ELETTROSTATICA
+ Carica Elettrica
+ Campi Elettrici
+ Legge di Gauss
+ Potenziale Elettrico
+ Capacita’ Elettrica
ELETTRODINAMICA
+ Correnti
+ Campi Magnetici
+ Induzione e Induttanza
+ Equazioni di Maxwell
+ Onde Elettromagnetiche
Potenziale Elettrico
In presenza di una forza elettrostatica tra 2 o piu’ particelle cariche possiamo
associare un potenziale U al sistema (come abbiamo fatto per la forza gravitazionale o
elastica)
Se il sistema cambia configurazione
Ui
Uf
sappiamo che la forza ha compiuto un lavoro L sul sistema pari a:
ΔU = - L
come per gli altri campi conservativi il lavoro e’ indipendente dal percorso e puo’
essere espresso come la differenza del potenziale tra le 2 configurazioni,
indipendentemente da come vengono raggiunte
definiamo il potenziale di riferimento:
quando le particelle cariche si trovano a distanza infinita tra loro la forza esercitata e’
nulla (1/r2), definiamo quindi:
U(∞) = 0
Consideriamo ora il caso in cui avvicino 2 particelle cariche da distanza infinita:
cioe’ Ui(∞) = 0
ΔU = Uf - Ui = - L∞
cioe’
U = - L∞
Il potenziale di una data configurazione di cariche e’ il lavoro svolto dalle forze
elettrostatiche esistenti per portare le cariche da distanza infinita a quella particolare
configurazione
spesso i raggi cosmici (elettroni, protoni o altre
particelle con energia molto elevata)
interagiscono con gli atomi delle molecole
d’aria e possono “strappare” un elettrone da
queste
Una volta libero l’elettrone e’ soggetto ad una
forza elettrostatica F ad opera del campo E
terrestre pari a 150 N/C ed orientato verso la
superficie terrestre.
Qual e‘ la variazione di potenziale per per
l’elettrone se percorre verso l’alto una distanza
d = 520 m ?
spesso i raggi cosmici (elettroni, protoni o altre
particelle con energia molto elevata)
interagiscono con gli atomi delle molecole
d’aria e possono “strappare” un elettorne da
queste
Una volta libero l’elettrone e’ soggetto ad una
forza elettrostatica F ad opera del campo E
terrestre pari a 150 N/C ed orientato verso la
superficie terrestre.
Qual e‘ la variazione di potenziale per per
l’elettrone se percorre verso l’alto una distanza
d = 520 m ?
∆U = −L
L = F� · d�
�
F� = q E
L = qEdcosθ
(−1.6 · 10−19 C)(150N/C)(520m)cos180o = 1.2 · 10−14 J
∆U = −L = −1.2 · 10−14 J
Potenziale Elettrico
L = F� · d�
�
F� = q E
∆U = −L
il lavoro dipende da q, cosi’ come il potenziale
Se consideriamo il rapporto tra il potenziale e la carica, questo ha un valore univoco
per ogni punto del campo elettrico E
definisco il potenziale elettrico come:
U
V =
q
∆U
L
∆V = Vf − Vi =
=−
q
q
Cioe’ l’opposto del lavoro svolto da una forza per spostare una carica unitaria
U(∞) = 0
implica V(∞) = 0 quindi in un punto qualunque:
L∞
[J]
V =−
=
= [V ] = V olt
q
[C]
L∞
[J]
V =−
=
= [V ] = V olt
q
[C]
si puo’ esprimere E in [V]/[m]
elettronVolt [eV]
si puo’ definire una nuova unita’ di misura per l’energia (particolarmente utile in fisica
atomica): l’elettronvolt.
