Superfici di separazione tra
materiali
1 dicembre 2014
Campi E e D alla superficie di separazione tra due dielettrici
Campi B e H alla superficie di separazione tra due materiali
Campo elettrico
• Supponiamo di avere due dielettrici di costanti 1, 2,
separati da una superficie S
P
1
• Detto P un punto arbitrario di S,
vogliamo trovare la relazione
esistente tra i valori che il campo E, e
il campo D, assumono nei due
dielettrici, nelle immediate vicinanze
di P, sui due lati di S
2
S
2
Campo E alla superficie di
separazione tra due dielettrici
• Consideriamo la circuitazione dK di E su un rettangolo molto
piccolo di base dl e altezza dh, con le basi parallele localmente
in P alla superficie. Per un campo E statico dK è nulla: dK  0
• A dK contribuiscono le basi e le altezze
dK  dK ||  dK 
E1
E2
dl1
1
2
S
P
dl2
dK||  E1 dl1  E 2  dl2
E1| |dl1  E2| |dl1
• Poiché dl2=-dl1, ne seguedK| | 
• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale relativo
tende a zero e rimane
  dK||  E1||  E 2|| dl1
dK
• Ne segue che 
la componente tangenziale del campo
(parallela alla superficie di separazione) è uguale nei
due dielettrici

E1| |  E 2| |
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Campo D alla superficie di
separazione tra due dielettrici
• Consideriamo un cilindro molto piccolo di base dA e altezza dh,
con le basi parallele localmente alla superficie. Il flusso d di D
è proporzionale alla carica libera contenuta nel cilindro, che nel
nostro caso è zero: d  0
• A d contribuiscono la superficie laterale e le basi
D1
D2
dA1
P
dA2

1
2
S
d  d| |  d
d  D1 dA1  D2  dA2

• Poiché dA2=-dA1, ne segue d  D1dA1  D2dA1
• Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale sulla
superficie laterale tende a zero e rimane
d
 d  D1  D2dA1

• Ne segue che la componente
di D normale alla
superficie di separazione è uguale nei due dielettrici

D1  D2
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Rifrazione delle linee di campo
• Abbiamo trovato che
E1| |  E 2| |
D1  D2
• In termini di componenti di E
E1| |  E 2| |
E1
E2
1
n
2
1
2
1E1  2 E 2
• Potremmoscrivere relazioni
analoghe per D
• Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori E1,
 E formano
 con la normale n,
2
abbiamo
E1||
tg1 
E1
E 2||
tg 2 
E 2
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Rifrazione delle linee di campo
E1
E2
1
• Facendone il rapporto
tg1 E1|| E 2|| E1|| E 2|| 1



tg 2 E1 E 2 E1 E 2  2
• Ciò significa che la direzione delle
linee di campo, passando da un
dielettrico all’altro, subisce una

variazione discontinua
• Questo fenomeno prende il nome di
rifrazione delle linee di campo
2
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Campo magnetico
• Come nel caso elettrico, dalle equazioni
 

( B)  0
C H  dl  0
• possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo
all’altro la componente normale di B e tangenziale di
H si conservano
B1  B2
H1| |  H2| |
• Esprimendo la seconda eq. in termini di B

B1||
B2||
   
1
2
7
Rifrazione delle linee di campo
• Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori B1,
B2 formano con la normale n,
abbiamo
B1||
B2||
tg1 
B1
• Facendone il rapporto
B2
1 
2
n
2
1
B1


tg1 B1||

tg 2 B1
tg 2 
B2
B2|| B1|| B2|| 1


B2 B1 B2 2

• La direzione delle linee di campo,
passando da un materiale all’altro,
subisce una variazione discontinua
• Questo fenomeno prende il nome di
rifrazione delle linee di campo
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Rifrazione delle linee di campo
• Se il mezzo 2 è ferromagnetico mentre il mezzo 1 è aria, il rapporto
2 1  r 2 è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che
tg 2  2

 1
tg1 1
B2
2
B1
1
• Ovvero tg2 è molto grande e quindi 2 è
prossimo a /2, anche se1 è piccolo
• Ciò significa che le linee del campo B
internamente al ferromagnete corrono quasi
parallele alla superficie, vengono cioe`
praticamente ‘catturate’ nel materiale
• Questo fenomeno e` molto importante perche’
permette di concentrare le linee di B e quindi di
aumentarne il flusso su una data area
• Inversamente (si pensi di invertire il verso del
campo), le linee uscenti da un ferromagnete
sono praticamente perpendicolari alla sua
superficie
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