Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento
Secondario della Toscana
(sede di Firenze)
VIII Ciclo
II Anno
Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico
Unità Didattica
“L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Specializzando:
Andrea Giotti
Anno Accademico 2007/2008
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Indice
Introduzione
p. 3
Lezione 1 – Il piano cartesiano
p. 5
Lezione 1.1 – La distanza tra due punti
p. 5
Lezione 1.2 – Il punto medio di un segmento
p. 6
Lezione 1. 3 – L'equazione di una retta parallela ad un asse
p. 8
Lezione 1.4 – L'appartenenza di un punto ad un luogo geometrico
p. 8
Lezione 1.5 – L'intersezione tra due luoghi geometrici
p. 9
Lezione 2 – L'equazione di una retta passante per l'origine
p. 10
Lezione 3 – L'equazione di una retta generica
p. 13
Lezione 4 – Rette parallele e perpendicolari
p. 17
Lezione 4.1 – Il punto di intersezione tra due rette
p. 18
Lezione 4.2 – La distanza di un punto da una retta
p. 19
Lezione 5 – Esercitazioni varie
p. 20
Lezione 6 – Verifica
p. 21
Lezione 7 – Correzione della verifica
p. 23
Bibliografia
p. 24
2
Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Introduzione
In questa sezione si elencano schematicamente le principali caratteristiche di questa unità didattica:
●
Titolo: Il titolo di questa unità didattica è “L'equazione della retta nel piano cartesiano”.
●
Disciplina di appartenenza: La disciplina a cui appartiene questa unità didattica è la geometria
analitica e questa si inquadra all'interno del programma di matematica per la scuola superiore.
●
Classe di riferimento: Questa unità didattica è stata pensata per gli alunni di una classe
seconda superiore di un liceo o istituto tecnico ed è stata effettivamente sperimentata in un liceo
scientifico.
●
Prerequisiti: Si assume che gli alunni a cui è destinata questa unità didattica siano dotati di
alcune nozioni di geometria elementare (quali il concetto primitivo di retta e quelli di
parallelismo e perpendicolarità) e conoscano il teorema di Pitagora, il secondo teorema di
Euclide ed i criteri di similitudine tra triangoli oppure il teorema di Talete nella sua forma più
generale.
●
Collocazione: Questa unità didattica potrebbe essere collocata nel primo quadrimestre del
secondo anno, subito dopo l'introduzione dei criteri di similitudine tra triangoli, ed è stata
effettivamente sperimentata in tale collocazione.
●
Obiettivo: L'obiettivo di questa unità didattica è quello di introdurre gli alunni alla geometria
analitica e consentire loro di familiarizzare con essa attraverso uno studio approfondito
dell'equazione della retta nelle sue varie forme ed applicazioni. Operativamente, mira a
trasmettere la capacità di disegnare una retta a partire dalla sua equazione e scriverne
l'equazione in base al suo disegno, determinare lunghezze e punti medi di segmenti, verificare
l'appartenenza di un punto ad una retta, scrivere l'equazione della retta passante per due punti e
della retta passante per un punto che sia parallela o perpendicolare ad una seconda retta,
determinare il punto di intersezione tra due rette e la distanza di un punto da una retta,
combinare tutte queste competenze nella risoluzione di problemi complessi.
●
Metodologie: I metodi didattici impiegati consistono in lezioni frontali e lezioni dialogiche.
●
Contenuti: I contenuti di questa unità didattica sono costituiti dalle formule che consentono di
determinare la distanza tra due punti ed il punto medio di un segmento con le relative
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
dimostrazioni, dall'equazione di una retta parallela ad un asse, dalla condizione di appartenenza
di un punto ad un luogo geometrico, dal concetto di intersezione tra due luoghi geometrici,
dall'equazione di una retta passante per l'origine in forma di funzione e generale con le relative
dimostrazioni, dall'interpretazione geometrica del coefficiente angolare, dal cambio del sistema
di riferimento, dalla formula del fascio di rette passante per un punto con la relativa
dimostrazione, dall'equazione di una retta generica in forma di funzione, generale e segmentaria
con le relative dimostrazioni, dall'interpretazione geometrica dell'intercetta, dalla formula della
retta passante per due punti con la relativa dimostrazione, dalle condizioni di parallelismo e
perpendicolarità con le relative dimostrazioni, dalla determinazione del punto di intersezione tra
due rette e dalla procedura per calcolare la distanza di un punto da una retta.
