1.5
1.5
Una prima applicazione: analisi marginale
43
Una prima applicazione: analisi marginale
Nel Capitolo 1 abbiamo considerato funzioni di costo lineari della forma C(x) mx b, dove C è il costo totale, x è il numero di unità prodotte e m e b sono costanti. La pendenza m rappresenta il costo marginale; essa misura il costo della
produzione di un articolo in più. Notate che la derivata di C(x) mx b è C(x)
m. In altre parole, per una funzione di costo lineare, il costo marginale è la derivata della funzione di costo.
In generale vale la seguente definizione.
Costo marginale
Una funzione di costo specifica il costo totale C in funzione del numero x di
unità prodotte. In altre parole, C(x) è il costo totale di x unità. La funzione di
costo marginale è la derivata C(x) della funzione di costo C(x) e misura il
tasso di variazione del costo rispetto a x.
Unità
Le unità del costo marginale sono unità di costo (euro, per esempio) per articolo. Interpretiamo C(x) come il costo approssimativo della produzione di un
ulteriore articolo.1
Esempio breve
Se C(x) 400x 1000 euro, allora la funzione di costo marginale è C(x) €400 per unità (funzione costante).
esempio
1
Costo marginale
Supponete che il costo in euro per produrre lettori CD portatili sia dato da
C(x) 150000 20x 0.0001x 2
dove x è il numero di lettori CD prodotti.2 Trovate la funzione di costo marginale
C(x) e utilizzatela per stimare il costo della produzione del 50001esimo lettore.
Soluzione
Poiché C(x) 150000 20x 0.0001x 2, la funzione di costo marginale è
C(x) 20 0.0002x
Le unità di C(x) sono unità di C (euro) per unità di x (lettori CD). Quindi, C(x)
è misurato in euro per lettore CD. Il costo del 50001esimo lettore CD è la somma
di cui il costo totale aumenta se aumentiamo la produzione da 50000 a 50001 lettori CD. Quindi, ci occorre sapere il tasso a cui il costo totale cresce all’aumentare della produzione.
1
Vedere l’Esempio 1.
Potreste chiedervi da dove provenga questa formula. Vi sono due approcci per ottenere le funzioni
di costo nella vita reale: analitico e numerico. L’approccio analitico consiste nel calcolare la funzione
di costo da zero. Ad esempio, in questa situazione potremmo avere costi fissi di 150000 euro più un
costo di produzione di 20 euro per lettore CD. Il termine 0.0001x2 potrebbe riflettere un risparmio di
costo per alti livelli di produzione, ad esempio un grosso sconto nel costo dei componenti elettronici.
Nell’approccio numerico, prima otteniamo il costo a diversi livelli di produzione per osservazione diretta, e questo ci dà diversi punti sul grafico (ancora ignoto) di costo rispetto a livello di produzione.
Poi troviamo l’equazione della curva che meglio approssima questi punti. Mediante una regressione,
una tecnica che impiega il calcolo. L’equazione risultante fornisce la funzione di costo.
2
44
Capitolo 1
La derivata
Questo tasso di variazione è misurato dalla derivata, o costo marginale, che abbiamo appena calcolato. Con x 50000 otteniamo
C(50000) 20 0.0002(50000) €10 per lettore CD
Stimiamo che il 50001esimo lettore CD costerà approssimativamente €10.
Prima di proseguire . . . Il costo marginale è in realtà solo un’approssimazione
del costo del 50001esimo lettore CD:
C(50001) C(50000)
C(50000) 1
Sostituite h 1 nel rapporto incrementale.
C(50001) C(50000)
Costo del 50001esimo lettore CD
Il costo esatto del 50001esimo lettore CD è
C(50001) C(50000)
150000 20(50001) 0.0001(50001)2 150000 20(50000) 0.0001(50000)2
€9.9999
Quindi il costo marginale è una buona approssimazione del costo effettivo.
Graficamente, stiamo utilizzando la retta tangente per approssimare la funzione di costo attorno a un livello di produzione di 50000. La Figura 20 mostra il
grafico della funzione di costo assieme alla retta tangente in x 50000. Notate
che la retta tangente è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione per
un tratto attorno a 50000.
Figura 20
Note
1. In generale, il rapporto incrementale [C(x h) C(x)]/h dà il costo medio
per articolo per produrre h unità aggiuntive rispetto alla produzione corrente
di x unità. Perché?
2. Notate che C(x) è molto più semplice da calcolare di [C(x h) C(x)]/h.
Provate.
Come è mostrato nell’esempio seguente, il termine marginale può essere applicato a quantità diverse dal costo.
1.5
esempio
2
Una prima applicazione: analisi marginale
45
Ricavo marginale e profitto
Nel Capitolo 1 del Volume I abbiamo ottenuto la seguente equazione di domanda per il Workout Fever Health Club:
3
q 0.06p 46 p 46
50
dove p è la quota di iscrizione e q è il numero medio di nuovi iscritti al mese. Assumete che ciascun nuovo membro costi a Workout Fever Health Club 100 euro
per esami medici e allenamento personale.
a. Calcolate il ricavo mensile e il profitto come funzioni di q.
b. Calcolate le funzioni del ricavo marginale e del profitto, dR/dq e dP/dq.
c. Calcolate il profitto marginale per q 15, q 20 e q 25, e interpretate i risultati ottenuti.
Soluzioni
a. Il ricavo mensile è dato da R pq. Poiché dobbiamo esprimere R come funzione solo di q, occorre sostituire p in questa equazione con una funzione di q.
La relazione tra p e q è data dall’equazione di domanda. Vogliamo esprimere
p come funzione di q, quindi dobbiamo prima riscrivere l’equazione di domanda esplicitando p. Otteniamo
50
p (46 q)
3
Esplicitate p nell’equazione di domanda.
Possiamo sostituire questa espressione di p in R pq ottenendo
50
R(q) (46 q)q
3
Sostituite p nell’equazione del ricavo.
2300
50
q q2
3
3
Questo è il ricavo mensile come funzione di q. Per la funzione di profitto, ricordate che
PRC
Ricavo Costo
Dal momento che il costo per Workout Fever è di €100 per ogni nuovo iscritto,
il costo di q nuovi membri al mese è 100q. Quindi,
2300
2000
50
50
P(q) q q2 100q q q2
3
3
3
3
b. Le funzioni del ricavo marginale e del profitto marginale sono le derivate:
dR 2300
100
Ricavo marginale q
3
dq
3
dP 2000
100
Profitto marginale q
3
dq
3
e, per entrambe, le unità sono euro per nuovo iscritto. Pensate a queste funzioni come ad approssimazioni del ricavo e del profitto aggiuntivi del club per
ogni nuovo iscritto.
46
Capitolo 1
La derivata
c. Sostituendo q = 15 si ottiene
2000
dP
100
(15) €166.67 per nuovo membro
3
dq q15
3
Ciò significa che, con 15 nuovi membri al mese, il profitto aumenta di circa
€166.67 se si aggiunge un nuovo membro. Sarebbe dunque vantaggioso per
Workout Fever fare aumentare il numero dei nuovi membri al mese diminuendo la tariffa di iscrizione. Sostituendo q = 20, troviamo
dP
2000
100
(20) €0 per nuovo membro
dq q20
3
3
Ciò significa che, con 20 nuovi membri al mese, il profitto rimane approssimativamente lo stesso quando il numero dei nuovi membri aumenta di uno. Inoltre, sostituendo q = 25 abbiamo
2000 100
dP
(25) €166.67 per nuovo membro
3
dq q25
3
Questo significa che, con 25 nuovi membri al mese, il profitto diminuisce di
circa €166.67 se si aggiunge un nuovo membro. Workout Fever dovrebbe
quindi diminuire il numero mensile di nuovi membri aumentando la tariffa di
iscrizione.
Prima di proseguire . . . Questa analisi mostra che Workout Fever dovrebbe registrare più di 15 nuovi membri al mese, ma meno di 25. Il fatto che P(20) 0 indica che il club dovrebbe stabilire un prezzo tale da attrarre esattamente 20
nuovi membri al mese. Se ne attraesse leggermente meno, ad esempio 19, il profitto marginale sarebbe positivo [come potete verificare calcolando P(19)], e
converrebbe aumentare il numero mensile di nuovi iscritti. Analogamente, il
fatto che P(21) sia negativo indica che il club dovrebbe diminuire il numero
mensile di nuovi iscritti. In generale, perché si abbia il massimo profitto, P(q)
deve essere 0. La Figura 21 mostra il grafico di P(q) relativo a questo esempio.
Possiamo vedere chiaramente che P(15) 0, P(20) 0, P(25) 0, e che il valore massimo di P(q) si ha per q 20.
Figura 21
esempio
3
Prodotto marginale
Un consulente determina che il profitto annuo di Precision Manufacturers (in
euro) è dato da
P(n) 200000 400000n 4600n 2 10n 3
dove n è il numero degli operai che lavorano alla catena di montaggio.
1.5
Una prima applicazione: analisi marginale
47
a. Calcolate dP/dn, ovvero il prodotto marginale ad un livello di occupazione di
n operai. Quali sono le sue unità?
b. Calcolate P(10) e dP/dnn10 , e interpretate i risultati.
c. Precision Manufacturers impiega attualmente dieci operai e sta valutando
l’opportunità di lasciarne a casa qualcuno. Che consiglio dareste alla dirigenza
dell’azienda?
Soluzione
a. Calcolando la derivata si ottiene
dP
400000 9200n 30n 2
dn
Le unità di dP/dn sono profitto (in euro) per operaio.
b. Sostituendo nella formula di P(n), otteniamo
P(10) 200000 400000(10) 4600(10)2 10(10)3 €3,330,000
Quindi, Precision Manufacturers realizzerà un profitto annuo pari a €3330000
impiegando dieci operai. D’altra parte,
dP
dn
n10
400000 9200(10) 30(10)2 €305000 per operaio
Quindi, al livello di dieci operai, il profitto annuo aumenta al tasso di €305000
per nuovo operaio. In altre parole, se l’azienda assumesse un operaio in più, il
suo profitto annuo aumenterebbe di circa €305000.
c. Poiché il prodotto marginale è positivo, il profitto cresce se l’azienda aumenta
il numero degli operai e decresce al diminuire del numero degli operai, quindi
il consiglio sarebbe di assumere altri operai. Ridurre il lavoro alla catena di
montaggio produrrebbe un calo dei profitti annui.
Prima di proseguire . . . Può darsi che vi siate posti questa domanda:
Figura 22
Domanda Quanti operai in più dovrebbe assumere l’azienda per ottenere il
profitto annuo massimo?
Risposta Avendo il profitto come funzione del numero di operai n, possiamo
tracciare il grafico della funzione P(n). La Figura 22 mostra il grafico di P(n) per
0 n 80 tracciato da una calcolatrice grafica (per la scala dell’asse y abbiamo
utilizzato 0 P 8000000). L’asse orizzontale rappresenta il numero di operai,
quello verticale il profitto annuo. Nel punto del grafico in cui n 10, la pendenza
è positiva [come confermato dal nostro calcolo di P(10)]. Approssimativamente
in n 40, la pendenza è zero (quindi il prodotto marginale è zero) e il profitto è
massimo; ciò indica che l’azienda dovrebbe impiegare circa 40 operai per ottenere il massimo profitto, e dovrebbe quindi assumerne altri 30.
