Dielettrici (Isolanti)
N.B. nelle operazioni che svolgeremo avremo a che fare con condensatori
carichi. Si può operare in due diverse condizioni:
1) a carica costante: condensatore caricato e poi scollegato dal generatore
2) a potenziale costante: condensatore sempre collegato al generatore
Dielettrici
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Carica costante
Inseriamo una lastra metallica tra le armature di un condensatore carico
lastra metallica
V
V0
Q costante , V < V0, C = Q/V aumenta
Equivale ad un condensatore di separazione tra le due armature d = h-s
Dielettrici
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Inseriamo una lastra di dielettrico (isolante):
(
)
prima, lastra di spessore < separazione fra le armature : V’ < V0 (a)
poi in modo da riempire tutto lo spazio fra le armature Vk < V’ < V0 (b)
Definiamo costante dielettrica (relativa) del dielettrico, k ,il rapporto
Dielettrici
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Allora:
con ε = k ε0 ( costante dielettrica assoluta/ permettività
p
del dielettrico))
e σp = σ0 /k
Calcoliamo l’extra-campo elettrico prodotto dal dielettrico, Ei
Ei =
La χ (chi) si definisce “ suscettività dielettrica”
Dielettrici
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All’i t
All’interno
d l dielettrico
del
di l tt i sii forma
f
un campo elettrico
l tt i (di polarizzazione)
l i
i )
(Ei ) di segno opposto a quello tra le armature del condensatore (E0) , per
cui il campo totale (Ek) decresce. Ek = Eo - Ei
Sulle facce del dielettrico compare una densità di carica, σp, di segno
opposto a quella sulle armature di fronte , ma di valore minore
+
Dielettrici
E0
+ $+
Ei
+
+
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N B Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi,
N.B.
combinarsi
perché quelle sul dielettrico non sono cariche mobili e quelle sulle armature non
possono entrare
t
nell dielettrico
di l tt i che
h è isolante.
i l t
Se moltiplichiamo le σ per l’area delle armature ,Σ, otteniamo le cariche
totali. Quindi da
si ottiene
Dielettrici
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La capacità di un condensatore pieno di dielettrico diventa
In particolare per il condensatore f.p.p. si ha
ε = kε0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico
Tutte le formule viste in precedenza per il condensatore vuoto, valgono anche
per quello
ll pieno
i
di dielettrico,
di l tt i se sii sostituisce
tit i
ε0 con ε.
Dielettrici
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Si definisce Rigidità
g
dielettrica il ppiù elevato valore del campo
p elettrico nel qquale
può trovarsi il dielettrico prima che al suo interno comincino a scorrere delle cariche
(il dielettrico “si buca”)
Dielettrici
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Esempio
Condensatore parzialmente riempito di dielettrico di cost. diel. k
Quanto valgono V’k e Ceq ?
Fuori dal dielettrico campo elettrico è
come nel cond. vuoto E = σ0/ε0 .
Nel dielettrico Ek = σ0/kε0
N.B. E non dipende
dalla pposizione del
p
dielettrico e V’k dipende solo dallo spessore
Dielettrici
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V’k
Ceq
Come si vede il sistema equivale a due condensatori in serie, uno vuoto, di
separazione (h-s), e l’altro pieno di dielettrico di spessore s e costante k
Dielettrici
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Potenziale costante
Il condensatore è sempre collegato a un generatore che mantiene costante
la d.d.p. ai suoi capi, V0 , facendo variare, se necessario la carica sulle
armature.
Cond. vuoto:
Dielettrici
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Con dielettrico C = k C0 , quindi:
Il generatore deve fornire una l’extra-carica qp , producendo un lavoro
W = qp V0
Dielettrici
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Forza di risucchio su una lastra di dielettrico
In un condensatore a f.p.p.,
p p di lato l e separazione
p
h, collegato
g
a un
generatore, è inserita una lastra di dielettrico per una lunghezza x.
N.B. Il campo elettrico non è (mai) uniforme in prossimità dei bordi!
Cosa succede?
Dielettrici
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Il campo del condensatore interagisce con le cariche indotte sul dielettrico
(anche fuori dalle armature).
Consideriamo il sistema come due
cond (uno pieno e uno vuoto) in
cond.