●
Risorse necessarie: Le risorse di cui questa unità didattica necessita sono il libro di testo, una
lavagna e gessetti colorati.
●
Struttura: Questa unità didattica richiede complessivamente un tempo stimato di dieci ore ed è
articolata in sette lezioni di approssimativamente un'ora ciascuna, eccetto la quinta a cui ne sono
dedicate quattro, secondo la seguente scaletta:
1. Il piano cartesiano (1 ora)
2. L'equazione di una retta passante per l'origine (1 ora)
3. L'equazione di una retta generica (1 ora)
4. Rette parallele e perpendicolari (1 ora)
5. Esercitazioni varie (4 ore)
6. Verifica (1 ora)
7. Correzione della verifica (1 ora)
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 1 – Il piano cartesiano
Nell'antichità classica la geometria e l'algebra erano visti come due mondi completamente separati e
solo la prima delle due poteva contare su di una solida costruzione deduttiva. Nei secoli successivi
l'algebra colmò questo divario acquisendo un rigore paragonabile a quello della geometria sintetica, ma
restava la netta separazione tra le due discipline. Fu necessario attendere l'opera di René Descartes
(Cartesio, 1596 – 1650) perché un ponte tra geometria ed algebra potesse finalmente essere gettato. In
particolare, Descartes affrontò la geometria con gli strumenti dell'algebra, facendo corrispondere ai
punti del piano coppie di numeri detti coordinate ed alle curve del piano le equazioni che legano le
coordinate dei punti appartenenti alle curve stesse. Questa nuova scienza, in cui ogni ente geometrico
ha un corrispettivo algebrico e viceversa, prese il nome di geometria analitica.
In geometria analitica, il sistema di riferimento su cui vengono misurate le coordinate è costituito da
due assi perpendicolari e dotati di un verso corrispondente a valori crescenti della rispettiva coordinata.
Questi assi sono detti delle ascisse (o delle x), collocato orizzontalmente ed orientato da sinistra a
destra, e delle ordinate (o delle y), collocato verticalmente ed orientato dal basso in alto. Essi dividono
il piano in quattro quadranti, numerati da uno a quattro in senso antiorario a partire dal quadrante dove
entrambe le coordinate sono positive, cioè quello in alto a destra. Il punto di intersezione tra gli assi,
corrispondente alle coordinate (0, 0), è detto origine del sistema di riferimento. Da un punto di vista
formale, i punti del piano vengono messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi del prodotto
cartesiano dell'insieme dei numeri reali R per se stesso, che in simboli si scrive R × R ovvero R2.
Quest'ultimo insieme è il dominio su cui opera la geometria analitica ed alcuni suoi sottoinsiemi,
caratterizzati da equazioni appropriate, vengono messi in corrispondenza biunivoca con le figure di
interesse della geometria sintetica.
Lezione 1.1 – La distanza tra due punti
Come esempio di come si opera sul piano cartesiano e per fornire agli alunni un utile strumento verrà di
seguito ricavata la formula della distanza tra due punti qualunque. Assegnati due punti del piano con
coordinate (x1, y1) e (x2, y2), la loro distanza può essere espressa in funzione delle loro coordinate
considerando il triangolo rettangolo che ha come vertici i due punti precedenti e quello alle coordinate
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
(x2, y1)1, i cui cateti misurano dunque |x2 – x1| e |y2 – y1|. La lunghezza dell'ipotenusa di questo triangolo
è appunto la distanza cercata e può essere calcolata applicando ad esso il teorema di Pitagora2 secondo
la formula:
d 1,2=  x2 −x1 2  y 2− y 1 2
Per maggior chiarezza la costruzione sopra esposta è rappresentata nella seguente figura.
y2
d 1, 2
y1
x1
x2
Lezione 1.2 – Il punto medio di un segmento
Un secondo esempio, anch'esso risultante in un utile strumento, è dato dalla dimostrazione della
formula che individua il punto medio di un qualunque segmento, di coordinate (x0, y0), in funzione delle
coordinate dei suoi estremi, (x1, y1) e (x2, y2). Oltre al triangolo dell'esempio precedente, in questo caso
è necessario considerare un secondo triangolo rettangolo con vertici alle coordinate (x1, y1), (x0, y0) e
(x0, y1)3, che risulta simile al precedente in quanto soddisfa il primo criterio di similitudine 4, avendo un
1 Oppure quello alle coordinate (x1, y2) se si preferisce scegliere il triangolo più in alto.
2 “In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.”
