
essi sono ?; A [ {0}; {0}; A; A [ {0}. (5) Se A = Q oppure A = Q
È importante notare che
Proposizione 2.1.4. Se A ⇢ R è superiormente limitato, sup A è di chiusura per A in R
(dunque se sup A 2
/ A allora sup A è di accumulazione per A). Analogamente, se A ⇢ R è
inferiormente limitato, inf A è di chiusura per A in R (dunque se inf A 2
/ A allora inf A è
(52)
di accumulazione per A).
Dimostrazione. Il fatto che sup (o inf) siano punti di chiusura per A discende direttamente dalle proprietà
caratteristiche (vedi Proposizione 1.3.2). L’altra a↵ermazione discende da ciò e dal fatto che, come detto,
un sottoinsieme di R è chiuso in R se e solo se esso contiene tutti i suoi punti di chiusura.
Un sottoinsieme A di R si dirà discreto se tutti i suoi punti sono isolati (o, analogamente,
se non contiene nessuno dei suoi punti di accumulazione); se A ⇢ B ⇢ R, A si dirà denso
in B se ogni punto di B è di chiusura per A, ovvero se A ⇢ B ⇢ A. (53)
Sottoinsieme
discreto
Sottoinsieme
denso
Esempi. (1) Z, { 3, 0, 1} e { n1 : n 2 N} (ma non { n1 : n 2 N} [ {0}) sono sottoinsiemi discreti di R; (2)
e = R \ Q sono densi in R.
Come detto, Q e Q
e Come preannunciato, definiamo la retta reale estesa R
e
La topologia euclidea di R
come l’insieme ottenuto aggiungendo a R due nuovi punti 1 e +1, chiamati rispettivamente “meno infinito” e “più infinito”, che converrà pensare “aggiunti alla lontanissima
e
sinistra e destra della retta reale”: in e↵etti l’ordine totale  di R viene esteso a R,
ponendo 1 < a < +1 per ogni a 2 R.
(52)
Si noti che dalla Proposizione 2.1.4 segue nuovamente il Corollario 2.1.2.
È un facile esercizio mostrare che questa definizione di densità è equivalente a quella usata per mostrare
(vedi Corollario 1.3.5) che Q e R \ Q sono densi in R
(53)
Corrado Marastoni
66
Retta reale
e
estesa R
Analisi Matematica I
e Analogamente a prima, se x 2 R un
Passiamo ora allo studio della topologia di R.
0
e
e se esiste
sottoinsieme A ⇢ R si chiamerà intorno (risp. intorno destro, sinistro) di x0 in R
r > 0 tale che Bx0 (r) ⇢ A (o rispettivamente Bx± (r) ⇢ A). Quanto agli infiniti, un
0
e si dirà intorno di +1 se contiene una semiretta ]a, +1] per qualche
sottoinsieme A ⇢ R
a 2 R; e la famiglia di “semirette completate” ]a, +1] sarà una base di intorni di +1.(54)
Nozioni analoghe vengono introdotte per 1.
La seguente proprietà ci sarà utile parlando di limiti.
e è uno spazio “separato”, o “di Hausdor↵”) Se x e y sono due
Proposizione 2.1.5. (R
e
elementi distinti di R, allora esistono intorni U di x e V di y tali che U \ V = ?.(55)
Dimostrazione. Supposto ad esempio che x < y, basta scegliere U = [ 1, ↵[ e V =] , +1] per qualsiasi
↵, 2 R con x < ↵  < y.
e è aperto in R
e se è intorno in R
e di ogni suo punto (e, per definizione,
Un sottoinsieme A ⇢ R
e
e si dirà topologia (euclidea) di
anche ? è aperto in R); la famiglia di tutti gli aperti di R
e
e
e
e
e
R. Diremo invece che A ⇢ R è chiuso in R se {Re A = R \ A è aperto in R.
e
Le nozioni di punto interno, di chiusura, di accumulazione, isolato, di frontiera x0 2 R
e
per A ⇢ R si enunciano allo stesso modo delle analoghe nozioni di R con l’accortezza, ad
esempio nel caso x0 = +1, di rimpiazzare Bx0 (r) con gli intorni di base ]a, +1] di +1.
Ad esempio:
Proposizione 2.1.6. Un sottoinsieme A di R ha +1 come punto di accumulazione se e
solo se non è superiormente limitato.
Dimostrazione. Il fatto che +1 sia punto di accumulazione per A significa che per ogni a 2 R si ha
]a, +1] \ A 6= ?, ovvero che per ogni a 2 R esiste x 2 A tale che x > a: ma ciò è precisamente come dire
che A non è superiormente limitato.
e se A ⇢ R
e è superiormente
Possiamo estendere la nozione di sup e inf a sottoinsiemi di R:
(risp. inferiormente) limitato, sup A (risp. inf A) sarà il numero reale già definito per R;
in caso contrario, si pone sup A = +1 (risp. inf A = 1). Tali numeri soddisferanno
ancora le proprietà caratteristiche della Proposizione 1.3.2 e perciò si prova, analogamente
e allora sup A e inf A sono di chiusura per A in R.
e
alla Proposizione 2.1.4, che se A ⇢ R
e gli altri
Esempi. (1) Se x0 2 R, i sottoinsiemi di R intorni di x0 in R continuano ad esserlo anche in R;
e
intorni di x0 in R si ottengono aggiungendo uno (o entrambi) dei +1 ad uno di questi “vecchi” intorni: ad
esempio, ] 2, 1][{ 1} è un intorno di x0 =
1
2
e Per essere un intorno di +1 in R,
e invece, come detto
in R.
bisognerebbe contenere una “semiretta aperta completata” ]a, +1], ed in particolare contenere anche +1;
tuttavia, come già citato in nota, è corrente e del tutto comprensibile l’abuso di linguaggio secondo cui si
e e tutti i sottoinsiemi A ⇢ R
dice che “la semiretta ]a, +1[ è un intorno di +1 in R”. (2) R è aperto in R,
(54)
Tuttavia, con abuso di linguaggio si usa dire “che la semiretta ]a, +1[ è un intorno di +1 in R”, il
che, per essere pignoli, non ha senso perché +1 2
/ R, ma non porta a nessun problema, come vedremo
parlando di limiti.