1 eV e’ il lavoro necessario per spostare una carica unitaria (l’elettrone) attraverso una
differenza di potenziale di 1 V
segue:
1 eV = qV = 1,6021.10-19 [C].[J]/[C] = 1,6021.10-19 [J]
lavoro svolto da una forza applicata
sposto una carica in un campo elettrico applicando una forza Fapp
∆K = Kf − Ki = Lapp + L
se vi = vf = 0 allora Ki = Kf
Lapp = −L
cioe’ per spostare la carica svolgo lavoro contro il campo
elettrico
∆U = Uf − Ui = Lapp
Lapp = q∆V
il lavoro che bisogna svolgere per muovere una carica q tra
una differenza di potenziale ΔV
superfici equipotenziali
def: e’ il luogo dei punti nello spazio a cui compete il medesimo potenziale
l’esempio qui a fianco mostra una famiglia di
superfici equipotenziali
data la natura conservativa della forza
elettrostatica possiamo notare che:
L = 0 per i percorsi I e II
L ≠ 0 per III e IV inoltre
LIII = LIV
Come calcolare U conoscendo E
Calcolare il lavoro L svolto da E su una carica di prova positiva tra una configurazione
iniziale e una finale. ΔV sara’ infine pari a -L/q
�
F� = q E
dL = F� · d�s
� · d�s
dL = q E
� f
� · d�s
L=q
E
i
� f
� · d�s
Vf − V i = −
E
i
se Vi = V (∞) = 0
V =−
�
f
i
� · d�s
E
(a) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una
carica di prova positiva da i a f
(a) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una
carica di prova positiva da i a f
� · d�s = Edscosθ = Eds
E
� f
�
� · d�s = −
Vf − Vi = −
E
i
Vf − Vi = −E
�
f
i
ds = −Ed
f
Eds
i
(b) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una
carica di prova positiva da i a f
−
�
� =
cf
f
c
� · d�s = −
E
�
Vf − V i = −
f
c
�
c
i
� · d�s −
E
�
f
c
� · d�s =
E
E(cos 45o )ds = −E(cos 45o )ds
d
sin 45o
Ed
o
V f − Vi = −
cos
45
= −Ed
o
sin 45
�
f
ds
c
casi specifici
potenziale di una carica puntiforme
spostiamo una carica q0 da un punto P a distanza infinita
� · d�s = Ecosθ ds = Eds
E
Vf − V i = −
�
(ds → dr)
∞
Edr
R
1 q
E=
4π�0 r2
q
0−V =−
4π�0
�
∞
R
1 q
V (r) =
4π�0 r
� �∞
1
q
1
1 q
dr =
=−
2
r
4π�0 r R
4π�0 R
potenziale per un sistema di cariche puntiformi
n
�
1
V =
Vi =
4π�
0
i=1
n
�
qi
i=1
ri
il potenziale e’ definito tramite il lavoro, una grandezza scalare. segue:
1) la relazione sopra e’ semplicemente algebrica, non vettoriale
2) il principio di sovrapposizione vale per definizione
potenziale di un dipolo
�
�
q
−q
+
=
r+
r−
�
�
q
r− − r+
4π�0
r + r−
1
V = V+ + V− =
4π�0
r- - r+ ~ dcosθ
r-r+ ~ r2
�
�
q dcosθ
1q pcosθ
q
−q
V V
= = V+ + V
+
=
− =
2
2
4π�0 r
4π�00 r +
r−
�
�
q
r− − r+
4π�0
r + r−
dipoli indotti
Abbiamo visto il caso di dipoli permanenti come le molecole d’acqua:
la distribuzione della nuvola elettronica e’ tale da sbilanciare spazialmente la carica
nella molecole: risulta un momento di dipolo non nullo.
In generale: se mettiamo pero’ un atomo o una molecola non polare in un campo
elettrico intenso, questo puo’ modificare la distribuzione spaziali degli elettroni,
parliamo di momento di dipolo indotto
potenziale di una distribuzione continua di carica
ponendo sempre V(∞) =0, generalizziamo il concetto di potenziale di una carica
puntiforme ad un elemento di carica dq
1 dq
dV =
4π�0 r
�
�
1
dq
V = dV =
4π�0
r
vediamo ora per 2 casi particolari: distribuzione lineare di carica e un disco carico
distribuzione lineare di carica
dq = λdx
1
λdx
dV =
4π�0 (x2 + d2 )1/2
�
L
λ
dx
V =
=
2
2
1/2
4π�0 0 (x + d )
�L
λ �
ln(x + (x2 + d2 )1/2 ) =
4π�0
0
�
�
2
2 1/2
λ
L + (L + d )
ln
4π�0
d
disco carico
�
dq = σ(2πR )dR
�
�
1 σ(2πR )dR
√
dV =
4π�0
z 2 + R2
V =
� R
�
�
dV =
�
σ
2
2 −1/2 �
(z + R )
R dR =
2�0 �
0
σ
( z 2 + R2 − z)
2�0
derivare il campo E dal potenziale
sembra semplice dal punto di vista grafico.
cerchiamo ora una soluzione analitica...
il lavoro del campo elettrico puo’ essere
espresso come
dL = -q0dV ma anche
dL = q0Ecosθds
ovvero:
dV
Ecosθ = −
ds
Ecosθ e’ la componente di E lungo la
direzione ds
∂V
Es = −
∂s
In una terna cartesiana:
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ey = −
∂y
∂V
Ez = −
∂z
il potenziale sull’asse di un disco carico e’:
�
σ �� 2
V =
(z + R2 − z
2�0
qual e’ l’espressione del campo elettrico in ogni punto dell’asse del disco ?
il potenziale sull’asse di un disco carico e’:
�
σ �� 2
V =
(z + R2 − z
2�0
qual e’ l’espressione del campo elettrico in ogni punto dell’asse del disco ?