(Melzi, Tonolini; Minerva Italica).
3 Oppure (x1, y0) se in precedenza si è scelto il triangolo più in alto.
4 “Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente uguali, allora sono simili.” (Melzi, Tonolini; Minerva Italica).
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angolo in comune con esso ed un secondo angolo retto come quello del primo triangolo. Dato che
l'ipotenusa del primo triangolo è per ipotesi doppia di quella del secondo anche i cateti stanno in ugual
proporzione, dunque i punti (x0, y1) e (x2, y0)5 li dividono in due parti uguali, da cui le equazioni:
∣x 2−x 0∣=∣x0 −x1∣
∣y 2− y 0∣=∣ y 0− y 1∣
Supponendo ad esempio6 x1 < x0 < x2 e y1 < y0 < y2 i valori assoluti scompaiono e risolvendo rispetto a x0
e y0 si ottengono le formule cercate:
x 1 x 2
2
y 1 y 2
y 0=
2
x 0=
Nel caso che i criteri di similitudine non fossero già noti agli alunni, è possibile sfruttare il teorema di
Talete per giungere alla stessa conclusione. Anche stavolta la costruzione sopra esposta è rappresentata
nella seguente figura.
y2
y0
y1
x1
x0
x2
5 Oppure i punti (x0, y2) e (x1, y0) per il triangolo più in alto.
6 Se x2 < x0 < x1 o y2 < y0 < y1 il contenuto dei corrispondenti valori assoluti cambia di segno e si giunge comunque allo
stesso risultato.
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Lezione 1.3 – L'equazione di una retta parallela ad un asse
La corrispondenza tra le coppie di coordinate ed i punti del piano è un concetto che gli alunni già
possiedono in qualche forma (si pensi ad esempio al gioco della battaglia navale), mentre la
corrispondenza tra equazioni e luoghi geometrici risulta nuova e per questo meritevole di essere
introdotta gradualmente. Si inizierà quindi considerando gli assi cartesiani e la proprietà che ne
caratterizza i punti, cioè quella di avere una coordinata nulla mentre l'altra coordinata è libera di variare
su tutto l'insieme dei numeri reali R, fino a giungere alla scrittura delle equazioni che rappresentano
questo vincolo:
y=0 per l'asse delle ascisse
oppure
x=0 per l'asse delle ordinate.
Analogamente, i punti delle rette parallele ad uno dei due assi hanno una coordinata costante mentre
l'altra resta libera di variare sull'intero insieme R. Indicando con k il valore di questa costante, le loro
equazioni risultano quindi:
y=k per le rette parallele all'asse delle ascisse
oppure
x=k per le rette parallele all'asse delle ordinate.
Si sottolinea infine come queste condizioni valgano per tutti e soli i punti della retta considerata,
costituendo condizione necessaria e sufficiente per l'appartenenza a questo luogo geometrico.