(55)
e possono essere ”separati” tra loro tramite intorni disgiunti.
ovvero: elementi distinti di R
Corrado Marastoni
67
Analisi Matematica I
e ad
aperti in R lo sono anche in R. Invece, se C ⇢ R è chiuso in R, non è detto che C lo sia anche in R:
esempio, la “semiretta chiusa” R a = [a, +1[ è chiusa in R (perché {R (R a ) = R<a è aperta in R), ma
e (perché { (R a ) = R<a [ {±1} non è aperta in R,
e perché non è intorno di +1). È
non è chiusa in R
e
R
e
facile allora vedere che un chiuso C ⇢ R lo è anche in R se e solo se esso è limitato in R (ovvero compatto)
mentre invece, se ad esempio C è un chiuso di R superiormente illimitato, il sottoinsieme “completato”
e (vedi il prossimo paragrafo). (3) Se un sottoinsieme A ⇢ R è limitato, i suoi punti
C [ {+1} è chiuso in R
e sono gli stessi di quelli in R.
interni, di chiusura, di accumulazione, isolati e di frontiera in R
e ? Abbiamo visto che la scelta della topologia equivale alla
Altre topologie su R e R
scelta degli intorni: stabilito chi sono gli aperti, si sa dire chi sono gli intorni di un qualsiasi
punto (sono “quelli che contengono un aperto contenente il punto stesso”) e, viceversa,
stabilito chi siano gli intorni dei vari punti, si sa dire chi sono gli aperti (sono “quelli che
sono intorno di ogni loro punto”). In altre parole, scegliere una topologia è la stessa cosa
che stabilire quale nozione si vuole usare di “vicinanza” (e, con essa, tutte quelle che ne
conseguiranno, come “limite”, “continuità”...). Ora, in che misura possiamo modificare la
scelta di una topologia? In altre parole, quali sono le proprietà che una famiglia di parti
di R (ma, in realtà, ciò si può fare con un qualunque insieme X) deve possedere affinché
si possa considerare come “famiglia degli aperti” di X? Per rispondere ci ispiriamo alla
Proposizione 2.1.3.
Dato un insieme X non vuoto, una famiglia T ⇢ P(X) si dirà una topologia su X se
soddisfa le seguenti proprietà: (1) X, ? 2 T ; (2) unioni qualsiasi di elementi di T sono
ancora elementi di T ; (3) intersezioni finite di elementi di T sono ancora elementi di T . In
tal caso, la coppia (X, T ) si dirà spazio topologico. Se T è una topologia su X, gli elementi
di T si diranno gli aperti di X (nel senso dato da T ); di conseguenza, dato x0 2 X si
dirà che A ⇢ X è un intorno di x0 (nel senso dato da T ) se A contiene qualche aperto
contenente x0 . Se T1 e T2 sono due topologie su X con T1 ⇢ T2 , si dirà che T2 è più fine
di T1 : l’idea è che, in X, con T2 “vi sono più aperti” che con T1 , e dunque ogni punto di
X ha “più intorni” con T2 di quanti non ne abbia con T1 .
Esempi. (1) Ogni insieme X ha due topologie estremali: quella meno fine di tutte è la banale in cui
T = {X, ?} (dato x0 2 X, l’unico intorno di x0 è X), e quella più fine è la discreta in cui T = P(X)
(tutti gli A ⇢ X che contengono x0 sono intorni di x0 ). (2) Su X = R, oltre alla topologia euclidea in cui
Te = {A ⇢ R : A è unione di intervalli aperti}[{?} possiamo considerare ad esempio la topologia di Zariski
in cui i chiusi di R sono i soli insiemi finiti, e dunque gli aperti sono Tz = {A ⇢ R : R \ A è finito} [ {?}.
Dunque Tz è meno fine di Te : dato x0 2 R, i suoi intorni (nel senso di Zariski) sono i soli sottoinsiemi di
R ottenuti rimuovendo da R un numero finito di punti diversi da x0 (si tratta di particolari intorni aperti
euclidei). (3) Si noti che, con una topologia diversa, le proprietà legate agli intorni possono essere assai
diverse. Ad esempio, mentre si era visto che R con l’usuale topologia euclidea è uno spazio separato (vedi
Proposizione 2.1.5), questo non vale più se R è munito della topologia di Zariski (o di una qualsiasi altra
topologia meno fine, tipo la banale), perché gli aperti sono “troppo grossi” e dunque gli intorni di due
punti distinti non riescono mai a essere disgiunti tra loro.
Corrado Marastoni
68
Spazio topologico
Analisi Matematica I
2.2
Successioni di numeri reali
Una successione di numeri reali è una funzione a : N ! R : ad ogni n 2 N essa
associa dunque un numero reale a(n), detto termine n-esimo della successione, che si
denota usualmente con an (e la successione con (an )n2N , o più semplicemente con (an )n ,
(an ) oppure solo an ).
e si dirà che ` è limite di (an )n2N (o che (an )n2N tende a `), e si scriverà
Dato ` 2 R,
` = limn!+1 an oppure ` = lim an , o anche an ! `, se
(2.1)
per ogni intorno V di ` esiste nV 2 N tale che an 2 V per ogni n
Successione
Limite di una
successione
nV :
in altre parole, se la successione “entra definitivamente in ogni intorno di ` ”.(56) Una
successione che non ha limite si dice indeterminata.
Successione
indeterminata
La definizione (2.1), che parla solo di “intorni”, in principio ha senso per ogni topologia su
R (vedi pag. 68)(57) ; per quanto riguarda più specificatamente la topologia euclidea, che è
quella che sempre usiamo e useremo salvo avviso contrario, tale definizione si specializza,
a seconda dei casi, come segue:
Proposizione 2.2.1. (Casi particolari della definizione di limite di successione)
• Se ` 2 R si dirà che an converge a `, e (2.1) equivale a:
per ogni " > 0 esiste n" 2 N tale che se n
Successione
convergente
n" allora |an
`| < ".
In particolare, se ` = 0 si dirà che la successione an è infinitesima.
• Se ` = +1 (risp.
1) si dirà che an diverge a +1 (risp.
per ogni M > 0 esiste nM 2 N tale che se n
Successione
infinitesima
1), e (2.1) equivale a:
nM allora an > M (risp. an <
M ).
Dimostrazione. Per verificare (2.1) è sufficiente controllare che essa valga per i V che stanno in una
base di intorni di `: allora le riformulazioni appena proposte sono chiare, in quanto se ` 2 R (risp.
` = +1, ` = 1) una base di intorni è data da {B` (") : " > 0} (risp. da {]M, +1[: M > 0}, da
{] 1, M [: M > 0}).
(56)
In generale, quando d’ora in poi diremo che una proprietà P(n) vale “definitivamente”, intenderemo
che tale proprietà P(n) vale da un certo n0 2 N in poi, ovvero per n
n0 . Ad esempio, la successione
an = 2n 33 è “definitivamente > 0 ”: infatti si ha an > 0 per n n0 = 17.