La Figura 22 mostra inoltre che l’azienda inizia a subire perdite al livello di
impiego di circa 65 operai.
48
Capitolo 1
esempio
La derivata
4
Costo medio
Supponete che il costo in euro della produzione di lettori CD portatili sia dato da
x2
C(x) 150000 20x 10000
dove x è il numero di lettori CD fabbricati. Trovate il costo medio per lettore CD
quando vengono prodotti 50000 lettori.
Soluzione
Il costo totale della produzione di 50000 lettori CD è dato da
500002
C(50000) 150000 20(50000) €900000
10000
Poiché la produzione di 50000 lettori CD costa in totale €900000, il costo medio
di un lettore CD è dato da questo totale diviso per 50000:
900000
(50,000) €18 per lettore CD
C
50000
Quindi, se vengono fabbricati 50000 lettori CD, ciascuno di essi costa al produttore in media €18.
Non vi è nulla di speciale nel numero 50000. Se lo sostituiamo con x, otteniamo il costo medio della produzione di x lettori CD:
C(x)
C
(x) x
x2
x
1
150000
150000 20x 20 10000
10 000
x
x
(
)
La funzione C è chiamata funzione di costo medio.
Domanda Nell’Esempio 1 abbiamo calcolato che il costo marginale al livello di
produzione di 50000 lettori CD è dato da
C(50000) €10 per lettore CD
Che relazione esiste, tra il costo marginale e il costo medio?
Risposta Costo medio e costo marginale forniscono informazioni differenti ma
collegate. Il costo medio C(50000) è il costo unitario della produzione dei primi
50000 lettori CD, mentre il costo marginale C(50000) indica il costo (approssimato)
della produzione del prossimo lettore CD. quindi, secondo i nostri calcoli, i primi
50000 lettori CD costano in media €18, ma costa solo €10 fabbricare il prossimo.
Domanda Il costo marginale di produzione per 50000 lettori CD è inferiore al
costo medio. Questo significa che all’aumentare della produzione il costo medio
dei lettori aumenta o diminuisce?
Risposta Diminuisce. Riflettete sul perché.
1.5
Esercizi
49
Costo medio
Data una funzione di costo C, il costo medio dei primi x articoli è dato da
C(x)
C
(x) x
Il costo medio è diverso dal costo marginale C(x), che indica il costo approssimativo di un articolo aggiuntivo.
1.5 esercizi
Ciascuna delle funzioni degli esercizi 1–4 rappresenta il costo
della produzione di x unità. Trovate il costo marginale al livello di produzione x dato e indicate le unità di misura.
10 000
4. C(x) 20000 50x ; x 100
x
x2
1. C(x) 10000 5x ; x 1000
10000
Negli esercizi 5 e 6 trovate le funzioni di costo marginale, ricavo marginale e profitto marginale, e trovate tutti i valori di x
per cui il profitto marginale è zero. Interpretate i risultati.
x2
2. C(x) 20000 7x ; x 10000
20000
5. C(x) 4x;
1000
3. C(x) 15000 100x ; x 100
x
6. C(x) 5x 2;
x2
R(x) 8x 1000
R(x) x 3 7x 10
Applicazioni
7. Costi pubblicitari Il costo, in migliaia di dollari, della
trasmissione di x annunci pubblicitari televisivi durante
una partita del Super Bowl è dato da3
C(x) 150 1200x 0.002x 2
a. Trovate la funzione di costo marginale e utilizzatela
per stimare quanto velocemente aumentano i costi
quando x 4. Fate un confronto con il costo esatto
della trasmissione del quinto annuncio.
b. Trovate la funzione di costo medio C, e stimate C(4).
Che cosa indica il risultato?
Fonte: New York Times, 5 maggio 1995, p. D5.
8. Costo marginale e costo medio Il costo della produzione di x orsacchiotti al giorno per la Cuddly Companion Company è dato, secondo i responsabili del
marketing dell’azienda, dalla formula
C(x) 100 40x 0.001x 2
a. Trovate la funzione di costo marginale e utilizzatela
per stimare quanto velocemente aumentano i costi
in corrispondenza del livello di produzione di 100 orsacchiotti. Fate un confronto con il costo esatto della
produzione del 101esimo orsacchiotto.
3
Il network televisivo NBC intendeva far pagare circa $1200000 per ogni spot
televisivo di circa 30 secondi trasmesso durante il XXX Super Bowl. Questo
giustifica il coefficiente di x nella funzione di costo.
b. Trovate la funzione di costo medio C, e calcolate
C(100). Che cosa indica il risultato?
9. Profitto marginale Supponete che P(x) rappresenti il
profitto della vendita di x videocassette. Se P(1000) 3000 e P(1000) 3, che cosa sappiamo del profitto?
10. Perdita marginale Un rivenditore di automobili calcola
che la perdita sulla vendita di utilitarie sia data da L(50) 5000 e L(50) 200, dove L(x) rappresenta la perdita
sulla vendita di x utilitarie. Che cosa rivelano questi valori circa le perdite?
11. Profitto marginale Il profitto mensile (in euro) che
realizzate con la vendita di riviste è dato da
P 5x x
dove x è il numero di riviste che vendete in un mese. Se attualmente vendete x 50 riviste al mese, quali sono il profitto e il profitto marginale? Interpretate le risposte.
12. Profitto marginale Il profitto mensile (in euro) della
vostra rivista è dato da
P 2n n
dove n è il numero degli abbonati. Se attualmente avete
100 abbonati, quali sono il profitto e il profitto marginale? Interpretate le risposte.
50
Capitolo 1
La derivata
c. Un agricoltore alleva polli al costo medio di 10¢ al
chilo; esprimete il profitto annuo P in funzione della
domanda pro capite di pollame, calcolate P(50) e interpretate il risultato.
13. Prodotto marginale Un’azienda di autolavaggio calcola che il proprio profitto giornaliero (in euro) dipenda
dal numero n di operai impiegati secondo la formula
P 400n 0.5n2
Calcolate il prodotto marginale di 50 operai, e interpretate il risultato.
14. Prodotto marginale Ripetete l’Esercizio 13 utilizzando
la formula
P 100n 25n2 0.005n4
15. Prezzo e ricavo marginale Assumete che la funzione
di domanda per il tonno in una piccola città costiera sia
200 00
p q15
(200 q 800)
dove p è il prezzo (in euro) per chilo e q sono chili di
tonno vendibili al prezzo p in 1 mese.
a. Calcolate il prezzo che l’industria della pesca della
città deve praticare per produrre una domanda di 400
chili di tonno al mese.
b. Calcolate il ricavo mensile R come funzione del numero di chili di tonno q.
c. Calcolate il ricavo e il ricavo marginale (derivata del ricavo rispetto a q) al livello di domanda di 400 chili al
mese, e interpretate i risultati.
d. Se l’industria del pesce della città pesca 400 chili di
tonno al mese, e se il prezzo è al livello della parte (a),
per aumentare il ricavo consigliereste di alzare o di abbassare il prezzo del tonno?
16. Prezzo e ricavo marginale Ripetete l’Esercizio 15 assumendo che l’equazione di domanda sia
60
p 0.5
q
Fonte: A. H. Studenmund, Using Econometrics, 2d ed. (New York: HarperCollins, 1992), pp. 180–181.
18. Domanda di carne di manzo Riferendovi al modello
esposto nell’Esercizio 17 per il pollame, esprimete il ricavo annuo pro capite R come funzione del prezzo della
carne di manzo, nel caso in cui il prezzo all’ingrosso del
pollame sia fissato a 40¢ al chilo. Calcolate R(45) e
R(45) e interpretate i risultati.
19. Costo pubblicitario La vostra azienda sta progettando
di trasmettere una serie di annunci pubblicitari durante
la presentazione degli Academy Awards della rete televisiva ABC. ABC chiede $685000 per ogni spot di 30 secondi.4 I costi fissi aggiuntivi (costi per sviluppo e
personale) ammontano a $500000, e la rete ha accettato
di praticare uno sconto di
D(x) $10,000 x
per x spot televisivi.
a. Scrivete la funzione di costo C, quella di costo marginale C e quella di costo medio C
.
b. Calcolate C(3) e C(3) (arrotondando tutti i risultati
ala terza cifra significativa) e utilizzate i due risultati
per determinare se il costo medio aumenta o diminuisce al crescere di x.
Fonte: New York Times, 5 maggio 1995, p. D5.
20. Costi edilizi Il costo C della costruzione di una casa è
legato al numero k di carpentieri impiegati e al numero
e di elettricisti secondo la formula
C 15000 50k2 60e2
(200 q 800)
17. Domanda di pollame
sere modellata come
a. Assumendo che ora siano impiegati dieci carpentieri,
trovate il costo marginale come funzione di e.
b. Se ora sono impiegati dieci carpentieri e dieci elettricisti, utilizzate la risposta data nella parte (a) per stimare il costo dell’assunzione di un elettricista in più.
c. Se ora sono impiegati dieci carpentieri e dieci elettricisti, qual è il costo dell’assunzione di un carpentiere
in più?
La domanda di pollame può es-
q 63.15 0.45p 0.12b
dove q è la domanda annua pro capite di pollame, p è il
prezzo all’ingrosso del pollame in centesimi al chilo e b
è il prezzo all’ingrosso della carne di manzo in centesimi
per al chilo. Assumete che il prezzo all’ingrosso del
manzo sia fissato a 45¢ per chilo.
a. Trovate il ricavo come funzione di q, quindi esprimete il ricavo marginale come funzione di q. Arrotondate le costanti alla seconda cifra decimale.
b. Determinate il ricavo annuo pro capite corrispondente a un livello di domanda di 50 chili di pollame
l’anno, e stimate la variazione del ricavo che risulterebbe se il prezzo aumentasse al livello corrispondente a una domanda di 49 chili di pollame l’anno.
Fonte: Basato su un esercizio tratto da Introduction to Mathematical
Economics di A. L. Ostrosky, Jr. e J. V. Koch (Prospect Heights, IL: Waveland Press, 1979).
21. Controllo delle emissioni Il costo del controllo delle
emissioni di un’azienda cresce rapidamente all’aumentare della quantità di cui vengono diminuite le emissioni. Ecco un possibile modello:
C(q) 4000 100q2
4
Cifra effettivamente richiesta da ABC per uno spot di 30 secondi durante la
presentazione degli Academy Awards del 1995.
1.5
dove q è la riduzione delle emissioni (in chili di inquinante al giorno) e C è il costo giornaliero (in euro) di
questa riduzione.
a. Se un’azienda sta attualmente riducendo le proprie
emissioni di 10 chili al giorno, qual è il costo marginale di una ulteriore riduzione?
b. I sussidi del governo a favore dell’ambiente si basano
sulla formula
S(q) 500q
dove q è ancora la riduzione delle emissioni (in chili
al giorno) e S è il sussidio (in euro). A quale livello di
riduzione il costo marginale supera il sussidio marginale?
c. Calcolate la funzione di costo netto, N(q) C(q) S(q), date la funzione di costo e quella del sussidio
precedenti, e trovate il valore di q che determina il
minimo costo netto. A quanto ammonta questo costo
netto minimo? Confrontate la vostra risposta con
quella della parte (b) e commentate ciò che trovate.