Lezione 1.4 – L'appartenenza di un punto ad un luogo geometrico
L'appartenenza di un punto ad un luogo geometrico può essere determinata sostituendo le coordinate
del punto nell'equazione che rappresenta il luogo stesso e verificandone la validità. Se l'equazione è
verificata il punto appartiene al luogo, in caso contrario esso non vi appartiene. Ad esempio, un punto
appartiene all'asse delle ascisse se e solo se la sua ordinata è 0, mentre appartiene all'asse delle ordinate
se e solo se la sua ascissa è 0. Analogamente, un punto appartiene ad una retta parallela all'asse delle
ascisse, di equazione y = y0, se e solo se la sua ordinata è uguale a y0, mentre appartiene ad una retta
parallela all'asse delle ordinate, di equazione x = x0, se e solo se la sua ascissa è uguale a x0.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 1.5 – L'intersezione tra due luoghi geometrici
Il concetto di intersezione tra due luoghi geometrici è considerato così importante da essere introdotto
fin da questa prima lezione, seppur limitatamente ai semplici casi fin qui affrontati. Ad esempio, il
punto d'intersezione tra gli assi, cioè l'origine, è individuato univocamente mettendo a sistema le
equazioni dei due assi (y = 0, x = 0) e giungendo così alla soluzione (0, 0). Analogamente, il punto di
intersezione tra una retta parallela all'asse delle ascisse, di equazione y = y0, ed una retta parallela
all'asse delle ordinate, di equazione x = x0, è l'unica soluzione del sistema ottenuto a partire dalle loro
equazioni, cioè il punto alle coordinate (x0, y0). Dato che l'intersezione tra due luoghi geometrici è
costituita da tutti e soli i punti soddisfacenti le equazioni di entrambi, il metodo di mettere a sistema
queste equazioni per individuare i punti comuni ai due luoghi è del tutto generale e vale per qualunque
curva. Se questo sistema è impossibile i luoghi geometrici non hanno punti in comune, mentre se esso
ammette soluzioni ad ogni soluzione corrisponde un diverso punto in comune. Nel caso che questi
luoghi geometrici siano due rette generiche il sistema corrispondente può avere un'unica soluzione se le
rette sono incidenti, infinite soluzioni se esse sono coincidenti oppure nessuna soluzione se esse sono
parallele e distinte.
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Lezione 2 – L'equazione di una retta passante per l'origine
Per ricavare l'equazione di una retta passante per l'origine si può innanzitutto tracciare la retta in
questione per poi selezionare due punti qualunque, di coordinate (x1, y1) e (x2, y2), appartenenti alla retta
stessa e non coincidenti con l'origine. Si possono allora considerare due triangoli rettangoli, un primo
triangolo che ha i propri vertici nei punti (0, 0), (x1, y1) e (x1, 0)7 ed un secondo triangolo che li ha nei
punti (0, 0), (x2, y2) e (x2, 0)8. Ragionando come si è già fatto per determinare il punto medio di un
segmento, si può anche stavolta osservare che questi due triangoli sono simili per il primo criterio di
similitudine, avendo entrambi un angolo in comune con l'altro triangolo ed un secondo angolo retto. I
loro cateti stanno dunque in proporzione e, visto che i cateti del primo triangolo misurano x1 e y1 mentre
quelli del secondo x2 e y2, vale la relazione:
y2 x2
=
y1 x1
Se necessario, anche in questo caso il teorema di Talete può sostituire il criterio di similitudine. Per
maggior chiarezza la costruzione sopra esposta è rappresentata nella seguente figura.
y2
y1
x1
x2
7 Oppure (0, y1) se si preferisce scegliere il triangolo più in alto.
8 Oppure (0, y2) se in precedenza si è scelto il triangolo più in alto.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Assumendo che x2 sia diverso da zero e moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione
per y1 / x2 si ricava la nuova equazione:
y2 y 1
= =m
x2 x1
dove con m si è indicato il rapporto tra ascissa ed ordinata dei due punti selezionati, rapporto che risulta
costante al variare del punto considerato. Dato che i punti selezionati sono qualunque purché
appartenenti alla retta in questione, si può in generale affermare che per tutti i punti di questa
particolare retta vale il vincolo:
y=m x
che è appunto l'equazione cercata. Visto che anche la retta tracciata è qualunque purché passante per
l'origine, si può concludere che l'equazione trovata vale per ogni retta passante per l'origine ad
eccezione dell'asse delle ordinate, per la quale x1 = x2 = 0, pur di assegnare alla costante m un valore
appropriato. Questa costante prende il nome di coefficiente angolare della retta e ne determina la
pendenza, secondo quanto rappresentato nella seguente figura.
m=2
m=1
m = 0.5
m=0
m = –1
Si osserva che al crescere del modulo del coefficiente angolare corrispondono rette di pendenza sempre
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maggiore. Quando m = 1 si ottiene l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre per
m = –1 quella della bisettrice del secondo e quarto quadrante. Se m = 0 si ricava nuovamente
l'equazione dell'asse delle ascisse, y = 0, mentre l'equazione delle asse delle ordinate, x = 0, non può
essere scritta nella forma y = m x perché questo richiederebbe l'assegnazione di un valore infinito al
coefficiente angolare. Al variare di m su tutto l'insieme R, l'equazione trovata non descrive più una
singola retta ma l'intero fascio di rette passante per l'origine.
