La struttura a Termine dei
Tassi d’interesse
Idee fondamentali
Il tempo è rischio, quindi 100 domani non valgono 100 oggi.
Ergo si deve attualizzare, ossia trovare il valore attuale dei 100 domani.
Tuttosi compara al valore di oggi.
Domande
•Quali tassi?
•Come si calcolano dai prezzi del mercato?
•Cosa si può dire sui tassi nel futuro?
•Che significano gli spread sui tassi?
Tipologie di strutture
●
Tipi di curve dei tassi
–
–
–
Zero Curve
Yield Curve
Par Yield Curve
Tassi Zero
●
Alcune definizioni
–
–
il tasso zero (tasso spot) per la scadenza T è il
tasso di interesse relativo ad un investimento
effettuato oggi e rimborsato interamente in T
senza pagamenti intermedi.
La curva dei tassi zero è una curva che esprime
la relazione tra i tassi spot e le varie scadenze.
Tassi Zero: un esempio
Maturity
(years)
0.5
Zero Rate
(% cont comp)
5.0
1.0
5.8
1.5
6.4
2.0
6.8
Tassi zero e pricing di bond
●
●
Attualizzazione dei flussi di cassa a seconda
delle scandenze
Es. Un bond a 2 anni con coupon semestrale
e intersse del 6%
–
Capitalizzazione continua
3 e−0.05∗0.5 3 e−0.058∗1.03 e−0.064∗1.5
−0.068∗2.0
103 e
=98.39
–
Capitalizzazione discreta
3
3
3


 10,050,5 10,058 1,0  10,064 1,5
103

=98.79
 10,068 2,0
Tassi Yield
●
●
Lo yield di un bond è il suo tasso di rendimento
interno ossia il tasso che utilizzato per attualizzare
tutti i flussi futuri fornisce il prezzo di mercato del
bond
Es. Bond price = 98,39
– Capitalizzazione continua
3 e−y∗0.5 3 e−y∗1.03e−y∗1.5103 e−y∗2.0 =98.39
–
Yieldcont=6,807%
Capitalizzazione discreta
3
3
3
103



=98.79
0,5
1,0
1,5
 1 y 
 1 y 
 1y 
 1y 2,0
Yield = 7,04%
Tassi Par Yield
●
●
Il tasso Par yield è il tasso di interesse della cedola
al quale un bond dovrebbe essere venduto at par
Es
c −0.05×0. 5 c −0. 058×1.0 c −0. 064×1.5
e
 e
 e
2
2
2
c −0. 068×2.0
 100 e
=100
2
implica c=6.87con composizione continua
 