22. Aliquote fiscali Ecco una curiosa proposta di tassazione del reddito:
T(i) 0.001i 0.5
dove i rappresenta il reddito annuo totale e T(i) è l’aliquota fiscale come percentuale del reddito totale annuo
(quindi, ad esempio, un reddito di €50000 l’anno viene
tassato di circa il 22%, mentre un reddito doppio verrebbe tassato di circa il 32%).
a. Calcolate il reddito netto N(i) che una persona può
guadagnare in funzione del reddito i.
b. Calcolate il reddito netto marginale di una persona ai
livelli di reddito €100000 e €500000.
c. A quale reddito il reddito netto marginale di una persona diventa negativo? Qual è il reddito netto a quel livello, e che cosa accade a livelli di reddito più alti?
d. A quanto pensate che ammonti la cifra massima che
una persona può guadagnare al netto delle tasse?
Leggete la nota a piè di pagina numero 5.
23. Risparmio di carburante Il consumo della vostra Porsche (in chilometri ogni 2.5 litri) è espresso come funzione M(x) della velocità x in chilometri all’ora.
3600x 2 1
M(x) (3600x 1 x)2
Trovate M(10), M(60) e M(70). Che cosa indicano i risultati sulla vostra auto?
24. Ricavo marginale Il ricavo marginale stimato per le
vendite delle magliette della squadra di calcio dell’oratorio è dato da
(8 2p)ep 8p
R(p) 10000000
2
5
Questo modello ha un’interessante caratteristica: Un reddito di 1 milione
l’anno verrebbe tassato al 100%, lasciando il contribuente senza un soldo!
Esercizi
51
dove p è il prezzo (in euro) che i giocatori chiedono per
ciascuna maglia. Trovate R(3), R(4) e R(5). Che cosa
indicano le risposte?
25. Costi di trasporto Prima che fosse costruito l’oleodotto dell’Alaska, si discuteva della possibilità che fosse
più economico trasportare il petrolio con grandi petroliere. La National Academy of Sciences stimò la funzione di costo
10
200
C 0.03 T
T2
dove C è il costo in dollari del trasporto di un barile di
petrolio per 1000 miglia nautiche e T è la portata lorda
di una petroliera.
a. Quanto costerebbe trasportare un barile di petrolio
per 1000 miglia nautiche in una petroliera che pesa
1000 tonnellate?
b. Di quanto cresce o decresce questo costo quando la
portata della petroliera sale oltre le 1000 tonnellate?
Fonte: Use of Satellite Data on the Alaskan Oil Marine Link, Practical
Applications of Space Systems: Cost and Benefits (Washington, DC: National Academy of Sciences, 1975), p. B-23.
26. Costi di trasporto Riferendovi all’equazione di costo
dell’Esercizio 25, trovate il valore di T per cui C(T) 0 e
interpretate il risultato. Calcolando C(T) per valori di T
prossimi, da entrambi i lati, a questa quantità, che cosa
altro potete dire?
27. Costo marginale In un’azienda i cui i diversi impianti
hanno funzioni di costo differenti e continue, se i costi di
produzione per un determinato livello di output devono
essere minimizzati, quale delle seguenti condizioni è essenziale?
a. Costi marginali uguali al ricavo marginale.
b. Costi variabili medi uguali in tutti gli impianti.
c. Costi marginali uguali in tutti gli impianti.
d. Costi totali uguali in tutti gli impianti.
e. Output per ora-lavoro uguale in tutti gli impianti.
28. Tempo di studio Uno studente ha un numero di ore fissato per lo studio ed è sicuro della relazione tra le ore di
studio e il voto finale di ciascun corso. I voti sono dati su
una scala numerica (da 0 a 100), e il voto di ciascun corso
ha lo stesso peso nel determinare la media. Per massimizzare la propria media, secondo quale criterio lo studente
deve distribuire le ore di studio tra i diversi corsi?
a. Il voto deve essere lo stesso nei diversi corsi.
b. Il prodotto marginale di un’ora di studio (in termini
di voto finale) deve essere zero.
c. Il prodotto marginale di un’ora di studio (in termini
di voto finale) in ciascun corso deve essere uguale,
anche se non necessariamente zero.
d. Il prodotto medio di un’ora di studio (in termini di
voto finale) in ciascun corso deve essere uguale.
e. Il numero di ore di studio dedicate a ciascun corso
deve essere uguale.
52
Capitolo 1
La derivata
29. Prodotto marginale Assumete che il prodotto marginale di un ulteriore professore ordinario in più sia del
50% superiore rispetto a quello di un ulteriore ricercatore in più, e che i ricercatori siano pagati la metà dei
professori ordinari. Con un budget complessivo fissato,
un’università che desideri massimizzare l’output per docente, quale delle seguenti alternative deve scegliere?
a. Assumere professori ordinari e ricercatori in uguale
numero.
b. Assumere più professori ordinari e ricercatori.
c. Assumere più professori ordinari e licenziare ricercatori.
d. Licenziare professori ordinari e assumere più ricercatori.
e. Licenziare tutti i professori ordinari e metà dei ricercatori.
30. Prodotto marginale Assumete che il prodotto marginale di un ulteriore professore ordinario sia doppio di
quello di un ulteriore assistente e che i ricercatori ricevano uno stipendio pari a due terzi di quello dei professori ordinari. Con un budget complessivo fissato,
un’università che desideri massimizzare l’output per docente, quale delle seguenti alternative deve scegliere?
a. Assumere professori ordinari e ricercatori in uguale
numero.
b. Assumere più professori ordinari e ricercatori.
c. Assumere più professori ordinari e licenziare ricercatori.
d. Licenziare professori ordinari e assumere più ricercatori.
e. Licenziare tutti i professori ordinari e metà dei ricercatori.
Dare forma a un’idea
31. Che cos’è la funzione di costo? Spiegate accuratamente
la differenza tra costo medio e costo marginale a. con le
rispettive definizioni matematiche, b. dal punto di vista
grafico e c. dal punto di vista dell’interpretazione.
32. La funzione di costo per la vostra fabbrica di pianoforti a
coda è tale per cui C
(1000) €3000 per unità e C(1000)
€2500 per unità. Il costo medio aumenta o diminuisce
se la vostra azienda costruisce un numero leggermente
maggiore di pianoforti? Spiegate il vostro ragionamento.
33. Se il costo medio della produzione di un pianoforte a
coda aumenta al crescere del livello di produzione, è più
alto il costo marginale o il costo medio?
positivo ma il profitto è negativo, che cosa consigliate all’azienda in questione?
35. Se per un’azienda il costo medio marginale è pari a zero
al livello di produzione attuale, positivo per un livello leggermente maggiore e negativo per un livello leggermente
inferiore, che cosa consigliate all’azienda?
36. L’accelerazione del costo è definita come la derivata
della funzione di costo marginale, ovvero la derivata
della derivata, o derivata seconda, della funzione di
costo. Quali sono le unità dell’accelerazione del costo, e
come si interpreta questa misura?
34. Se dall’analisi della produzione di un’azienda risulta che
al livello di produzione attuale il profitto marginale è
1.6
Limiti e continuità: approcci numerico e grafico
La derivata è definita ricorrendo a un limite, ed ora occorre spiegare più precisamente che cosa significa ciò. È possibile parlare di limiti indipendentemente dalla
nozione di derivata. Quella dei limiti è una lunga storia, che proveremo a riassumere il più possibile.
Stima dei limiti per via numerica
Iniziamo con un semplice esempio. Considerate la funzione f(x) 2 x e domandatevi: che cosa accade a f(x) quando x si avvicina o tende a 3? La tabella seguente mostra il valore di f(x) per valori di x che tendono, da entrambi i lati, a 3:
x
f (x) 2 x
2.9
4.9
x tende a 3 da sinistra →
2.99
2.999
2.9999
4.99
4.999
4.9999
3
← x tende a 3 da destra
3.0001
3.001
3.01
5.0001
5.001
5.01
3.1
5.1
1.6
53
Limiti e continuità: approcci numerico e grafico
Abbiamo lasciato in bianco lo spazio sotto 3 per sottolineare che, quando calcoliamo il limite di f(x) per x che tende a 3, non siamo interessati al valore che la
funzione assume quando x è uguale a 3. La tabella mostra che più x si avvicina a 3
da entrambi i lati, più f(x) si avvicina a 5. Lo scriviamo così:
lim f(x) 5
Il limite di f (x) per x che tende a 3 è uguale a 5.
x→3
Domanda Perché questa confusione? Non potremmo semplicemente porre x
3 ed evitare di utilizzare la tabella?
Risposta Questo metodo funziona per alcune funzioni, ma non per tutte, come
dimostra l’esempio seguente.
esempio
1
Stima di un limite per via numerica
Utilizzate una tabella per stimare i seguenti limiti.
x3 8
a. lim x→2 x 2
e 2x 1
b. lim x→0
x
Soluzione
a. Non possiamo semplicemente sostituire x 2 perché la funzione f(x) (x3 8)/(x 2) non è definita in x 2 (perché?).1 Possiamo compilare una tabella di
valori con x che tende a 2 da entrambi i lati:
x
x tende a 2 da sinistra →
1.99
1.999
1.9999
1.9
x3 8
f (x) x2
11.41
11.9401
11.9940
2
2.0001
11.9994
← x tende a 2 da destra
2.001
2.01
12.0006
12.0060
12.0601
2.1
12.61
Notiamo che, quando x tende a 2 da entrambi i lati, f(x) tende a 12. Questo
suggerisce che il limite sia 12, e scriviamo
x3 8
lim 12
x→2 x 2
b. La funzione g(x) (e 2x 1)/x non è definita in x 0 (né può essere ricondotta, semplificandola, a una funzione definita in x 0). Nella tabella seguente facciamo tendere x a zero da entrambi i lati:
x
2x
1
g(x) e
x
0.1
1.8127
x tende a 0 da sinistra →
0.01
0.001 0.0001
1.9801
1.9980
1.9998
0
← x tende a 0 da destra
0.0001
0.001
0.01
0.1
2.0002
2.0020
2.0201
2.2140
e 2x 1
La tabella suggerisce lim 2.
x→0
x
1
Tuttavia, scomponendo in fattori x 3 8 si trova che f(x) può essere semplificata in una funzione che
è definita in x 2. Questo punto verrà discusso (e l’esempio ripetuto) nel prossimo paragrafo. La funzione nella parte (b) non può essere semplificata in questo modo.
54
Capitolo 1
La derivata
Foglio elettronico
I fogli elettronici sono ideali per stimare i limiti numericamente. Potete ricreare
nel vostro foglio la tabella della parte (a), nel modo seguente:
La formula nella cella B1 è copiata nelle colonne B e D. I valori di f(x) verranno
calcolati nelle colonne B e D. Per la parte (b) inserite la formula =(EXP(2*A1)
–1)/A1 nella cella B1, e nelle colonne A e C utilizzate i valori di x mostrati nella
tabella della parte (b).
Prima di proseguire . . . La tabella suggerisce che il limite della parte (b) sia 2,
ma non lo stabilisce affatto in modo definitivo. È possibile (anche se non in questo caso) che a x 0.000000087 corrisponda g(x) 426. La tabella può solo suggerire il valore del limite. Nel prossimo paragrafo esamineremo tecniche