Se è necessario includere nella rappresentazione matematica anche l'asse delle ordinate si può invece
ricorrere ad un'equazione più generale, avente la forma:
a x b y=0
con almeno una costante non nulla tra a e b. Quando a = 1 e b = 0 questa formula produce infatti il
risultato x = 0, corrispondente all'equazione dell'asse delle ordinate, mentre per ogni b non nullo essa
può essere riscritta dividendo per b entrambi i suoi membri, trasportando il termine in x sul suo lato
destro ed ottenendo così:
a
y=− x
b
che rappresenta dunque una retta passante per l'origine con coefficiente angolare m = – a / b. Lo
svantaggio di questa seconda forma rispetto alla prima è che non garantisce l'unicità della
rappresentazione matematica di ogni retta, ad esempio le equazioni x – y = 0 e 2 x – 2 y = 0 sono
diverse ma rappresentano la stessa retta con coefficiente angolare unitario.
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Lezione 3 – L'equazione di una retta generica
Prima di ricavare l'equazione di una retta generica conviene scrivere l'equazione del fascio di rette
passante per un qualunque punto di coordinate (x0, y0). A tal fine si può effettuare una traslazione del
sistema di riferimento in modo da porre l'origine nel punto selezionato, secondo:
x ' =x−x0
y '= y− y 0
Si può poi considerare il fascio di rette passante per l'origine del nuovo sistema di riferimento, la cui
equazione è stata ricavata nella lezione precedente:
y '=m x '
Riscrivendo questa equazione nel sistema di riferimento di partenza si giunge al risultato:
y− y 0=m x−x 0 
che descrive l'intero fascio di rette passante per il punto (x0, y0) al variare di m su tutto l'insieme R.
Questo risultato può essere impiegato per giungere alla scrittura dell'equazione di una retta generica
selezionando come origine del nuovo sistema di riferimento il punto di intersezione tra la retta di cui si
vuole scrivere l'equazione e l'asse delle ordinate, punto che supponiamo trovarsi alle coordinate (0, q).
A questo punto il coefficiente angolare può essere determinato operando nel nuovo sistema di
riferimento come nel caso della retta passante per l'origine, applicando i criteri di similitudine o il
teorema di Talete. Riscrivendo l'equazione nel sistema di riferimento di partenza e trasportando infine
sul lato destro dell'equazione il termine costante si ricava:
y=m xq
che è appunto l'equazione cercata. La costante q prende il nome di intercetta e determina, a parità di
ascissa, la differenza di ordinata tra i punti della retta in questione e quelli della sua parallela passante
per l'origine. Condizione necessaria e sufficiente per il passaggio di una retta per l'origine è infatti di
avere intercetta nulla, come già visto, inoltre le due rette di equazioni y = m x + q e y = m x risultano
parallele poiché quando q = 0 esse sono coincidenti, in caso contrario esse non hanno punti in comune
in quanto, a parità di ascissa, la differenza tra le ordinate dei loro punti è appunto uguale a q. Nella
seguente figura è rappresentata la situazione sopra esposta.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
y2
y1
q
x1
x2
Il coefficiente angolare di una retta generica può essere interpretato come rapporto incrementale, cioè
rapporto tra l'incremento della variabile dipendente y e quello della variabile indipendente x, ovvero:
m=
Δy
Δx
Questa interpretazione è particolarmente utile se m è espresso sotto forma di frazione. Infatti se Δx e Δy
sono numeri interi, quando l'ascissa di un punto vincolato a muoversi sulla retta aumenta di Δx unità, la
sua ordinata deve aumentare conseguentemente di Δy unità perché il vincolo imposto venga
soddisfatto. Ciò consente di tracciare facilmente la retta in questione a partire dalla sua equazione.
Se poi si desidera scrivere l'equazione della retta passante per due punti assegnati, di coordinate (x1, y1)
e (x2, y2), si può riutilizzare la formula del fascio di rette passante per il primo punto ed assegnare al
coefficiente angolare un valore tale da assicurare il passaggio della retta per il secondo punto, valore
che per quanto appena visto risulta pari a:
m=
y2 − y 1
x2 −x1
e conduce al risultato:
y− y 1=
y 2− y 1
 x−x 1
x 2−x 1
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Sostituendo in questa equazione alle variabili x e y le coordinate dei due punti assegnati si può infatti
verificare l'appartenenza di entrambi i punti alla retta stessa.