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Come costruiamo la curva dei tassi?
•I requisiti/proprietà
–Additività
–Attinenza al mercato
–Continuità (della curva)
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Attinenza al mercato (present value): devo riprodurre
i valori osservati sul mercato valutando
N
P =∑ k=1 F 0,k C k
dove F è il fattore di sconto per il tempo k (caso discreto)
1
F 0, k =
T
1i 0, T 
k
e Ck il cash-flow
k
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Nel caso di zero coupon ( T minore di circa 1y)
N⋅F 0,k =P k
1
F 0, k =
T
1i 0,k 
k
dove Pk è il prezzo dello strumento con scandenza al
tempo k
e N è il suo nominale (valore facciale)
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Per le altre scadenze dove non ci
sono gli zero-coupon si usa la tecnica
del Bootstrapping
–Definizione
–Metodologia
–Applicazioni
–Descrizione del modello
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
–Definizione
•E’ un metodo di stima induttiva della struttura dei tassi
zero mediante le osservazioni delle quotazioni degli
strumenti finanziari trattati sul mercato.
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
–Metodologia
–Il metodo del bootstrapping permette di ricavare
la struttura dei tassi, riferita ad un set di strumenti
finanziari attraverso:
• calcolo dei fattori di sconto associati ai vari strumenti
utilizzando i rispettivi flussi e valori di mercato (Prezzi)
•calcolo dei rispettivi tassi di interesse
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
–Metodologia:
•il calcolo dei fattori di sconto avviene effettuando il
prodotto tra la matrice inversa dei flussi ed il vettore dei
rispettivi prezzi (in valore assoluto);
•il calcolo dei tassi zero dai fattori di sconto utilizzando :
capitalizzazione composta;
capitalizzazione semplice.
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Metodologia, dati due bond uno a 1Y ed uno a
2Y:
F0,2Y
t0
F0,1Y
N R2Y
1Y
(N+N R2Y)
2Y
F 0,1Y N1Y =P 1Y
F 0,1Y N2Y R2Y F 0,2Y N2Y N2Y R2Y =P 2Y
1 P 2Y −N2Y R2Y⋅F 0,1Y
F 0,2Y =
N 2Y 1R2Y
1−R2Y F 0,1Y
F 0,2Y =
1R2Y
par yield
Proprietà e Metodi di costruzione delle
curve dei tassi
Più in generale con molte scadenze (che per
semplicita supponiamo annuali) si ha
F 0,1Y N1Y =P 1Y
F 0,1Y N2Y R2Y F 0,2Y N2Y N2Y R2Y =P 2Y
F 0,1Y N3Y R3Y F 0,2Y N3Y R3Y F 0,3 Y N3Y N3Y R3Y =P 3Y
...
F 0,1Y NnY RnY F 0,2 Y NnY RnY ....F 0, nY NnY NnY RnY =P nY
Possiamo scrivere in maniera più compatta
m
∑k =1 F 0, k C k , m= P m
C k , m = R m N m k m ;
∀m
C m , m =1 R m  N m
dove C sono i cash flow
Proprietà e Metodi di costruzione delle
curve dei tassi
L'espressione precedente può esser generalizzata
a scadenze non annuali e a cedole non annuali
e scritta in maniera più compatta in forma matriciale
Come
T
T
F C =P
F vettore con n tempi ; P vettore con m prezzi ;
C matrice n x m dei cash− flow
E se m=n risolta per i fattori di sconto come
F =C
−1T
P
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Esempio
–Portafoglio di bonds
Instruments description
ID
B1Y
B2Y
B3Y
coupon
coupon freq maturity price
7%
12
1
100
7,50%
12
2
100
7,50%
12
3
100
Interpolazione
Siccome non si osservano tutte le maturità
e voglimo una curva continua dobbiamo
interpolare i dati ottenuti
● Lineare
● Esponenziale
● Spline
● Svensson
FS  x, z   z1   z2  z3 x  e  z5 x  z4 xe  z6 x
Duration
E' la sensibilità del prezzo al variare degli
interessi (yield)
1 dP − D
=
~−D
P d y 1 y
Ma anche una “durata temporale” media
Ck / P
Ck / P
1 d P −1
=
T