algebriche per la determinazione dei limiti.
Prima di continuare, diamo una definizione più formale.
Definizione di limite
Se f(x) si avvicina al numero L quando x tende (ma non è uguale) ad a da entrambi i lati, diciamo che il limite di f(x) per x→a (“x che tende ad a”) è L.
Scriviamo
lim f(x) L
x→a
o
f(x)→L per x→a
Se f(x) non tende a un singolo numero fissato quando x tende ad a da entrambi i lati, diciamo che f(x) non ha limite per x→a, o che
lim f(x) non esiste
x→a
Note
1. È importante che f(x) tenda allo stesso numero quando x tende ad a dai due
lati. Ad esempio, se f(x) tende a 5 per x 1.9, 1.99, 1.999, . . . ma tende a 4 per
x 2.1, 2.01, 2.001, . . . , allora il limite per x→2 non esiste (una situazione simile si ha nel prossimo esempio)
2. Potrebbe accadere che f(x) non tenda ad alcun numero fissato quando x→a da
entrambi i lati. Anche in questo caso diciamo che il limite non esiste.
3. Stiamo deliberatamente evitando l’esatta definizione di “tendere a”; ci fidiamo del vostro intuito. La seguente formulazione della definizione di limite
è più vicina a quella utilizzata dai matematici: possiamo fare in modo che il valore di f(x) sia vicino a L quanto desideriamo, scegliendo un valore di x sufficientemente vicino ad a.
1.6
esempio
Limiti e continuità: approcci numerico e grafico
55
Limite inesistente
2
x
Sia f(x) . Esiste lim f(x)?
x→0
x
Soluzione
Ecco una serie di valori di x che tendono a zero dai due lati:
x
x
f (x) x
0.1
1
x tende a 0 da sinistra→
0.01
0.001
0.0001
1
1
0
← x tende a zero da destra
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1
1
1
1
La tabella mostra che f(x) non tende allo stesso limite quando x tende a zero dai
due lati. Sembra che vi siano due limiti differenti: uno quando ci si avvicina a zero
da sinistra limite sinistro e uno quando ci si avvicina a zero da destra limite destro. Scriviamo rispettivamente
lim f(x) 1
x→0
che si legge “il limite per x che tende a 0 da sinistra (o dal basso) è 1” e
lim f(x) 1
x→0
che si legge “il limite per x che tende a 0 da destra (o dall’alto) è 1”.
Il limite sinistro ed il limite destro si chiamano limiti unilaterali di f(x). Perché
esista il limite bilaterale (quello che vogliamo calcolare), i due limiti unilaterali
devono essere uguali. Dal momento che non lo sono, concludiamo chex→0 f(x)
non esiste.
In un altro utile tipo di limite x tende a o a , ovvero x diventa arbitrariamente grande oppure assume valori negativi arbitrariamente grandi. Questo
tipo di limite è illustrato dall’esempio seguente.
esempio
3
Limiti all’infinito
2x 2 4x
Utilizzate una tabella per stimare a. lim 2
x→ x 1
e
2x 2 4x
b. lim .
2
x→ x 1
Soluzione
a. Dicendo che x “tende a ” intendiamo che x diventa illimitatamente più
grande, quindi costruiamo la seguente tabella:
x
2x 2 4x
f (x) x2 1
10
100
1000
1.6162
1.9602
1.9960
x tende a →
10000
100000
1.9996
2.0000
Notate che ci avviciniamo a solo da sinistra; sarebbe difficile avvicinarvisi
da destra! Sembra che f(x) tenda a 2. Scriviamo quindi
lim f(x) 2
x→
56
Capitolo 1
La derivata
b. Qui x tende a , quindi costruiamo una tabella simile, in cui questa volta
x assume valori negativi sempre più grandi (leggete la tabella da destra a
sinistra):
x
← x tende a 100,000 10,000
2x 4x
f (x) x2 1
1000
100
10
2.0040
2.0402
2.4242
2
2.0000
2.0004
Anche in questo caso, f(x) tende a 2. Quindi,
lim f(x) 2
x→
Stima dei limiti per via grafica
esempio
4
Stima dei limiti per via grafica
Nella Figura 23 è visibile il grafico di una funzione f (ricordate che quelli pieni
sono punti appartenenti al grafico, mentre quelli vuoti sono punti che non fanno
parte del grafico). Osservando il grafico, analizzate i seguenti limiti.
a. lim f(x)
x→2
b. lim f(x)
x→0
c. lim f(x)
x→1
d. lim f(x)
x→
Soluzione
Poiché di f abbiamo solo il grafico, dobbiamo analizzare i limiti graficamente.
Figura 23
a. Immaginate che la Figura 23 sia tracciata su una calcolatrice grafica dotata di
una funzionalità che consenta di muovere un cursore lungo il grafico e visualizzarne le coordinate. Per simulare questa funzionalità, appoggiate la punta
della matita sul grafico a sinistra di x 2, e muovetela lungo la curva in
modo che l’ascissa si avvicini a 2 (Figura 24). Calcoliamo il limite osservando il
comportamento delle ordinate.2 Possiamo vedere direttamente dal grafico che
l’ordinata tende a 2. Analogamente, se posizioniamo la punta della matita a
destra di x 2 e la muoviamo verso sinistra, l’ordinata tenderà a 2 anche da
quel lato (Figura 25). Quando x tende a 2, da entrambi i lati, f(x) tende a 2,
quindi
Figura 24
lim f(x) 2
x→2
b. Questa volta muoviamo la punta della matita verso x 0. Se partiamo a sinistra di x 0 e ci avviciniamo a 0 (spostandoci verso destra), l’ordinata tende a
1 (Figura 26). Se invece partiamo a destra di x 0 e ci avviciniamo a 0 (spostandoci verso sinistra), l’ordinata tende a 3. Quindi (come nell’Esempio 2),
lim f(x) 1
x→0
e
Figura 25
lim f(x) 3
x→0
Poiché i due limiti non sono uguali, concludiamo che
lim f(x) non esiste
x→0
2
Per un’animazione visuale di questo processo, consultate l’esercitazione online per questo paragrafo
disponibile sul booksite.
1.6
Limiti e continuità: approcci numerico e grafico
57
In questo caso esiste una “interruzione” nel grafico in x 0, e diciamo che la
funzione è discontinua in x 0 (vedere sotto).
c. Pensiamo ancora alla punta della matita che si sposta lungo il grafico, con l’ascissa x che si avvicina questa volta a x 1 da sinistra e da destra (Figura 27).
Quando l’ascissa del punto tende a 1, da entrambi i lati, anche l’ordinata tende
a 1. Quindi,
Figura 26
lim f(x) 1
x→1
d. Per questo limite, si suppone che x tenda all’infinito. Pensiamo alla punta di
una matita che si sposti lungo il grafico sempre più verso destra, come nella Figura 28. Al crescere dell’ascissa, anche l’ordinata diventa sempre più grande
senza fine; ovvero, se si sceglie un numero grande a piacere, f(x) sarà ancora
più grande, se x è sufficientemente grande. Poiché f(x) non tende a uno specifico numero reale, il limite non esiste. Dal momento che f(x) diventa sempre
più grande, diciamo che il limite diverge a , e scriviamo
Figura 27
lim f(x) x→
Analogamente,
lim f(x) x→
Figura 28
Prima di proseguire . . . Nella parte (c) lim x→1 f(x) 1 ma f(1) 2 (perché?).
Quindi, lim x→1 f(x) f(1). In altre parole, il limite di f(x) per x che tende a 1 non
corrisponde al valore di f in x 1. Ricordate sempre che, quando calcoliamo il limite per x→a, non ci occupiamo del valore della funzione in x a. Ci interessano
solo i valori che f(x) assume quando x tende ad a. In altre parole, f(a) può essere
uguale o differente rispetto a lim x→a f(x). Come nella parte (b), esiste un’interruzione nel grafico della funzione, e diciamo che f è discontinua in x 1.
Nel caso della parte (a) il limite e il valore della funzione coincidono:
lim f(x) 2 f(2)
x→2
La funzione è continua in x 2; il suo grafico non si interrompe in x 2.
Possiamo riassumere il metodo grafico utilizzato nell’Esempio 4 nel modo seguente.
Calcolo dei limiti per via grafica
Per stabilire se lim x→a f(x) esiste, e per trovare eventualmente il suo valore:
1. Tracciate il grafico di f(x) a mano o ricorrendo alla tecnologia.
2. Posizionate la punta della matita (o il cursore “trace”) su un punto del grafico a destra di x a.
3. Spostate la matita lungo il grafico verso x a da destra e leggete l’ordinata
y mentre vi spostate. Il valore a cui l’ordinata tende (se esiste) è il limite
lim x→a f(x).
58
Capitolo 1
La derivata
4. Ripetete i passaggi 2 e 3, questa volta partendo da un punto del grafico a sinistra di x a e avvicinandovi a x a verso destra. Il valore a cui l’ordinata tende (se esiste) è lim x→a f(x).
5. Se il limite destro e sinistro esistono entrambi e hanno lo stesso valore L, allora
lim x→a f(x) esiste ed è uguale a L.
6. Per calcolare lim x→ f(x), spostate la punta della matita verso l’estremità
destra del grafico e stimate il valore a cui tende l’ordinata y (se esiste). Per
calcolare lim x→ f(x), spostate la matita verso l’estremità sinistra.
Nell’esempio precedente abbiamo parlato di punti in cui la funzione è continua o discontinua. Utilizziamo questo concetto per calcolare i limiti nel prossimo
paragrafo. Ecco la definizione matematica.
Funzione continua
Sia f una funzione e a un punto nel dominio di f. f si dice continua in a se
lim x→a f(x) esiste e lim x→a f(x) f(a). La funzione f si dice continua se è continua in ogni punto del suo dominio.
Se f non è continua in un particolare punto a del dominio, diciamo che f è
discontinua in a o che f ha una discontinuità in a. Quindi, si può avere una discontinuità in x a se:
a. lim x→a f(x) non esiste [come nella parte (b) dell’Esempio 4]
b. lim x→a f(x) esiste ma non è uguale a f(a) [come nella parte (c) dell’Esempio 4]
Nota
Se il numero a non fa parte del dominio di f (ovvero, se f(a) non è definita),
non si parla né di continuità né di discontinuità in a. Si veda anche la discussione alla fine del prossimo esempio).
Nel prossimo esempio utilizziamo sia l’approccio numerico sia quello grafico.
example
5
Limite infinito
1
Esiste lim ?
x→0 x
Soluzione
Metodo numerico Poiché è richiesto solo il limite destro, dobbiamo elencare
solo valori di x che tendono a zero da destra:
x
1
f (x) x
0
← x tende a 0 da destra
0.0001 0.001 0.01
0.1
10000
1000
100
10
1.6
Limiti e continuità: approcci numerico e grafico
59
Sembra che, quando x tende a zero da destra, f(x) cresca illimitatamente, come
nell’Esempio 4(d). In altre parole, se scegliete un numero grande a piacere, f(x)
sarà ancora più grande se x è sufficientemente vicino a zero. Quindi il limite diverge a e
1
lim x→0 x
Metodo grafico Ricordate che il grafico di f(x) 1/x è l’iperbole mostrata
nella Figura 29. La figura mostra anche la punta della matita che si muove in
modo che la sua ascissa x tenda a zero da destra. Seguendo il grafico, la punta è
obbligata a salire sempre più. In altre parole, la sua ordinata y diventa sempre
più grande, tendendo a . Concludiamo quindi che
1
lim x→0 x
Figura 29
Prima di proseguire . . . Verificate anche che
1
lim x→0 x
Diciamo che, quando x tende a zero da sinistra, 1/x diverge a . Verificate inoltre