(57)
In questa ottica relativa, più la topologia è fine più vi sono intorni in cui entrare definitivamente, e
dunque più è difficile per una successione avere limite. Prendiamo ad esempio la successione an = n1 .
Per l’usuale topologia euclidea essa converge a 0: infatti ogni intorno di 0 contiene una palla ] ", "[ per
qualche " > 0, dunque la successione entra in tale intorno non appena n > 1" , possibile per archimedeità.
Invece per la topologia di Zariski (e per ogni altra topologia meno fine, fino a quella banale) essa tende
e infatti, preso un qualsiasi `, la successione sta definitivamente in ogni Zariski-intorno di `
a ogni ` 2 R:
e \ {x1 , . . . , xr } ove x1 , . . . , xr è un numero finito di punti di R
e diversi da
(ovvero, in ogni insieme del tipo R
`). All’estremo opposto, per la topologia discreta (la più fine che c’è) essa non tende verso alcun punto di
e nemmeno a 0: infatti {0} è un intorno di 0 in tale topologia, e lı̀ dentro la successione non entra mai.
R,
Corrado Marastoni
69
Successione
divergente
Analisi Matematica I
Notiamo subito che
Proposizione 2.2.2. Il limite di (an )n2N , se esiste, è unico.(58)
e due limiti per (an ), e supponiamo per assurdo che essi siano diversi tra
Dimostrazione. Siano `1 , `2 2 R
loro: allora (vedi Proposizione 2.1.5) esistono due intorni V1 e V2 risp. di `1 e `2 disgiunti tra loro, ovvero
tali che V1 \ V2 = ? . Per definizione di limite, esistono nV1 2 N tale che an 2 V1 per ogni n
n V1 , e
nV2 2 N tale che an 2 V2 per ogni n
nV2 : ma allora per ogni n
max{nV1 , nV2 } si dovrebbe avere
an 2 V1 \ V2 = ?, assurdo. Dunque deve essere `1 = `2 .
Esempi. (0) Se k 2 R la successione costante an ⌘ k per ogni n 2 N è ovviamente convergente a ` = k.
(1) La successione an =
n+1
n
converge a ` = 1. Infatti, dato " > 0 si ha |an
per archimedeità esiste n" 2 N tale che n" >
1| < " se e solo se n >
1
;
"
1
"
, dunque se n n" si ha |an 1| < ". (2) La successione
p
1. Infatti, dato M > 0 si ha an < M se e solo se n > M + 1 + 1;
p
sempre per archimedeità esiste nM 2 M tale che nM > M + 1 + 1, dunque se n nM si ha an < M .
an = 2n
2
n diverge a ` =
(3) Non è detto che il limite di una successione esista: ad esempio an = ( 1)n (che oscilla tra 1 e
1)
è indeterminata, cosı̀ come bn = ( 1)n n (che assume valori sempre più grandi in valore assoluto, ma
oscillanti nel segno). Tuttavia, in un caso come l’ultimo (in cui |bn | ! +1) si usa dire comunque che
(bn )n2N tende a 1 (senza segno). (4) Se ↵ 2 R, la successione an = n↵ è infinitesima per ↵ < 0 (ad
p
esempio, n1 oppure p1n ), costantemente 1 per ↵ = 0 e divergente a +1 per ↵ > 0 (ad esempio, 3 n oppure
n2 ). (5) Fissato un ↵ 2 R la successione aritmetica di di↵erenza ↵ è data da an = n↵ (ovvero, a1 = ↵,
a2 = 2↵, ...): è immediato mostrare che essa diverge a ±1 a seconda che ↵ ? 0, mentre è la successione
costante nulla se ↵ = 0.
Data una successione (an )n2N e una funzione strettamente crescente ⌫ : N ! N, la successione (bk )k2N definita da bk := a⌫(k) è detta sottosuccessione di an : l’idea è che la funzione
⌫ “estrae da an solo alcuni di suoi valori, facendoli diventare una nuova successione”. È
d’uso comune denotare a⌫(k) con ank (nel senso che nk è il “k-esimo indice selezionato”
dalla sottosuccessione.
Esempi. (0) Nel caso in cui ⌫ sia l’identità di N, si ottiene la successione stessa. (1) Data (an )n2N ,
la sottosuccessione degli elementi di posto pari si ottiene con ⌫(k) = 2k (dunque b1 = a2 , b2 = a4 , ...,
bk = a2k ) e quella degli elementi di posto dispari con ⌫(n) = 2k
bk = a2k
1 ).
1 (dunque b1 = a1 , b2 = a3 , ...,
Ad esempio, la sottosuccessione degli elementi di posto pari (risp. dispari) di an = ( 1)n è
la successione costante 1 (risp.
1).
Il legame tra il limite di una successione e quello delle sue sottosuccessioni è il seguente:
Proposizione 2.2.3. Una successione ha limite ` se e solo se tutte le sue sottosuccessioni
hanno lo stesso limite `.
Dimostrazione. Poiché tra le sottosuccessioni di una successione c’è lei stessa, la condizione è ovviamente
sufficiente. Viceversa, supponiamo che an ! ` e sia bk = a⌫(k) una sua sottosuccessione: se V è un intorno
di ` sappiamo che an 2 V da un certo nV in poi, ma allora (visto che ⌫ è strettamente crescente, dunque
⌫(n) n) anche bk sta in V da nV in poi, dunque anche bk ! `.
e (quella
Nella dimostrazione che segue si usa in modo cruciale il fatto che la topologia considerata su R
euclidea) è separata (vedi Proposizione 2.1.5): in realtà, se considerassimo una topologia non separata, il
limite sarebbe lungi dall’essere unico, come visto ad esempio in nota per an = n1 con la topologia di Zariski
o una qualsiasi meno fine, come quella banale.
(58)
Corrado Marastoni
70
Sottosuccessione
Analisi Matematica I
Perciò, se si trovano due sottosuccessioni di an con limiti diversi (o se si trova una sottosuccessione indeterminata), allora an è indeterminata.
Esempio. Le sottosuccessioni di posto pari/dispari della successione an = ( 1)n sono risp. la costante 1
e
1, dunque convergono risp. a 1 e a
1: pertanto ( 1)n è indeterminata (come già sappiamo).
Una successione (an )n2N si dirà limitata se l’insieme dei suoi valori {an : n 2 N} è limitato
(come sottoinsieme di R), ovvero se esiste M > 0 tale che |an |  M per ogni n 2 N.
Proposizione 2.2.4. Ogni successione convergente è limitata, ma non viceversa.