�
�
�
�
∂V
σ d � 2
σ
z
2
Ez =
=−
(z + R − z =
1− √
∂z
2�0 dz
2�0
z 2 + R2
campo elettrico generato da un disco carico - calcolo diretto
dq = σdA = σ(2πr)dr
dE =
zσ2πrdr
4π�0
(z 2
+
3
2
r )2
considero il disco come
una serie di tanti anelli
concentrici di raggio r,
sfrutto il risultato
precedente (q->dq)
σz
2rdr
dE =
4�0 (z 2 + r2 ) 32
�
� R
σz
2
2 − 23
E = dE =
(z + r ) 2rdr
4�0 0
σ
E=
2�0
�
z
1− √
z 2 + R2
�
cambio di variabile:
x = z2 + r2
dx = 2rdr
Energia potenziale elettrica per un sistema di cariche
avviciniamo 2 cariche uguali: il lavoro che svolgiamo viene immagazzinato come
potenziale elettrico
una volta libere le cariche si respingono (si muovono) e recuperano l’energia
immagazzinata sotto forma di energia cinetica
l’energia potenziale di un sistema di cariche fisse e’ pari al lavoro svolto da un agente
esterno per portare il sistema nella configurazione considerata spostando ogni carica
da una distanza infinita alla propria posizione
vediamo per 2 cariche:
1) q1 da ∞ alla sua posizione: non si compie lavoro (non c’e’ alcuna forza
elettrostatica)
2) portando q2 da infinito si compie invece lavoro: c’e’ una forza elettrostatica a causa
di q1
L∞
V =−
q
L = q2 V
1 q1 q2
U = L = q2 V =
4π�0 r
U > 0 per cariche dello stesso segno
U < 0 per cariche di segno opposto
il lavoro che svolgiamo
“noi”, non il campo
elettrico
3 cariche poste come in figura, ferme.
q1 = +q
q2 = -4q
q3 = +2q
d = 12 cm
determinare l’energia potenziale elettrica
3 cariche poste come in figura, ferme.
q1 = +q
q2 = -4q
q3 = +2q
d = 12 cm
determinare l’energia potenziale elettrica
devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema
3 cariche poste come in figura, ferme.
q1 = +q
q2 = -4q
q3 = +2q
d = 12 cm
determinare l’energia potenziale elettrica
devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema
U12
1 q1 q2
=
4π�0 d
3 cariche poste come in figura, ferme.
q1 = +q
q2 = -4q
q3 = +2q
d = 12 cm
determinare l’energia potenziale elettrica
devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema
U12
1 q1 q2
=
4π�0 d
U13 + U23
1 q1 q3
1 q2 q3
=
+
4π�0 d
4π�0 d
3 cariche poste come in figura, ferme.
q1 = +q
q2 = -4q
q3 = +2q
d = 12 cm
determinare l’energia potenziale elettrica
devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema
U�
= U12 + U13 + U23 =
�
1
(+q)(−4q) (+q)(+2q) (−4q)(+2q)
+
+
=
4π�0
d
d
d
= −1.7 · 10−2 J = −17mJ
una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d’oro (nucleo e’
composto da 79 protoni e 118 neutroni)
trascuriamo l’interazione della particella α con la nuvola elettronica
osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23
fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro
trascuriamo il rinculo del nucleo
Qual era Ki della particella ?
una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d’oro (nucleo e’
composto da 79 protoni e 118 neutroni)
trascuriamo l’interazione della particella α con la nuvola elettronica
osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23
fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro
trascuriamo il rinculo del nucleo
Qual era Ki della particella ?
1) durante tutto il moto l’energia del sistema si
conserva
2) quando la particella e’ lontana U = 0
(l’atomo e’ complessivamente neutro)
3) quando la particella penetra la nuvola
elettronica il campo generato dagli elettroni e’
nullo (la situazione e’ analoga ad un conduttore)
rimane solo il campo del nucleo
una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d’oro (nucleo e’
composto da 79 protoni e 118 neutroni)
trascuriamo l’interazione della particella α con la nuvola elettronica
osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23
fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro
trascuriamo il rinculo del nucleo
Qual era Ki della particella ?
Ki + Ui = Kf + Uf
Ui = 0
Kf = 0
quindi Ki = Uf
con:
una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d’oro (nucleo e’
composto da 79 protoni e 118 neutroni)
trascuriamo l’interazione della particella α con la nuvola elettronica
osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23
fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro
trascuriamo il rinculo del nucleo
Qual era Ki della particella ?
quindi Ki = Uf
1 (2e)(79e)
U=
= 3, 9410−12 J = 24, 6M eV
4π�0 9, 23 f m
potenziale per un conduttore carico isolato
in un conduttore con carica in eccesso, questa si distribuisce sulla superficie
tutti i punti sono equipotenziali sia internamente che esternamente
la proprieta’ vale anche per conduttori cavi
Vf − Vi = −
�
f
i
� · d�s = 0
E
(E = 0)
Vf = Vi