che
1
1
lim lim 0
x→ x
x→ x
Domanda In quale punto (o punti) del dominio la funzione f è discontinua?
Risposta L’unico punto in cui il grafico si interrompe è x 0. Tuttavia 0 non fa
parte del dominio di f. In tutti i punti che fanno parte del dominio di f, la funzione
è continua. Ad esempio, in x 1 troviamo che
1
lim 1 f(1)
x
x→1
quindi la funzione in questo punto è continua.
Applicazione
esempio
6
Equazione di domanda
L’economista Henry Schultz ha calcolato la seguente funzione di domanda per il
granoturco:
130000
q
p0.75
dove p è il prezzo in dollari per staio e q è il numero di staia di granoturco vendibili al prezzo p in 1 anno.3
a. Stimate lim p→ q(p) e interpretate la risposta.
b. Stimate lim p→0 q(p) e interpretate la risposta.
Fonte: Henry Schultz, The Theory and Measurement of Demand [citato in Introduction to Mathematical Economics
di A. L. Ostrosky, Jr. e J. V. Koch (Prospect Heights, IL: Waveland Press, 1979)].
3
Questa funzione di domanda si basa su dati relativi al periodo 1915–1929.
60
Capitolo 1
La derivata
Soluzione
a. La Figura 30 mostra il grafico di q(p) per 0 p 100 e 0 q 40000.
Figura 30
Utilizzando l’approccio grafico o quello numerico, troviamo
130 000
lim q(p) lim 0.
0
p→
p 75
p→
Quando il prezzo per staio aumenta, la domanda cala verso zero. È ciò che ci
si aspetta da una funzione di domanda.
b. Il limite in questo caso è
130 000
lim q(p) lim 0.
p→0
p 75
p→0
Quando il prezzo per staio diminuisce verso $0, la domanda cresce senza limite. Non è ragionevole aspettarsi questo comportamento da un’equazione di
domanda: anche se il granoturco fosse distribuito gratuitamente, vi sarebbe
una domanda finita (pensate a che cosa accade quando a una festa sono disponibili gratuitamente cibo o altri beni). Concludiamo che questa equazione di
domanda non può essere valida vicino a p 0, e che quindi è necessario restringere il suo dominio. Ci occorrerebbero più dati per potere determinare il
prezzo minimo al quale l’equazione è valida.
1.6 esercizi
Stimate numericamente i limiti degli esercizi 1–20.
x2
1. lim x→0 x 1
x3
2. lim x→0 x 1
x2 4
3. lim x→2 x 2
x2 1
4. lim x→2 x 2
x2 1
5. lim x→1 x 1
x 2 2x 1
6. lim x→1
x1
3x 10x 1
7. lim x→
2x 2 5x
6x 5x 100
8. lim x→
3x 2 9
2
x 5 1000x 4
9. lim 5
x→ 2x 10 000
x 6 3000x 3 1000000
10. lim x→
2x 6 1000x 3
10x 2 300x 1
11. lim x→
5x 2
2x 4 20x 3
12. lim 6
x→ 1000x 6
10x 2 300x 1
13. lim x→
5x 3 2
2x 4 20x 3
14. lim 3
x→ 1000x 6
15. lim e x2
16. lim ex
x→2
x→
2
17. lim xe x
x→
sin x
19. lim x→0
x
18. lim xe x
x→
cos x 1
20. lim x→0
x2
1.6
Negli esercizi 21–32 è dato un grafico di f. Utilizzatelo per calcolare le quantità richieste.
21. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→1
x→1
22. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→1
x→1
29. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→1
x→0
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→0
e. f(0)
x→0
f . lim f(x)
30. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→1
x→0
x→2
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→
x→
x→0
e. f(0)
x→1
x→1
x→
x→
x→0
c. lim f(x) d. lim f(x)
x→0
e. f(0)
x→0
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→0
e. f(0)
x→0
f . lim f(x)
x→
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→1
x→2
x→0
f . lim f(x)
24. a. lim f(x) b. lim f(x)
31. a. lim f(x) b. lim f(x)
25. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→0
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→
23. a. lim f(x) b. lim f(x)
61
Esercizi
x→0
f . f(1)
32. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→0
x→1
c. lim f(x) d. lim f(x)
x→0
e. f(0)
x→1
f . f(1)
26. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→3
x→1
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→1
e. f(1)
x→
x→1
f . lim f(x)
x→
Negli esercizi 33–44 determinate se le funzioni degli esercizi
21–32 sono continue nei rispettivi domini. Se una funzione
non lo è, spiegatene il motivo.
33. Grafico dell’Esercizio 21
34. Grafico dell’Esercizio 22
35. Grafico dell’Esercizio 23
27. a. lim f(x) b. lim f(x) 28. a. lim f(x) b. lim f(x)
x→2
x→1
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→1
e. f(1)
x→1
f . lim f(x)
x→
x→1
x→0
c . lim f(x) d. lim f(x)
x→0
e. f(0)
x→0
f . lim f(x)
x→
36. Grafico dell’Esercizio 24
37. Grafico dell’Esercizio 25
38. Grafico dell’Esercizio 26
39. Grafico dell’Esercizio 27
40. Grafico dell’Esercizio 28
41. Grafico dell’Esercizio 29
42. Grafico dell’Esercizio 30
43. Grafico dell’Esercizio 31
44. Grafico dell’Esercizio 32
62
Capitolo 1
La derivata
Applicazioni
Turismo alle Hawaii Il numero dei visitatori, in milioni per
anno, giunti alle Hawaii negli anni tra il 1985 e il 1993 può essere approssimato con
48. Occupazione Il grafico seguente mostra il numero di
nuovi dipendenti per anno presso Amerada Hess dal
1984 (t 0):6
n(t) 0.067t 2 0.706t 4.87
dove t 0 rappresenta il 30 giugno 1985. La spesa dei visitatori durante lo stesso periodo può essere approssimata con
r(t) 0.164t 2 1.60t 6.71
dove t 0 rappresenta il 30 giugno 1985.4 Gli esercizi 45 e 46
si basano su questi modelli.
Fonte: Hawaii Visitors Bureau/New York Times, 5 settembre 1995, p. A12.
45. Assumendo che le tendenze dei modelli appena descritti
rimangano stabili, stimate numericamente
lim r(t)
e
t→
r(t)
lim n(t)
t→
Fonte: Hoover’s Handbook Database (sito World Wide
Web), The Reference Press, Inc., Austin, TX, 1995.
quindi interpretate le risposte e commentate i risultati.
a. Stimate lim t→ n(t) e interpretate la risposta.
b. Stimate lim t→ n(t) e interpretate la risposta.
46. Ripetete l’Esercizio 45, questa volta calcolando
lim n(t)
t→
e
n(t)
lim r(t)
E
t→
47. Vendite di libri Il grafico seguente mostra il numero
approssimativo dei libri venduti annualmente negli Stati
Uniti nell’anno t, dove t 0 rappresenta il 1990 e n(t) è
il numero di libri venduti, in miliardi, nel tesimo anno a
partire dal 1990:5
49. Test di ammissione e reddito Il seguente grafico a
barre mostra il punteggio medio nella prova linguistica
di un test di ammissione all’università condotto negli
Stati Uniti nel 1994 in funzione del livello di reddito dei
genitori:
Fonte: The College Board/New York Times, 5 marzo 1995, p. E16.
Questi dati possono essere descritti con
Fonte: Book Industry Study Group/New York
Times, 13 agosto 1995, p. F2.
S(x) 470 136e0.00002645x
dove S(x) è il punteggio medio conseguito da uno studente i cui genitori guadagnano x dollari l’anno. Calcolate lim x→ S(x) e interpretate il risultato.
a. Stimate lim t→ n(t) e interpretate la risposta.
b. Stimate lim t→ n(t) e interpretate la risposta.
4
I modelli si basano su una curva quadratica di migliore approssimazione relativa ai dati (approssimati) sul turismo, misurati in dollari costanti del 1993.
5
Il modello è degli autori.
La parte proiettata della curva (da t 9 in poi) è fittizia. Il modello si basa su
una curva logistica di migliore approssimazione.
6
1.6
E
50. Test di ammissione e reddito Il seguente grafico a
barre mostra il punteggio medio nella prova matematica
di un test di ammissione all’università condotto negli
degli Stati Uniti nel 1994 in funzione del livello di reddito dei genitori.
Esercizi
63
Fonte: The College Board/New York Times, 5 marzo 1995, p. E16.
Questi dati possono essere descritti con
S(x) 535 136e0.000021286x
dove S(x) è il punteggio medio conseguito da uno studente i cui genitori guadagnano x dollari l’anno. Calcolate lim x→ S(x) e interpretate il risultato.
Dare forma a un’idea
51. Descrivete i due metodi per calcolare i limiti discussi
in questo paragrafo. Indicate almeno uno svantaggio
di ciascuno.
54. Se M(t) è la media del Mibtel all’istante t e lim t→ M(t)
, è possibile che il Mibtel fluttui indefinitamente in
futuro?
52. Qual è l’errore nell’affermazione seguente? Se f(a) è
definita, allora lim x→a f(x) esiste ed è uguale a f(a).
55. Se S(t) rappresenta la dimensione dell’universo in miliardi di anni luce a t anni dal Big Bang, e lim t→ S(t) 130000, è possibile che l’universo continui per sempre a
espandersi?
53. Fate un esempio di funzione f con lim x→1 f(x) f(2).
1.7 Limiti e continuità: approccio algebrico
Stimare numericamente o graficamente i limiti è una tecnica efficace, ma le
stime ottenute possono non essere del tutto precise. Il metodo algebrico,
quando può essere utilizzato, produce sempre una risposta esatta. Inoltre, con
l’analisi algebrica si può esaminare una funzione nelle sue diverse parti per
“vedere come funziona”.
Iniziamo con lo stesso esempio utilizzato nel paragrafo precedente. Considerate la funzione f(x) 2 x e chiedetevi: che cosa accade a f(x) quando x tende
a 3? Per rispondere algebricamente a questa domanda notate che, a mano a
mano che x si avvicina a 3, la quantità 2 x si avvicina a 2 3 5. Quindi,
lim f(x) lim (2 x)
x→3
x→3
235
Domanda Il metodo algebrico è tutto qui? Si sostituisce semplicemente x a?
Risposta Sostituendo x 3, abbiamo calcolato il valore della funzione in x 3.
In altre parole, abbiamo confidato nel fatto che
lim f(x) f(3)
x→3
64
Capitolo 1
La derivata
Nell’ultimo paragrafo abbiamo detto che una funzione che soddisfa questa equazione si dice continua in x 3. Quindi:
Se sappiamo che la funzione f è continua in un punto a, allora possiamo calcolare lim x→a f(x) semplicemente sostituendo x a in f(x).
Per sfruttare questa proprietà, dobbiamo essere in grado di riconoscere le funzioni continue. Geometricamente esse sono facilmente individuabili: una funzione è continua in x a quando il suo grafico non si interrompe in x a.
Algebricamente, esiste una vasta classe di funzioni che sono continue nei rispettivi domini; si tratta, in parole povere, delle funzioni specificate da una singola
formula.
Possiamo esprimerci in modo più preciso. Le funzioni in forma chiusa sono
tutte quelle che possono essere ottenute combinando costanti, potenze di x, funzioni esponenziali, radicali, logaritmi e funzioni trigonometriche (e alcune altre
funzioni che non incontreremo in questo testo) in un’unica formula matematica
per mezzo delle normali operazioni aritmetiche e di composizione di funzioni.
Esempi di funzioni in forma chiusa sono
3x 2 x 1,
1
x2
,
6x 1
e(4x
2
1)/x
,
lo
(x 2 1)
g
3 Queste funzioni possono essere anche molto complicate. La seguente non è
una funzione in forma chiusa:
 1