Dimostrazione. Se an ! ` 2 R allora esiste n0 2 N tale che se n
n0 allora |an `| < 1: si ha allora
|an | < M := max{|a1 |, . . . , |an0 |, |` 1|, |` + 1|} per ogni n 2 N, ovvero an è limitata. Invece ( 1)n è una
successione limitata, ma non converge.
Raduniamo nel seguente enunciato alcuni teoremi standard sui limiti di successioni.
Proposizione 2.2.5. Siano (an )n2N , (bn )n2N , (cn )n2N successioni in R.
(a) (Permanenza del segno) Se lim an < lim bn , allora an < bn definitivamente.
In particolare:
Se lim an > ↵ per un certo ↵ 2 R, allora an > ↵ definitivamente.
(b) (Confronto) Se an  bn definitivamente, allora (se esistono) lim an  lim bn .(59)
In particolare:
Se an  ↵ definitivamente per un certo ↵ 2 R, allora (se esiste) lim an  ↵.
(c) (Teoremi dei “carabinieri”)
(i) Se an  bn  cn definitivamente, e se esistono uguali lim an = lim cn 2 R ,
allora anche lim bn esiste e sarà uguale ad essi.
(ii) Sia an  bn definitivamente. Se lim an = +1, allora anche lim bn = +1; se
lim bn = 1, allora anche lim an = 1.
(d) (Limiti e operazioni)
(i) Se esistono lim an = `1 2 R e lim bn = `2 2 R , allora esistono lim(an + bn )
e lim(an bn ) , e sono uguali rispettivamente a `1 + `2 e a `1 `2 .
(ii) Se lim an = +1 (risp. 1) e bn è inferiormente (risp. superiormente) limitata,
allora lim(an + bn ) esiste ed è uguale a +1 (risp. a 1).
(iii) Se an è infinitesima e bn è limitata, allora an bn è infinitesima.
(59)
Si rimarca l’importanza dei dettagli dell’enunciato: nella permanenza del segno si va “dal limite alla
successione” e si usa “ < ”, mentre per il confronto si va “dalla successione al limite” e si usa “  ”. Ad
esempio, una versione del confronto con “ < ” è falsa, come mostrano an = n1 e bn = n1 (vale an < bn ,
ma sono entrambe infinitesime e dunque lim an 6< lim bn ).
Corrado Marastoni
71
Successione
limitata
Analisi Matematica I
(iv) Se lim an = ±1 e bn > 0 è “lontana da 0” (cioè esiste ↵ > 0 tale che bn > ↵
definitivamente), allora lim(an bn ) esiste ed è uguale a ±1.
(v) Se esiste ` = lim an 2 R⇥ , allora la successione a1n ha senso definitivamente,
esiste lim a1n ed è uguale a 1` .
(vi) Se an > 0 definitivamente e lim an = 0 (risp. lim an = +1) la successione
1
1
an ha senso definitivamente, esiste lim an ed è uguale a +1 (risp. a 0).
Dimostrazione. (a) Siano `1 = lim an e `2 = lim bn con `1 < `2 , e siano V1 e V2 intorni di `1 e `2
con V1 \ V2 = ? (vedi Proposizione 2.1.5), da cui y1 < y2 per ogni y1 2 V1 e y2 2 V2 ; poiché an 2 V1 e
bn 2 V2 definitivamente, si ha quanto voluto. L’altra a↵ermazione si ottiene applicando quanto trovato alla
successione costante ↵. (b) Siano `1 = lim an , `2 = lim bn e supponiamo per assurdo che sia `1 6 `2 , ovvero
`1 > `2 ; per la permanenza del segno si ha allora an > bn definitivamente, ma ciò nega l’ipotesi. L’altra
a↵ermazione si ottiene applicando quanto trovato alla successione costante ↵. (c) (i) Per il confronto,
se lim bn esiste deve essere uguale a ↵ := lim an = lim cn , ed è proprio cosı̀: infatti an e cn entrano
definitivamente in ogni palla centrata in ↵, dunque lo stesso deve fare bn . (ii) Se ad esempio lim an = +1
allora per il confronto deve essere (se esiste) lim bn = +1, ed è proprio cosı̀: infatti, dato M > 0 si ha
bn an M definitivamente. (d) (i) Sia " > 0. Da |(an + bn ) (`1 + `2 )| = |(an `1 ) + (bn `2 )|  |an
`1 |+|bn `2 |, poiché si ha definitivamente |an `1 | < 2" e |bn `2 | < 2" si ricava che |(an +bn ) (`1 +`2 )| < "
definitivamente, ovvero che lim(an + bn ) = `1 + `2 . Passiamo ora al prodotto. Notiamo innanzitutto che
esiste M > 0 tale che |bn | < M per ogni n (infatti bn è limitata perché convergente), dunque si ha
|an bn `1 `2 | = |an bn `1 bn + `1 bn `1 `2 | = |bn (an `1 ) + `1 (bn `2 )|  |bn | |an `1 | + |`1 | |bn `2 | 
"
M |an `1 |+L |bn `2 | per un qualsiasi L > |`1 |, e ciò mostra che an bn converge a `1 `2 (infatti |an `1 | < 2M
"
"
"
e |bn `2 | < 2L definitivamente, dunque |an bn `1 `2 | < M 2M + L 2L = " definitivamente). (ii) Sia ad
esempio lim an = +1 e bn inferiormente limitata, diciamo bn
↵ per un certo ↵ 2 R. Preso M > 0, si
ha che an > M ↵ definitivamente, dunque an + bn > (M ↵) + ↵ = M definitivamente, e ciò prova
che an + bn tende a +1. (iii) Sia K > 0 tale che |bn | < K per ogni n. Preso " > 0, sia n" 2 N tale che
|an | < "/K per ogni n n" : allora |an bn | < ("/K)K = ". Lasciamo il resto per esercizio.
Esempi. (1) Sia an =
sin n
:
n
poiché
dei due carabinieri. (2) Sia bn =
(dunque
1
⇡ 2 arctg n
1  sin n  1 si ha
2 sin n
:
⇡ 2 arctg n
poiché 2
1
n

sin n
n

sin n > ↵ =
1
, dunque an ! 0
n
1
e ⇡ 2 arctg n
2
! +1), si ha bn ! +1. (3) Sia cn = 3 sin n + 2 arctg n
è superiormente limitata (da 3 + ⇡), si ha cn !
per il teorema
> 0 tende a 0
n: poiché 3 sin n + 2 arctg n
1.
