L’insieme dei Naturali 1 Indice degli argomenti I numeri I naturali: definizioni Operazioni nei naturali 2 I Numeri In tutte le culture antiche troviamo traccia della conoscenza dei numeri, di forme di rappresentazione e di manipolazione dei numeri interi. 3 Egiziani Pur essendo gli inventori della geometria, gli Egiziani non tenevano in gran conto l’aritmetica; non la consideravano più di uno strumento per registrare il passaggio dei giorni e per la manutenzione degli appezzamenti di terreno Per rappresentare i numeri si usava una scrittura geroglifica 1 10 100 1000 10000 (Bastoncino) (Arco) (Laccio) (Fior di loto) (Dito piegato) ⌒ 4 Babilonesi Il sistema babilonese è stato il più evoluto del mondo antico: un “sistema posizionale” a base 60 in cui venivano usati solamente due segni cuneiformi (⋎ per le unità, ≺ per le decine) e il medesimo simbolo per rappresentare quantità diverse Le «cifre» elementari erano costituite da sequenze di codesti simboli raggruppati a formare additivamente valori fino a 59 5 Greci L'atteggiamento dei Greci nei confronti dell’aritmetica era completamente diverso da quello egiziano: per essi numeri e filosofia erano inseparabili, e degni entrambi di essere presi molto sul serio. La filosofia di Pitagora ruotava attorno a un dogma fondamentale tutto è numero 6 Gli assiomi di Peano Dobbiamo all'opera di un grande matematico e logico italiano di fine Ottocento, Giuseppe Peano (1858-1932) la formulazione di un insieme di proposizioni che esprimono quelle che intuiamo come le caratteristiche intrinseche dei numeri naturali e delle modalità con cui noi li operiamo il numero stesso, del quale perciò non si dà nessuna descrizione; un oggetto numerico particolare chiamato zero (che indichiamo con il consueto simbolo 0); una funzione che, a partire dallo zero, genera tutti i numeri, la funzione: "successivo di" 7 L'insieme dei numeri naturali, indicato col simbolo N, è poi caratterizzato da cinque proposizioni che definiscono implicitamente i tre enti-primitivi, dandone le reciproche relazioni 0 è un numero Se a è un numero, il successivo di a è un numero 0 non è il successivo di alcun numero Due numeri i cui successivi siano uguali, sono uguali Se un insieme S di numeri è tale che: 1. S contiene 0 2. per ogni a di S, il successivo di a appartiene anch'esso a S allora ogni numero è contenuto in S. 8 Linsieme dei Numeri Naturali I numeri naturali sono tutti gli interi positivi, compreso lo 0. L’insieme dei numeri naturali, che si indica con N, è limitato inferiormente (dallo 0) ma non ha un limite superiore (i numeri naturali sono infiniti). N è anche un insieme ordinato, infatti i numeri sono posti in ordine crescente (crescono man mano). N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,………., } 9 Le operazioni nell’insieme N Le operazioni definite nell’insieme N sono: Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Elevamento a potenza Un’operazione si dice INTERNA ad un insieme se il risultato . dell’operazione è ancora un valore dell’insieme 10 Proprietà dell’addizione Addizione: si dice somma di due numeri naturali quel numero che si ottiene contando di seguito ad un numero tante unità quante l’altro numero. I due numeri si dicono addendi e l’addizione si indica con + Proprietà dell’addizione: Commutativa: invertendo l’ordine degli addendi, il risultato non cambia es. 8 + 2 = 2 + 8 = 10 Associativa: se raggruppo gli addendi in modi diversi, il risultato non cambia es. (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5) = 10 Esistenza dell’elemento neutro (lo zero): aggiungendo lo zero ad un numero, il numero resta invariato. Es. 6 + 0 = 0 + 6 = 6 L’addizione è un’operazione interna all’insieme N. 11 Proprietà della sottrazione Sottrazione: si dice differenza tra due numeri naturali, il primo detto minuendo e il secondo sottraendo, quel numero che si ottiene togliendo dal minuendo il sottraendo. La sottrazione si indica con il simbolo - Proprietà della sottrazione: Invariantiva: sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa quantità, il risultato non cambia: es. 3 - 2 = 1 = (3+4) – (2+4) aggiungo 4 ad entrambi La sottrazione non ha altre proprietà (provate e vedrete che le proprietà valide per l’addizione non sono applicabili alla sottrazione). La sottrazione NON è un’operazione interna all’insieme N. Infatti se il minuendo è più piccolo del sottraendo, il risultato è negativo ed i numeri negativi non appartengono all’insieme N. 12 Proprietà della moltiplicazione Moltiplicazione: si dice prodotto tra due numeri naturali quel numero che si ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità del secondo. La indicheremo con il simbolo * per non confonderla con il prodotto cartesiano tra due insiemi. Es. 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6 Proprietà della moltiplicazione: commutativa: come per l’addizione 3 * 2 = 2 * 3 = 6 associativa: come per l’addizione (3 * 2) * 5 = 3 * (2 * 5) = 30 esistenza dell’elemento neutro (il numero 1): 1 * 3 = 3 * 1 = 3 distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione, infatti: 3 * (2 + 5) = (3 * 2) + (3 * 5) = 21 3 * (5 - 2) = (3 * 5) - (3 * 2) = 9 esistenza di un elemento detto assorbente (lo zero), perché “assorbe” qualunque altro numero, infatti: 0 * 3 = 3 * 0 = 0 (il risultato della moltiplicazione di qualunque numero per 0 ha sempre 0 come risultato) (legge di annullamento del prodotto: se uno dei due fattori è 0, il risultato è 0) La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N. 13 Proprietà della divisione Divisione: si dice quoziente tra due numeri naturali detti il primo dividendo e il secondo divisore, quel numero che moltiplicato per il divisore, fornisce come risultato il dividendo, cioè dividendo : divisore = quoziente. Si indica con ilsimbolo : Proprietà della divisione: Nell’insieme dei naturali la divisione non è possibile in due casi: Quando il divisore è 0: si dice impossibile Quando non esiste un numero intero come risultato: 9 : 2 non dà un numero intero, allora si dice che 9: 2 = 4 col resto di 1 La divisione 0:0 si dice indeterminata. Proprietà della divisione: invariantiva: come per la sottrazione 4 : 2 = (4*2) : (2*2) = 2 “In una divisione, se si moltiplica o divide per uno stesso numero, diverso da zero, sia il dividendo che il divisore, il quoziente non cambia. Con i limiti scritti sopra, la divisione è un’operazione interna all’insieme N. 14 Le Potenze Esponente 25 Base Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base 25=2x2x2x2x2=32 Elevando a 0 un numero naturale diverso da o si ottiene 1, n0=1 con n≠0 15 Le proprietà delle potenze Le proprietà delle potenze ci aiutano a eseguire i calcoli più facilmente. 16 Il prodotto di potenze con la stessa base. Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. Esempio 42 x 45 = 4 2+5 = 47 17 Il quoziente di potenze con la stessa base. Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. Esempio 46 : 42 = 44 18 Potenza di potenza La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Esempio (53)2 = 56 19 Il prodotto di potenze con lo stesso esponente... Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente... è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente. Esempio 42 x 32 = 122 20 Le potenze : Curiosità Perché 30 fa 1? Perché corrisponde al quoziente di 2 numeri uguali . Es : 32: 32= 30=1 9 : 9= 1 21