- -- --+ ++ +++
parallelo
se x aumenta
u e
di
d dx,, (la
( lastra
s eentra ddi ppiù
ù tra lee armature)
u e) C ccresce
esce di
d dC
C
con spostamento della carica dq = VdC da una faccia all’altra ad opera del
generatore
Dielettrici
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Il generatore compie un lavoro
l’energia elettrostatica aumenta di
L’altra metà del lavoro del generatore viene fatto tramite la forza di risucchio
N.B. il segno di F
Dielettrici
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Polarizzazione dei dielettrici
Di che
h natura
t
è la
l carica
i che
h appare sulle
ll facce
f
del
d l dielettrico?
di l tt i ?
Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato
Struttura dei dielettrici:
Elementi (atomi o molecole) senza (1) o con (2) momento di dipolo spontaneo.
1) Senza m.d.d.
Es.atomo
Effetto del campo elettrico esterno: Spostamento dei
“baricentri” delle cariche + e -, con formazione di un
m.d.d. indotto: p = Zex
Dielettrici
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2) Molecole con m.d.d. spontaneo p0 (es. H2O)
Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli.
dipoli
E’ come
se all’interno del dielettrico si
formassero delle catene di dipoli (efficaci)
da una faccia all’altra.
Dielettrici
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Supponiamo di individuare un volumetto cubico τ all’interno del
dielettrico polarizzato, che contenga N atomi o molecole, ognuno con
m.d.d. medio <p>
Il m.d.d. totale è p = N <p> .
Definiamo Momento di dipolo per unità di volume
n = densità di atomi o molecole (m-3),
Il vettore P (sempre // a E) si definisce anche Polarizzazione (del dielettrico)
U ità di misura:
Unità
i
<p>:
< > C m; P : C m / m3 = C //m2 = densità
d ità superficiale
fi i l di
carica.
Dielettrici
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Prendiamo un volumetto, dτ, all’interno del dielettrico polarizzato di area dΣ0
e spessore dh, nella direzione di P e E, il suo m.d.d. è: dp = P dτ
Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m.d.d.
m d d totale ?
Sostituiamolo con due lamine metalliche di area dΣ0 e separate di dh.
Che carica dq dobbiamo mettere sulle armature pe avare lo stesso m.d.d.?
P dτ = dq dh = σp dΣ 0 dh = σ dτ
quindi σp = P e dq = P dΣ0
Dielettrici
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Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche –dq e +dq sulle due
facce in contatto si annullano e restano solo le cariche –dq e +dq sulle
facce estreme, ad una distanza 2dh.
Continuando ad aggiungere cubetti si arriva alle due superfici
Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è presente una carica
di polarizzazione di densità σp = |P|
Dielettrici
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Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie,
sulla faccia interna –dq = σ’p dΣ0 = P dΣ0 mentre sulla faccia esterna
dq = σp dΣ , quindi
Se 0 < θ < π/2
σp > 0, se π/2 < θ < π
σp < 0
Per una lastra θ = 0 e θ = π
Dielettrici
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In generale (cristalli cubici. amorfi,…) P ∝ E:
P = ε0 χ E = ε0 (κ-1) E
quindi χ è uno scalare.
Ma per i cristalli χ può essere un tensore! Pi = ε0 Σj χij Ej
D
Dato
che
h le
l cariche
i h di polarizzazione
l i
i
qp sono
cariche “vere”, possiamo inserirle nella Legge di
Gauss applicata alla scatola cilindrica in figura,
con la base (di area Σ ) parallela alle armature.
Dielettrici
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Calcoliamo il flusso di P attraverso la stessa superficie chiusa Σ
Considerando che P è nulla all’interno
all interno delle armature si ha
= σpΣ = qp
per cui
(cariche libere)
Dielettrici
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Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.
Quindi le Legge di Gauss in presenza di dielettrici, si può scrivere
(=D
Σ …)
Il modulo di D coincide con la densità di cariche libere σ
Come si vede P e D e σ hanno le stesse dimensioni quindi le stesse unità di
misura: C / m2
Dielettrici
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In un dielettrico in un C.F.P.P.
La forma locale della Legge di Gauss in presenza di un dielettrico diventa:
Dielettrici
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