Restano alcuni casi (detti forme indeterminate) che coinvolgono operazioni e che non sono
risolti dalla proposizione precedente. I più classici(60) sono ±1⌥1 (ovvero, se ad esempio
lim an = +1 e lim bn = 1, nulla si può dire in generale su lim(an + bn )), e poi 0 · 1, 00 ,
1
1 . Le successioni in forma indeterminata (che sono in realtà le sole successioni veramente
interessanti) vanno esaminate con uno studio specifico.
Esempi. (1) La successione an = 7n
an =
n2 ( n7
2
2), poiché n ! +1 e
7
n
2n2 dà una forma indeterminata +1
2!
2 (perché
7
n
1; tuttavia, essendo
è infinitesima) si ha lim an =
1. (2) [In
questo esercizio si usa la continuità delle funzioni “coseno” e “seno”, che sarà provata più avanti: ovvero
se bn ! ` 2 R allora sin(bn ) ! sin(`) 2 R e cos(bn ) ! cos(`) 2 R. Si veda più sotto per maggiori
dettagli.] La successione bn = n sin
ha sin
1
n
<
1
n
< tg
1
,
n
1
n
è in forma indeterminata 1 · 0; tuttavia per n abbastanza grande si
da cui (dividendo per sin
1
n
> 0 e passando ai reciproci) cos
1
n
< an < 1; poiché le
(60)
anche perché gli altri sono solitamente riconducibili ad essi tramite procedimenti standard, come
vedremo più tardi.
Corrado Marastoni
72
Forme
indeterminate
Analisi Matematica I
due successioni negli estremi hanno limite 1, basta applicare il teorema dei due carabinieri per concludere
che lim an = 1.
Successioni monotòne Una successione (an ) si dice monotòna se è crescente (cioè:
se m < n implica am  an ) oppure se è decrescente (cioè: se m < n implica am an ).(61)
Una tale successione non è mai indeterminata:
Proposizione 2.2.6. Una successione monotona crescente (risp. decrescente) (an ) ha
limite ` = supRe {an : n 2 N} (risp. ` = inf Re {an : n 2 N}) : dunque essa converge in R
oppure diverge a +1 (risp. a 1).
In particolare, una successione monotona e limitata è convergente.
Dimostrazione. Sia ad esempio an crescente (l’altro caso si mostra in modo analogo), e sia ` = supRe {an :
n 2 N}: potrebbe dunque essere ` 2 R oppure ` = +1. Nel primo caso (` 2 R), dato " > 0 mostriamo
che an sta definitivamente in B` ("): infatti, poiché ` " < `, per le proprietà caratteristiche del sup esiste
n" tale che ` " < an"  `, ma allora essendo an crescente si ha ` " < an  ` per ogni n n" , come si
voleva. Se invece ` = +1, dato M > 0 mostriamo che an sta definitivamente in ]M, +1[: in e↵etti esiste
nM tale che anM > M , ma allora an > M per ogni n nM .
Inoltre, le successioni monotone appaiono (come sottosuccessioni) dentro ogni successione:
Proposizione 2.2.7. Ogni successione ammette una sottosuccessione monotona. In particolare, ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. La seconda a↵ermazione discende subito dalla prima, tenendo presente che ogni sottosuccessione di una successione limitata è ovviamente limitata e poi ricordando la Proposizione 2.2.6; dedichiamoci ora alla dimostrazione della prima. Sia an una successione, e sia A = {an : n 2 N} ⇢ R l’insieme dei
suoi valori: distingueremo tre casi. (1) Se A è un insieme finito, vuol dire che la successione assume infinite
volte uno stesso valore, ovvero che esistono ↵ 2 R e un sottoinsieme infinito {m1 , m2 , m3 , . . . } ⇢ N (ove si
intende che m1 < m2 < m3 < · · · ) tale che amk = ↵ per ogni k 2 N: ma allora la sottosuccessione amk (si
noti che la funzione ⌫(k) = mk è strettamente crescente) è la costante ↵, dunque è monotona. (2) Sia ora
A un insieme infinito, e si supponga che esista un sottoinsieme B ⇢ A infinito e privo di minimo: costru/ B
iremo allora una sottosuccessione strettamente decrescente amn . Posto ⇠ := inf Re B si ha di certo ⇠ 2
(perché altrimenti ⇠ sarebbe il minimo di B); scelto un qualsiasi am1 2 B, sia b1 = min{an 2 B : n  m1 }
(tale minimo esiste, perché l’insieme in questione è finito): essendo ⇠ < b1 , per (Inf2) esisterà am2 2 B
tale che ⇠ < am2 < b1 , e per come è definito b1 sarà di certo m2 > m1 e am1 > am2 . Di nuovo, sia
b2 = min{an 2 B : n  m2 }: essendo ⇠ < b2 , per (Inf2) esisterà am3 2 B tale che ⇠ < am3 < b2 , e
per come è definito b2 sarà di certo m3 > m2 e am2 > am3 ; procedendo cosı̀, si costruisce la sottosuccessione cercata. (3) L’ultimo caso è quello in cui A è un insieme infinito tale che ogni suo sottoinsieme
non vuoto abbia minimo: in questo caso costruiremo una sottosuccessione strettamente crescente amn . Sia
am1 = min A. Poiché {an : n  m1 } è finito, A \ {an : n  m1 } è non vuoto, dunque ammette minimo:
se am2 = min(A \ {an : n  m1 }), di certo sarà m2 > m1 e am2 > am1 . Di nuovo, poiché {an : n  m2 }
è finito, A \ {an : n  m2 } è non vuoto, dunque ammette minimo: se am3 = min(A \ {an : n  m2 }), di
certo sarà m3 > m2 e am3 > am2 ; procedendo cosı̀, si costruisce la sottosuccessione cercata.
È anche utile notare che, per una successione monotona, cercare il limite equivale a cercare
quello di una qualsiasi sua sottosuccessione:
Proposizione 2.2.8. Una successione monotona ha limite ` se e solo se esiste una sua
sottosuccessione che ha limite `.
(61)
In realtà, ciò che conta è che la successione sia definitivamente monotona.
Corrado Marastoni
73
Successione
monotona
Analisi Matematica I
Dimostrazione. Sia an una successione monotona (per fissare le idee, diciamo crescente) e sia ank una sua
sottosuccessione con limite `: dunque, visto che anche ank è crescente, sarà ` 2 R oppure ` = +1. Nel
primo caso si ha che per ogni " > 0 esiste k" 2 N tale che ` " < ank  ` per ogni k k" : ma, essendo
an crescente, ciò implica che ` " < am  ` per ogni m nk" , ovvero che anche an converge a `. Il caso
` = +1 si prova similmente.