f(x)  x 2 x
2 x

se x 1
se 1 x 1
se 1 x 2
La ragione è che f(x) non è specificata da una singola formula matematica. Ciò
che è utile, delle funzioni in forma chiusa, è la seguente regola generale.
Continuità delle funzioni in forma chiusa
Ogni funzione in forma chiusa è continua nel proprio dominio. Quindi, se f è
una funzione in forma chiusa e f(a) è definito, allora lim x→a f(x) f(a).
Gli studenti di matematica dedicano molto tempo allo studio della dimostrazione di questo risultato. Vi chiediamo di accettarlo senza dimostrazione.
esempio
1
Limite di una funzione a forma chiusa
x3 8
Calcolate lim algebricamente.
x→1 x 2
Soluzione
Prima di tutto notate che (x 3 8)/(x 2) è una funzione in forma chiusa, essendo specificata per mezzo di una singola formula algebrica. Inoltre, x 1 fa
parte del dominio della funzione. Quindi,
x 3 8 13 8
lim 7
x→1 x 2
12
1.7
Limiti e continuità: approccio algebrico
65
Nella definizione di derivata dobbiamo calcolare il limite del rapporto incrementale [f(x h) f(x)]/h per h→0. I rapporti incrementali con cui abbiamo a
che fare sono solitamente funzioni in forma chiusa, ma non possiamo calcolarne il
limite per sostituzione: dal momento che il denominatore è h, h 0 non fa parte
del dominio del rapporto incrementale. Tuttavia, e questa è la chiave per la determinazione di questi limiti, con una semplificazione algebrica preliminare possiamo ottenere una funzione in forma chiusa il cui dominio comprenda h 0, e
trovare il limite sostituendo h 0 nella nuova funzione. Molti limiti possono essere calcolati con questa tecnica.
esempio
2
Semplificazione per ottenere il limite
x3 8
Calcolate lim algebricamente.
x→ 2 x 2
Soluzione
(x 3 8)/(x 2) è una funzione a forma chiusa, ma x 2 non fa parte del suo dominio; quindi non possiamo ottenere il limite per sostituzione. Semplifichiamo allora f(x) per ottenere una nuova funzione del cui dominio faccia parte x 2. Per
fare ciò, notate che il numeratore può essere scomposto nel modo seguente
x 3 8 (x 2)(x 2 2x 4)
Quindi,
x 3 8 (x 2)(x 2 2x 4)
x 2 2x 4
x2
x2
Dopo avere eliminato (x 2) dal denominatore, rimane una funzione in forma
chiusa il cui dominio comprende 2. Quindi,
x3 8
lim lim (x 2 2x 4)
x→2 x 2
x→2
2 2 2(2) 4 12
Sostituisci x 2.
Ciò conferma la risposta trovata numericamente nell’Esempio 1 del paragrafo
precedente.
Prima di proseguire . . . Se la funzione data non si semplifica, possiamo sempre
calcolare il limite numericamente. Può darsi che il limite in quel caso non esista.
Domanda C’è qualcosa di sospetto nell’Esempio 2. Se 2 non fa parte del dominio prima della semplificazione, ma ne fa parte dopo, la funzione non è più la
stessa, giusto?
Risposta Giusto. In effetti, affermando che
x3 8
x 2 2x 4
x2
2 non è nel dominio.
2 è nel dominio.
abbiamo detto una piccola bugia. In realtà dobbiamo intendere che queste due
espressioni sono uguali dove entrambe sono definite. Le funzioni (x 3 8)/(x 2) e
x 2 2x 4 sono differenti. La differenza è che x 2 non fa parte del dominio di
(x3 8)/(x 2) ma fa parte di quello di x 2 2x 4. Poiché nel calcolare lim x→2
f(x) dichiaratamente si ignora il valore che f può assumere in 2, la differenza non
66
Capitolo 1
La derivata
ha importanza. Dal punto di vista del limite in 2, queste funzioni sono uguali. In generale vale la regola seguente.
Funzioni con limiti uguali
Se f(x) g(x) per ogni x ad eccezione di x a, allora
lim x→a f(x) lim x→a g(x)
Il prossimo esempio mostra un’applicazone della tecnica della semplificazione nel
calcolo della derivata (trovate altri calcolli simili negli esempi 1 e 2 del Paragrafo 1.3).
esempio
3
Calcolo diretto di una derivata
Verificate il seguente risultato ricorrendo direttamente alla definizione di derivata.
Se g(x) 1/x, allora g(x) 1/x 2.
Soluzione
f(x h) f(x)
f(x) lim h→0
h
 1
1
 
x
h
x

lim h
h→0
x (x h)

 (x h)x 
lim h→0
h
Definizione di derivata
Definizione di f (x)
Somma di frazioni
xxh
lim h→0 h(x h)x
Semplifica il numeratore.
h
lim h→0 h(x h)x
Semplifica ulteriormente.
1
lim h→0 (x h)x
Semplifica h.
1
2
x
Poni h 0.
Notate che non possiamo porre h 0 prima dell’ultima semplificazione h. Perché?
Possiamo utilizzare tecniche algebriche anche per analizzare funzioni in forma
non chiusa.
esempio
4
Funzioni in forma non chiusa
Per quali valori di x le seguenti funzioni definite a intervalli sono continue?
x2 2
a. f(x) 
 2x 1
se x 1
se x 1
x2 x 1
b. g(x)  1 x
x 3