D=
∑ 1 y T k
∑ 1 yT T k
P d y 1 y
k
k
Ck/ P
si noti come ∑
=1
T
1 y k
Duration
Esempio: Obbligazione con i=0.04 N=1 e pagamento annuale
di durata 30y
• y=0.03 P=1.196 D=19.06
P(0.04)= P (1-D /(1+0.03)*0.01)=0.97466
• y=0.04 P=1.000 D=17.94
P(0.03)= P(1+D/1.04*0.01)=1.1729
P(0.05)= P(1-D/1.04*0.01)=0.8708
• y=0.05 P=0.8463 D=16.89
P(0.04)=P(1+D/1.05*0.01)=0.9824
NOTATE L'ERRORE DOVUTO AL PRIM'ORDINE
Duration
#source(filename)
function [P,D] = D(rate,years,deltaT,y)
%rate = rate of interest of coupon
%years = years to maturity
%deltaT= how many years between the payment of two coupons
%y = yield
P=0; D=0;
y *= deltaT;
rate *= deltaT; years /= deltaT
for t=1:deltaT:years
P += rate/(1+y)^t;
D += t* rate/(1+y)^t;
#
printf('t=%i P=%f D=%f\n',t,P,D);
endfor
% add the nominal
P += 1/(1+y)^years;
D += years*1/(1+y)^years;
%normalize D
D *= deltaT/P;
endfunction
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
Complicazioni: il calcolo dei fattori di sconto mediante la
formula
F =C
−1T
P
implicazioni sul numero di scadenze su cui sono definiti i
flussi degli strumenti m=n!
Problema di omogeneita’ tra numero di strumenti con
numero di scadenze m≠ n
Soluzione: CLUMPING.
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Clumping
–Definizione
–Garanzie
–Applicazione
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Clumping
•Definizione
Il clumping è una tecnica che consente di riprodurre un
flusso di cassa posto su di una scadenza mediante due
flussi di cassa teorici con scadenze diverse.
Flusso originale
Flusso rimappato
Data Grid
Data Grid
t
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Clumping
–Garanzie:
•L’applicazione del clumping ad un set di flussi
preserva:
•il valore di mercato del portafoglio;
•l’esposizione al rischio del portafoglio rispetto ai fattori
di sconto della term structure.
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Clumping
•Dato un flusso C definito su una scadenza t, la tecnica
del clumping consente di riesprimere tale flusso in due
flussi:
F = C F =1−C
1
2
definiti rispettivamente sulle scadenze t 1 e t 2 tali che t1 <
t <t2.
–Il peso α è funzione delle scadenze t, t1 e t2 (se la
correlazione è uguale a 1):
=
t 2−t
t 2−t 1
1−=
t−t 1
t 2−t 1
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
L'espressione precedente si ottiene
interpolando linearmente la volatilità
=  11−  2
e poi uguagliando la volatilità interpolata a
quella del portafoglio composto dai due flussi
di cassa ( e supponendo che 1 2=1 ).
2
 =Var []
Proprietà e Metodi di costruzione delle curve
dei tassi
•Clumping
–Esercizio numerico:
•rispetto della condizione di sensitività rispetto ai fattori
di sconto;
•rispetto della condizione di valore
–Flusso originale 80 sulla scadenza 2Y da rimappare sulle
scadenze 1Y e 3Y
Tassi forward impliciti
–
–
–
–
–
Definizione
Modalita’ di calcolo uniperiodale
Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo
Modalita’ di calcolo multiperiodale
Esempio
●
●
●
Struttura crescente
struttura decrescente
struttura prima crescente poi decrescente
Tassi forward impliciti
●
Definizione
i tassi forward impliciti in una data struttura a
termine f (t, t1, t2) sono i tassi d’interesse
determinati in data spot (t), ma riferiti ad un
intervallo temporale che comincia in data
successiva (t1) alla data spot e termina in data
ulteriormente successiva (t2)
Tassi forward impliciti
●
Modalita’ di calcolo uniperiodale
– i tassi forward impliciti in una data
struttura a termine f (t, t1, t2) vengono
calcolati in base alla seguente formula:
1f t ,t 1, t 2 =
[
t 2−t
1i t ,t 2 
t 1−t
1i t ,t 1 
]
1
t 2−t 1
Tassi forward impliciti
●
Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo
il tasso a termine = aspettative di mercato
del valore a pronti del tasso su quella
scadenza
assenza di arbitraggio
Tassi forward impliciti
●
Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo
–
Assenza di arbitraggio
se tasso a termine < aspettative
operatore acquisterebbe a termine facendo salire il prezzo a
termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)
se tasso a termine > aspettative
operatori venderebbero a termine facendo scendere il prezzo a
termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)
Tassi forward impliciti
●
Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo
–
il tasso forward viene determinato in modo tale
che risultino indifferenti:
●
●
un investimento unitario da t a t2 al tasso spot i(t,t2)
un investimento unitario da t a t1 al tasso spot i (t,t1)
il cui montante viene reinvestito da t1 a t2 al tasso
forward implicito
1i t , t 2 
t 2 −t
=1i t , t 1 
t 1−t
t 2 −t 1
1 f t , t 1, t 2 
Tassi forward impliciti
●
Modalita’ di calcolo multi periodale
–
–
Periodi: i = 0…n-1
Durata periodi:
k i = ti +1 − ti
i(t0,tn) = Tasso spot riferito all’intervallo (t0,tn)
f(t0, ti, ti+1 ) = Tasso forward riferito all’intevallo ( i, i+1)
t 0−t n
1i t 0, t n 
t 1−t 0
=1i t 0, t 1 
1 f t 0, t 1, t 2 
n−1
t 2−t 1
= ∏i =0 1 f t 0, t i , t i1 
Con:
f (t0 , t0 , t1 ) = i (t0 , t1 )
....1 f t 0, t n−1 , t n 
t i 1 −t i
t n −t n− 1
Spread e Recovery rate
Che significato hanno gli spread nei rendimenti?
Sono collegati alla probabilità di default.
In maniera molto semplificata:
Y yield del risk free
y yield del bond con recovery rate R
R recovery rate (quando si recupera di 100 investito dopo il default)
Q probabilità di default
Allora abbiamo
Ne
−Y T
−yT
−yT
=1−Q N e Q N R e
−Y − y T
1−e
Q=
1− R
Preso da Moody's Ultimate Recovery Database (2006)