L’esponenziale naturale Ora possiamo dare una definizione classica, particolarmente
semplice e suggestiva, della funzione esponenziale naturale.
Teorema 2.2.9. (Esponenziale naturale) Dato x 2 R, la successione en (x) := 1 +
è definitivamente crescente e limitata, dunque converge ad un certo numero reale
exp(x) :=
lim
n!+1
1+
x n
n
x n
n .
La funzione exp : R ! R ha le seguenti proprietà.
(1) exp(x) > 0 per ogni x 2 R.
1
(2) exp( x) =
per ogni x 2 R (in particolare exp(0) = 1).
exp(x)
(3) (Proprietà di omomorfismo) Per ogni x, y 2 R vale exp(x + y) = exp(x) exp(y) .
(4) (Disuguaglianza dell’esponenziale naturale) Per ogni x < 1, x 6= 0 si ha
(2.2)
1 + x < exp(x) <
1
1
x
(per x = 0 vale l’uguaglianza; e la prima disuguaglianza vale per ogni x 6= 0).
(5) (Stretta crescenza) Se x < x0 allora exp(x) < exp(x0 ) .
Figura 2.2: Le disuguaglianze fondamentali dell’esponenziale e del logaritmo naturali.
Dimostrazione. Usando la disuguaglianza tra le medie aritmetica e geometrica (vedi pag. 26) con n + 1 al
posto di n e con a1 = · · · = an = 1 + nx e an+1 = 1 (si noti che tutti gli ai sono > 0 e non tutti uguali se
x 6= 0) si mostra subito che en (x) è crescente per n > x, dunque definitivamente crescente. Quanto alla
2
limitatezza, se n > |x| si ha 0 < 1 nx2 < 1, da cui 0 < (1 + nx )(1 nx ) < 1, da cui (elevando alla n) si
ha 0 < (1 + nx )n (1 nx )n < 1, ovvero en (x) = (1 + nx )n < (1 nx ) n ; notando che (1 nx )n = (1 + ( nx) )n
è crescente se n > ( x) = x (dunque lo è se n > |x|), si ha che la successione al secondo membro
(1 nx ) n è decrescente, e ciò prova che en (x) è superiormente limitata (da uno qualsiasi degli elementi della
Corrado Marastoni
74
Esponenziale
naturale
Analisi Matematica I
successione di destra con n > |x|). Dunque en (x), essendo definitivamente crescente e limitata, converge a
exp(x) := sup{(1+ nx )n : n 2 N} 2 R in base alla Proposizione 2.2.6. Passiamo alle proprietà. (1) Se n > |x|
vale 0 < (1+ nx )n < exp(x). Dando poi per buona (3) (la proprietà di omomorfismo), (2) ne discende subito
(infatti en (0) è la costante 1 e dunque exp(0) = 1, e poi exp(x) exp( x) = exp(x + ( x)) = exp(0) = 1,
da cui la tesi). Per (4): se x > 1 e x 6= 0 sappiamo che (en (x))n2N è crescente fin da subito (infatti
lo è per n > x, dunque per n
1), da cui e1 (x) = 1 + x < exp(x); la stessa cosa vale ovviamente se
x < 1 (il primo membro è negativo, il secondo positivo per (1)). Sostituendo x con x si ottiene allora
che 1 x < exp( x) per ogni x 6= 0; se x < 1 il primo membro è positivo, dunque passando ai reciproci e
usando (2) si ricava exp(x) < 1 1 x , come si voleva. Infine (5): se t := x0 x > 0 si ha exp(t) > 1 + t > 1,
ovvero exp(x0
x) > 1, ovvero (ricordando (3) e (2))
exp(x0 )
exp(x)
> 1, da cui subito la tesi.
In particolare, per x = 1 si ha il numero di Nepero, che dimostreremo essere irrazionale:
Numero di
Nepero
e := exp(1) = lim(1 + n1 )n = 2, 7182818 · · ·
Poggiando su questa definizione del tutto naturale della funzione exp(x), si possono ricavare definizioni altrettanto naturali di altre funzioni elementari. Ad esempio, poiché exp
è strettamente crescente e si ha exp(R) =]0, +1[,(62) la funzione exp : R ! R>0 è una
biiezione, la cui inversa (anch’essa strettamente crescente)
log : R>0 ! R
è detta logaritmo naturale. Le proprietà del logaritmo naturale (ovvero log(xx0 ) = log x +
log x0 e log(x↵ ) = ↵ log x) discendono da quelle dell’esponenziale. Da (2.2) si ricava
facilmente(63) la disuguaglianza fondamentale del logaritmo
(2.3)
x
< log(1 + x) < x
1+x
per ogni x >
1, x 6= 0.
Inoltre, dati ↵ 2 R e a > 0 si possono definire le funzioni potenza reale
x↵ : R>0 ! R>0 ,
Potenza reale
x↵ := exp(↵ log x)
(da cui, per x = e, la notazione alternativa e↵ = exp(↵)), l’esponenziale di base a
ax : R ! R>0 ,
Esponenziale
di base a
ax := exp(x log a) ;
e, se a > 0 e a 6= 1, il logaritmo di base a
loga : R>0 ! R,
Logaritmo
naturale
Logaritmo
di base a
loga x :=
1
log x .
log a
Successioni e topologia Diamo ora alcune utili caratterizzazioni di chiusura, accumulazione e compattezza ottenute con l’uso delle successioni.
(62)
Si mostra usando la disuguaglianza (2.2) e la continuità dell’esponenziale, che vedremo più tardi.
Applicando il logaritmo (crescente) ai due membri di 1 + x < exp(x) in (2.2) si ricava log(1 + x) < x,
che è la parte destra di (2.3); quanto all’altra metà di (2.3), se in exp(⇠) < 1 1 ⇠ di (2.2) con ⇠ < 1 e ⇠ 6= 0
x
x
si sostituisce ⇠ = 1+x
(sarà allora x > 1 e x 6= 0) si ottiene exp( 1+x
) < 1 + x, e basta ancora applicare il
logaritmo.
(63)
Corrado Marastoni
75
Analisi Matematica I
Proposizione 2.2.10. Sia A un sottoinsieme di R.
e è di chiusura per A se e solo se esiste una successione di elementi
(1) Un punto x0 2 R
di A che ha limite x0 .
e è di accumulazione per A se e solo se esiste una successione di
(2) Un punto x 2 R
0
elementi di A tutti distinti da x0 che ha limite x0 .