se x 0
se 0 x 1
se x 1
1.7
Limiti e continuità: approccio algebrico
67
Soluzione
a. La funzione f(x) è data in forma chiusa sugli intervalli (, 1) e
[1, ). In x 1, f(x) passa improvvisamente da una funzione a forma chiusa
all’altra, quindi x 1 è l’unico punto in cui esiste un potenziale problema di
continuità. Per indagare sulla continuità di f(x) in x 1, calcoliamo il limite in
quel punto:
lim f(x) lim (x 2 2)
x→1
x→1
(1) 2 2 3
lim f(x) lim (2x 1)
x→1
x→1
2(1) 1 1
Poiché f (x) x 2 2 per x 1
x2 2 è in forma chiusa.
Poiché f(x) 2x 1 per x > 1
2x 1 è in forma chiusa.
Dato che il limite destro e quello sinistro sono differenti, lim x→1 f(x) non esiste, e quindi f(x) è discontinua in x 1.
b. Gli unici potenziali punti di discontinuità poiché per g(x) sono x 0 e x 1:
lim g(x) lim x2 x 1 1
x→0
x→0
lim g(x) lim 1 x 1
x→0
x→0
Quindi, lim x→0 g(x) 1. Inoltre, poiché g(0) 1 (0) 1 in base alla formula,
lim g(x) g(0)
x→0
mostra che g(x) è continua in x 0. In x 1 abbiamo
lim g(x) lim 1 x 0
x→1
x→1
lim g(x) lim x 3 2
x→1
x→1
e lim x→1 g(x) non esiste. Quindi g(x) è discontinua in x 1. Concludiamo che
g(x) è continua per ogni numero reale x ad eccezione di x 1.
Prima di proseguire . . . La Figura 31 mostra il grafico di g. Notate che la discontinuità in x 1 appare come un’interruzione del grafico, mentre in x 0 le due
parti “si raccordano” nel punto (0, 1).
Figura 31
Limiti all’infinito
Consideriamo ancora una volta l’Esempio 3 del paragrafo precedente.
esempio
5
Limiti all’infinito
Calcolate i seguenti limiti, se esistono.
2x 2 4x
a. lim 2
x→ x 1
2x 2 4x
b. lim 2
x→ x 1
68
Capitolo 1
La derivata
Soluzione
Calcolando i valori per le tabelle dell’Esempio 3 del paragrafo precedente, forse
avete notato come il risultato fosse fortemente influenzato dalle potenze di x più
alte, sia al numeratore sia al dominatore. Ad esempio, quando x 100000, il termine 2x 2 al numeratore diventa 20000000000, mentre il termine 4x ha il valore, al
confronto insignificante, di 400000. Analogamente, il termine x2 del denominatore
assume un valore enorme rispetto al termine 1. In altre parole, per grandi valori
di x (o valori negativi grandi in valore assoluto),
2x2 4x 2x2
x2 1
x2
Utilizzate solo le potenze più alte, sia sopra sia sotto.
2
Quindi,
2x 2 4x
lim 2
2
x→
x 1
Prima di proseguire . . . Diciamo che il grafico di f ha un asintoto orizzontale in y
2 con riferimento ai limiti appena calcolati. Ciò significa che il grafico si avvicina
alla retta orizzontale y 2 a mano a mano che ci si sposta verso destra o verso sinistra (in questo caso, sia verso destra sia verso sinistra). La Figura 32 mostra il grafico di f e la retta y 2. Il grafico rivela alcune altre interessanti informazioni:
quando x→1, f(x)→, e quando x→1, f(x)→. Quindi,
lim f(x) non esiste
x→1
Figura 32
Sapete determinare che cosa accade quando x→1?
Nell’esempio precedente f(x) era una funzione razionale: il rapporto tra due
funzioni polinomiali. Abbiamo calcolato il limite di f(x) a ignorando tutte le
potenze di x tranne la più grande sia al numeratore sia al denominatore. Si può
provare che questa procedura è valida per tutte le funzioni razionali (dividendo
sia il numeratore sia il denominatore per la più alta potenza di x presente).
Calcolo del limite di una funzione razionale a Se f(x) ha la forma
cnxn · · · c2x2 c1x c0
f(x) dmxm · · · d2x2 d1x d0
con ci e di costanti (cn 0 e dm 0), allora possiamo calcolare il limite di f(x)
per x→
ignorando tutte le potenze di x tranne la più alta sia al numeratore
sia al denominatore. Quindi,
cnxn
lim f(x) lim x→
x→
d xm
m
1.7
esempio
6
Esercizi
69
Limiti all’infinito
Calcolate i seguenti limiti.
3x4 x3 1
a. lim x→
x3 40x2
x3 40x2
b. lim x→
10x4
Soluzione
a. Ignorando tutto tranne le potenze di x più alte abbiamo
3x4 x3 1
3x4
lim lim 3x
lim 3
2
3
x→
x→ x
x→
x 40x
Ora abbiamo un limite molto più semplice da calcolare. Possiamo addirittura
dire quanto valga il limite senza ricorrere a una tabella: quando x→, anche
3x→. Quindi,
3x4 x3 1
lim x→
x3 40x2
b. Abbiamo
x3
1
x3 40x2
lim lim
4 lim 4
x→
x→ 10x
x→ 10x
10x
A questo punto una tabella sarebbe utile, ma anche in questo caso possiamo
farne a meno. Se x è, supponiamo, 10000, allora 1/10x 1/100000 0.00001, molto vicino a zero. In effetti, più grande diventa x in valore assoluto, più piccolo diventa 1/10x. Quindi,
x3 40x2
lim 0
x→
10x4
1.7 esercizi
Calcolate algebricamente i limiti degli esercizi 1–38. Se un limite non esiste, spiegatene il motivo.
1. lim (x 1)
2. lim (2x 4)
x→0
x→0
2x
3. lim x→2
x
4x2 1
4. lim x→1
x
x1
5. lim x→1
x
6. lim (x x )
7. lim (x 3 x )
x→8
9. lim (h2 2h 1)
h→1
x→4
x2
8. lim x→1 x 1
10. lim (h3 4)
h→0
x3 8
17. lim x→2 x 2
x3 8
18. lim 2
x→2 x 3x 2
1
19. lim 2
x→0 x
1
20. lim 2
x→0 x x
x2 1
21. lim x→1 x 1
x2 1
22. lim x→1
x1
3x2 10x 1
23. lim x→
2x2 5x
6x2 5x 100
24. lim x→
3x2 9
x5 1000x4
25. lim 5
x→ 2x 10 000
12. lim 5
x6 3000x3 1000000
26. lim x→
2x6 1000x3
h2
13. lim 2
h→0 h h
h2 h
14. lim 2
h→0 h 2h
10x2 300x 1
27. lim x→
5x 2
2x4 20x3
28. lim 3
x→ 1000x 6
x2 2x 1
15. lim x→1
x2 x
x2 3x 2
16. lim x→1
x2 x
10x2 300x 1
29. lim x→
5x3 2
2x4 20x3
30. lim 6
x→ 1000x 6
11. lim 2
h→3
h→0
70
Capitolo 1
La derivata
3x2 10x 1
31. lim x→
2x2 5x
6x2 5x 100
32. lim x→
3x2 9
Negli esercizi 59–66 trovate tutti i punti di discontinuità della
funzione data.
x5 1000x4
33. lim 5
x→ 2x 10,000
x 2
59. f(x) 
 2x 1
x6 3000x3 1000000
34. lim x→
2x6 1000x3
60. g(x) 
10x2 300x 1
35. lim x→
5x 2
2x4 20x3
36. lim 3
x→ 1000x 6
10x2 300x 1
37. lim x→
5x3 2
2x4 20x3
38. lim 6
x→ 1000x 6
Negli esercizi 39–58 utilizzate la definizione per calcolare la
derivata della funzione data.
39. f(x) 14
40. f(x) 5
41. f(x) 2x 3
42. f(x) 3x 5
43. g(x) 4x 1
44. g(x) 10x 100
45. g(x) x2 2x
46. g(x) 3x2 1
47. h(x) 5x2 2x 1
48. h(x) 3x2 x 5
49. f(t) t 3 t
50. f(t) 2t 3 t 2
51. g(t) t 4 t
52. g(t) 3t 4 2t 2
53. h(t) 6/t
54. h(t) 1/t
1
55. f(x) x x
6
56. f(x) 6 x
1
57. f(x) x2
1
58. f(x) 2x 1
se x 0
se x 0
 1 x se x 1
 x 1 se x 1
x 2