Come nel caso della retta passante per l'origine, anche in questo caso le rette parallele all'asse delle
ordinate richiederebbero l'assegnazione di un valore infinito al coefficiente angolare e non sono dunque
rappresentabili nella forma y = m x + q. Per includerle nella rappresentazione matematica si può invece
ricorrere ad un'equazione più generale, avente la forma:
a xb yc=0
con almeno una costante non nulla tra a e b. Quando a = 1 e b = 0 questa formula produce infatti il
risultato x = – c, corrispondente all'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, mentre per
ogni b non nullo essa può essere riscritta dividendo per b entrambi i suoi membri, trasportando sia il
termine in x che quello costante sul suo lato destro ed ottenendo così:
a
c
y=− x−
b
b
che rappresenta dunque una retta con coefficiente angolare m = – a / b ed intercetta q = – c / b. Anche
in questo caso, lo svantaggio di questa seconda forma rispetto alla prima è che non garantisce l'unicità
della rappresentazione matematica di ogni retta.
Una ulteriore forma in cui possono essere rappresentate tutte le rette non passanti per l'origine o
parallele agli assi è la cosiddetta equazione segmentaria, che si ottiene dividendo per – c entrambi i
membri dell'equazione di una retta nella precedente forma e trasportando sul suo lato destro il termine
costante:
x y
 =1
p q
dove p = – c / a e q = – c / b. Queste due costanti prendono il nome di intercette e corrispondono
rispettivamente all'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle ascisse ed all'ordinata del
punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate, secondo quanto mostrato nella seguente
figura.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
q
p
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 4 – Rette parallele e perpendicolari
Dato che la pendenza di una retta è determinata dal valore del suo coefficiente angolare, ci si può
ragionevolmente attendere che rette parallele e perpendicolari siano legate da opportune funzioni dei
loro coefficienti angolari. Per quanto riguarda la scrittura della condizione di parallelismo, si supponga
che le rette di equazioni y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2 siano parallele. È allora sufficiente ricordare che la
retta parallela alla prima e passante per l'origine ha equazione y = m1 x, come già dimostrato, e lo stesso
ragionamento può essere fatto per la seconda retta, la cui parallela passante per l'origine ha dunque
equazione y = m2 x. Per la proprietà transitiva della relazione di parallelismo queste due nuove rette
devono essere parallele tra loro ed il fatto che abbiano in comune almeno l'origine implica che siano
anche coincidenti. Vale dunque la condizione:
m1 =m 2
Per quanto riguarda la scrittura della condizione di perpendicolarità, si supponga invece che le rette di
equazioni y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2 siano perpendicolari e che m1 e m2 non siano nulli, ad esempio
sia m1 > 0 e m2 < 09. Si può allora considerare il triangolo con vertici in (0, 0), (1, m1) e (1, m2), che per
ipotesi risulta rettangolo, ed osservare che l'altezza relativa alla sua ipotenusa ha lunghezza 1, mentre le
proiezioni dei suoi due cateti sull'ipotenusa hanno lunghezze m1 e – m2. Applicando il secondo teorema
di Euclide10 a questo triangolo si ottiene dunque:
m1
1
=
1 −m2
da cui la condizione:
m1 m2=−1
Nella seguente figura è rappresentata la situazione sopra esposta.
9 Scambiando il segno dei due coefficienti angolari si giunge comunque allo stesso risultato.
10 “In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti
sull'ipotenusa.” ovvero “In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al
rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.” (Melzi, Tonolini; Minerva Italica).
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
m1
1
m2
Lezione 4.1 – Il punto di intersezione tra due rette
L'intersezione tra due luoghi geometrici può essere ottenuta mettendo a sistema le equazioni dei luoghi
assegnati, come già visto. Se questi luoghi sono costituiti da due rette generiche non parallele all'asse
delle ordinate, di equazioni y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2, il sistema risultante ammette un'unica
soluzione se m1 è diverso da m2, cioè quando le rette sono incidenti. Questa soluzione, corrispondente
alle coordinate dell'unico punto di intersezione tra le due rette, è uguale a:
q2−q 1
m2−m1
y=m1 xq1
x=−
Se invece m1 = m2 le due rette sono parallele ed il sistema associato è indeterminato o impossibile.
