1. Inversione circolare.
Due circonferenze sono ortogonali se nei punti in cui esse si incontrano le loro tangenti sono ortogonali.
Due circonferenze di raggi rispettivamente r, r’ e centri rispettivamente O, O’ sono ortogonali se e solo se si ha
r 2 + ( r ') 2 = (OO ') 2 .
Osservazione. Date due circonferenze, rispettivamente di centri e raggi O, O’, r, r’ , tra loro ortogonali, sia T uno dei
loro punti comuni. Consideriamo una retta per O, che incontra la circonferenza di centro O’ in P, P’.
Per il noto teorema delle secanti e delle tangenti si ha che
OP⋅OP’=(OT)2 = r 2..
Fissata una circonferenza C di centro O e raggio r, si definisce inversione circolare (o trasformazione per raggi
vettori reciproci) rispetto a C l’applicazione del piano, privato del punto O, su se stesso, che ad ogni punto P, diverso
da O, associa il punto P’ che sta sulla semiretta OP ed è tale che OP⋅ OP’ = r 2..
Si vede subito che l’inversione circolare è una corrispondenza involutoria (il suo quadrato è la trasformazione identità),
che tiene uniti punti di C e manda le semirette per O su se stesse; inoltre si ha che:
fissata una circonferenza C, di centro O, due punti P, P’ che siano su una stessa semiretta di origine O
appartengono ad una circonferenza ortogonale a C se e solo se essi si corrispondono nell’inversione circolare
rispetto a C.
Altre proprietà interessanti sono ricavabili (forse) più facilmente usando le coordinate cartesiane o identificando il piano
euclideo con il piano della variabile complessa. Infatti, scelto il sistema di riferimento in modo che il centro della
circonferenza C sia l’origine delle coordinate x,y, l’inversione circolare rispetto a C applica il punto di coordinate (x,y)
nel punto di coordinate
 r2x
r2 y 
 2
.
, 2
2
2 
 x + y x + y 
2
oppure, posto z = x + i y, a z associa z’ = r z .
Usando l’una o l’altra rappresentazione, si dimostra senza difficoltà che l’inversione circolare manda le rette che non
passano per O in circonferenze per O, e viceversa, e che manda circonferenze in circonferenze, conservando gli angoli.
Il problema che segue (la cui soluzione sarà utile nel seguito) può essere facilmente risolto anche per via analitica, senza
utilizzare l’inversione circolare. Il ragionamento per via sintetica è però più veloce.
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Problema. Dati una circonferenza C e due punti distinti P, Q, diversi dal suo centro, quante sono le circonferenze che
passano per P, Q e sono ortogonali a C?
Soluzione. Per quanto visto sopra, il problema dato è equivalente al seguente: quante sono le circonferenze che
contengono due coppie di punti corrispondenti nell’inversione rispetto a C ?
Se P, Q sono allineati con il centro di C, anche i loro corrispondenti nell’inversione circolare sono sulla stessa retta; non
vi è nessuna circonferenza che li contenga, se non quella degenere data dalla retta stessa.
Supponiamo che la retta di P,Q non passi per il centro di C. Se P non appartiene a C , detto P’ il suo corrispondente
nell’inversione circolare rispetto a C, osserviamo che le infinite circonferenze passanti per P, P’ sono tutte ortogonali a
C . Queste circonferenze hanno il centro sull’asse del segmento PP’. Se Q ha un corrispondente Q’ distinto da Q, le
infinite circonferenze per QQ’, tutte ortogonali a C, hanno il centro sull’asse del segmento Q,Q’ ; poiché i segmenti PP’
QQ’ giacciono su rette distinte per il centro di C , essi non sono paralleli, quindi i loro assi si incontrano in un punto,
che è il centro della circonferenza passante per tutti e quattro i punti, ortogonale a C. Il problema ha quindi una sola
soluzione.
Se invece Q sta su C, tutte le circonferenze per Q che hanno il centro sulla retta tangente a C in Q sono ortogonali a C, e
quindi la circonferenza che risolve il problema ha il centro sull’intersezione tra questa tangente e l’asse di PP’. Infine,
se P, Q sono su C, le tangenti a C in P, Q non possono essere parallele (altrimenti P,Q sarebbero allineati con il centro
di C); la loro intersezione è il centro della (unica) circonferenza che risolve il problema.
2. Modello di Poincaré: il disco.
Nel modello del disco (piano) il piano iperbolico H è costituito dai punti del piano euclideo che sono interni ad una
circonferenza fissata, ad esempio la circonferenza unitaria U di centro l’origine e raggio 1. Quindi i “punti” del piano
iperbolico H sono le coppie (x,y) per cui sia x2+ y2 < 1; i punti del bordo di H (cioè, i punti di U) sono indicati come
“punti ideali” o “all'infinito” o “punti limite” ,”orizzonte”.
Sono “rette” del piano iperbolico le intersezioni di H o con le rette per il centro di U o con circonferenze ortogonali a
U.
Una retta iperbolica r interseca U in due punti, che sono detti punti ideali o all'infinito della retta r. La figura mostra
due rette iperboliche, ed i punti ideali I, J della prima, K, L della seconda.
Dalle proprietà delle circonferenze ortogonali (vedi il problema del paragrafo precedente), si ricava che per due punti
di H passa una retta (iperbolica) ed una sola.
Le stesse considerazioni utilizzate per risolvere il problema del paragrafo precedente mostrano che, fissato un punto P
fuori di r , esiste una ed una sola retta r' che passa per P e per uno dei punti ideali di r , ed una sola retta r" per P e
per l’altro punto all'orizzonte di r.
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Due rette sono parallele se hanno in comune un punto all'infinito, ultraparallele se non si intersecano né in H né
all'infinito. Nella figura, è disegnata una retta per P che è ultraparallela di r . Si ha che:
• data una retta r, per un punto P fuori di essa passano due parallele ed infinite ultraparallele;
• la somma degli angoli di un triangolo è minore di π.
La figura successiva mostra due triangoli, uno dei quali, avendo tutti i vertici in punti ideali, ha gli angoli uguali a 0.
Ne segue che la somma degli angoli di un quadrilatero è minore di due angoli piatti, e può essere anche uguale a zero;
analogamente, esistono poligoni in cui la somma degli angoli è piccola quanto si vuole.
Osserviamo che una riflessione euclidea rispetto ad una retta passante per il centro di U manda H su se stesso. Si
dimostra che anche una inversione circolare rispetto ad una circonferenza ortogonale ad U manda H su se stesso.
Chiamiamo congruenze iperboliche le trasformazioni di H su se stesso che si ottengono componendo riflessioni oppure
inversioni circolari rispetto a rette iperboliche. Due figure contenute in H sono congruenti se è possibile trasformarle
l’una nell’altra con una congruenza iperbolica.
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ATTENZIONE: generalmente, figure iperboliche congruenti non sono affatto congruenti in senso euclideo: ecco
qui delle famose pavimentazioni del piano iperbolico, disegnate da Escher, in cui il piano iperbolico è ricoperto
da “mattonelle” congruenti tra loro.
Riferimenti bibliografici.
Dispensa del corso di Didattica della Matematica, Modulo 2, Docente: Margherita D’Aprile,
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento nella Scuola Secondaria, Università della Calabria – V ciclo
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