(3) A è compatto(64) se e solo se è “sequenzialmente compatto”, ovvero ogni successione
di elementi di A ammette un sottosuccessione convergente ad un punto di A.
Dimostrazione. (1) Necessità: supponiamo per iniziare che x0 2 R. Se x0 è di chiusura per A si ha che
per ogni n 2 N vale Bx0 ( n1 ) \ A 6= ?, ovvero per ogni n 2 N esiste xn 2 A tale che |xn x0 | < n1 : ma
allora la successione (xn ) (fatta di punti di A) converge a x0 . Nel caso ad esempio in cui x0 = 1, se x0
è di chiusura per A si ha che per ogni n 2 N vale ] 1, n[\A 6= ?, ovvero per ogni n 2 N esiste xn 2 A
tale che xn < n: ma allora la successione (xn ) (fatta di punti di A) converge a 1. Sufficienza: se
esiste una successione (xn ) di elementi di A che converge a x0 , tale successione entra definitivamente in
ogni intorno di x0 : perciò per ogni V intorno di x0 si ha V \ A 6= ?, ovvero x0 è di chiusura per A. (2)
Dimostrazione simile a quella per la chiusura. (3) Necessità: sia A compatto, e sia (xn ) una successione
di elementi di A. Poiché A è limitato, tale è anche la successione, e dunque (Proposizione 2.2.7) essa
ammette una sottosuccessione convergente, diciamo a x0 2 R: essendo però A anche chiuso, per (1) si
avrà x0 2 A. Dunque A è sequenzialmente compatto. Sufficienza: sia A sequenzialmente compatto. Se
A non fosse chiuso, esisterebbe qualche punto x0 2 R di chiusura per A e che non sta in A, e per (1)
esisterebbe una successione (xn ) di elementi di A che converge a x0 ; se A non fosse limitato, esisterebbe
una successione x0n di elementi di A che diverge a +1 oppure a 1. Ma allora (Proposizione 2.2.3)
nessuna delle sottosuccessioni di (xn ) e di (x0n ) potrebbe convergere a un elemento di A, e ciò negherebbe
la compattezza sequenziale di A. Dunque A è sia chiuso che limitato, ovvero compatto.
Sul calcolo dei limiti di successioni in forma indeterminata Vediamo ora alcune tecniche che aiutano a semplificare il calcolo dei limiti di successioni. Ad esempio, il
seguente criterio è spesso utile.
Proposizione 2.2.11. (Criterio del rapporto per le successioni) Sia an > 0 tale che
l = lim an+1
an esista (in R 0 oppure +1). Se 0  l < 1 allora (an )n2N è infinitesima; se
l > 1 allora (an )n2N diverge a +1; se invece l = 1 non si sa dire nulla in generale.
Dimostrazione. Se 0  l < 1 la successione (an )n2N diventa decrescente da un certo N in poi; essendo
inferiormente limitata (da 0) essa ammette limite a = lim an = inf n N an 2 R 0 , e passando al limite
a
nell’identità an+1 = n+1
an si ottiene a = la, da cui a = 0. Similmente, se l > 1 la successione (an )n2N
an
diventa crescente da un certo N in poi, e dunque essa ammette limite a = lim an = supn N an 2 R>0 [
a
{+1}, e passando al limite nell’identità an+1 = n+1
an si ottiene a = la, da cui stavolta a = +1. Tali
an
ragionamenti non si applicano se l = 1, caso in cui non si sa dire nulla in generale: ad esempio, per an = n1 ,
n
bn = n+1
e cn = n si ha sempre l = 1, ma la successione (an )n2N è infinitesima, (bn )n2N tende a 1 mentre
(cn )n2N diverge a +1.
Esempi. (1) Fissato un ↵ 2 R, la successione geometrica di ragione ↵ è data da an = ↵n (ovvero, a1 = ↵,
a2 = ↵2 , ...). Se ↵ = 0 essa è ovviamente la successione costante nulla; se |↵| < 1 essa è infinitesima e se
|↵| > 1 essa diverge a 1 (infatti lim
|an+1 |
|an |
= |↵|). Infine, se ↵ = 1 si ha la successione costante 1, mentre
1 si ha la successione alternante ( 1)n , che è indeterminata.
⇣ (2)
⌘q Per ogni ↵ > 1 ed ogni q 2 N
n
a
↵n
n
vale lim nq = +1: infatti, posto an = ↵nq si ha lim n+1
=
lim
↵
= ↵ > 1. (3) Per ogni ↵ > 0
an
n+1
se ↵ =
(64)
cioè, lo ricordiamo, chiuso e limitato.
Corrado Marastoni
76
Analisi Matematica I
vale lim
an =
n!
nn
↵n
n!
= 0: infatti, posto an =
si ha lim
an+1
an
=
n
lim( n+1
)n
↵n
n!
an+1
↵
= lim n+1
an
1 n
) ) 1 = 1e < 1.
n
si ha lim
= lim((1 +
= 0. (4) Vale lim
n!
nn
= 0: infatti, posto
Come detto in precedenza, il calcolo di limiti è agevolato se già ora si usa la continuità
di alcune funzioni elementari (potenza, esponenziale, logaritmo, trigonometriche, e loro
somme, prodotti e quozienti) che proveremo più avanti. In generale, usare la continuità di
una funzione f (x) di variabile reale x significa che se bn ! ` 2 R allora f (bn ) ! f (`) 2 R
(ove “f (`)” è inteso anche nel senso di “limite di f (x) quando x tende a `”: dunque ad
esempio se bn ! 1 allora exp(bn ) ! 0+ ; se bn ! 0+ allora log(bn ) ! 1; se bn ! +1
allora exp(bn ), log(bn ) ! +1).
Esempi. (1) La successione an =
p
n
1
2 = 2 n tende a 1: infatti
1
n
è infinitesima, e poi si usa la continuità
x
dell’esponenziale f (x) = 2 per concludere che allora an tende a 20 = 1. (Altro modo per dimostrare
p
questo limite: usando la continuità dell’esponenziale e del logaritmo si ha che an = n 2 tende a 1 se e
solo se log an tende a log 1 = 0: ma quest’ultima cosa è chiara, perché log an = (log 2) n1 (la successione
infinitesima moltiplicata per la costante log 2). (2) La successione an = log sin
è infinitesima, dunque (continuità del seno) sin
2
(3) La successione an = log(n + 1)
diventa an = log
an tende a log
1
2
n2 +1
,
2n2
e poiché
1
n2
1+ 12
=
n
2
tende a
1
,
2
1
n2
1.