Infatti esso ammette infinite soluzioni per q1 = q2, cioè quando le rette sono coincidenti, o non ammette
nessuna soluzione nel caso contrario, cioè quando esse sono parallele e distinte. Inoltre, se si
considerano rette individuate da equazioni nella forma più generale, includendo nell'analisi anche le
rette parallele all'asse delle ordinate, si giunge attraverso una casistica più articolata a risultati analoghi.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 4.2 – La distanza di un punto da una retta
Per calcolare la distanza di un punto di coordinate (x0, y0) da una retta di equazione y = m x + q con m
non nullo si può seguire la seguente procedura:
1. Si considera il fascio di rette centrato nel punto di coordinate (x0, y0).
2. Si assegna al coefficiente angolare il valore – 1 / m, in modo che la retta risultante sia
perpendicolare a quella assegnata.
3. Si mettono a sistema le equazioni delle due rette in modo da determinare il loro punto di
intersezione.
4. Si calcola la distanza tra il punto di intersezione trovato e quello di coordinate (x0, y0).
L'applicazione della precedente procedura richiede di collegare la maggior parte dei concetti fin qui
esposti al fine di conseguire un risultato non banale. Dalla procedura è anche possibile ricavare una
formula che consente di calcolare direttamente la distanza di un punto da una retta senza far ricorso alla
determinazione esplicita di ulteriori rette o punti. Tuttavia, un'applicazione consapevole della
procedura, seppur più laboriosa, appare didatticamente più efficace e per questa ragione tale formula
non viene inclusa nella presente unità didattica.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 5 – Esercitazioni varie
Data la rilevante quantità di contenuti proposti nella presente unità didattica, appare opportuno fornire
agli alunni l'occasione di esercitarsi nella risoluzione dei relativi problemi con l'aiuto del docente prima
di sottoporli alla necessaria verifica. Quattro ore di lezione vengono quindi dedicate a questo scopo,
chiamando alla lavagna un numero congruo di alunni (almeno otto) e sottoponendo loro problemi
analoghi a quelli che dovranno affrontare nel corso della successiva lezione, senza però utilizzare gli
esiti della loro prestazione a fini di valutazione. Particolare attenzione viene dedicata a quei problemi
che richiedono l'introduzione di parametri per rappresentare punti mobili su rette assegnate. A titolo di
esempio, ne viene riportato di seguito uno dei più complessi:
1
Esempio: I punti A e B appartengono rispettivamente alle rette di equazioni y= x e y=2 x , si
2
trovano entrambi nel primo quadrante e sono legati dal vincolo OA=OB . Determinare le coordinate
dei punti A e B che rendono l'area del triangolo AOB uguale a
A sono
 
1
. [Soluzione: le coordinate del punto
6
 
2 1
1 2
, ]
, , quelle del punto B sono
3 3
3 3
Se necessario, il docente interviene per agevolare il percorso risolutivo e chiarire gli eventuali dubbi
emersi durante l'analisi del problema, riproponendo all'occorrenza parti delle spiegazioni fornite nelle
precedenti lezioni.
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Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
Lezione 6 – Verifica
Agli alunni viene assegnato il seguente test individuale, da svolgere autonomamente in un'ora di tempo:
1. Disegnare sul piano cartesiano il punto P di coordinate 3,−2 , il punto Q di coordinate
1
3
−1, 1 , la retta r di equazione y= x−2 e la retta s di equazione y=− x1 .
2
2
a) Determinare la lunghezza l del segmento PQ e le coordinate del suo punto medio M.
 
[Soluzione: la lunghezza l è uguale a 5, le coordinate del punto M sono 1,−
1
; Punti: 1]
2
b) Determinare l'equazione della retta t passante per i punti P e Q. Verificare se l'origine O
3
1
appartiene alla retta t. [Soluzione: l'equazione della retta t è y=− x , l'origine O non
4
4
appartiene alla retta t; Punti: 1]
c) Determinare le coordinate del punto di intersezione N tra le rette r e s. [Soluzione: le
coordinate del punto N sono


3 5
,− ; Punti: 1]
2 4
d) Determinare l'equazione della retta u parallela a r e passante per il punto P e quella della
retta v perpendicolare a s e passante per il punto Q. [Soluzione: l'equazione della retta u è
1
7
2
5
y= x− , quella della retta v è y= x ; Punti: 1]
2
2
3
3
e) Determinare la distanza d del punto P dalla retta r senza usare la formula specifica.