61. g(x)  2x 2
 x2 2

se x 0
se 0 x 2
se x 2
1 x

62. f(x)  x 2
 x2 4

se x 1
se 1 x 3
se x 3
x 2

63. h(x)  0
 2x 2

se x 0
se x 0
se x 0
1 x

64. h(x)  1
x 2

 1/x

65. f(x)  x
 2x1

se x 1
se x 1
se x 1
se x 0
se 0 x 2
se x 2
 x3 2 se x 1

se 1 x 0
66. f(x)  x 2
x
se x 0

Applicazioni
67. Criminalità Il numero degli arresti nel New Jersey nel
periodo 1990-1993 può essere modellato con l’equazione1
18000
n(t) (t 1)0.4
dove n(t) è il numero degli arresti nell’anno t, con
t 0 a rappresentare il 1990. Calcolate lim t→ n(t) e interpretate il risultato.
68. Criminalità Ripetete l’Esercizio 67 utilizzando il modello lineare
n(t) 2.4t 19.5
role entro l’età di t mesi può essere approssimato con
l’equazione2
12,196
p(t) 100 1 4.47
(t 8.5)
t 8
(
Calcolate lim t→ p(t) e lim t→ p(t) e interpretate i risultati.
70. Acquisizione del linguaggio La percentuale q(t) dei
bambini in grado di pronunciare frasi di cinque o più parole entro l’età di t mesi può essere approssimato con l’equazione
5.2665 1017
q(t) 100 1 12
(t 30)
t
(
69. Acquisizione del linguaggio La percentuale p(t) dei
bambini in grado di pronunciare almeno singole pa1
Si tratta di un modello di regressione basato su dati ricavati da un grafico del
New Jersey Administrative Office of the Courts/New York Times, 26 settembre 1994, p. B1.
)
)
Utilizzando la funzione p dell’esercizio 69, calcolate
lim t→ [ p(t) q(t)] e interpretate il risultato.
2
I modelli degli Esercizi 69 e 70 sono degli autori e si basano su dati presentati nell’articolo “The Emergence of Intelligence” di William H. Calvin in
Scientific American, ottobre 1994, pp. 101–107.
Quando l’esperto sei tu
71
Dare forma a un’idea
71. Descrivete i tre metodi di calcolare i limiti discussi in
questo paragrafo e nel precedente, specificando almeno
uno svantaggio di ognuno.
74. Che cosa c’è di sbagliato nella seguente frase?
lim x→2 (x2 4)/(x 2) non esiste, perché sostituendo
x 2 si ottiene 0/0, che è indefinito.
72. Fornite un esempio di funzione f specificata mediante
formule algebriche tale che f non sia continua in x 2.
75. Trovate una funzione che sia ovunque continua tranne
in due punti.
73. Che cosa c’è di sbagliato nella seguente frase? Se f(x) è
specificata algebricamente e f(a) è definita, allora lim x→a
f(x) esiste ed è uguale a f(a).
76. Trovate una funzione che sia ovunque continua tranne
in tre punti.
Quando l’esperto sei tu
Riduzione delle emissioni di zolfo
L’EPA (Environmental Protection Agency) intende promuovere una politica che
incentivi le aziende del settore energetico a ridurre le emissioni di zolfo. Il suo
scopo è di ridurre di 10 milioni di tonnellate le emissioni annue totali di diossido
di zolfo, attualmente pari a 25 milioni di tonnellate, imponendo una tassa fissa su
ogni tonnellata di zolfo rilasciata nell’ambiente in un anno. L’EPA dispone di
dati che descrivono il costo marginale della riduzione delle emissioni di zolfo.
Come consulente dell’EPA, avete il compito di determinare, alla luce di questi
dati, l’ammontare della tassa da applicare su ogni tonnellata di zolfo emessa.
Avete i dati seguenti, che mostrano il costo marginale per le aziende del settore energetico della riduzione delle emissioni di zolfo a diversi livelli:1
Riduzione (milioni di tonn.)
8
10
12
Costo marginale (per tonn.)
$270
$360
$779
Fonte: Congress of the United States, Congressional Budget Office,
Curbing Acid Rain: Cost, Budget and Coal Market Effects (Washington,
DC: Government Printing Office, 1986), xx, xxii, 23, 80.
Se C(q) è il costo per la riduzione q tonnellate di diossido di zolfo, la tabella indica
che C(8000000) $270 per tonnellata, C(10000000) $360 e C(12000000) $779. Ricordando che C(q) è la pendenza della tangente al grafico della funzione di
costo, dalla tabella si vede che tale pendenza è positiva e aumenta al crescere di q,
perciò il grafico di questa funzione di costo ha la forma generica della Figura 33.
Figura 33
Notate che la pendenza aumenta spostandosi a destra. Perciò le aziende del settore
dell’energia non hanno interesse a ridurre le emissioni. Per raggiungere l’obiettivo
1
Queste cifre sono state prodotte in uno studio al computer sulla riduzione delle emissioni di zolfo
dal livello del 1980 per le quantità date.
72
Capitolo 1
La derivata
della riduzione delle emissioni totali di 10 milioni di tonnellate, dovreste alterare
questa curva in modo che abbia la forma della Figura 34.
Figura 34
In questa curva il costo D per le aziende è minimo al livello di riduzione di 10 milioni di tonnellata, perciò le aziende, operando per minimizzare i costi, dovrebbero ridurre le emissioni di 10 milioni di tonnellate, l’obiettivo dell’EPA. Dal
grafico si vede che D(10000000) $0 per tonnellata, mentre D(q) è negativa
per q 10000000 e positiva per q 10000000.
All’inizio, siete infastiditi del fatto che non vi sia stata fornita la funzione di
costo. Sono stati resi noti soltanto i costi marginali, ma voi decidete di fare il meglio che potete pur senza conoscere la funzione di costo originale C(q).
Ora assumete che l’EPA imporrà una tassa annuale sulle emissioni di $k per
tonnellata di zolfo rilasciata nell’ambiente. Spetta a voi calcolare k. Poiché state
lavorando con q come variabile indipendente, decidete che sarebbe meglio formulare la tassa sulle emissioni come funzione di q, che rappresenta la quantità di
cui le emissioni sono ridotte. La relazione tra le emissioni annuali e la quantità q
di cui le emissioni sono ridotte rispetto alle 25 milioni di tonnellate originali è
data da
Emissioni annuali Emissioni originali Quantità riduzione
25000000 q
Quindi la tassa annuale totale per le aziende è
k(25000000 q) 25000000k kq
Questo dà un costo totale per le aziende di
Costo totale Costo riduzione emissioni Tassa emissioni
D(q) C(q) 25000000k kq
Anche se non avete idea della forma di C(q), ricordate che la derivata di una
somma è la somma delle derivate, perciò differenziate entrambi i membri rispetto a q:
D(q) C(q) 0 k C(q) k
Ricordate che volete
D(10000000) 0
Quindi,
C(10000000) k 0
Quando l’esperto sei tu
73
Facendo riferimento alla tabella vedete che
360 k 0
quindi
k $360 per tonnellata
In altre parole, dovete semplicemente impostare la tassa a k $360 per tonnellata di emissione. Inoltre, per assicurarvi che la curva risultante abbia la forma
della Figura 34, dovreste avere D(q) negativa per q 10000000 e positiva per
q 10000000. Per verifica, scrivete
D(q) C(q) k C(q) 360
e fate riferimento alla tabella per ottenere
D(8000000) 270 360 90 0
e
D(12000000) 779 360 419 0
✔
✔
Quindi, in base ai dati forniti, la curva risultante avrà la forma richiesta. Perciò
informate l’EPA che una tassa annuale di $360 per tonnellata di emissione creerà
l’incentivo appropriato per ridurre le emissioni di zolfo di 10 milioni di tonnellate
l’anno.
Una settimana dopo venite informati che questa tassa non sarebbe realistica
perché le aziende non potrebbero affrontare un tale costo. Vi viene chiesto se esista un piano alternativo per raggiungere l’obiettivo della riduzione di 10 milioni
di tonnellate, che alle aziende costi $5 miliardi in meno all’anno. Osservate l’espressione per la tassa sulle emissioni
25000000k kq
e notate che, se diminuite questo valore di $5 miliardi, la derivata non cambia
perché la derivata di una costante è zero. Quindi proponete la seguente formula
rivista per la tassa:
25000000k kq 5000000000 25000000(360) 360q 5000000000
4000000000 360q
Al livello atteso di riduzione di 10 milioni di tonnellate, l’importo totale pagato
dalle aziende sarebbe quindi di
4000000000 360(10000000) $400000000
Perciò proponete di imporre una tassa annuale di $360 per tonnellata di zolfo
emessa nell’ambiente e restituire $5 miliardi sotto forma di sussidi. L’effetto causerebbe una riduzione delle emissioni di 10 milioni all’anno e un ricavo di $400
milioni l’anno per il governo.
Notate che questa politica fornirebbe anche un incentivo alle aziende per cercare nuovi modi più economici per ridurre le emissioni. Ad esempio, una riduzione di 12 milioni di tonnellate darebbe un costo aggiuntivo per l’industria di
4000000000 360(12000000) $320000000
Il fatto che questo valore sia negativo significa che il governo pagherebbe alle
aziende $320 milioni in sussidi annuali.
74
Capitolo 1
La derivata
1. Escludendo i sussidi, quale dovrebbe essere la tassa annuale se lo scopo fosse di ridurre
le emissioni di zolfo di 8 milioni di tonnellate?
2. Escludendo i sussidi, quale dovrebbe essere la tassa annuale se lo scopo fosse di ridurre
le emissioni di zolfo di 12 milioni di tonnellate?
3. Qual è la tassa marginale sulle emissioni nella proposta rivista? Che relazione c’è tra il
costo marginale di ridurre le emissioni prima che sia imposta la tassa e la tassa marginale in corrispondenza della riduzione ottima nella proposta rivista?
4. Abbiamo detto che la politica rivista fornisce alle aziende un incentivo a trovare modi
più economici per ridurre le emissioni. Come dovrebbe cambiare C(q) per fare di 12
milioni di tonnellate la riduzione ottimale?
5. Quale modifica in C(q) farebbe di 8 milioni di tonnellate la riduzione ottimale?
6. Nello scenario dell’Esercizio 5, che cosa dovrebbe fare l’EPA per tornare alla riduzione
ottimale di 10 milioni di tonnellate?
7. A causa delle pressioni delle industrie, vi viene chiesto di rivedere la proposta affinché
le aziende non paghino tasse se l’obiettivo della riduzione di 10 milioni di tonnellate
sarà raggiunto. Come ottenete ciò?
8. Supponete che, invece di imporre una tassa fissa per tonnellata di emissione, decidiate di
utilizzare un’aliquota progressiva, in modo che la tassa totale per le aziende, calcolata su x
tonnellate di emissioni annuali, sia di $kx2 per un certo k. Che valore deve avere k per fare
di 10 milioni di tonnellate la riduzione ottimale?
esercizi
c a p i t o l o
1
t e s t
d i
r i p a s s o
1. Per ognuna delle funzioni seguenti, trovate il tasso di variazione medio sull’intervallo [a, a h] per h 1, 0.01, e 0.001. Arrotondate la risposta a quattro
cifre decimali. Poi stimate la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in a.
1
a. f(x) ; a 0
x1
b. f(x) x x; a 2
c. f(x) e 2x; a 0
d. f(x) ln(2x); a 1
2. Di seguito sono riportati alcuni grafici di funzioni dove sono stati segnati quattro punti. Determinate in quali di questi punti (se ve ne sono) la derivata della
funzione è (i) 1, (ii) 0, (iii) 1 e (iv) 2.
a.
b.
c.
d.
Test di ripasso
75
3. Sia f la funzione con il seguente grafico.
Scegliete la risposta corretta.
a. Il tasso di variazione medio di f sull’intervallo [0, 2] è (A) maggiore di, (B)
minore di, (C) approssimativamente uguale a f(0).
b. Il tasso di variazione medio di f sull’intervallo [1, 1] è (A) maggiore di,
(B) minore di, (C) approssimativamente uguale a f(0).
c. Sull’intervallo [0, 2], il tasso di variazione istantaneo di f è (A) crescente,
(B) decrescente, (C) nessuno dei due.
d. Sull’intervallo [2, 2], il tasso di variazione istantaneo di f è (A) crescente e
decrescente, (B) decrescente e poi crescente, (C) approssimativamente costante.
e. Quando x 2, f(x) è (A) approssimativamente 1 e crescente al tasso di
circa 2.5 unità per unità di x, (B) approssimativamente 1.2 e crescente al
tasso di circa 1 unità per unità di x, (C) approssimativamente 2.5 e crescente al tasso di 1.5 unità per unità di x, (D) approssimativamente 2.5 e
crescente al tasso di circa 2.5 unità per unità di x.
4. Trovate la derivata di ognuna delle seguenti funzioni.
1
a. f(x) 10x5 x4 x 2
2
1
10
1
b. f(x) 5 4 2
2x
x
x
2
x0.1
d. f(x) 2.1
x
2
c. f(x) 3x3 3 3 x
5. Utilizzate esclusivamente la definizione per calcolare la derivata di ognuna
delle seguenti funzioni per via algebrica.
1
b. f(x) 1
x
a. f(x) x2 x
Applicazioni
6. Dall’inizio di luglio, OHaganBooks.com ha visto le vendite settimanali aumentare come mostrato nella seguente tabella:
Settimana
Vendite (libri)
1
6500
2
7000
3
7200
4
7800
5
8500
6
9000
a. Qual è stato il tasso medio di crescita delle vendite settimanali nel periodo?
b. Durante quale intervallo di 1 settimana il tasso di crescita delle vendite ha
superato quello medio?
c. Durante quale intervallo di 2 settimane le vendite settimanali sono salite al
massimo tasso medio, e qual è stato tale tasso?
76
Capitolo 1
La derivata
7. OHaganBooks.com ha costruito la curva
v(t) 3.7t 3 74.6t 2 135.5t 6333.3
per rappresentare le vendite settimanali descritte nella Domanda 6, come mostrato nel seguente grafico:
a. Secondo il modello, qual è stato il tasso di crescita delle vendite all’inizio
della seconda settimana (t 1)? Arrotondate la risposta all’unità più vicina.
b. Se estrapoliamo il modello, quale sarebbe il tasso di crescita delle vendite
settimanali all’inizio dell’ottava settimana (t 7)?
c. Tracciate il grafico della funzione v per 0 t 20. Sarebbe realistico utilizzare la funzione per prevedere le vendite nella settimana 20? Perché?
8. OHaganBooks.com ha deciso che la curva precedente non è adatta per l’estrapolazione, e sta esaminando la curva
4474
s(t) 6053 1 e0.55(t4.8)
rappresentata nel seguente grafico:
a. Utilizzando questa funzione, stimate il tasso di crescita delle vendite settimanali all’inizio della settima settimana (t 6). Arrotondate la risposta all’unità più vicina.
Test di ripasso
77
b. Se estrapoliamo il modello, quale sarebbe il tasso di crescita delle vendite
settimanali all’inizio della quindicesima settimana (t 14)?
c. Tracciate il grafico della funzione s per 0 t 20. Qual è la previsione a
lungo termine per le vendite settimanali? E per il tasso di variazione delle
vendite settimanali?
9. Al crescere delle vendite di OHaganBooks.com, crescono anche i costi. Se teniamo conto degli sconti su volumi da parte di fornitori e corrieri, il costo settimanale per la vendita di x libri è
C(x) 0.00002x2 3.2x 5400 dollari
a.
b.
c.
d.
Qual è il costo marginale per vendite di 8000 libri a settimana?
Qual è il costo medio per libro per vendite di 8000 libri a settimana?
Qual è il costo medio marginale per vendite di 8000 libri a settimana?
Interpretate i risultati delle parti (a)–(c).
Risorse aggiuntive online
Se seguite il percorso
Booksite → Capitolo 1
troverete le seguenti risorse aggiuntive.
• Un sommario completo del capitolo (con esempi e funzionalità interattive).
• Un quiz vero-falso sugli argomenti del capitolo.
• Diversi strumenti utili per la creazione di grafici.