Politecnico di Bari
Registro delle lezioni del corso di Analisi Matematica II (L-Z) - 6 CFU
Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale – D.M. 270/04 - Bari
A. A. 2012/2013
Docente: Luigi Sportelli
Note
1.
2.
Per le parti in grassetto è richiesta la dimostrazione.
La numerazione eventualmente presente nelle definizioni, nei teoremi e negli esempi fa riferimento al testo: M.
Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edizione, McGraw-Hill, 2011.
Data
06-03-2013
08-03-2012
13-03-2013
N. ore
0
0
2
15-03-2013
0
20-03-2013
2
22-03-2013
2
Funzioni di più variabili a valori reali: primi esempi. L’insieme di livello.
Definizione di continuità e relativi criteri. Definizione di limite per funzioni a valori reali.
27-03-2012
2
27-03-2012
2
Funzioni discontinue: esempi 10.15, 10.16 e 10.17. Definizione di insieme denso. Definizione di limite per funzioni vettoriali. Definizione 10.9
(Continuità). Esempi introduttivi sui limiti di funzioni di due variabili.
Uso dei teoremi di carattere generale per il calcolo dei limiti: esempi.
Restrizione di una funzione a una curva e non esistenza del limite. Uso di
maggiorazioni con funzioni radiali per provare l’esistenza del limite.
Esempi.
Richiami sul simbolo o(1) e relative regole di calcolo. Prima formula
dell’incremento finito. Esempi 10.14, 10.18, 10.19 e 10.20. Esercizio
10.16 e). Ulteriori esempi di calcolo di limiti.
Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass, definizione di
uniforme continuità e teorema di Hein-Cantor. Definizione di funzione
lipschitziana. Derivata parziale di una funzione di due variabili. Definizione di gradiente. Esempi. Definizione di derivata direzionale. Esempio
11.1.
Calcolo di derivate parziali: esempi 11.2 e 11.3. Proprietà elementari delle derivate direzionali. Regola della catena. Esempio 11.4. Differenziabilità di funzioni a valori scalari: definizione e Teorema 11.4 (Continuità e
derivabilità delle funzioni differenziabili. Formula del gradiente).
Osservazioni sulle funzioni differenziabili. Esempi 11.7 e 11.8. Piano
tangente. Direzione di massima e minima crescita. Teorema del differenziale totale. Esempio 11.11. Definizione di funzioni di classe C1. Teorema del valore medio.
(Recupero,
14:10-15:50)
04-04-2013
2
(Recupero,
14:10-15:50)
05-04-2013
2
10-04-2013
2
11-04-2013
2
(Recupero,
14:10-15:50)
Argomento
Lezione non svolta.
Lezione non svolta.
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Base canonica, prodotto scalare, norma euclidea, distanza e prodotto esterno. Intorno sferico. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi.
Lezione non svolta.
La lezione è stata annullata per lo svolgimento delle prove scritte/grafiche degli Esami di Stato per l’abilitazione all’esercizio della professione di Ingegnere – Seconda Sessione 2012.
Esempi sugli insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati. Insiemi limitati e compatti. Insiemi convessi e connessi. Funzioni di più
variabili a valori reali: definizioni.
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Data
12-04-2013
N. ore
2
17-04-2013
2
19-04-2013
2
24-04-2013
2
26-04-2013
2
02-05-2013
2
(Recupero,
14:10-15:50)
03-05-2013
2
15-05-2013
2
15-05-2013
2
(Anticipo lezione del 1906-2013,
14:10-15:50)
17-05-2013
2
Argomento
Precisazioni sullo studio della differenziabilità con l’uso della definizione. Integrali dipendenti da un parametro. Teorema 11.9 (Passaggio al limite sotto integrale). Teorema 11.10 (Derivazione sotto integrale). Derivate di ordine superiore. Funzioni k volte differenziabili. Esempio 11.14.
Teorema di Schwarz. Matrice hessiana. Esempio 11.15. Polinomio di
Taylor di ordine 2. Formula di Taylor con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Esempio 11.16.
Definizioni d’insieme convesso e di funzione convessa. Teorema 11.17
(Regolarità delle funzioni convesse). Teorema 11.18 (Convessità e piano
tangente). Teorema 11.19 (Convessità di f in un insieme convesso e aperto). Teorema 11.20 (Convessità e matrice hessiana). Corollario 11.21
(Convessità e matrice hessiana per n=2). Caratterizzazione delle forme
quadratiche mediante gli autovalori.
Definizione di punto critico. Teorema di Fermat. Definizione di punto di
sella. Studio degli estremi liberi di funzioni a valori scalari. Esercizi di
riepilogo sullo studio degli estremi di una funzione.
Esempio 11.24. Esercizio di riepilogo sulla differenziabilità. Metodo dei
moltiplicatori di Lagrange.
Esercizi sul calcolo di massimi e minimi vincolati col metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori
vettoriali: derivata direzionale e definizione di funzione differenziabile,
teorema sulla continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili, matrice jacobiana e regola della catena. Definizioni di curva e di sostegno di
una curva. Definizioni di curva chiusa, curva semplice e curva piana. Definizione di curva di Jordan.
Equazioni parametriche di una curva. Sostegno di una curva: esempi (retta, circonferenza, ellisse). Differenziabilità di una curva. Vettore velocità. Vettore accelerazione. Velocità scalare. Accelerazione scalare. Retta
tangente, vettore tangente e versore tangente. Curve regolari e regolari a
tratti. Integrabilità di funzioni vettoriali. Curve rettificabili. Lunghezza di
una curva di classe C1 come integrazione della velocità scalare
nell’intervallo temporale.