[Soluzione: la distanza d è uguale a
3
 5 ; Punti: 2]
5
2. Determinare l'area S del trapezio rettangolo ABCD, con CDA=DAB=90° , sapendo che il
punto A ha coordinate −1,−1 , il punto B ha coordinate 2,0 ed il punto C ha coordinate
0,1 . [Soluzione: l'area S è uguale a
15
; Punti: 3]
4
3. Determinare le coordinate dei punti B e D che rendono l'area del rombo ABCD uguale a 20
21
Unità Didattica “L'equazione della retta nel piano cartesiano”
sapendo che il punto A ha coordinate  4, 0  ed il punto C ha coordinate  0,2  . [Soluzione: le
coordinate del punto B sono  4 , 5  , quelle del punto D sono  0,−3  ; Punti: 3]
4. (Facoltativo) Determinare le nuove equazioni delle seguenti rette se si sceglie come nuova
origine il punto O' alle coordinate  −2,1  ed i nuovi assi sono paralleli ed equiversi a quelli del
sistema di riferimento canonico: x=0 , 2 x− y 1=0 e 4 x3 y−1=0 . [Soluzione: x ' =2 ,
2 x '− y ' −4=0 e 4 x '3 y '−6=0 ; Punti: 2]
Il primo problema è articolato in cinque punti in modo tale che la risoluzione di ogni punto non
richieda il riutilizzo dei risultati ottenuti durante la risoluzione dei punti precedenti, consentendo così
una verifica dell'acquisizione di ogni singola conoscenza trasmessa dalla presente unità didattica
indipendentemente dalle altre conoscenze acquisite, mentre i successivi due problemi richiedono
l'integrazione di queste conoscenze all'interno di un percorso risolutivo non esplicitamente guidato ma
implicitamente determinato da considerazioni di geometria sintetica. L'ultimo problema è facoltativo e
verifica solo l'acquisizione della capacità di cambiare il sistema di riferimento.
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Lezione 7 – Correzione della verifica
Ad ogni domanda del precedente test la cui risposta sia corretta e completa viene assegnato il numero
di punti riportato assieme alla soluzione, ad ogni domanda con risposta corretta ma incompleta viene
assegnata la metà dei suddetti punti mentre alle domande prive di risposta o con risposta sbagliata
vengono assegnati zero punti. Il totale, compreso tra zero e quattordici punti, viene incrementato di uno
dopo essere stato moltiplicato per 0.75 anziché 0.643 per considerare il fatto che l'ultimo problema è
facoltativo ed il minimo tra dieci ed il risultato può essere utilizzato a fini di valutazione, con la soglia
di sufficienza fissata a sei punti. Le risposte corrette vengono proposte alla classe e le ragioni degli
errori più comuni discusse assieme agli alunni che li hanno commessi.
I risultati ottenuti sono confortanti e riassunti nella seguente tabella:
Voto ottenuto
Numero alunni
Da 1 (compreso) a 2 (escluso)
0
Da 2 (compreso) a 3 (escluso)
0
Da 3 (compreso) a 4 (escluso)
1
Da 4 (compreso) a 5 (escluso)
1
Da 5 (compreso) a 6 (escluso)
4
Da 6 (compreso) a 7 (escluso)
3
Da 7 (compreso) a 8 (escluso)
7
Da 8 (compreso) a 9 (escluso)
3
Da 9 (compreso) a 10 (compreso)
0
Dal suo esame emerge che oltre i due terzi della classe ha raggiunto o superato la soglia della
sufficienza ed oltre la metà di essa ha conseguito un risultato discreto o buono.
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Bibliografia
●
M. Scovenna, Appunti di geometria analitica e complementi di algebra, CEDAM, Padova,
2002
●
G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica 1, CEDAM, Padova, 1989
●
G. Ottaviani, appunti del corso di geometria per l'ottavo ciclo della SSIS, Firenze, 2007
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