FISICA 2
Elementi di Elettromagnetismo quinta parte
Prof. Renato Magli
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
a.a. 2002-03
I DIELETTRICI
•
Assenza di cariche libere
•
Il campo elettrico esterno modifica la struttura delle
molecole del dielettrico: POLARIZZAZIONE
•
Il dielettrico polarizzato genera un campo elettrico
sia al suo esterno che al suo interno: contribuisce
così alla polarizzazione
Descrizione fenomenologica
Si introduce un parametro caratteristico del mezzo.
Confrontiamo per es. la capacità di un condensatore
vuoto con quella del condensatore riempito con
dielettrico:
Q
C0 
V0
Se Q = cost  E = E0 / r
C   r C0
Descrizione Microscopica
Atomo
Meccanica Classica: elettrone/i
in rotazione attorno al nucleo con
periodo T  il momento di dipolo
medio è nullo
Meccanica Quantistica: nuvola elettronica
con simmetria sferica  tutti i momenti
multipolari sono nulli
Molecola
Polare (H20, HCl,…):
momento di dipolo 0
Non Polare (N2, CO2,…):
momento di dipolo = 0
In condizioni normali, una sostanza formata da molecole polari non produce
campo elettrico poiché i dipoli sono orientati casualmente (disordine termico)
In presenza di campo E esterno:
•
•
Polarizzazione per deformazione
Polarizzazione per orientamento
Sostanze non polari: polarizz. per deformazione
Sostanze polari: polarizz. per deformazione
+
polarizz. per orientamento
predominante
Polarizzazione per deformazione
(Elettronica; Atomica)
Se  = cost la forza F1 risentita dal nucleo
è, in modulo:
1

F1 
 q   q
2
4 0 
R
q2 
 F1 
4 0 R 3
1
3
NB: il nucleo +q sente l’azione della sola carica elettrica contenuta
nella sfera centrata in O e di raggio  (vedi campo prodotto da
distribuzioni di carica a simmetria sferica).
All’equilibrio, la forza F1 di attrazione coulombiana sarà
equilibrata dalla forza FE esercitata dal campo:
q2 
F1  FE 
 qE
3
4 0 R
 q  4 0 R E
3
Modulo del momento
di dipolo p indotto dal
campo E
p  d E
con  polarizzabilità per deformazione
elettronica
Polarizzazione per orientamento
E’ possibile dimostrare che in un materiale polare
le cui molecole abbiano un dipolo permanente p0
l’effetto dovuto alla polarizzazione per orientamento
può essere descritto assumendo che su ciascuna
molecola sia presente un dipolo p il cui valor medio <p>
risulta proporzionale al campo elettrico El
localmente presente attraverso la relazione:
2
 p   o E l
con:
po
o 
3KT
polarizzabilità per orientamento
Polarizzazione elettrica
 p    r rd   rdq

p
P


l’elemento di volume  deve:
-essere sufficientemente piccolo
per poter assumere P uniforme
ed avere un’informazione puntuale
-essere sufficientemente grande
perché P sia regolare
Vettore Polarizzazione Elettrica
S.I.
[P] = [Q/L2]
C / m2
Cariche di Polarizzazione
dV ( x' , y ' , z ' ) 
1
r 'r   Pd 
4 0
r 'r
z
d
r
3
P(r )  (r 'r )d
V ( x' , y ' , z ' ) 
3

4 0
r 'r
(r’-r)
1
O
x
r’
y
 1 


3 d
 P  

4 0
r
'

r


1
avendo tenuto conto che:

Q
(x’,y’,z’)
 1 
r 'r
r  r'


3  
3  
3
 r  r' 
r 'r
r  r'


il gradiente essendo fatto rispetto a (x,y,z)
Tenendo ora conto che:
   A f   A   f    A f
si ottiene:
 1 

1  P
   P 

P  

 r  r'  r  r'
r

r
'





1 
1 
  P 
 d  
V ( x' , y ' , z ' ) 
d 
    P

 r  r'
4 0   r  r ' 

Per il teorema della divergenza:

1 
Pn
d  
dS
    P

S r  r'
r

r
'


Pn
1 P
V ( x' , y ' , z ' ) 
dS 
d
S

4 0 r  r '
4 0 r  r '
1
P = Pn
P = - P
Le Equazioni dell’Elettrostatica
in presenza di Dielettrici
Nel vuoto:
In presenza
di dielettrico:
  E   /  0

  E  0
 E  0
continua a valere per la
conservatività del campo
elettrostatico
E 
1
0
   P 
ma sappiamo che

 P non è nota a priori
 P  P  n 
 P    P
   0 E       P
   0 E  P   
Con:
D  0 E  P
vettore Spostamento Elettrico
  D  

  E  0
+
relazione strutturale:
P = P(E)
Equazioni
dell’Elettrostatica
in presenza di
Dielettrici
In generale:
 Px   11 E x   12 E y   13 E z

 Py   21 E x   22 E y   23 E z
P   E   E   E
31
x
32
y
33
z
 z
  11 12  13 


    21  22  23 
   
 31
32
33 
TENSORE DI
POLARIZZABILITA’
Dielettrico perfetto:
Ferroelettricità:
gli elementi del tensore di
polarizzabilità sono indipendenti
da r e da E
curva di isteresi e polarizzazione
elettrica permanente
Piezoelettricità: la polarizzazione elettrica dipende dalle
sollecitazioni meccaniche
Dielettrici perfetti ed isotropi:
Tensore di polarizzabilità diagonale
con gli elementi uguali
P  0 E
Poiché:
con  suscettiv ità elettrica
D  0 E  P
D   0   1E
detta: r =  costante dielettrica relativa del materiale
si ottiene:
D   0 r E   E
costante dielettrica assoluta
Energia Elettrostatica in presenza di Dielettrici
Per un sistema di cariche libere con distribuzione  si ha:
1
1
U   Vd  u   0 E02
2
2
(a)
In presenza di dielettrici il lavoro necessario per la costituzione
del sistema di cariche dipende dalla presenza delle cariche di
polarizzazione che modificano il potenziale. La (a) continua a
valere, con la differenza che la densità  soddisfa all’equazione:
D  
e V è soluzione del problema dell’elettrostatica
in presenza di dielettrici.
Con argomenti analoghi a quelli usati per le cariche libere si trova:
1
U   D  E d
2
con densità di energia u data da:
e nel caso di dielettrico isotropo:
1
u  DE
2
1
2
u   0 r E
2
1 D2

2  0 r