Teorema 12.10 (Lunghezza di una curva). Definizione di curve equivalenti. Ascissa curvilinea (parametro d’arco). Esempio 12.8. Densità lineare e massa di un filo curvilineo. Definizione di integrale curvilineo di
1a specie. Esempio 12.10 b). Definizione di forma differenziale lineare o
forma differenziale associata a un campo vettoriale. Definizione di integrale curvilineo di 2a specie. Esempi 12.11 e 12.12.
Teorema 12.14 (Curve equivalenti di classe C1 e relazioni fra i rispettivi
integrali curvilinei). Definizioni di forma differenziale esatta e di funzione potenziale. Teorema 12.16 (Indipendenza dal cammino d’integrazione
della funzione potenziale). Teorema 12.17 (Caratterizzazione delle forme
differenziali di classe C(E)). Definizione di campo conservativo. Definizione di forma differenziale chiusa. Le forme esatte di classe C1 sono
chiuse (ma il viceversa è falso). Esempio 12.14. Definizione di rotore di
un campo vettoriale. Costruzione del potenziale.
Esempi 12.16 e 12.17. Insiemi semplicemente connessi. Esempi. Teorema 12.21 (Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte). Esempio 12.19. Esercizi 12.9 a) e 12.10. Ulteriori esercizi di fine capitolo.
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Data
22-05-2013
N. ore
2
22-05-2013
2
(Anticipo lezione del 2106-2013,
14:10-15:50)
24-05-2013
2
29-05-2013
2
29-05-2013
2
(Anticipo lezione del 2606-2013,
14:10-15:50)
31-05-2013
2
05-06-2013
2
05-06-2013
2
(Anticipo lezione del 2806-2013,
14:10-15:50)
07-06-2013
2
12-06-2013
2
Argomento
Cicloide. Considerazioni conclusive su curve e integrali curvilinei. Integrabilità in senso improprio. Criteri di convergenza: criterio del confronto. Esempi.
Assoluta integrabilità in senso improprio. Esempio: 8.45 (Integrabilità in
senso improprio non implica assoluta integrabilità in senso improprio).
Integrali doppi su rettangoli. Definizione di suddivisione. Definizioni di
funzione integrabile e di integrale. Teorema 14.3 (Criterio di integrabilità). Teorema 14.4 (Se f è continua allora f è integrabile). Teorema 14.5
(Proprietà dell’integrale). Teorema 14.6 (Formule di riduzione su rettangoli).
Formula per le funzioni a variabili separate. Esempi 14.2 e 14.4. Integrali
doppi: il caso generale. Definizione di misura secondo Peano-Jordan.
Teorema 14.9 (Misurabilità di un insieme limitato). Teorema 14.10 (Caratterizzazione degli insiemi di misura nulla). Teorema 14.15 (Additività
rispetto al dominio di integrazione). Domini semplici (o normali) rispetto
a un asse. Teorema 14.17 (Formule di riduzione per domini semplici).
Esempio 14.6. Ulteriori esempi. Teorema 14.18 (Integrabilità per
l’unione di domini semplici). Cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi: approccio euristico. Teorema 14.19 (Cambiamento delle variabili di integrazione).
Coordinate polari. Corollario 14.20 (Cambiamento delle variabili di integrazione: coordinate polari). Esercizi. Esempio 14.22 (Funzione di
Gauss). Definizione di divergenza.
Richiami sulla definizione di rotore. Il teorema della divergenza nel piano. Teorema 16.1 (Formule di Green per domini semplici). Esempio
16.1. Definizione 16.2 (Dominio regolare a tratti). Teorema 16.3 (Formule di Green per domini regolari a tratti). Corollario 16.4 (Conseguenze delle formule di Green). Esempio 16.2. Teorema 16.5 (Teorema
della divergenza nel piano). Esempio 16.3. Teorema 16.6 (Teorema del
rotore nel piano).
Esempio 16.4. Teorema 16.9 (Teorema del rotore o di Stokes nello spazio). Il linguaggio delle forme differenziali. Operatori differenziali ed
equazioni di Maxwell. Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma
implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti.
Equazioni lineari del primo ordine. Teorema 17.1 (Soluzione generale
della omogenea e soluzione del problema di Cauchy). Esempio 17.2.
Teorema 17.2 (Soluzione generale di equazioni lineari del primo ordine).
Calcolo della soluzione particolare dell’equazione non omogenea: variazione della costante (metodo di Lagrange). Teorema 17.3 (Struttura
delle soluzioni dell’equazione non omogenea). Esempio 17.3. Equazioni e sistemi in forma normale. Equazioni del primo ordine a variabili
separabili.
Esempio 17.9. Esempio 17.10. Risultati di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Teorema 17.4 (Esistenza e unicità del problema di
Cauchy). Esempio 17.11. Teorema 17.15 (Esistenza globale). Equazioni
lineari del secondo ordine. Teorema 17.7. Definizione di soluzioni linearmente indipendenti.
Determinante wronskiano. Lemma 17.9 (Determinante wronskiano e indipendenza). Teorema 17.10 (Struttura dell’integrale dell’equazione liPagina 3 di 4
Data
N. ore
14-06-2013
2
14-06-2013
2
Argomento
neare del secondo ordine). Equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Teorema 17.11 (Soluzione generale equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti).
Esempio 17.15. Esercizio 17.1 d).
Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti. Esempio 17.16. Esercizio 17.1 f).
Esercizi 17.3, 17.5 a), 17.5 c). Altri esercizi di riepilogo.
(Lezione aggiuntiva,
11:50-13:30)
Totale ore
62
Il corso si è concluso in data 14 giugno 2013.
Il docente
Luigi Sportelli
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