1; usando la proprietà del logaritmo essa
usando la continuità di log si ricava che allora
log 2. (4) La successione an = exp(n3
=
1: infatti
tende a
! 0+ , dunque (continuità del logaritmo) an !
2 log n è della forma +1
n2 +1
2n2
1
n2
6n) tende a +1: infatti n3
dunque (continuità dell’esponenziale) an ! +1.
6n ! +1,
È utile anche il seguente risultato:
Proposizione 2.2.12. (Cesaro) Date un e vn con vn > 0 e lim(v1 + · · · + vn ) = +1 ,
n
se esiste lim uvnn allora esiste anche lim uv11 +···+u
+···+vn ed è uguale a esso. Ad esempio:
n
(i) Se esiste lim an , allora esiste anche lim a1 +···+a
ed è uguale a esso.
n
allora esiste anche lim bnn ed è uguale a esso.
p
(iii) Se cn 0 e esiste lim cn , allora esiste anche lim n c1 · · · cn ed è uguale a esso.
p
n
(iv) Se dn > 0 e esiste lim dn+1
dn ed è uguale a esso.
dn , allora esiste anche lim
(ii) Se esiste lim(bn
bn
1) ,
Dimostrazione. Non diamo la dimostrazione dell’enunciato principale; notiamo che (i) ne segue ponendo
un = an e vn = 1, mentre (ii) segue da (i) con a1 = b1 e an = bn bn 1 per n 2, e (iii) e (iv) seguono
da (i) e (ii) con an = log cn e bn = log dn usando la continuità del logaritmo.
Esercizio. Mostrare i seguenti limiti:
(d) lim
p
n
n!
n
=
1
e
;
(e) lim
(a) lim
1k +2k +···+nk
nk+1
=
1
k+1
p
n
n = 1;
(b) lim
log n
n
= 0;
(c) lim
p
n
n! = +1 ;
(ove k 2 N).
Risoluzione. (a-b) La Proposizione 2.2.12 con dn = n dice subito che lim
p
n
n = 1, e lim
log n
n
= 0 ne
segue dalla continuità del logaritmo. Proponiamo tuttavia altre due risoluzioni. (i) Per mostrare che
p
p
lim n n = 1 ci basta mostrare che, preso un qualsiasi " > 0, si ha definitivamente 1  n n < 1 + ",
ovvero (elevando alla n) che 1  n < (1 + ")n . La prima disuguaglianza è ovvia, e la seconda, essendo
(1+")n = 1+n"+ n(n2
è anch’essa vera (infatti
lim
log n
n
2
n(n 1) 2
" = "2 (n2 n) =: bn basta mostrare che n < bn definitivamente,
2
limn!+1 bnn = 0). Applicando log e sfruttandone la continuità, ne discende anche
1) 2
" +· · · >
= 0. (ii) Iniziamo mostrando che
p
n
n è definitivamente decrescente, ovvero che
Corrado Marastoni
p
n
n>
p
n+1
n + 1:
77
Analisi Matematica I
3 (infatti (1 + n1 )n
infatti ciò equivale a nn+1 > (n + 1)n , ovvero n/(1 + n1 )n > 1, e ciò è vero per n
p
tende crescendo a e < 3). Dunque n n è definitivamente decrescente, ma allora tale è anche logn n (ottenuta
applicando log, crescente): pertanto, se vogliamo mostrare che lim
log n
n
= 0 ci basta farlo su una sua
qualsiasi sottosuccessione (Proposizione 2.2.8). Ad esempio consideriamo quella data da ⌫(k) = 2k , ovvero
log 2k
2k
(log 2) (k+1)/2k+1
(log 2) k/2k
= 12 < 1, si ha lim(log 2) 2kk = 0, dunque anche lim logn n = 0,
p
dunque (applicando exp, continuo) anche lim n n = 1. (c) Anche in questo caso la Proposizione 2.2.12
= (log 2) 2kk : poiché lim
permette di concludere subito con dn = n!; alternativamente si può q
ragionare come segue. Se n è pari
p
p
p
pn
n
n
n
n n n
·
·
·
·
1
·
·
·
1
=
, e se n è dispari si
si ha n n! = n n(n 1) · · · n2 ( n2 1) · · · 1
( n2 ) 2 =
2 2
2
2
q
q
q
q
p
pn
n+1
n
n
n n+1 n+1
ha n n! = n n(n 1) · · · n+1
· n2 1 · · · 1
· · · n+1
· 1···1 =
( n+1
) 2 > n ( n2 ) 2 =
,
2
2
2
2
2
2
p
dunque lim n n! = +1 (per il “carabiniere unico”). (d) Proposizione 2.2.12 con dn = nn!n . (e) Proposizione
2.2.12 con un = nk , v1 = 1 e vn = nk+1
(n
1)k+1 , ricordando il binomio di Newton.
Tuttavia, sarà dopo lo studio dei limiti di funzioni di una variabile reale che potremo
allargare considerevolmente la nostra capacità di calcolo di limiti di successioni, perché
quest’ultimo verrà ricompreso come caso particolare del primo.(65)
x
Esempio. (1) Vedremo che lim 1 xcos
= 12 : ne deriverà che, ad esempio, anche le successioni n2 (1
2
x !0
cos n1 ) e e2n (1 cos e n ) (casi particolari del limite precedente, in cui anziché tendere a 0 lungo lungo tutta
la variabile reale x vi si tende lungo le particolari successioni infinitesime x0n =
1
.
2
(2) Per mostrare che lim n log(1 + n1 ) = 1 basta ricordare la
1/n
per x = n1 , ovvero 1+(1/n)
< log(1 + n1 ) < n1 : moltiplicando
e il limite segue per i due carabinieri. Per mostrare lim n(e
1
n
1
n
e x00n = e
n
) tendono a
disuguaglianza fondamentale del logaritmo
per n si ottiene
n
n+1
< n log(1 +
1
)
n
< 1,
1) = 1 si procede analogamente usando
la disuguaglianza fondamentale dell’esponenziale. Ma anche questi due limiti discenderanno subito come
conseguenza dei limiti in variabile reale limx!0
log(1+x)
x
= 1 e limx!0
ex 1
x
= 1.
(65)
In e↵etti, aver introdotto il limite per la variabile naturale (ovvero per le successioni) anziché fin da
subito per la variabile reale ha una valenza soprattutto educativa. La nozione di limite è più comprensibile
e ricca di sfumature se introdotta prima per le successioni e solo poi ampliata alle funzioni di variabile reale:
va notato infatti che l’uso delle successioni, come vedremo, fornisce esso stesso una definizione alternativa
di limite per le funzioni di variabile reale.
Corrado Marastoni
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