Piano Lauree Scientifiche
2012/2013
Liceo Scientifico
“Renato Caccioppoli” Napoli
Napoli
Pitagora utilizzando…
…l’inversione circolare
TEOREMA DI TOLOMEO
Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Allora:
AB * CD + BC * AD = AC * BD.
Trasformazioni del piano
• Una trasformazione del piano è un’applicazione
biunivoca del piano in sé.
• Un’importante trasformazione del piano è l’isometria
che conserva le distanze tra i punti. Si può provare
che manda rette in rette e conserva il parallelismo.
Inversione Circolare
Assegnata, nel piano euclideo, una circonferenza Γ di centro O e
raggio r, si definisce inversione circolare rispetto a Γ la
trasformazione fΓ che associa ad ogni punto P del piano, distinto da
O, il punto P’ appartenente alla semiretta OP e tale che il prodotto
delle distanze di P e P’ da O sia uguale a r²,
cioè: OP*OP' = r².
Osserviamo che fΓ non è una trasformazione
del piano, ma del piano privato del punto O, e
in tale sottoinsieme è biunivoca.
fΓ non è una isometria.
L’Inversione Circolare
gode delle seguenti PROPRIETA’:
Una circonferenza passante per O si trasforma in
una retta non passante per O
 Una circonferenza non passante per O si trasforma
in una circonferenza non passante per O
 Una retta non passante per O si trasforma in una
circonferenza passante per O privata del punto O
 Una retta passante per O si trasforma in se stessa


È involutoria
Dove vanno le circonferenze passanti per il centro?
Nel 1864 Peaucellier costruisce un apparecchio e riesce a verificare l’importante
proprietà:
una circonferenza Ω passante per il centro O di una inversione circolare rispetto a Γ
viene mandata da fΓ nell'asse radicale delle due circonferenze Γ e Ω.
• Si costruisce la circonferenza Γ di inversione di centro O.
• Si disegna la circonferenza Ω passante per O e si applica
l’inversione circolare ad un suo qualsiasi punto P, ottenendo P'.
• Al variare di P sulla circonferenza Ω, P’ descrive una retta:
l'asse radicale delle due circonferenze.
Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con
l’Inversione Circolare (parte 1)
Lemma:
siano P',Q' le controimmagini di P,Q.
Allora:
P'Q' = PQ * r² /(OP*OQ)
Dim: dalla definizione di inversione e da
uno dei criteri di similitudine segue che i triangoli OPQ e OP’Q’
sono simili. Si ha quindi P’Q’:PQ=OQ’:OP. Sapendo che
OQ’ = r² /OQ, segue la tesi.
Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con
l’Inversione Circolare (parte 2)
Consideriamo un generico quadrilatero OABC
inscritto nella circonferenza Ω, e
l’inversione circolare di centro O
associata ad una circonferenza Γ,
di centro O e raggio r.
Indichiamo con A’, B’, C’
le immagini di A,B,C mediante
l’inversione assegnata.
Le immagini sono allineate,
in particolare: A'B' + B'C' = A'C'.
Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con
l’Inversione Circolare (parte 2)
Utilizzando il Lemma
precedentemente dimostrato,
l’uguaglianza assume la
seguente forma:
Moltiplicando tutti i membri
per OA*OB*OC, segue la tesi.
...E ora?

Teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti di un triangolo
rettangolo ABC è pari al quadrato dell'ipotenusa.
Dimostrazione: costruisco un punto D tale che ABCD sia un rettangolo, che è un
quadrilatero inscritto in una circonferenza. La tesi segue immediatamente dal
teorema di Tolomeo: infatti, tenendo conto del fatto che AB=CD, BC=AD e
AC=BD, segue che:
Bibliografia
• Appunti e dispense distribuite nel laboratorio PLS,
prof.ssa S. Dragotti;
• R. Courant e H. Robbins, Che cos’è la matematica, casa
editrice Universale Bollati Boringhieri;
• http://kchico.wordpress.com/2010/04/06/linversionecircolare/;
• http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/ge
omeccan0.php?id=5;
Liceo Scientifico
“Renato Caccioppoli” Napoli
Grazie per l’attenzione